BÀI 4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I. Trục tọa độ
1. Định nghĩa
Trục tọa độ (trục, hay trục số) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm $O$ và một vectơ đơn vị $\overrightarrow {i} $( tức là $\left| {\overrightarrow {i} } \right| = 1$).
Điểm $O$ được gọi là gốc tọa độ , vectơ $\overrightarrow {i} $ được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu (O; $\overrightarrow {i} $) hay $x'Ox$ hoặc đơn giản là $Ox$.
2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
+ Cho vectơ $\overrightarrow {u} $ nằm trên trục (O; $\overrightarrow {i} $) thì có số thực $a$ sao cho $\overrightarrow u = a\overrightarrow {i} $. Số $a$ như thế được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow {u} $ đối với trục (O; $\overrightarrow {i} $).
+ Cho điểm $M$ nằm trên (O; $\overrightarrow {i} $) thì có số $m$ sao cho $\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {i} $. Số $m$ như thế được gọi là tọa độ của điểm $M$ đối với trục (O; $\overrightarrow {i} $).
Như vậy tọa độ điểm $M$ là tọa độ vectơ $\overrightarrow {OM} $.
3. Độ dài đại số của vectơ trên trục
Cho hai điểm $A, B$ nằm trên trục $Ox$ thì tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} $ kí hiệu là $\overline {AB} $ và gọi là độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow {AB} $ trên trục $Ox$.
Như vậy $\overrightarrow {AB} = \overline {AB}.\overrightarrow i $
Tính chất:
+ $\overline {AB} = - \overline {BA} $
+ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overline {AB} = \overline {CD} $
+ $\forall A;B;C \in (O;\overrightarrow {i} ):\overline {AB} + \overline {BC} = \overline {AC} $
II. Hệ trục tọa độ
1. Định nghĩa
Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc $Ox$ và $Oy$ với hai vectơ đơn vị lần lượt là $\overrightarrow i ,\overrightarrow j $. Điểm $O$ gọi là gốc tọa độ, $Ox$ gọi là trục hoành và $Oy$ gọi là trục tung.
Kí hiệu: $Oxy$ hay $\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$.
2. Tọa độ điểm, tọa độ vectơ
+ Trong hệ trục tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$ nếu $\overrightarrow u = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j $ thì cặp số $\left( {x;y} \right)$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow u $, kí hiệu là $\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)$ hay $\overrightarrow u \left( {x;y} \right)$.
$x$ được gọi là hoành độ, $y$ được gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow u $.
+ Trong hệ trục tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$, tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OM} $ gọi là tọa độ của điểm $M$, kí hiệu là $M = \left( {x;y} \right)$ hay $M\left( {x;y} \right)$. $x$ được gọi là hoành độ, $y$ được gọi là tung độ của điểm $M$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $Ox$ và $Oy$ thì $M\left( {x;y} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} $
Như vậy $\overrightarrow {OH} = x\overrightarrow i ,\overrightarrow {OK} = y\overrightarrow j $ hay $x = \overline {OH} ,y = \overline {OK} $.
3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Cho $A({x_A};{y_A}),{\text{ }}B({x_B};{y_B})$ và $M$ là trung điểm $AB$. Tọa độ trung điểm $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$ của đoạn thẳng $AB$ là ${x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2},{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$.
4. Tọa độ trọng tâm của tam giác
Cho tam giác $ABC$ có $A({x_A};{y_A}),{\text{ }}B({x_B};{y_B}),C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G\left( {{x_G};{y_G}} \right)$ của tam giác $ABC$ là ${x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}$ và ${y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2}$.
5. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho $\overrightarrow u = (x;y)$;$\overrightarrow {u'} = (x';y')$ và số thực $k$. Khi đó ta có :
1) $\overrightarrow u = \overrightarrow {u'} \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{gathered} x' = x \hfill \\ y' = y \hfill \\ \end{gathered} \right.$
2) $\overrightarrow u \pm \overrightarrow v = (x \pm x';y \pm y')$
3) $k.\overrightarrow u = (kx;ky)$
4) $\overrightarrow {u'} $ cùng phương $\overrightarrow u $($\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $) khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $\left\{ \begin{gathered} x' = kx \hfill \\ y' = ky \hfill \\ \end{gathered} \right.$
5) Cho $A({x_A};{y_A}),{\text{ }}B({x_B};{y_B})$ thì $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$
Ví dụ 1: Trên trục tọa độ (O; $\overrightarrow {i} $) cho $3$ điểm $A; B; C$ có tọa độ lần lượt là
$–2; 1$ và $4$.
a) Tính tọa độ các vectơ $\overrightarrow {AB};\overrightarrow {BC};\overrightarrow {CA} $
b) Chứng minh $B$ là trung điểm của $AC$.
