BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG
1. Cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu
hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng
đứng ngay trước nó với một số $d$ không đổi, nghĩa là:
${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d\text{;
}n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.
Số $d$ được gọi là công
sai của cấp số cộng.
Nhận xét:
Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$
là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với
cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong
dãy, tức là: ${{u}_{k}}=\dfrac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}\,\,(k\ge 2)$.
2. Số hạng tổng quát của cấp số
cộng
Nếu một cấp số cộng $\left(
{{u}_{n}} \right)$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công sai $d$ thì số hạng tổng
quát ${{u}_{n}}$ của nó được xác định bởi công thức: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+(n-1)d,\,\,n\ge
2$.
3. Tổng của n số hạng đầu
tiên của cấp số cộng
Giả sử $\left( {{u}_{n}}
\right)$ là một cấp số cộng có công sai $d$. Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots
+{{u}_{n}}$, khi đó:
${{S}_{n}}=\dfrac{n\left(
{{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}$ hay ${{S}_{n}}=\dfrac{n\left[
2{{u}_{1}}+(n-1)d \right]}{2}$ hay ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}+\dfrac{n(n-1)}{2}d$.
DẠNG TOÁN: TÌM CẤP SỐ CỘNG, CHỨNG
MINH CẤP SỐ CỘNG
Để chứng minh dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng, ta xét hiệu $d={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$.
Nếu $d$ là hằng số thì $\left(
{{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d$.
Nếu $d$ phụ thuộc vào $n$ thì $\left(
{{u}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.
DẠNG TOÁN: TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ
LIÊN QUAN CẤP SỐ CỘNG
Ta thiết lập một hệ phương trình
gồm hai ẩn ${{u}_{1}}$ và $d$. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được ${{u}_{1}}$
và $d$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp
số cộng. Xác định công sai của mỗi cấp số cộng đó.
a) ${3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; 23}$.
b) Dãy số ${\left(u_n\right)}$ với ${u_n=9 n-9}$.
c) Dãy số ${\left(v_n\right)}$ với ${v_n=a n+b}$, trong đó ${a}$
và ${b}$ là các hằng số.
Lời giải
a) Dãy số $3; 7; 11; 15; 19; 23$ là cấp số cộng với công sai
$d=4$.
b) Ta có: ${{u}_{n+1}}=9(n+1)-9$ ${=9
n-9+9=u_n+9}$.
Vậy dãy số ${\left(u_n\right)}$ là cấp số cộng có công sai ${{d}=9}$.
c) Ta có: ${{v}_{n+1}}=a(n+1)-b$ ${=a
n-b+a=v_n+a}$.
Vậy dãy số ${\left(v_n\right)}$ là cấp số cộng có công sai ${{d}={a}}$.
Câu
2. Trong các
dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng
đó:
a) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$
với ${{{u}_{n}}=19n-5}$ .
b) Dãy số ${\left( {{u}_{n}} \right)}$
với ${{{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1}$.
Lời
giải
a) Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$ ${=19\left(
n+1 \right)-5-\left( 19n-5 \right)=19}$. Vậy ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ là một
cấp số cộng với công sai ${d=19}$ và số hạng đầu ${{{u}_{1}}=19.1-5=14}$.
b) Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$ $={{\left(
n+1 \right)}^{2}}+\left( n+1 \right)+1-\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)$ ${=2n+2}$, phụ
thuộc vào $n$.
Vậy ${\left( {{u}_{n}} \right)}$ không
là cấp số cộng.
Câu 3. Cho cấp số cộng ${\left(u_n\right)}$
có số hạng đầu ${u_1=-3}$ và công sai ${d=2}$.
a) Tìm ${{u}_{12}}$.
b) Số $195$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
Lời giải
a) Ta có ${{u}_{n}}=-3+2\left( n-1 \right)=2n-5$.
Suy ra ${u_{12}=2.12-5=19}$.
b) Ta có ${u_n=2 n-5=195 \Leftrightarrow n=100}$.
Câu 4. Số đo ba góc của một tam giác
vuông lập thành cấp số cộng. Tìm số đo ba góc đó.
