BÀI 1. DÃY SỐ
1.
Dãy số là gì?
Hàm số $u$
xác định trên tập hợp các số nguyên dương ${{\mathbb{N}}^{*}}$ được gọi là một dãy
số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là
$u:{{\mathbb{N}}^{*}}\to
\mathbb{R}$
$n\,\,\,\,\mapsto
{{u}_{n}}=u(n)$
Dãy số
trên được kí hiệu là $\left( {{u}_{n}} \right)$.
Dạng
khai triển của dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là: ${{u}_{1}};\,\,{{u}_{2}};\,\,\ldots
;\,\,{{u}_{n}};\,\,\ldots $
Chú
ý:
a) ${{u}_{1}}=u(1)$
gọi là số hạng đầu, ${{u}_{n}}=u(n)$ gọi là số hạng thứ $n$ (hay số hạng tổng
quát) của dãy số.
b) Nếu ${{u}_{n}}=C$
với mọi $n$, ta nói $\left( {{u}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi.
Hàm số $u$
xác định trên tập hợp $M=\{1;2;3;\ldots ;m\}$ thì được gọi là một dãy số
hữu hạn. Dạng khai triển của dãy số này là ${{u}_{1}},\,\,{{u}_{2}},\,\,\ldots
,\,\,{{u}_{m}}$, trong đó ${{u}_{1}}$ là số hạng đầu và ${{u}_{m}}$ là số hạng
cuối.
2.
Cách xác định dãy số
Thông
thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
Cách
1: Liệt kê các
số hạng (với các dãy số hữu hạn).
Cách
2: Cho công thức
của số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$.
Cách
3: Cho hệ thức
truy hồi, nghĩa là:
- Cho số
hạng thứ nhất ${{u}_{1}}$ (hoặc một vài số hạng đầu tiên);
- Cho một
công thức tính ${{u}_{n}}$ theo ${{u}_{n-1}}$ (hoặc theo vài số hạng đứng ngay
trước nó).
Cách
4: Cho bằng
cách mô tả.
3.
Dãy số tăng, dãy số giảm
Cho dãy
số $\left( {{u}_{n}} \right)$.
Dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ${{u}_{n+1}}>{{u}_{n}},\,\,\forall
n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ${{u}_{n+1}}<{{u}_{n}},\,\,\forall
n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Cách
1: Xét hiệu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$:
Nếu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}>0,\,\
\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$thì $({{u}_{n}})$ là dãy số tăng.
Nếu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}<0,\,\
\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì $({{u}_{n}})$ là dãy số giảm.
Cách
2: Khi ${{u}_{n}}>0,\,\
\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ta xét tỉ số $\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}$:
Nếu $\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}>1$
thì $({{u}_{n}})$ là dãy số tăng.
Nếu $\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}<1$
thì $({{u}_{n}})$ là dãy số giảm.
4.
Dãy số bị chặn
Dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một
số $M$ sao cho ${{u}_{n}}\le M,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một
số $m$ sao cho ${{u}_{n}}\ge m,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn
trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số $M$ và $m$ sao cho $m\le
{{u}_{n}}\le M,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Cho dãy số $({{u}_{n}})$ có số hạng tổng quát ${{u}_{n}}=\dfrac{2n+1}{n+2}$.
Số $\dfrac{167}{84}$ là số hạng thứ mấy?
Lời giải
Giả sử ${{u}_{n}}=\dfrac{167}{84}\Leftrightarrow \dfrac{2n+1}{n+2}=\dfrac{167}{84}$ $\Leftrightarrow 84(2n+1)=167(n+2)$ $\Leftrightarrow n=250$.
Vậy $\dfrac{167}{84}$ là số hạng thứ $250$ của dãy số $({{u}_{n}})$.
Câu 2. Cho dãy số $({{u}_{n}})$ biết $\left\{
\begin{align} & \ {{u}_{1}}=1 \\ & \ {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}+2}{{{u}_{n}}+1}
\\ \end{align} \right.$. Tìm số hạng ${{u}_{4}}$.