Lời giải
a) Ta có $\overline {AB} = 1 + 2 = 3,\overline {BC} = 3,\overline {CA} = - 6$
b) Ta có $\overline {BA} = - 3 = - \overline {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {BC} $ suy ra $B$ là trung điểm $AC$.
Ví dụ 2: Trên trục tọa độ (O; $\overrightarrow {i} $) cho $4$ điểm $A,B,C,D$ bất kỳ. Chứng minh $\overline {AB}.\overline {CD} + \overline {AC}.\overline {DB} + \overline {AD}.\overline {BC} = 0$.
Lời giải
Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm $A, B, C, D$ lần lượt là $a, b, c, d$.
Ta có $\overline {AB}.\overline {CD} = \left( {b - a} \right)\left( {d - c} \right) = bd + ac - bc - ad$;
$\begin{gathered} \overline {AC}.\overline {DB} = \left( {c - a} \right)\left( {b - d} \right) = bc + ad - cd - ab \hfill \\ \overline {AD}.\overline {BC} = \left( {d - a} \right)\left( {c - b} \right) = cd + ab - ac - bd \hfill \\ \end{gathered} $;
Cộng vế với vế lại ta được $\overline {AB}.\overline {CD} + \overline {AC}.\overline {DB} + \overline {AD}.\overline {BC} = 0$.
Cách 2: $\overline {AB}.\overline {CD} + \overline {AC}.\overline {DB} + \overline {AD}.\overline {BC} = $
$\begin{gathered} \overline {AB}.\left( {\overline {AD} - \overline {AC} } \right) + \overline {AC}.\left( {\overline {AB} - \overline {AD} } \right) + \overline {AD}.\left( {\overline {AC} - \overline {AB} } \right) \hfill \\ = \overline {AB}.\overline {AD} - \overline {AB}.\overline {AC} +.\overline {AC}.\overline {AB} - \overline {AC}.\overline {AD} + \overline {AD}.\overline {AC} - \overline {AD}.\overline {AB} \hfill \\ = 0 \hfill \\ \end{gathered} $.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Cho điểm $M\left( {x;y} \right)$. Tìm tọa độ của các điểm:
a) ${M_1}$ đối xứng với $M$ qua trục hoành.
b) ${M_2}$ đối xứng với $M$ qua trục tung.
c) ${M_3}$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ.
Lời giải
a) ${M_1}$ đối xứng với $M$ qua trục hoành suy ra ${M_1}\left( {x; - y} \right)$.
b) ${M_2}$ đối xứng với $M$ qua trục tung suy ra ${M_2}\left( { - x;y} \right)$.
c) ${M_3}$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ suy ra ${M_3}\left( { - x; - y} \right)$.
Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ (O; $\overrightarrow i $; $\overrightarrow j $ ), cho hình vuông $ABCD$ tâm $I$ và có $A(1;3)$. Biết điểm $B$ thuộc trục (O; $\overrightarrow i $) và $\overrightarrow {BC} $ cùng hướng với $\overrightarrow i $. Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} $ và $\overrightarrow {AC} $.
Lời giải
Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ.
Vì điểm $A(1;3)$ suy ra $AB = 3,OB = 1$.
Do đó $B\left( {1;0} \right),C\left( {4;0} \right),D\left( {4;3} \right)$.
Vậy $\overrightarrow {AB} \left( {0; - 3} \right),\overrightarrow {BC} \left( {3;0} \right)$ và $\overrightarrow {AC} \left( {3; - 3} \right)$.
Ví dụ 5: Trong hệ trục tọa độ (O; $\overrightarrow i $; $\overrightarrow j $ ), Cho tam giác đều $ABC$ cạnh a, biết $O$ là trung điểm $BC$, $\overrightarrow i $ cùng hướng với $\overrightarrow {OC} $, $\overrightarrow j $ cùng hướng $\overrightarrow {OA} $.