Lời giải
$3$ góc của tam giác lập thành cấp số cộng, ta gọi $3$ góc
đó là: $a;\text{ }a+d;\text{ }a+2d\text{ }\left( a,d\text{ }>\text{ }0
\right)$.
Ta có: $a+(a+d)+(a+2d)=180{}^\circ $ $\Leftrightarrow
3a+3d=180{}^\circ $ $\Leftrightarrow a+d=60{}^\circ \,\,\text{(1)}$.
Do tam giác đó là tam giác vuông nên có $1$ góc bằng $90{}^\circ
$. Suy ra $a+2d=90{}^\circ $ (2).
Từ (1) và (2), ta tính được $a=30{}^\circ , d=30{}^\circ $.
Vậy số đo $3$ góc là $30{}^\circ ;60{}^\circ ;90{}^\circ $.
Câu 5. Mặt cắt của một tổ ong có hình
lưới tạo bởi các ô hình lục giác đều. Từ một ô đầu tiên, bước thứ nhất, các ong
thợ tạo ra vòng $1$ gồm $6$ ô lục giác; bước thứ hai, các ong thợ sẽ tạo ra
vòng $2$ có $12$ ô bao quanh vòng $1$; bước thứ ba, các ong thợ sẽ tạo ra $18$
ô bao quanh vòng $2$; cứ thế tiếp tục (Hình $2$). Số ô trên các vòng theo thứ tự
có tạo thành cấp số cộng không? Nếu có, tìm công sai của cấp số cộng này.
Lời giải
Số ô trên các vòng là: ${u_1=6 ; u_2=12 ; u_3=18}$.
Ta thấy ${u_{n+1}=u_n+6}$.
Vậy các ô trên vòng tạo thành cấp số cộng có công sai là $6$.
Câu
6. Tìm $x$ để $3$
số ${10-3x,2{{x}^{2}}+3,7-4x}$ theo thứ tự đó lập thành $1$ cấp số cộng.
Lời giải
Theo tính chất cấp số cộng ta có: ${\left( 10-3x
\right)+\left( 7-4x \right)=2\left( 2{{x}^{2}}+3 \right)}$
$\Leftrightarrow 17-7x=4{{x}^{2}}+6$ $\Leftrightarrow
4{{x}^{2}}+7x-11=0$ ${\Leftrightarrow x=1\vee \text{ }x=-\dfrac{11}{4}}$.
Câu 7. a) Tính tổng $50$ số tự nhiên chẵn
đầu tiên.
b) Cho cấp số cộng ${\left(u_n\right)}$ có ${u_3+u_{28}=100}$.
Tính tổng $30$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
c) Cho cấp số cộng ${\left(v_n\right)}$ có ${S_6=18}$ và ${S_{10}=110}$.
Tính ${S_{20}}$.
Lời giải
a) Tổng $50$ số tự nhiên chẵn đầu tiên là: ${{S}_{50}}=\dfrac{50[2.0+(50-1)\cdot
2]}{2}=2450$.
b) Ta có ${{u}_{3}}+{{u}_{28}}={{u}_{1}}+2d+{{u}_{1}}+27d$ ${=u_1+u_1+29 d=u_1+u_{30}=100}$.
Suy ra ${{S}_{30}}=\dfrac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{30}}
\right)}{2}$ $=\dfrac{30.100}{2}=1500$.
c) Ta có ${{S}_{6}}=\dfrac{6\left( 2{{u}_{1}}+5d
\right)}{2}=18$ ${\Leftrightarrow 2
u_1+5 d=6}$.
${{S}_{10}}=\dfrac{10\left( 2{{u}_{1}}+9d \right)}{2}=110$ $\Leftrightarrow
2{{u}_{1}}+9d=22$.
Suy ra ${u_1=-7 ; d=4}$.
Khi đó ${{S}_{20}}=\dfrac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d
\right)}{2}=620$.
Câu 8. Một rạp hát có $20$ hàng ghế xếp
theo hình quạt. Hàng thứ nhất có $17$ ghế, hàng thứ hai có $20$ ghế, hàng thứ
ba có $23$ ghế,... cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng (Hình $4$).
a) Tính số ghế có ở hàng cuối cùng.
b) Tính tổng số ghế có trong rạp.
Lời giải
a) Ta có: ${u_1=17 ; u_2=20 ; u_3=23}$.