Lời giải
Ta có ${{u}_{2}}=\dfrac{{{u}_{1}}+2}{{{u}_{1}}+1}=\dfrac{1+2}{1+1}=\dfrac{3}{2}$; ${{u}_{3}}=\dfrac{{{u}_{2}}+2}{{{u}_{2}}+1}=\dfrac{\dfrac{3}{2}+2}{\dfrac{3}{2}+1}=\dfrac{7}{5}$; ${{u}_{4}}=\dfrac{{{u}_{3}}+2}{{{u}_{3}}+1}=\dfrac{\dfrac{7}{5}+2}{\dfrac{7}{5}+1}=\dfrac{17}{12}$.
Câu 3. Cho dãy số ${\left(u_n\right)}$
xác định bởi: ${\left\{\begin{array}{l}u_1=3 \\ u_{n+1}=2 u_n\end{array}(n \geq
1)\right.}$.
a) Chứng minh ${u_2=2.3 ;
u_3=2^2 \cdot 3 ; u_4=2^3 .3}$.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng
quát của dãy số ${\left(u_n\right)}$.
Lời giải
a) ${u_2=2 \cdot u_1=2.3}$; ${{u}_{3}}=2.{{u}_{2}}=2.2.3={{2}^{2}}.3$;
${{u}_{4}}=2.{{u}_{3}}={{2.2}^{2}}.3={{2}^{3}}.3$.
b) ${u_n=2^{n-1} \cdot 3}$
Câu 4. Một
chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau $1$ cột gỗ
(Hình 1). Gọi ${u_n}$ là số cột gỗ nằm ở lớp thứ ${n}$ tính từ trên xuống và
cho biết lớp trên cùng có $14$ cột gỗ. Hãy xác định dãy số ${\left(u_n\right)}$
bằng hai cách:
a) Viết công thức số hạng tổng
quát ${u_n}$.
b) Viết hệ thức truy hồi.
Lời giải
a) ${u_n=13+n}$.
b) ${\left\{\begin{array}{c}u_1=14
\\ u_n=u_{n-1}+1\end{array}\right.}$.
Câu 5. Tìm
${u_2, u_3}$ và dự đoán công thức số hạng tổng quát ${u_n}$ của dãy số: $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}=1 \\ {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{1+{{u}_{n}}}\,\,(n\ge
1) \\ \end{array} \right.$.
Lời giải
Ta có ${{u}_{2}}=\dfrac{1}{2};{{u}_{3}}=\dfrac{1}{3}$.
Dự đoán: ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{n}$.
Câu 6. Tìm $5$ số hạng đầu và tìm công thức tính
số hạng tổng quát ${{{u}_{n}}}$ theo $n$ của các dãy số sau:
a) ${\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=3 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+2 \\ \end{align}
\right.}$.
b) $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}} \\ \end{align}
\right.$.
Lời giải
a) Ta
có: ${{u}_{2}}={{u}_{1}}+2=3+2=5$; ${{u}_{3}}={{u}_{2}}+2=5+2=7$; ${{u}_{4}}={{u}_{3}}+2=7+2=9$; ${{u}_{5}}={{u}_{4}}+2=9+2=11$.
Từ
các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát ${{{u}_{n}}}$ có dạng: ${{u}_{n}}=2n+1,\forall
n\ge 1$.
b) Ta
có: ${{{u}_{2}}=2{{u}_{1}}=2.2=4={{2}^{2}}}$; ${{{u}_{3}}=2{{u}_{2}}=2.4=8={{2}^{3}}}$; ${{{u}_{4}}=2{{u}_{3}}=2.8=16={{2}^{4}}}$;${{{u}_{5}}=2{{u}_{4}}=2.16=32={{2}^{5}}}$.