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác $ABC$.
b) Tìm tọa độ trung điểm $E$ của $AC$.
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Lời giải
a) $A\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),B\left( { - \dfrac{a}{2};0} \right),C\left( {\dfrac{a}{2};0} \right)$.
b) $E\left( {\dfrac{a}{4};\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)$.
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm $G\left( {0;\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)$.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho 3 vectơ: $\overrightarrow a = \left( {3;2} \right)\overrightarrow {b} = \left( { - 1;5} \right)\overrightarrow c = \left( { - 2; - 5} \right)$. Tìm tọa độ của vectơ sau:
a) $\overrightarrow u + 2\overrightarrow v $ với $\overrightarrow u = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j $ và $\overrightarrow v = \pi \overrightarrow i $
b) $\overrightarrow k = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b $ và $\overrightarrow l = - \overrightarrow a + 2\overrightarrow b + 5\overrightarrow {c} $
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow u + 2\overrightarrow v = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + \pi \overrightarrow i = \left( {3 + \pi } \right)\overrightarrow i - 4\overrightarrow j $ suy ra $\overrightarrow u + 2\overrightarrow v = \left( {3 + \pi; - 4} \right)$.
b) Ta có $2\overrightarrow {a} = (6;4)\overrightarrow {b} = ( - 1;5)$suy ra $\overrightarrow {k} = \left( {6 - 1;4 + 5} \right) = \left( {5;9} \right)$;
$ - \overrightarrow {a} = ( - 3; - 2),2\overrightarrow {b} = ( - 2;10)$ và $5\overrightarrow {c} = ( - 10; - 25)$suy ra
$\overrightarrow l = \left( { - 3 - 2 - 10; - 2 + 10 - 25} \right) = \left( { - 15; - 17} \right)$.
Ví dụ 7: Cho $\overrightarrow a = (1;2),{\text{ }}\overrightarrow b = ( - 3;4){\text{; }}\overrightarrow c = ( - 1;3)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u $ biết :
a) $2\overrightarrow u - 3\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 $.
b) $3\overrightarrow u + 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = 3\overrightarrow c $.
Lời giải
a) Ta có $2\overrightarrow u - 3\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u = \dfrac{3}{2}\overrightarrow a - \dfrac{1}{2}\overrightarrow b $. Suy ra $\overrightarrow u = \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2};3 - 2} \right) = \left( {3;1} \right)$.
b) Ta có $3\overrightarrow u + 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = 3\overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow u = - \dfrac{2}{3}\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c $. Suy ra $\overrightarrow u = \left( { - \dfrac{2}{3} + 3 - 1; - \dfrac{4}{3} - 4 + 3} \right) = \left( {\dfrac{4}{3}; - \dfrac{7}{3}} \right)$.
Ví dụ 8: Cho ba điểm $A\left( { - 4;0} \right),B\left( {0;3} \right)$ và $C\left( {2;1} \right)$.
a) Xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} $.
b) Tìm điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 $.
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {4;3} \right),\overrightarrow {AC} \left( {6;1} \right)$ suy ra $\overrightarrow u = \left( {2;5} \right)$.
b) Gọi $M\left( {x;y} \right)$, ta có $\overrightarrow {MA} \left( { - 4 - x; - y} \right),\overrightarrow {MB} \left( { - x;3 - y} \right),\overrightarrow {MC} \left( {2 - x;1 - y} \right)$.
Suy ra $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \left( { - 6x + 2; - 6y + 9} \right)$.
Do đó $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6x + 2 = 0} \\ { - 6y + 9 = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{3}} \\ {y = \dfrac{3}{2}} \end{array}} \right.$.
Vậy $M\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{3}{2}} \right)$.
Ví dụ 9: Cho tam giác $ABC$ có $A(2;1),{\text{ }}B( - 1; - 2),{\text{ }}C( - 3;2)$.
a) Tìm tọa độ trung điểm $M$ sao cho $C$ là trung điểm của đoạn $MB$.
b) Xác định trọng tâm tam giác $ABC$.
b) Tìm điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
Lời giải
a) $C$ là trung điểm của $MB$ suy ra ${x_C} = \dfrac{{{x_M} + {x_B}}}{2} \Rightarrow {x_M} = 2{x_C} - {x_B} = - 5$ và ${y_C} = \dfrac{{{y_M} + {y_B}}}{2} \Rightarrow {y_M} = 2{y_C} - {y_B} = 6$.