Suy ra ${{d}=3}$ và ${{u}_{n}}=17+(n-1).3=3n+14$.
Khi đó ${u_{20}=3.20+14=74}$.
b) Ta có ${S_{20}=\dfrac{20(17+74)}{2}=910}$.
Câu 9. Một người muốn mua một thanh gỗ
đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các
thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là ${45 {~cm}, 43
{~cm}}$, ${41 {~cm}, \ldots, 31 {~cm}}$.
a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều
dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể.
Lời giải
a) Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu
là $45$, công sai là $-2$.
${{u}_{n}}=45-2\left( n-1 \right)=47-2n$.
Khi ${u_n=31 \Leftrightarrow n=8}$.
Vậy cái thang có $8$ bậc.
b) ${S_8=\dfrac{8 \cdot(45+31)}{2}=304}$.
Vậy chiều dài thanh gỗ là $304$ cm.
Câu 10. Tìm số hạng đầu và công sai của
cấp số cộng ${\left(u_n\right)}$, biết:
a) ${\left\{\begin{array}{l}u_3-u_1=20 \\
u_2+u_5=54\end{array}\right.}$
b) $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{5}}-{{u}_{2}}=3 \\
{{u}_{8}}.{{u}_{3}}=24 \\\end{array}
\right.$
c) $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=14 \\ & {{S}_{12}}=129 \\ \end{align} \right.$
d) $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{6}}=8 \\ &
u_{2}^{2}+u_{4}^{2}=16 \\ \end{align} \right.$
e) ${\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}-{{u}_{7}}=-8 \\ & {{u}_{2}}.{{u}_{7}}=75 \\ \end{align}
\right.}$
Lời giải
a) $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{3}}-{{u}_{1}}=20 \\
{{u}_{2}}+{{u}_{5}}=54 \\\end{array}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+2d-{{u}_{1}}=20 \\
{{u}_{1}}+d+{{u}_{1}}+4d=54 \\\end{matrix}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} d=10 \\ {{u}_{1}}=2
\\\end{array} \right.$.
b) $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{5}}-{{u}_{2}}=3 \\
{{u}_{8}}.{{u}_{3}}=24 \\\end{array}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+4d-{{u}_{1}}-d=3 \\
\left( {{u}_{1}}+7d \right)\left( {{u}_{1}}+2d \right)=24 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix} d=1 \\
{{u}_{1}}=1 \\\end{matrix}
\right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix}
d=1 \\ {{u}_{1}}=-10 \\\end{matrix} \right.$.
c) $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=14 \\ & {{S}_{12}}=129 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} &
{{u}_{1}}+2d+{{u}_{1}}+4d=14 \\ &
6\left( {{u}_{1}}+{{u}_{12}} \right)=129 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} &
2{{u}_{1}}+6d=14 \\ &
12{{u}_{1}}+66d=129 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=\dfrac{5}{2} \\ & d=\dfrac{3}{2} \\ \end{align} \right.$.
d) $\left\{ \begin{align} & {{u}_{6}}=8 \\ & u_{2}^{2}+u_{4}^{2}=16 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+5d=8 \\ & {{\left( {{u}_{1}}+d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+3d \right)}^{2}}=16 \\ \end{align} \right.$ ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=8-5d \\ & {{\left( 8-5d+d \right)}^{2}}+{{\left( 8-5d+3d \right)}^{2}}=16 \\ \end{align} \right.}$
${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=8-5d \\ & {{\left( 8-4d \right)}^{2}}+{{\left(
8-2d \right)}^{2}}=16\text{ }\left( *
\right) \\ \end{align} \right.}$
Giải ${\left( * \right)}$: $20{{d}^{2}}-96d+112=0\Leftrightarrow
d=\dfrac{14}{5}$ hoặc $d=2$.
