BÀI
3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
1. Tích của một số với một vectơ và
các tính chất
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Cho
tam giác ${A B C}$ có ${M, N}$ lần lượt là trung điểm các cạnh ${A B, A C}$
(Hình).
Tìm trong hình các vectơ bằng: ${2 \overrightarrow{M N} ;-\dfrac{1}{2}
\overrightarrow{A B} ;-2 \overrightarrow{C N}}$
Giải
Ta có: ${2 \overrightarrow{M N}=\overrightarrow{B C} ;-\dfrac{1}{2}
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{M A} ;-2 \overrightarrow{C
N}=\overrightarrow{A C}}$.
Câu 2. Cho
đoạn thẳng ${A B}$ và một điểm ${M}$ tuỳ ý. Chứng minh ${I}$ là trung điểm của
đoạn thẳng ${A B}$ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=2
\overrightarrow{M I}}$.
Giải
Ta có
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\Leftrightarrow
\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}$$\Leftrightarrow
2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}\Leftrightarrow
\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$
Suy ra $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.
Câu 3. Cho
tam giác ${A B C}$ có trung tuyến ${A M}$. Gọi ${I}$ là trung điểm của ${A M}$
và ${K}$ là điểm trên cạnh ${A C}$ sao cho ${A K=\dfrac{1}{3} A C}$.
a) Tính ${\overrightarrow{B I}}$ theo ${\overrightarrow{B
A}, \overrightarrow{B C}}$.
b) Tính ${\overrightarrow{B K}}$ theo ${\overrightarrow{B
A}, \overrightarrow{B C}}$.
c) Chứng minh ba điểm ${B, I, K}$ thẳng hàng.
Giải
a) ${\overrightarrow{B
I}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{2}
\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{B
M}-\overrightarrow{B A})=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{4}
\overrightarrow{B C}}$ (1)
b) ${\overrightarrow{B
K}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{3}
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{B
C}-\overrightarrow{B A})=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{3}
\overrightarrow{B C}}$ (2)
c) Ta có: (1) ${\Rightarrow 4 \overrightarrow{B I}=2
\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}}$, $\text{ (2) }\Rightarrow
3\overrightarrow{BK}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ nên ${\overrightarrow{B
I}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{B K}}$. (3)
Từ (3) ta suy ra ba điểm ${B, I, K}$ thẳng hàng.
Câu 4. Cho
tam giác $ABC$, trên cạnh $ABC$ lấy $M$ sao cho $BM=3CM$, trên đoạn $AM$ lấy $N$
sao cho $2AN=5MN$. $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
a) Phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}$
qua các véc-tơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$
b) Phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{GC};\overrightarrow{MN}$
qua các véc-tơ $\overrightarrow{GA}$ và $\overrightarrow{GB}$
Lời giải.
a) Theo giả thiết $\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$
và $\overrightarrow{AN}=\dfrac{5}{7}\overrightarrow{AM}$
Suy ra:
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$$=\,\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{7}\overrightarrow{AM}$$=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{7}\left(
\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC} \right)$$=-\dfrac{23}{28}\overrightarrow{AB}+\dfrac{15}{28}\overrightarrow{AC}$.
b)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
Suy
ra $\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}$.
Ta
có $\overrightarrow{MN}=-\dfrac{2}{7}\overrightarrow{AM}=-\dfrac{2}{7}\left( \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}
\right)$$=-\dfrac{1}{14}\left( \overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}
\right)-\dfrac{3}{14}\left( \overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA} \right)$
$=-\dfrac{1}{14}\left(
\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA} \right)-\dfrac{3}{14}\left(
-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA} \right)$$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GA}+\dfrac{1}{7}\overrightarrow{GB}$.
Câu 5. Cho $\Delta
ABC$. Điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Hãy phân tích $\overrightarrow{AM}$ theo
hai vec tơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Lời giải.
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$$=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(
\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)$
$=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.
Câu 6. Cho
tam giác $ABC$ có ba trung tuyến $AM,\text{ }BN,\text{ }CP$. Chứng minh $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$.