Vậy $M\left( { - 5;6} \right)$.
b) $G$ là trọng tâm tam giác suy ra ${x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{2 - 1 - 3}}{3} = - \dfrac{2}{3}$ và ${y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2} = \dfrac{{1 - 2 + 2}}{3} = \dfrac{1}{3}$
Vậy $G\left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$.
c) Gọi $D(x;y) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = ( - 3 - x;2 - y)$
Ta có: $ABCD$ là hình bình hành suy ra $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 3 - x = - 3 \hfill \\ 2 - y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow D(0;5)$.
Vậy $D\left( {0;5} \right)$.
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A\left( {3; - 1} \right),B\left( { - 1;2} \right)$ và $I\left( {1; - 1} \right)$. Xác định tọa độ các điểm $C, D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành biết $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Tìm tọa tâm $O$ của hình bình hành $ABCD$.
Lời giải
Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:
${x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} \Rightarrow {x_C} = 3{x_I} - {x_A} - {x_B} = 1$;
${y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2} \Rightarrow {y_C} = 3{y_I} - {y_A} - {y_B} = - 4$.
Suy ra $C\left( {1; - 4} \right)$.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành suy ra
$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 - 3 = 1 - {x_D} \hfill \\ 2 + 1 = - 4 - {y_D} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_D} = 5 \hfill \\ {y_D} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow D(5; - 7)$.
Điểm $O$ của hình bình hành $ABCD$ suy ra $O$ là trung điểm $AC$, do đó:
${x_O} = \dfrac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = 2,{y_O} = \dfrac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = - \dfrac{5}{2} \Rightarrow O\left( {2; - \dfrac{5}{2}} \right)$.
Ví dụ 11: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {3;1} \right),B\left( {1; - 3} \right)$, đỉnh $C$ nằm trên $Oy$ và trọng tâm $G$ nằm trên trục $Ox$. Tìm tọa độ đỉnh $C$.
Lời giải
Từ giả thiết ta có $C\left( {0;y} \right),G\left( {x;0} \right)$.
$G$ là trọng tâm tam giác nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}} \\ {{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{4}{3}} \\ {y = 2} \end{array}} \right.$.
Vậy $C\left( {0;2} \right)$.
Ví dụ 12: Cho tam giác $ABC$ có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Biết $M(1;1),N( - 2; - 3),P(2; - 1)$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow {MN} \left( { - 3; - 4} \right),\overrightarrow {PA} \left( {{x_A} - 2;{y_A} + 1} \right),\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PA} \Rightarrow A\left( { - 1; - 5} \right)$.
$N$ là trung điểm $AC$ suy ra $C\left( { - 3; - 1} \right)$.
$M$ là trung điểm $BC$ suy ra $B\left( {5;3} \right)$.
Ví dụ 13: Cho $\overrightarrow a = (1;2),{\text{ }}\overrightarrow b = ( - 3;0){\text{; }}\overrightarrow c = ( - 1;3)$. Phân tích vectơ $\overrightarrow c $ qua $\overrightarrow a {\text{ }};{\text{ }}\overrightarrow b $.
Lời giải
Giả sử $\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b $. Ta có $x\overrightarrow a + y\overrightarrow b = \left( {x - 3y;2x} \right)$.
Suy ra $\left\{ \begin{gathered} x - 3y = - 1 \hfill \\ 2x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{2}{3} \hfill \\ y = \dfrac{5}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \overrightarrow c = \dfrac{2}{3}\overrightarrow a + \dfrac{5}{9}\overrightarrow b $.
Ví dụ 14: Cho $\overrightarrow {u} = \left( {{m^2} + m - 2;4} \right)$ và $\overrightarrow {v} = (m;2)$. Tìm $m$ để hai vectơ $\overrightarrow u ,\overrightarrow v $ cùng phương.