${d=\dfrac{14}{5}\Rightarrow {{u}_{1}}=-6}$; ${d=2\Rightarrow
{{u}_{1}}=-2}$.
e) $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}-{{u}_{7}}=-8 \\ & {{u}_{2}}.{{u}_{7}}=75 \\ \end{align}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}+2d-\left( {{u}_{1}}+6d \right)=-8 \\ & \left( {{u}_{1}}+d \right)\left(
{{u}_{1}}+6d \right)=75 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -4d=-8 \\ & \left( {{u}_{1}}+d \right)\left(
{{u}_{1}}+6d \right)=75 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & d=2 \\ & \left( {{u}_{1}}+2 \right)\left(
{{u}_{1}}+12 \right)=75\text{ }\left( *
\right) \\ \end{align} \right.$
Giải $\left( * \right)\Leftrightarrow
{{u}_{1}}^{2}+14{{u}_{1}}-51=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{u}_{1}}=3 \\ & {{u}_{1}}=-17 \\ \end{align} \right.$.
Vậy ${\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=3 \\ & d=2 \\
\end{align} \right.}$ hoặc $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=-17 \\ & d=2 \\ \end{align} \right.$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng?
a) Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=4n$.
b) Dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=2{{n}^{2}}+1$.
b) Dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ với ${{w}_{n}}=\dfrac{n}{3}-7$.
d) Dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ với ${{t}_{n}}=\sqrt[{}]{5}-5n$.
A. $4$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $3$.
Lời giải
Chọn D
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=4n$ có ${{u}_{n+1}}=4\left(
n+1 \right)=4n+4$ $\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+4$, $\forall n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$ $\Rightarrow $ dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số
cộng với công sai $d=4$.
Dãy
số $\left( {{v}_{n}} \right)$ với ${{v}_{n}}=2{{n}^{2}}+1$ có ${{v}_{1}}=3$, ${{v}_{2}}=9$,
${{v}_{3}}=19$ nên dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.
Dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ với ${{w}_{n}}=\dfrac{n}{3}-7$ có ${{w}_{n+1}}=\dfrac{n+1}{3}-7$
$=\dfrac{n}{3}-7+\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+\dfrac{1}{3}$,
$\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\Rightarrow $ dãy số $\left( {{w}_{n}}
\right)$ là cấp số cộng với công sai $d=\dfrac{1}{3}$.
Dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ với ${{t}_{n}}=\sqrt[{}]{5}-5n$ có ${{t}_{n+1}}=\sqrt[{}]{5}-5n-5$
$\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}-5$, $\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ $\Rightarrow $dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=-5$.
Vậy có $3$ dãy số là cấp số cộng.
Câu
2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng?
A. $\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2};\dfrac{9}{2}$.
B. $1;1;1;1;1$.
C. $-8;-6;-4;-2;0$.
D. $3;1;-1;-2;-4$.
Lời giải
Chọn D
Vì ${{u}_{2}}={{u}_{1}}+\left(
-2 \right);{{u}_{4}}={{u}_{3}}+\left( -1 \right)$.
Câu 3. Cho
một cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{3}$, ${{u}_{8}}=26.$
Tìm công sai $d$.
A. $d=\dfrac{11}{3}$.
B. $d=\dfrac{10}{3}$.
C. $d=\dfrac{3}{10}$.
D. $d=\dfrac{3}{11}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có ${{u}_{8}}={{u}_{1}}+7d$
$\Leftrightarrow 26\,=\dfrac{1}{3}+7d$ $\Leftrightarrow d=\dfrac{11}{3}$.
Câu
4. Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có
${{u}_{1}}=3$ và công sai $d=4$. Biết tổng $n$ số hạng đầu của dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ là ${{S}_{n}}=253$. Tìm $n$.
A. $9$.
B. $11$.
C. $12$.
D. $10$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${{S}_{n}}=\dfrac{n\left( 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d
\right)}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{n\left( 2.3+\left( n-1 \right).4
\right)}{2}=253$
$\Leftrightarrow
4{{n}^{2}}+2n-506=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=11 \\ & n=-\dfrac{23}{2}\left( L \right) \\ \end{align}
\right.$.
Câu 5. Cho
cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{5}}=-15$, ${{u}_{20}}=60$. Tổng
của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:
A. ${{S}_{10}}=-125$.
B. ${{S}_{10}}=-250$.
C. ${{S}_{10}}=200$.
D. ${{S}_{10}}=-200$.
Lời giải
Chọn A
Gọi
${{u}_{1}}$, $d$ lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
Ta
có: $\left\{ \begin{align} &
{{u}_{5}}=-15 \\ & {{u}_{20}}=60 \\ \end{align}
\right.$ $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}+4d=-15 \\ & {{u}_{1}}+19d=60 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=-35 \\ & d=5 \\
\end{align} \right.$.