Lời giải
Vì $M,N,P$ là trung điểm 3 cạnh
nên
$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}$$=\dfrac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)+\dfrac{1}{2}\left(
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA} \right)+\dfrac{1}{2}\left(
\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right)$$=\dfrac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA} \right)+\dfrac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA} \right)+\dfrac{1}{2}\left(
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB} \right)=\overrightarrow{0}$
Câu 7. Cho
tứ giác $ABCD$. Gọi $I,J$ lần lượt
là trung điểm của $AB$ và $CD,O$ là trung điểm của $IJ$. Chứng minh rằng
a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$.
b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.
c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$
với $M$ là điểm bất kỳ.
Lời giải
a) Theo quy tắc ba điểm ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}$
Tương tự $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}$
Mà $I, J$ lần lượt là trung điểm của
$AB$ và $CD$ nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}$.
Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(
\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI} \right)$$+\left(
\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}
\right)+2\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IJ}$ (đpcm).
b) Theo hệ thức trung điểm ta có
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}$, $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OJ}$.
Mặt khác $O$ là trung điểm $IJ$ nên $\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{0}$.
Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$$=2\left(
\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ} \right)=\overrightarrow{0}$ (đpcm).
c) Theo câu b) ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
Do đó với mọi điểm $M$ thì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow
\left( \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA} \right)+\left(
\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB} \right)$$+\left(
\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC} \right)+\left( \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MD}
\right)=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$
(đpcm).
Câu 8. Cho hai điểm $A,B.$ Tập hợp các điểm $M$ sao cho
a) $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|.$
b) $|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|$
Lời giải
a) Ta có: $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}|$$\Leftrightarrow
2MI=AB\Leftrightarrow MI=\dfrac{AB}{2}$ ( với $I$ là trung điểm của $AB).$
Tập hợp các điểm $M$ là đường
tròn tâm $I$ bán kính $\dfrac{AB}{2},$ với $I$ là trung điểm $AB.$
b) Gọi $K$ là điểm thoả mãn $2\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\vec{0};L$
là điểm thoả mãn $\overrightarrow{LB}+2\overrightarrow{LC}=\vec{0}.$
Ta có: $|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}|$$\Leftrightarrow
\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{ML}$
Tập hợp điểm $M$ là đường trung
trực của đoạn $KL.$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Trên đường thẳng $MN$ lấy điểm $P$ sao
cho $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$. Điểm $P$ được xác định đúng
trong hình vẽ nào sau đây:
A. Hình 3
B. Hình 4
C. Hình 1
D. Hình 2
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}\Rightarrow
\overrightarrow{MN}$ ngược hướng với $\overrightarrow{MP}$ và $\left|
\overrightarrow{MN} \right|=3\left| \overrightarrow{MP} \right|$.
Câu 2. Cho ba điểm phân
biệt $A,B,C$. Nếu $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$ thì đẳng thức nào
dưới đây đúng?
A. $\overrightarrow{BC}=-4\overrightarrow{AC}$
B. $\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{AC}$
C. $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}$
D. $\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{AC}$
Lời giải
Chọn D
Câu 3. Cho tam giác $ABC$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.Khẳng
định nào sau đây đúng
A. $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$
B. $3\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{IC}$
C. $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{2IC}$
D. $\overrightarrow{2BI}=\overrightarrow{IC}$
Lời giải
Chọn A
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $BI=CI$ và $\overrightarrow{BI}$
cùng hướng với $\overrightarrow{IC}$ do đó hai vectơ $\overrightarrow{BI}$,$\overrightarrow{IC}$
bằng nhau hay $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$.
Câu 4. Cho tam giác $ABC$. Gọi $I$ là
trung điểm của $AB$. Tìm điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.
A. $M$ là trung điểm của $BC$
B. $M$là trung điểm của $IC$
C. $M$ là trung điểm
của $IA$
D. $M$ là điểm trên cạnh
$IC$ sao cho $IM=2MC$
Lời giải
Chọn B
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow
2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow
\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow $$M$là trung điểm của $IC$.
Câu 5. Cho tam giác $OAB$
vuông cân tạ $O$ với $OA=OB=a$. Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{u}=\dfrac{21}{4}\overrightarrow{OA}-\dfrac{5}{2}\overrightarrow{OB}$
là:
A. $\dfrac{a\sqrt{140}}{4}$
B. $\dfrac{a\sqrt{321}}{4}$
C. $\dfrac{a\sqrt{520}}{4}$
D. $\dfrac{a\sqrt{541}}{4}$
Lời giải
Chọn D
Dựng
điểm $M,N$ sao cho: $\overrightarrow{OM}=\dfrac{21}{4}\overrightarrow{OA},\overrightarrow{ON}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{OB}$.