Lời giải
+ Với $m = 0$: Ta có $\overrightarrow {u} = ( - 2;4);\overrightarrow {v} = (0;2)$.
Vì $\dfrac{0}{{ - 2}} \ne \dfrac{2}{4}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {u};\overrightarrow {v} $không cùng phương.
+ Với $m \ne 0$: Ta có $\overrightarrow {u};\overrightarrow {v} $cùng phương khi và chỉ khi
$\dfrac{{{{\text{m}}^{\text{2}}} + m - 2}}{m} = \dfrac{4}{2} \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = 2} \end{array}} \right.$.
Vậy với $m = - 1$ và $m = 2$ là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(6;3),{\text{ }}B( - 3;6),{\text{ }}C(1; - 2)$.
a) Chứng minh $A, B, C$ là ba đỉnh một tam giác.
b) Xác định điểm $D$ trên trục hoành sao cho ba điểm $A, B, D$ thẳng hàng.
c) Xác định điểm $E$ trên cạnh $BC$ sao cho $BE = 2EC$.
d) Xác định giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC $.
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow {AB} \left( { - 9;3} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 5; - 5} \right)$. Vì$\dfrac{{ - 9}}{{ - 5}} \ne \dfrac{3}{{ - 5}}$ suy ra $\overrightarrow {AB} $và $\overrightarrow {AC} $ không cùng phương
Hay $A, B, C$ là ba đỉnh một tam giác.
b) $D$ trên trục hoành $ \Rightarrow D\left( {x;0} \right)$.
Ba điểm $A, B, D$ thẳng hàng suy ra $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AD} $ cùng phương
Mặt khác $\overrightarrow {AD} \left( {x - 6; - 3} \right)$ do đó $\dfrac{{x - 6}}{{ - 9}} = \dfrac{{ - 3}}{3} \Rightarrow x = 15$.
Vậy $D\left( {15;0} \right)$.
c) Vì $E$ thuộc đoạn $BC$ và $BE = 2EC$ suy ra $\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {EC} $.
Gọi $E\left( {x;y} \right)$ khi đó $\overrightarrow {BE} \left( {x + 3;y - 6} \right),\overrightarrow {EC} \left( {1 - x; - 2 - y} \right)$.
Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 3 = 2\left( {1 - x} \right)} \\ {y - 6 = 2\left( { - 2 - y} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{1}{3}} \\ {y = \dfrac{2}{3}} \end{array}} \right.$.
Vậy $E\left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$.
d) Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là giao điểm của $DE$ và $AC$.
Do đó $\overrightarrow {DI} \left( {x - 15;y} \right),\overrightarrow {DE} \left( { - \dfrac{{46}}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$ cùng phương suy ra $\dfrac{{3\left( {x - 15} \right)}}{{ - 46}} = \dfrac{{3y}}{2} \Rightarrow x + 23y - 15 = 0$ (1).
$\overrightarrow {AI} \left( {x - 6;y - 3} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 5; - 5} \right)$ cùng phương suy ra $\dfrac{{x - 6}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} \Rightarrow x - y - 3 = 0$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $x = \dfrac{7}{2}$ và $y = \dfrac{1}{2}$.
Vậy giao điểm hai đường thẳng $DE$ và $AC$ là $I\left( {\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}} \right)$.
Ví dụ 16. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho 4 điểm $A\left( {0;1} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( {2;7} \right)$ và $D\left( {0;3} \right)$. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng $AC$ và $BD$.
Lời giải
Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là giao điểm $AC$ và $BD$ suy ra $\overrightarrow {AI};\overrightarrow {AC} $ cùng phương và $\overrightarrow {BI};\overrightarrow {BD} $ cùng phương
Mặt khác
$\overrightarrow {AI} = (x;y - 1),\overrightarrow {AC} = (2;6)$ suy ra $\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{6} \Leftrightarrow 6x - 2y = - 2$ (1).
$\overrightarrow {BI} = (x - 1;y - 3),\overrightarrow {BD} = ( - 1;0)$ suy ra $y = 3$ thế vào (1) ta có $x = \dfrac{2}{3}$.
Vậy ${\text{I }}\left( {\dfrac{{\text{2}}}{{\text{3}}};3} \right)$ là điểm cần tìm.