Vậy
${{S}_{10}}=\dfrac{10}{2}.\left( 2{{u}_{1}}+9d \right)$ $=5.\left[ 2.\left( -35
\right)+9.5 \right]$ $=-125$.
Câu 6. Cho
cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ biết ${{u}_{5}}=18$ và $4{{S}_{n}}={{S}_{2n}}$.
Tìm số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}$và công sai $d$ của cấp số cộng.
A. ${{u}_{1}}=2$; $d=4$.
B. ${{u}_{1}}=2$; $\,d=3$.
C. ${{u}_{1}}=2$; $d=2$.
D. ${{u}_{1}}=3$; $d=2$.
Lời giải
Chọn A
Ta
có: ${{u}_{5}}=18\Leftrightarrow {{u}_{1}}+4d=18$ $\left( 1 \right)$.
$4{{S}_{n}}={{S}_{2n}}$
$\Leftrightarrow 4\left[ n{{u}_{1}}+\dfrac{n\left( n-1 \right)d}{2} \right]$ $=\left[
2n{{u}_{1}}+\dfrac{2n\left( 2n-1 \right)d}{2} \right]$
$\Leftrightarrow
4{{u}_{1}}+2nd-2d=2{{u}_{1}}+2nd-d$
$\Leftrightarrow
2{{u}_{1}}-d=0$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left(
1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra ${{u}_{1}}=2$;$d=4$.
Câu
7. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-2$
và công sai $d=3$. Tìm số hạng ${{u}_{10}}$.
A. ${{u}_{10}}=-{{2.3}^{9}}$.
B. ${{u}_{10}}=25$.
C. ${{u}_{10}}=28$.
D. ${{u}_{10}}=-29$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${{u}_{10}}={{u}_{1}}+9d$
$=-2+9.3=25$.
Câu 8. Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$, $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ có
số hạng tổng quát ${{u}_{n}}=1-3n$. Tổng của $10$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng
bằng
A. $-59048$.
B. $-59049$.
C. $-155$.
D. $-310$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${{u}_{n}}=1-3n$ $\Rightarrow $ ${{u}_{1}}=1-3.1=-2$ và ${{u}_{10}}=1-3.10=-29$.
Khi đó ${{S}_{10}}$ $=\dfrac{10\left( {{u}_{1}}+{{u}_{10}}
\right)}{2}=-155$.
Câu 9. Viết ba số xen giữa $2$ và $22$ để ta được một cấp số cộng
có $5$ số hạng.
A. $6$, $12$,
$18$.
B. $8$, $13$,
$18$.
C. $7$, $12$,
$17$.
D. $6$, $10$,
$14$.
Lời giải
Chọn C
Xem
cấp số cộng cần tìm là $\left( {{u}_{n}} \right)$ với: $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=2 \\ &
{{u}_{5}}=22 \\ \end{align} \right.$. Suy ra: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=2 \\ & d=5 \\ \end{align} \right.$.
Vậy
cấp số cộng cần tìm là $\left( {{u}_{n}} \right)$: $2$,$7$, $12$, $17$, $22$.
Câu 10. Cho
cấp số cộng có tổng $n$ số hạng đầu là ${{S}_{n}}=3{{n}^{2}}+4n$, $n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$. Số hạng thứ $10$ của cấp số cộng là:
A. ${{u}_{10}}=55$.
B. ${{u}_{10}}=67$.
C. ${{u}_{10}}=61$.
D. ${{u}_{10}}=59.$
Lời giải
Chọn C
Từ
giả thiết ta có ${{S}_{1}}={{u}_{1}}={{3.1}^{2}}+4.1=7$.
Ta
có ${{S}_{n}}=3{{n}^{2}}+4n=\dfrac{n\left( 8+6n \right)}{2}$ $=\dfrac{n\left(
7+6n+1 \right)}{2}$ $\Rightarrow {{u}_{n}}=6n+1$ $\Rightarrow {{u}_{10}}=61$.