Từ
các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát ${{{u}_{n}}}$ có dạng: ${{u}_{n}}={{2}^{n}},\forall
n\ge 1$
Câu 7. Xét
tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) ${\left(u_n\right)}$ với ${u_n=\dfrac{2
n-1}{n+1}}$;
b) ${\left(x_n\right)}$ với ${x_n=\dfrac{n+2}{4^n}}$;
c) ${\left(t_n\right)}$ với ${{t}_{n}}={{(-1)}^{n}}.{{n}^{2}}$.
Lời giải
a) Ta có: ${{u}_{n}}=\dfrac{2n-1}{n+1}=2-\dfrac{3}{n+1}$
$<{{u}_{n+1}}=2-\dfrac{3}{n+2},\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Vậy ${\left(u_n\right)}$ là dãy
số tăng.
b) Ta thấy các số hạng của dãy ${\left(x_n\right)}$
đều là số dương. Khi đó
$\dfrac{{{x}_{n+1}}}{{{x}_{n}}}=\dfrac{\dfrac{n+1+1}{{{4}^{n+1}}}}{\dfrac{n+1}{{{4}^{n}}}}$
$=\dfrac{n+2}{4.(n+1)}<1,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Suy ra ${x_{n+1}<x_n,
\forall n \in \mathbb{N}^*}$. Vậy ${\left(x_n\right)}$ là dãy số giảm.
c) Ta có: ${t_1=-1 ; t_2=4 ;
t_3=-9}$. Suy ra ${t_1<t_2, t_2>t_3}$.
Vậy ${\left(t_n\right)}$ không
là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.
Câu 8. Xét
tính tăng, giảm của dãy số ${\left(y_n\right)}$ với ${y_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$.
Lời giải
Ta có: ${{y}_{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
$=\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$;
${{y}_{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$;
Khi đó $\forall n\in
{{\mathbb{N}}^{*}},{{y}_{n+1}}<{{y}_{n}}$. Vậy dãy số ${\left(y_n\right)}$
là dãy số giảm.
Câu
9. Xét tính
tăng giảm của các dãy số sau:
a) Dãy số ${\left( {{u}_{n}}
\right)}$ với ${{{u}_{n}}=2{{n}^{3}}-5n+1}$.
b) Dãy số ${\left( {{u}_{n}}
\right)}$ với ${{u}_{n}}={{3}^{n}}-n$.
c) Dãy số ${\left( {{u}_{n}}
\right)}$ với ${{{u}_{n}}=\dfrac{n}{{{n}^{2}}+1}}$.
d) Dãy số ${\left( {{u}_{n}}
\right)}$ với ${{{u}_{n}}=\dfrac{\sqrt{n}}{{{2}^{n}}}}$.
Lời giải
a) Với mỗi $n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$, ta có: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$ ${=\left[
2{{\left( n+1 \right)}^{3}}-5\left( n+1 \right)+1 \right]-\left(
2{{n}^{3}}-5n+1 \right)}$
$=6{{n}^{2}}+6n-3$ ${=6{{n}^{2}}+3n+\left(
3n-3 \right)>0}$ (đúng).
Vậy dãy số ${\left( {{u}_{n}}
\right)}$ là một dãy số tăng.
b) Với mỗi $n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$, ta có: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$ $=\left[ {{3}^{n+1}}-\left(
n+1 \right) \right]-\left( {{3}^{n}}-n \right)$
${={{3.3}^{n}}-n-1-{{3}^{n}}+n}$
$={{2.3}^{n}}+{{3}^{n}}-{{3}^{n}}-1$
${={{2.3}^{n}}-1>0}$ (đúng) (vì $n\ge 1$)
Vậy dãy số ${\left( {{u}_{n}}
\right)}$ là một dãy số tăng.
c) Với
mỗi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, ta có:
${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{{{\left(
n+1 \right)}^{2}}+1}-\dfrac{n}{{{n}^{2}}+1}$ ${=\dfrac{\left( n+1 \right)\left(
{{n}^{2}}+1 \right)-n\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}+1 \right]}{\left[
{{\left( n+1 \right)}^{2}}+1 \right]\left( {{n}^{2}}+1 \right)}}$
${=\dfrac{{{n}^{3}}+n+{{n}^{2}}+1-\left(
{{n}^{3}}+2{{n}^{2}}+2n \right)}{\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}+1
\right]\left( {{n}^{2}}+1 \right)}}$ $=\dfrac{-{{n}^{2}}-n+1}{\left[ {{\left(
n+1 \right)}^{2}}+1 \right]\left( {{n}^{2}}+1 \right)}<0$.