Khi đó: $\left| \overrightarrow{u} \right|=\left|
\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|=\left| \overrightarrow{NM}
\right|$$=MN=\sqrt{O{{M}^{2}}+O{{N}^{2}}}$$=\sqrt{{{\left( \dfrac{21a}{4} \right)}^{2}}+{{\left(
\dfrac{5a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{541}}{4}$.
Câu 6.
Cho ngũ giác $ABCDE$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm
các cạnh $AB,BC,CD,DE$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm các đoạn $MP$ và $NQ$.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}$
B. $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AE}$
C. $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AE}$
D. $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AE}$
Lời giải
Chọn C
Ta
có: $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MQ}$$+\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{PN}$
$\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EQ} \\ & \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DQ} \\ \end{align} \right.$
$\Rightarrow 2\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MQ}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD} \right.)$, $\overrightarrow{PN}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$
Suy
ra: $2\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}
\right)-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}\Rightarrow
\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AE}$.
Câu
7. Cho hình
vuông ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$.
A. $\left| \overrightarrow{u}
\right|=a\sqrt{5}$
B. $\left| \overrightarrow{u}
\right|=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
C. $\left| \overrightarrow{u}
\right|=3a\sqrt{5}$
D. $\left| \overrightarrow{u}
\right|=2a\sqrt{5}$
Lời giải
Đáp án A
$\overrightarrow{u}=4\left(
\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA} \right)-3\left(
\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB} \right)$$+\left(
\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC} \right)-2\left(
\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD} \right)$$=3\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
Trên OA lấy $A'$ sao cho $OA'=3OA$$\Rightarrow
\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA'}-\overrightarrow{OB'}$$\Rightarrow
BA'=\sqrt{O{{B}^{2}}+O{{A}^{2}}}=a\sqrt{5}$
Câu
8. Cho $AK$ và $BM$
là hai trung tuyến của $\Delta ABC$. Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AB}$
theo hai vectơ $\overrightarrow{AK}$ và $\overrightarrow{BM}$.
A. $\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\left(
\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM} \right)$
B. $\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{3}\left(
\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM} \right)$
C. $\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\left(
\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM} \right)$
D. $\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\left(
\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{BM} \right)$
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB}$$=\overrightarrow{AK}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BM}$
(vì $KM=\dfrac{1}{2}AB$)
$\Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}$$\Leftrightarrow
\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}$$\Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\left( \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}
\right)$
Câu
9. Cho hình
bình hành $ABCD$ có $E, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $AE$. Tìm các số $p$ và $q$ sao
cho $\overrightarrow{DN}=p\overrightarrow{AB}+q\overrightarrow{AC}$.
A. $p=\dfrac{5}{4};q=\dfrac{3}{4}$
B. $p=-\dfrac{4}{3};q=\dfrac{2}{3}$
C. $p=-\dfrac{4}{3};q=-\dfrac{2}{3}$
D. $p=\dfrac{5}{4};q=-\dfrac{3}{4}$
Lời giải
Đáp án D
$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}$$=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\left(
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)$$=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
Vậy $p=\dfrac{5}{4},q=-\dfrac{3}{4}$
Câu
10. Cho $5$ điểm
$A, B C, D, E$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=2\left(
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED} \right)$
B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\dfrac{1}{2}\left(
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED} \right)$
C. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\dfrac{3}{2}\left(
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED} \right)$
D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$
Lời giải
Đáp án D
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}$$=\left(
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} \right)+\overrightarrow{CD}+\left(
\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DA'} \right)$$=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}+\left(
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} \right)+\overrightarrow{DA}$
$=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}+\left(
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}
\right)=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$
Câu
11. Cho $\Delta
ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Chọn hệ thức đúng?
A. $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}$
B. $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$
C. $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$
D. $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$
Lời giải
Đáp án C
$2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$$=2\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}-3\overrightarrow{MC}$$=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$
Câu
12. Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm $A$B và $N$ trên cạnh $AC$ sao
cho $NC=2NA$. Xác định điểm $K$ sao cho $3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}$.