Câu
11. Cho các số dương $a,\,\,b,\,\,c$. Nếu các số $\dfrac{1}{b+c},\,\,\dfrac{1}{c+a},\,\,\dfrac{1}{a+b}$
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì các số nào sau đây theo thứ tự cũng lập
thành một cấp số cộng?
A. $a,\,\,b,\,\,c.$
B. ${{a}^{2}},\,\,{{b}^{2}},\,\,{{c}^{2}}.$
C. ${{a}^{3}},\,\,{{b}^{3}},\,\,{{c}^{3}}.$
D. ${{a}^{4}},\,\,{{b}^{4}},\,\,{{c}^{4}}.$
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{2}{c+a}\Leftrightarrow
{{a}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{b}^{2}}$ nên ${{a}^{2}},\,\,{{b}^{2}},\,\,{{c}^{2}}$ là
CSC.
Câu
12. Cho cấp số cộng $({{u}_{n}})$ thỏa: $\left\{ \begin{align} & {{u}_{5}}+3{{u}_{3}}-{{u}_{2}}=-21 \\ & 3{{u}_{7}}-2{{u}_{4}}=-34 \\ \end{align}
\right.$.Tính $S={{u}_{4}}+{{u}_{5}}+...+{{u}_{30}}$
A. $S=-1286$.
B. $S=-1276$.
C. $S=-1242$.
D. $S=-1222$.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết bài toán, ta có: $\left\{
\begin{align} &
{{u}_{1}}+4d+3({{u}_{1}}+2d)-({{u}_{1}}+d)=-21 \\ & 3({{u}_{1}}+6d)-2({{u}_{1}}+3d)=-34 \\ \end{align}
\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 7\\{u_1} + 12d = - 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right.$
Ta
có: $S={{u}_{4}}+{{u}_{5}}+...+{{u}_{30}}=\dfrac{27}{2}\left[ 2{{u}_{4}}+26d
\right]$
$=27\left(
{{u}_{1}}+16d \right)=-1242$.
Câu 13. Người ta trồng $3003$ cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ
nhất trồng $1$ cây, hàng thứ hai trồng $2$ cây, hàng thứ ba trồng $3$ cây, …,
cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là
A. $77$.
B. $79$.
C. $76$.
D. $78$.
Lời giải
Chọn A
Gọi số cây ở hàng thứ $n$ là ${{u}_{n}}$.
Ta có: ${{u}_{1}}=1$, ${{u}_{2}}=2$, ${{u}_{3}}=3$,
… và $S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}}=3003$.
Nhận xét dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp
số cộng có ${{u}_{1}}=1$, công sai $d=1$.
Khi đó $S=\dfrac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1
\right)d \right]}{2}$ $=3003$.
Suy ra $\dfrac{n\left[ 2.1+\left( n-1 \right)1
\right]}{2}=3003$ $\Leftrightarrow n\left( n+1 \right)=6006$ $\Leftrightarrow
{{n}^{2}}+n-6006=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=77 \\ & n=-78 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
n=77$ (vì $n\in \mathbb{N}$).
Vậy số hàng cây được trồng là $77$.
Câu 14. Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp
có quy luật được thể hiện như trong hình sau:
Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành
hình tháp có $10$ tầng?
A. $69.$
B. $39.$
C. $420.$
D. $210.$
Lời giải
Chọn D
Ta
có: Số que diêm để xếp được tầng đế của tháp là một cấp số cộng với ${{u}_{1}}=3;d=4$.
Suy
ra số que diêm để xếp được tầng đế của tháp $10$ tầng là ${{u}_{10}}={{u}_{1}}+9d=39$.
Từ
đó số que diêm để xếp được hình tháp $10$ tầng là ${{S}_{10}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{10}}$
$=\dfrac{10\left( 3+39 \right)}{2}=210$.
Câu 15.
Một gia đình cần khoan một cái giếng để
lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là $80.000$
đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm $5.000$ đồng so với
giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống $50\text{m}$ mới có
nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
A. $4.000.000$
đồng.
B. $10.125.000$ đồng.
C. $52.500.000$ đồng.
D. $25.500.000$ đồng.
Lời giải
Chọn B
Áp
dụng công thức tính tổng của $n$ số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}=80.000$,
công sai $d=5.000$ ta được số tiền phải trả khi khoan đến mét thứ $n$ là
${{S}_{n}}=\dfrac{n\left[
2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}$.