(vì
$-{{n}^{2}}-n+1<0,\forall n\ge 1$ và $\left[ {{\left( n+1 \right)}^{2}}+1
\right]\left( {{n}^{2}}+1 \right)>0,\forall n\ge 1$).
Vậy
dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một dãy số giảm.
d) Do ${{u}_{n}}>0,\forall
n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Xét tỉ số:
$\dfrac{{{u}_{n}}}{{{u}_{n+1}}}=\dfrac{\sqrt{n}}{{{2}^{n}}}.\dfrac{{{2}^{n+1}}}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1$
(vì
$\dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1\Leftrightarrow \dfrac{4n}{n+1}>1$ ${\Leftrightarrow 4n>n+1\Leftrightarrow 3n>1}$ (đúng ${\forall
n\ge 1}$)).
Vậy
${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một dãy số giảm.
Câu 10. Xét
tính bị chặn của các dãy số sau:
a) ${\left(a_n\right)}$ với ${a_n=\cos
\dfrac{\pi}{n}}$;
b) ${\left(b_n\right)}$ với ${b_n=\dfrac{n}{n+1}}$.
Lời giải
a) Ta có: ${a_n=\cos \dfrac{\pi}{n}
\leq 1, \forall n \in \mathbb{N}^*}$. Vậy ${\left(a_n\right)}$ bị chặn trên.
${a_n=\cos \dfrac{\pi}{n}
\geq-1, \forall n \in \mathbb{N}^*}$. Vậy ${\left(a_n\right)}$ bị chặn dưới.
Suy ra dãy số ${\left(a_n\right)}$
bị chặn.
b) Ta có:
${b_n=\dfrac{n}{n+1}<1,
\forall n \in \mathbb{N}^*}$. Vậy ${\left(b_n\right)}$ bị chặn trên.
${b_n=\dfrac{n}{n+1}>0,
\forall n \in \mathbb{N}^*}$. Vậy ${\left(b_n\right)}$ bị chặn dưới.
Suy ra, dãy số ${\left(b_n\right)}$
bị chặn.
Câu 11. Xét
tính bị chặn của các dãy số sau:
a) ${\left(a_n\right)}$ với ${a_n=\sin
^2 \dfrac{n \pi}{3}+\cos \dfrac{n \pi}{4}}$;
b) ${\left(u_n\right)}$ với ${u_n=\dfrac{6
n-4}{n+2}}$.
Lời giải
a) ${\forall n \in
\mathbb{N}^*}$, ta có: $0\le {{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{3}\le 1$ và $-1\le \cos
\dfrac{n\pi }{4}\le 1$. Suy ra ${-1 \leq a_n \leq 2}$.
Vậy dãy số ${\left(a_n\right)}$
bị chặn.
b) ${u_n=\dfrac{6 n-4}{n+2}=6-\dfrac{16}{n+2}}$.
${u_n<6, \forall n \in
\mathbb{N}^*}$. Vậy dãy số ${\left(u_n\right)}$ bị chặn trên.
${u_n>-2, \forall n \in
\mathbb{N}^*}$. Vậy dãy số ${\left(u_n\right)}$ bị chặn dưới.
Suy ra, dãy số ${\left(u_n\right)}$
bị chặn
Câu 12. Cho
dãy số ${\left(u_n\right)}$ với ${u_n=\dfrac{2 n-1}{n+1}}$. Chứng minh $\left(
{{u}_{n}} \right)$ là dãy số tăng và bị chặn.
Lời giải
${{u}_{n}}=\dfrac{2n-1}{n+1}=2-\dfrac{3}{n+1}$.