A. Điểm $K$ là trung điểm cạnh $AM$
B. Điểm $K$ là trung điểm cạnh $BN$
C. Điểm $K$ là trung điểm cạnh $BC$
D. Điểm $K$ là trung điểm cạnh $MN$
Lời giải
Đáp án D
$M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}$$\Leftrightarrow
3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow
6\overrightarrow{AM}+6\overrightarrow{AN}-12\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow
\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}
\right)$$\Rightarrow $ $K$
là trung điểm của $MN$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho hình
bình hành ${A B C D}$ và các điểm ${M, N, P}$ thoả mãn $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB},$$\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC},$${\overrightarrow{A
M}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A N}=\dfrac{1}{6}
\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A P}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{A D}}$.
Khi đó:
a) $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$
b) $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AD}.$
c) $\overrightarrow{MP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
d) Ba điểm ${M, N, P}$ thẳng hàng.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c) Sai
d)
Đúng
Ta có: ${\overrightarrow{A N}=\dfrac{1}{6} \overrightarrow{A
C}=\dfrac{1}{6}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})}$;
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$$=\dfrac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$=\dfrac{-1}{3}
\overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{6} \overrightarrow{A D} $;
${\overrightarrow{M P}=\overrightarrow{A
P}-\overrightarrow{A M}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{A D}-\dfrac{1}{2}
\overrightarrow{A B}}$
Ta có: ${\overrightarrow{M
N}=\dfrac{1}{6}(\overrightarrow{A D}-2 \overrightarrow{A B})=\dfrac{1}{6} \cdot
4 \cdot \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{A D}-2 \overrightarrow{A B})=\dfrac{2}{3}
\overrightarrow{M P}}$.
Suy ra ${\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{M P}}$ cùng
phương.
Vậy ba điểm ${M, N, P}$ thẳng hàng.
Câu
2. Cho tứ giác ${A
B C D}$. Gọi ${I, J}$ lần lượt là trung điểm ${A B}$ và ${C D, K}$ là trung điểm
${{IJ}, {M}}$ là điểm bất kì. Khi đó:
a) ${\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=2
\overrightarrow{I J}}$
b) ${\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{I
J}}$
c) $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MK}$
d) ${\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M
B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}=4 \overrightarrow{M K}}$
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Đúng
a) ${\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B
D}=\overrightarrow{A I}+\overrightarrow{I J}+\overrightarrow{J
C}+\overrightarrow{B I}+\overrightarrow{I J}+\overrightarrow{J D}}$
${=(\overrightarrow{A I}+\overrightarrow{B I})+2
\overrightarrow{I J}+(\overrightarrow{J C}+\overrightarrow{J D})=2
\overrightarrow{I J}}$
b) ${\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B
C}=\overrightarrow{A I}+\overrightarrow{I J}+\overrightarrow{J
D}+\overrightarrow{B I}+\overrightarrow{I J}+\overrightarrow{J C}}$
${=(\overrightarrow{A I}+\overrightarrow{B I})+2
\overrightarrow{I J}+(\overrightarrow{J D}+\overrightarrow{J C})=2
\overrightarrow{I J}}$
c) $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{MK}$
d) ${\overrightarrow{M
A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}+\overrightarrow{M D}=2
\overrightarrow{M I}+2 \overrightarrow{M J}}$$=2(\overrightarrow{M
I}+\overrightarrow{M J})=4 \overrightarrow{M K}$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho ${\Delta
A B C}$ vuông tại ${B}$ có $\widehat{A}=30{}^\circ ,AB=2$. Gọi ${I}$ là trung
điểm của ${A C}$. Hãy tính:${|\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}|}$
Trả lời: 2,31