Khi
khoan đến mét thứ $50$, số tiền phải trả là
${{S}_{50}}=\dfrac{50\left[
2.80000+\left( 50-1 \right).5000 \right]}{2}$ $=10.125.000$ đồng.
Câu 16.
Trong hội chợ tết Mậu Tuất $2018$, một công ty sữa muốn
xếp $900$ hộp
sữa theo số lượng $1$, $3$, $5$, $...$ từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi
hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp - mô hình như hình bên). Hàng dưới
cùng có bao nhiêu hộp sữa?
A.
$59$.
B.
$30$.
C.
$61$.
D.
$57.$
Lời giải
Chọn A
${{S}_{n}}=\dfrac{n}{2}\left[
2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]$ $\Leftrightarrow 900=\dfrac{n}{2}\left[
2.1+\left( n-1 \right).2 \right]$ $\Leftrightarrow {{n}^{2}}=900$ $\Rightarrow
n=30.$
Vậy ${{u}_{30}}=1+29.2=59.$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho cấp số cộng
${\left(u_n\right)}$ có số hạng đầu ${u_1=\dfrac{3}{2}}$, công sai ${d=\dfrac{1}{2}}$.
a) Công thức cho số hạng tổng
quát ${{u}_{n}}=1+\dfrac{n}{3}$.
b) $5$ là số hạng thứ $8$ của cấp
số cộng đã cho.
c) ${\dfrac{15}{4}}$ một số hạng
của cấp số cộng đã cho.
d) Tổng $100$ số hạng đầu của cấp
số cộng ${\left(u_n\right)}$ bằng $2620$.
Lời
giải
a)
Sai
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Sai
a) Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+(n-1)d$
${=\dfrac{3}{2}+(n-1) \cdot \dfrac{1}{2}=1+\dfrac{n}{2}}$.
b) Xét ${5=1+\dfrac{n}{2}
\Rightarrow n=8 \in \mathbb{N}^*}$; suy ra $5$ là số hạng thứ $8$ của cấp số cộng
đã cho.
c) Xét ${\dfrac{15}{4}=1+\dfrac{n}{2}
\Rightarrow n=\dfrac{11}{2} \notin \mathbb{N}^* ;}$ suy ra ${\dfrac{15}{4}}$
không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Tổng $100$ số hạng đầu của cấp
số cộng là:
${S_{100}=\dfrac{100\left[2 \cdot \dfrac{3}{2}+(100-1)
\cdot \dfrac{1}{2}\right]}{2}=2625 \text {. }}$
Câu
2. Cho cấp số cộng
${\left(u_n\right)}$ có công sai ${d<0}$ thoả mãn ${\left\{\begin{array}{l}u_1+u_7=26
\\ u_2^2+u_6^2=466\end{array}\right.}$.
a) Số hạng ${{u}_{1}}=25$.
b) Công sai $d=-3$.
c) Số hạng ${{u}_{10}}=-11$.
d) Số hạng ${{u}_{2024}}=-8067$.
Lời
giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Đúng
a) b) Ta
có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}+{{u}_{7}}=26 \\ u_{2}^{2}+u_{6}^{2}=466 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2{{u}_{1}}+6d=26 \\ {{\left( {{u}_{1}}+d \right)}^{2}}+{{\left(
{{u}_{1}}+5d \right)}^{2}}=466 \\\end{array}
\right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=13-3d\,\,(1) \\
{{\left( {{u}_{1}}+d \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}+5d
\right)}^{2}}=466\,\,(2) \\\end{array}
\right.$
Thay (1) vào (2), ta được: ${{(13-2d)}^{2}}+{{(13+2d)}^{2}}=466$
${\Leftrightarrow 8 d^2+338=466}$ $\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{*{35}{l}} d=4 \\
d=-4 \\\end{array} \right.$.
Vì $d<0$ nên ta nhận $d=-4$,
khi đó ${{u}_{1}}=25$.
c) d) Ta có: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+(n-1)d$
${=25+(n-1)(-4)=29-4 n}$.