Ta có ${\forall n \in
\mathbb{N}^*, u_{n+1}=2-\dfrac{3}{n+2}>u_n=2-\dfrac{3}{n+1}}$.
Vậy dãy số ${\left(u_n\right)}$
là dãy số tăng.
${u_n=2-\dfrac{3}{n+1}>-1,
\forall n \in \mathbb{N}^*}$. Vậy dãy số ${\left(u_n\right)}$ bị chặn dưới.
${u_n=2-\dfrac{3}{n+1}<2,
\forall n \in \mathbb{N}^*}$. Vậy dãy số ${\left(u_n\right)}$ bị chặn trên.
Suy ra dãy số ${\left(u_n\right)}$
bị chặn
Câu
13. Xét tính bị
chặn của các dãy số sau
a) ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{2{{n}^{2}}-1}$.
b) ${{u}_{n}}=3.\cos
\dfrac{nx}{3}$.
c) ${{u}_{n}}=2{{n}^{3}}+1$.
d) ${{u}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+2n}{{{n}^{2}}+n+1}$.
e) ${{u}_{n}}=n+\dfrac{1}{n}$.
Lời giải
a) Ta
có $2{{n}^{2}}-1\ge 1$ $\Rightarrow {{u}_{n}}\text{=}\dfrac{1}{2{{n}^{2}}-1}\le
\text{1,}\forall n\ge 1$. Vậy dãy số bị chặn trên bởi $1$.
b) Ta có
$-1\le \cos \dfrac{nx}{3}\le 1$ $\Rightarrow -3\le 3.\cos \dfrac{nx}{3}\le 3$.
Vậy
dãy số bị chặn dưới bởi $-3$; chặn trên bởi $3$.
c) Ta
có $2{{n}^{3}}+1\ge 3,\forall n\ge 1$. Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $3$.
d) Ta
có ${{u}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+2n}{{{n}^{2}}+n+1}$ $=1+\dfrac{n-1}{{{n}^{2}}+n+1}\ge
1$, $\forall n\ge 1$.
Vậy
dãy số bị chặn dưới bởi $1$.
e) Ta
có ${{u}_{n}}=n+\dfrac{1}{n}\ge 2\sqrt{n.\dfrac{1}{n}}=2$, $\forall n>0$. Vậy
dãy số bị chặn bởi $2$.
Câu
14. Xét tính
tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: ${{u}_{n}}=\dfrac{2n-1}{n+3}$.
Lời giải
Ta có: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{2n+1}{n+4}-\dfrac{2n-1}{n+3}$
$=\dfrac{2{{n}^{2}}+7n+3-2{{n}^{2}}-7n+4}{\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}$
$=\dfrac{7}{\left( n+4 \right)\left( n+3 \right)}>0,\forall n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$
Vậy ${\left( {{u}_{n}}
\right)}$ là dãy số tăng.
Ta có ${{u}_{n}}=\dfrac{2n-1}{n+3}=\dfrac{2(n+3)-7}{n+3}$
${=2-\dfrac{7}{n+3}}$, suy ra:
$\forall n\in
{{\mathbb{N}}^{*}},{{u}_{n}}<2$ nên ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ bị chặn
trên.
$\forall n\in
{{\mathbb{N}}^{*}},\,\,{{u}_{1}}=\dfrac{1}{4}\le {{u}_{n}}$ nên ${\left(
{{u}_{n}} \right)}$ bị chặn dưới.
Vậy ${\left( {{u}_{n}}
\right)}$ bị chặn.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1.
Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right),$ biết ${{u}_{n}}=\dfrac{2{{n}^{2}}-1}{{{n}^{2}}+3}.$
Tìm số hạng ${{u}_{5}}.$
A. ${{u}_{5}}=\dfrac{1}{4}.$
B. ${{u}_{5}}=\dfrac{17}{12}.$
C. ${{u}_{5}}=\dfrac{7}{4}.$
D. ${{u}_{5}}=\dfrac{71}{39}.$
Lời giải
Chọn C
Ta có ${{u}_{5}}=\dfrac{{{2.5}^{2}}-1}{{{5}^{2}}+3}=\dfrac{7}{4}$.