Ví dụ 17. Cho $\overrightarrow a = (3;2),{\text{ }}\overrightarrow b = ( - 3;1)$.
a) Chứng minh $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ không cùng phương.
b) Đặt $\overrightarrow u = (2 - x)\overrightarrow a + (3 + y)\overrightarrow b $. Tìm $x,y$ sao cho $\overrightarrow u $ cùng phương với $x\overrightarrow a + \overrightarrow b $ và $\overrightarrow a + \overrightarrow b $.
Lời giải
b) Ta có $\overrightarrow u = \left( { - 3x - 3y - 3; - 2x + y + 7} \right)$.
$x\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3x - 3;2x + 1} \right),\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {0;3} \right)$.
$\overrightarrow u $ cùng phương với $x\overrightarrow a + \overrightarrow b $ và $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ khi và chỉ khi có số $k,l$ sao cho $\overrightarrow u = k\left( {x\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right),\overrightarrow u = l\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)$
Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3x - 3y - 3 = k\left( {3x - 3} \right)} \\ { - 2x + y + 7 = k\left( {2x + 1} \right)} \\ { - 3x - 3y - 3 = 0} \\ { - 2x + y + 7 = 3l} \end{array}} \right.$.
Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {y = - 3} \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = - 2} \end{array}} \right.$.
Ví dụ 18. Cho tam giác $ABC$ có $A(3;4),{\text{ }}B(2;1),{\text{ }}C( - 1; - 2)$. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ sao cho ${S_{ABC}} = 3{S_{ABM}}$.
Lời giải
Ta có ${S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \pm 3\overrightarrow {BM} $.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BM} \left( {x - 2;y - 1} \right);\overrightarrow {BC} \left( { - 3; - 3} \right)$.
Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 = 3\left( {x - 2} \right)} \\ { - 3 = 3\left( {y - 1} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {y = 0} \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 = - 3\left( {x - 2} \right)} \\ { - 3 = - 3\left( {y - 1} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3} \\ {y = 2} \end{array}} \right.$.
Vậy có hai điểm thỏa mãn ${M_1}\left( {1;0} \right),{M_2}\left( {3;2} \right)$.
Ví dụ 19. Cho ba điểm $A( - 1; - 1),B(0;1),C(3;0)$.
a) Chứng minh ba điểm $A, B, C$ tạo thành một tam giác.
b) Xác định tọa độ điểm $D$ biết $D$ thuộc đoạn thẳng $BC$ và $2BD = 5DC$.
c) Xác định tọa độ giao điểm của $AD$ và $BG$ trong đó $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {1;2} \right),\overrightarrow {AC} \left( {4;1} \right)$. Vì $\dfrac{1}{4} \ne \dfrac{2}{1} \Rightarrow \overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ không cùng phương.
b) Ta có $2\overrightarrow {BD} = 5\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BD} \left( {{x_D};{y_D} - 1} \right),\overrightarrow {DC} \left( {3 - {x_D}; - {y_D}} \right)$.
Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_D} = 5\left( {3 - {x_D}} \right)} \\ {2\left( {{y_D} - 1} \right) = 5\left( { - {y_D}} \right)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_D} = \dfrac{{15}}{7}} \\ {{y_D} = \dfrac{2}{7}} \end{array}} \right. \Rightarrow D\left( {\dfrac{{15}}{7};\dfrac{2}{7}} \right)$.
c) Ta có $G\left( {\dfrac{2}{3};0} \right)$. Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là giao điểm của $AD$ và $BG$.
Do đó $\overrightarrow {AI} \left( {x + 1;y + 1} \right),\overrightarrow {AD} \left( {\dfrac{{22}}{7};\dfrac{9}{7}} \right)$ cùng phương suy ra $\dfrac{{7\left( {x + 1} \right)}}{{22}} = \dfrac{{7\left( {y + 1} \right)}}{9} \Rightarrow 9x - 22y - 13 = 0$.
$\overrightarrow {BI} \left( {x;y - 1} \right),\overrightarrow {BG} \left( { - \dfrac{1}{3};0} \right)$ cùng phương suy ra tồn tại $k:\overrightarrow {BI} = k\overrightarrow {BG} \Rightarrow y = 1$.
Từ đó $I\left( {\dfrac{{35}}{9};1} \right)$.