Suy ra ${{u}_{10}}=-11$ và ${{u}_{2024}}=-8067$.
Câu
3. Cho cấp số cộng
${\left(u_n\right)}$ thoả mãn ${\left\{\begin{array}{l}u_1-u_3+u_5=15 \\
u_1+u_6=27\end{array}\right.}$.
a) Số hạng ${{u}_{1}}=21$.
b) Công sai của cấp
số cộng bằng $-2$.
c) Số hạng ${{u}_{11}}=-9$.
d) Số $-6048$ là số
hạng thứ $2024$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Đúng
a) b) Ta có: $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=15 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{6}}=27 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+\left( {{u}_{1}}+4d
\right)=15 \\ {{u}_{1}}+\left( {{u}_{1}}+4d \right)=27 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}+2d=15 \\ 2{{u}_{1}}+5d=27 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}=21 \\ d=-3 \\\end{array}
\right. \right.$.
c) Suy ra ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+(n-1)d$
$=21+(n-1).(-3)=-3n+24$.
Vậy ${{u}_{11}}=-9$.
d) Ta có $-6048=-3n+24\Rightarrow
n=2024$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Tìm số hạng
đầu ${u_1}$ của cấp số cộng ${\left(u_n\right)}$ biết rằng: ${\left\{\begin{array}{l}u_1-u_3+u_5=15
\\ u_1+u_6=27\end{array}\right.}$.
Trả lời:
$21$
Lời
giải
Ta có: $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=15 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{6}}=27 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+\left( {{u}_{1}}+4d
\right)=15 \\ {{u}_{1}}+\left( {{u}_{1}}+5d
\right)=27 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}+2d=15 \\ 2{{u}_{1}}+5d=27 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}=21 \\ d=-3 \\\end{array}.
\right. \right.$
Vậy cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1=21}$.
Câu
2. Trong một
khán phòng có tất cả $30$ dãy ghế, dãy đầu tiên có $15$ ghế, các dãy liền sau
nhiều hơn dãy trước đó $4$ ghế, hỏi khán phòng đó có tất cả bao nhiêu ghế?
Trả lời: $2190$
Lời
giải
Gọi ${u_1, u_2, \ldots, u_{30}}$
lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,..., dãy ghế thứ ba
mươi.
Khi đó, ${\left(u_n\right)}$ là
một cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1=15}$, công sai ${d=4}$ (trong đó ${1 \leq
n \leq 30}$ ).
Gọi ${S_{30}}$ là tổng số ghế
trong khán phòng. Ta có:
${{S}_{30}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots
+{{u}_{30}}$ $=\dfrac{30}{2}\left[ 2{{u}_{1}}+(30-1)d \right]$ ${=15(2.15+29.4)=2190}$.
Câu
3. Một cơ sở
khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là $100$
nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm $30$ nghìn
đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người cần khoan một giếng sâu ${20
{~m}}$ để lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc
khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bao
nhiêu nghìn đồng?
Trả lời: $7700$
Lời
giải
Gọi ${u_n}$ là giá của mét khoan
thứ ${n}$, trong đó ${1 \leq n \leq 20}$.
Khi đó, ${\left(u_n\right)}$ là cấp
số cộng có số hạng đầu ${u_1=100}$ và công sai ${d=30}$.
Số tiền mà gia đình phải thanh
toán cho cơ sở khoan giếng là:
${{S}_{20}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots
+{{u}_{20}}$ $=\dfrac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}$ $=\dfrac{20(2.100+19.30)}{2}=7700$
(nghìn đồng).
Câu
4. Một chiếc đồng
hồ đánh chuông, kể từ thời điểm $0$ (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông
được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một
ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?
Trả lời: $300$
Lời giải
Kể từ lúc $1$ (giờ) đến $24$ (giờ)
số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có $24$ số hạng với ${u_1=1}$,
công sai ${d=1}$.
Do đó tổng số tiếng chuông đánh
trong $1$ ngày là: $S={{S}_{24}}=\dfrac{24.\left( {{u}_{1}}+{{u}_{24}}
\right)}{2}$ $=\dfrac{24.(1+24)}{2}=300$.
Vậy một ngày đồng hồ đó đánh $300$
tiếng chuông.