Câu 2. Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right),$ biết ${{u}_{n}}=\dfrac{2n+5}{5n-4}.$
Số $\dfrac{7}{12}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 6.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${{u}_{n}}=\dfrac{7}{12}\Leftrightarrow
\dfrac{2n+5}{5n-4}=\dfrac{7}{12}$ $\Leftrightarrow 24n+60=35n-28$ $\Leftrightarrow
11n=88\Leftrightarrow n=8$.
Câu
3. Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=\dfrac{n-2}{3n+1},\,n\ge
1.$ Tìm khẳng định sai.
A. ${{u}_{3}}=\dfrac{1}{10}.$
B. ${{u}_{10}}=\dfrac{8}{31}.$
C. ${{u}_{21}}=\dfrac{19}{64}.$
D. ${{u}_{50}}=\dfrac{47}{150}.$
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${{u}_{50}}=\dfrac{50-2}{3.50+1}=\dfrac{48}{151}.$
Câu 4. Cho dãy số $({{u}_{n}})$ biết ${{u}_{n}}=\dfrac{n+5}{n+2}$.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng.
B. Dãy số giảm.
C. Dãy số không
tăng, không giảm .
D. ${{u}_{n+1}}=\dfrac{n+5}{n+2}+1$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${{u}_{n}}=\dfrac{n+5}{n+2}=1+\dfrac{3}{n+2}$ $\Rightarrow
{{u}_{n+1}}=1+\dfrac{3}{n+3}$.
Xét hiệu ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{3}{n+3}-\dfrac{3}{n+2}$
$=\dfrac{-3}{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}<0,\forall n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$
Vậy $({{u}_{n}})$ là dãy số giảm.
Câu 5. Cho dãy số $({{u}_{n}})$ biết ${{u}_{n}}=\dfrac{{{5}^{n}}}{{{n}^{2}}}$.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng.
B. Dãy số giảm.
C. Dãy số không
tăng, không giảm.
D. Dãy số là dãy hữu
hạn.
Lời giải
Chọn A
Ta có ${{u}_{n}}=\dfrac{{{5}^{n}}}{{{n}^{2}}}>0,\forall
n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\Rightarrow {{u}_{n+1}}=\dfrac{{{5}^{n+1}}}{{{\left(
n+1 \right)}^{2}}}$.
Xét tỉ số $\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{5}^{n+1}}}{{{\left(
n+1 \right)}^{2}}}.\dfrac{{{n}^{2}}}{{{5}^{n}}}$ $=\dfrac{5{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}+2n+1}$
$=\dfrac{{{n}^{2}}+2n+1+4{{n}^{2}}-2n-1}{{{n}^{2}}+2n+1}$
$=1+\dfrac{2n\left( n-1
\right)+2{{n}^{2}}-1}{{{n}^{2}}+2n+1}>1,\ \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
Vậy $({{u}_{n}})$ là dãy số tăng.
Câu 6.
Cho dãy số $({{u}_{n}})$ biết ${{u}_{n}}=\dfrac{1}{3n+2}$.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng.
B. Dãy số giảm.
C. Dãy số không
tăng, không giảm.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{3\left(
n+1 \right)+2}-\dfrac{1}{3n+2}$ $=\dfrac{1}{3n+5}-\dfrac{1}{3n+2}$ $=-\dfrac{3}{\left(
3n+5 \right)\left( 3n+2 \right)}<0$.
Vậy ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}<0$
$\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}<{{u}_{n}},\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Câu 7. Cho dãy số $({{u}_{n}})$ biết ${{u}_{n}}=\dfrac{-1}{2n+3}$. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. Dãy số bị chặn.
B. Dãy số bị chặn
trên.
C. Dãy số bị chặn
dưới.