Lời giải
Xét ${\Delta A B C}$ vuông tại $B:\tan A=\dfrac{BC}{AB}\Rightarrow
BC=AB\cdot \tan A=2\tan 30{}^\circ =\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$, $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}$$=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left(
\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
Ta có: $|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=|2\overrightarrow{BI}|=2|\overrightarrow{BI}|=2BI$$=2\cdot
\dfrac{AC}{2}=AC=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
Câu
2. Một chất điểm
A chịu tác dụng của ba lực $\overrightarrow{{{F}_{1}},}\overrightarrow{{{F}_{2}}},\overrightarrow{{{F}_{3}}}$
như hình vẽ biết chất điểm $A$ đang ở trạng thái cân bằng. Tính độ lớn của các
lực $\overrightarrow{{{F}_{2}}},\overrightarrow{{{F}_{3}}}$ biết rằng lực $\overrightarrow{{{F}_{1}}}$
có độ lớn 12N
Trả lời: 13,9
Lời giải
Đặt ${\vec{F}_1=\overrightarrow{A B},
\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{A D},
\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{A E}}$. Vẽ hình chữ nhật ${A B C D}$. Từ
giả thiết:
${{\vec{F}}_{1}}+\overrightarrow{{{F}_{2}}}+\overrightarrow{{{F}_{3}}}=\vec{0}\text{
}$(vật ở trạng tháng cân bằng)
$\Leftrightarrow
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\vec{0}\Leftrightarrow
\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AE}\text{. }$
Ta có $AB=12,\widehat{CAD}={{180}^{{}^\circ
}}-{{120}^{{}^\circ }}={{60}^{{}^\circ }}$$\Rightarrow
\overrightarrow{BAC}={{30}^{{}^\circ }}.$
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên: $BC=AB\tan {{30}^{{}^\circ
}}=12\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}=AD;$
Độ lớn lực ${\overrightarrow{F_2}}$ bằng ${4 \sqrt{3} {~N}}$.
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}$${A
C=\sqrt{A B^2+B C^2}=\sqrt{12^2+(4 \sqrt{3})^2}=8 \sqrt{3}}$. Do vậy ${\left|\overrightarrow{F_3}\right|=|\overrightarrow{A
E}|=A C=8 \sqrt{3} {~N}}$.
Câu
3. Một vật đang
ở vị trí ${O}$ chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là ${\vec{F}_1}$ và ${\overrightarrow{F_2}}$,
trong đó độ lớn lực ${\vec{F}_2}$ lớn gấp đôi độ lớn lực ${\vec{F}_1}$. Người
ta muốn vật dừng lại nên cần tác dụng vào vật hai lực ${\vec{F}_3, \vec{F}_4}$
có phương hợp với lực ${\vec{F}_1}$ các góc ${45^{\circ}}$ như hình vẽ, chúng
có độ lớn bằng nhau và bằng ${20 {~N}}$. Tìm độ lớn của mỗi lực ${\vec{F}_1,
\overrightarrow{F_2}}$.
Trả lời: ${\left|\vec{F}_1\right|=O
A=20 \sqrt{2} {~N},\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2\left|\vec{F}_1\right|=40
\sqrt{2} {~N}}$
Lời giải
Ta có : ${\overrightarrow{F_2}=-2 \vec{F}_1}$. Để vật trở về
trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng ${\overrightarrow{0}}$
$\Leftrightarrow
{{\vec{F}}_{1}}+{{\vec{F}}_{2}}+{{\vec{F}}_{3}}+{{\vec{F}}_{4}}=\vec{0}$$\Leftrightarrow
{{\vec{F}}_{1}}-2{{\vec{F}}_{1}}+{{\vec{F}}_{3}}+{{\vec{F}}_{4}}=\vec{0}$${\Leftrightarrow
\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3+\vec{F}_4=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow
\vec{F}_1-2 \vec{F}_1+\vec{F}_3+\vec{F}_4=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow
\overrightarrow{F_3}+\vec{F}_4=\vec{F}_1}$.
Đặt ${\vec{F}_1=\overrightarrow{O A},
\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{O B}, \vec{F}_3=\overrightarrow{O C},
\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{O D}}$.
Ta có: ${\vec{F}_3+\vec{F}_4=\vec{F}_1 \Leftrightarrow \overrightarrow{O
C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O A}}$. Do đó ${O C A D}$ là hình bình
hành.
Mặt khác: ${O C=O D=20}$ và ${\widehat{C O
D}=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}}$ nên ${O C A D}$ là hình vuông. Khi đó: $\left|
{{{\vec{F}}}_{1}} \right|=OA=20\sqrt{2}~N,$${\left|\vec{F}_1\right|=O A=20
\sqrt{2} {~N},\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2\left|\vec{F}_1\right|=40
\sqrt{2} {~N}}$.