D. Không bị chặn
Lời giải
Chọn A
Ta có $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$: $2n+3\ge
5$ $\Rightarrow 0<\dfrac{1}{2n+3}\le \dfrac{1}{5}$ $\Rightarrow -\dfrac{1}{5}\le
\dfrac{-1}{2n+3}<0$ $\Rightarrow -\dfrac{1}{5}\le {{u}_{n}}<0$, $\forall
n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Suy ra
dãy số $({{u}_{n}})$ bị chặn.
Câu 8. Cho dãy số $({{u}_{n}})$ biết ${{u}_{n}}=\dfrac{{{n}^{3}}}{{{n}^{2}}+1}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số bị chặn.
B. Dãy số bị chặn trên.
C. Dãy số bị chặn dưới.
D. Dãy số không bị
chặn dưới.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${{u}_{n}}=\dfrac{{{n}^{3}}}{{{n}^{2}}+1}>0,\forall
n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\Rightarrow ({{u}_{n}})$ bị chặn dưới.
Câu 9. Xét tính bị chặn của dãy số sau: ${{u}_{n}}=\dfrac{2n+1}{n+2}$.
A. Bị chặn.
B. Không bị chặn.
C. Bị chặn trên.
D. Bị chặn dưới.
Lời giải
Chọn A
$\forall n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$, ta có $0<{{u}_{n}}=\dfrac{2n+1}{n+2}$
$<\dfrac{2n+4}{n+2}=\dfrac{2(n+2)}{n+2}=2$ nên dãy $({{u}_{n}})$ bị chặn.
Câu 10. Xét tính bị chặn của dãy số sau: ${{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}$.
A. Bị chặn.
B. Không bị chặn.
C. Bị chặn trên.
D. Bị chặn dưới.
Lời giải
Chọn A
$\forall n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$, ta có: $0<{{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}=\sqrt{\dfrac{{{n}^{2}}+2n+1}{{{n}^{2}}+1}}$
$=\sqrt{1+\dfrac{2n}{{{n}^{2}}+1}}\le \sqrt{1+\dfrac{2n}{2n}}=\sqrt{2}$ $\Rightarrow
({{u}_{n}})$ bị chặn.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho dãy số ${\left(u_n\right)}$
có số hạng tổng quát ${u_n=\dfrac{2 n+1}{n+2}}$.
a) Số hạng đầu tiên của dãy số là ${u_1=1}$.
b) Số hạng ${ u_2=\dfrac{5}{4} ; u_3=\dfrac{7}{5}}$.
c) Số hạng ${u_4=\dfrac{3}{2} ; u_5=\dfrac{11}{7}}$.
d) Số ${\dfrac{167}{84}}$ là số hạng thứ $252$ của
dãy số ${\left(u_n\right)}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
a) ${u_1=1}$.
b) ${{u}_{2}}=\dfrac{5}{4};{{u}_{3}}=\dfrac{7}{5}$.
c) ${{u}_{4}}=\dfrac{3}{2};{{u}_{5}}=\dfrac{11}{7}$.
d) Xét $\dfrac{2n+1}{n+2}=\dfrac{167}{84}$ $\Leftrightarrow
84(2n+1)=167(n+2)$ $\Leftrightarrow n=250$.
Vậy ${\dfrac{167}{84}}$ là số hạng thứ $250$ của dãy số ${\left(u_n\right)}$.
Câu
2. Cho dãy số ${\left(u_n\right)}$
có số hạng tổng quát ${u_n=\dfrac{n+1}{n+2}}$.
a) ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{(n+3)(n+2)}$.
b) ${{u}_{n+1}}<{{u}_{n}},\forall
n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
c) Dãy số ${\left(u_n\right)}$ là dãy
số giảm.
d) Dãy ${\left(u_n\right)}$ là dãy số
bị chặn.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
a) $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, xét ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{n+2}{n+3}-\dfrac{n+1}{n+2}$
$=\dfrac{{{n}^{2}}+4n+4-\left( {{n}^{2}}+4n+3 \right)}{(n+3)(n+2)}$ ${=\dfrac{1}{(n+3)(n+2)}>0}$.
b) Suy ra ${u_{n+1}>u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*}$.
c) Vậy dãy số ${\left(u_n\right)}$ là dãy số tăng.
d) Ta có: ${u_n=\dfrac{n+1}{n+2}>0, \forall n \in
\mathbb{N}^*}$.
Mặt khác: ${{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{(n+2)-1}{n+2}$
${=1-\dfrac{1}{n+2}<1, \forall n
\in \mathbb{N}^*}$.
Do đó: ${0<u_n<1, \forall n \in \mathbb{N}^*}$ nên dãy
${\left(u_n\right)}$ là dãy số bị chặn.
Câu
3. Cho dãy số ${\left(u_n\right)}$
có số hạng tổng quát ${u_n=n+\dfrac{1}{n}}$.
a) ${{u}_{n+1}}>{{u}_{n}},\forall
n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
b) Dãy số ${\left(u_n\right)}$ là dãy
số tăng.
c) ${{u}_{n}}\ge 1,\forall n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$.
d) Dãy số đã cho bị chặn trên.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Với mọi số nguyên dương ${n}$, ta có:
${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$ $=n+1+\dfrac{1}{n+1}-\left( n+\dfrac{1}{n}
\right)$ $=1-\dfrac{1}{(n+1)n}=\dfrac{(n+1)n-1}{(n+1)n}>0$ (vì $(n+1)n>1,\forall
n\ge 1$).
Suy ra ${u_{n+1}>u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*}$. Vì vậy
dãy số ${\left(u_n\right)}$ là dãy số tăng.
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $n$ và
${n, \dfrac{1}{n}}$, ta được:
$n+\dfrac{1}{n}\ge 2\sqrt{n\cdot \dfrac{1}{n}}=2$ hay ${{u}_{n}}\ge
2,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Vậy dãy số đã cho bị chặn dưới.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho dãy số ${\left(u_n\right)}$
với ${u_n=\dfrac{2 n+1}{n^2}}$. Hãy tính số hạng thứ $6$ của dãy số.
Trả lời: $0,36$
Lời giải
Ta có ${{u}_{6}}=\dfrac{2.6+1}{{{6}^{2}}}=\dfrac{13}{36}\approx
0,36$.
Câu 2. Cho
hình vuông ${A_1 B_1 C_1 D_1}$ có cạnh bằng $4$. Với mọi số nguyên dương ${n
\geq 2}$, gọi ${A_n, B_n, C_n, D_n}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh ${{A}_{n-1}}{{B}_{n-1}},$
${{B}_{n-1}}{{C}_{n-1}},$ ${{C}_{n-1}}{{D}_{n-1}},$ ${D_{n-1} A_{n-1}}$. Gọi ${S_n}$
là diện tích của tứ giác ${A_n B_n C_n D_n}$. Biết ${S_{12}}$ có dạng $\dfrac{1}{n}$.
Tính $\dfrac{n}{4}$
Trả lời: $8192$
Lời giải
Ta thấy mỗi tứ giác ${A_n B_n C_n D_n}$ là một hình vuông có
cạnh là ${A_n B_n}$.
Ta có: ${{A}_{1}}{{B}_{1}}=4,$ ${{A}_{2}}{{B}_{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}=2\sqrt{2},$
${A_3 B_3=\dfrac{1}{\sqrt{2}}
A_2 B_2=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 A_1 B_1=2, \ldots}$
Tổng quát: ${{A}_{n}}{{B}_{n}}={{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\right)}^{n-1}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ $={{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\right)}^{n-1}}.4={{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{n+3}}$.
Diện tích hình vuông ${A_n B_n C_n D_n}$ là ${S_n=\left(A_n
B_n\right)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+3}}$, với mọi $n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$.
Áp dụng với ${n=12}$ có: ${S_{12}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}=\dfrac{1}{32768}}$.
Khi đó $\dfrac{n}{4}=8192$.
