BÀI 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1.
Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,\,\,y$ là bất phương trình
có một trong các dạng
$ax+by+c<0;\,\,ax+by+c>0;\,\,ax+by+c\le
0;\,\,ax+by+c\ge 0$,
trong đó $a,\,\,b,\,\,c$ là những
số cho trước; $a,\,\,b$ không đồng thời bằng 0 và $x,\,\,y$ là các ẩn.
2.
Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Xét bất
phương trình $ax+by+c<0$.
Mỗi cặp số $\left(
{{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thỏa mãn $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c<0$ được gọi
là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
Chú
ý: Nghiệm của các bất phương trình $ax+by+c>0,\,\,ax+by+c\le
0,\,\,ax+by+c\ge 0$ được định nghĩa tương tự.
3.
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Cho bất
phương trình $ax+by+c<0$ (*) (hoặc $ax+by+c>0;\,\,ax+by+c\le
0;\,\,ax+by+c\ge 0$).
Trong mặt
phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp tất cả các điểm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$
là nghiệm của bất phương trình (*) được gọi là miền nghiệm của bất
phương trình đã cho.
Người ta chứng
minh được: Trong mặt
phẳng toạ độ $Oxy$, đường thẳng $d:ax+by+c=0$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt
phẳng (không kể bờ $d$) là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c>0$, nửa
mặt phẳng còn lại (không kể bờ $d$) là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c<0$.
Các bước biểu diễn miền nghiệm của
bất phương trình $ax+by+c<0$ (*) trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$:
Bước
1: Vẽ đường thẳng $d:ax+by+c=0$
|
$x$ |
|
|
$y$ |
|
Bước
2: Lấy điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ tùy ý
không thuộc $d$ (thường lấy gốc tọa độ $O\left( 0;0 \right)$ nếu $d$ không đi qua
$O$). Thay $x={{x}_{0}},\,\,y={{y}_{0}}$ vào vế
trái của BPT (*) kiểm tra xem ta nhận được mệnh đề đúng hay sai.
Bước
3: Kết luận:
Nếu mệnh đề nhận được đúng
thì nửa mặt phẳng có bờ là $d$ (không kể bờ), chứa điểm $M$ là miền nghiệm
của bất phương trình đã cho.
Nếu mệnh đề nhận được sai
thì nửa mặt phẳng có bờ là $d$ (không kể bờ), không chứa điểm $M$
là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Chú
ý:
- Miền nghiệm
của các bất phương trình $ax+by+c>0,\,\,ax+by+c\le 0,\,\,ax+by+c\ge 0$ được
xác định tương tự.
- Miền nghiệm
của các bất phương trình $\,ax+by+c\le 0,\,\,ax+by+c\ge 0$ là các nửa mặt phẳng
kể cả bờ.
- Phương trình của trục $Ox$ là $y=0$ và phương trình của trục $Oy$ là $x=0$.
|
BPT |
Miền nghiệm |
|
$x>a$ |
Nửa mặt phẳng
bên phải đường thẳng $d:x=a$ (không kể bờ). |
|
$x<a$ |
Nửa mặt
phẳng bên trái đường thẳng $d:x=a$ (không kể bờ). |
|
$y>a$ |
Nửa mặt
phẳng bên trên đường thẳng $d:y=a$ (không kể bờ). |
|
$y<a$ |
Nửa mặt
phẳng bên dưới đường thẳng $d:y=a$ (không kể bờ). |
|
Nếu các
BPT trên có dấu $''=''$ thì miền nghiệm kể cả bờ |
|
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Tìm
bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bất phương trình sau đây:
a) ${x-5
y+2<0}$
b) ${9
x^{2}+8 y-7 \geq 0}$
c) ${3
x-2>0}$
d) ${4
y+11 \leq 0}$.
Giải
Các
bất phương trình a), c), d) là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất
phương trình b) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa ${x^{2}}$.
Câu 2
Cặp
số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình ${20 x+50 y-700<0}$ ?
a) ${(5
; 6)}$
b) ${(9
; 11)}$.
Giải
a)
Vì ${20.5+50.6-700=-300<0}$ nên ${(5 ; 6)}$ là nghiệm của bất phương trình ${20
x+50 y-700<0}$
b)
Vì ${20.9+50.11-700=30>0}$ nên ${(9 ; 11)}$ không phải là nghiệm của bất
phương trình ${20 x+50 y-700<0}$.
Câu 3
Biểu
diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a) ${x-2
y-1>0}$
b) ${x+y-1
\leq 0}$.
Giải
a)
Vẽ đường thẳng ${\Delta: x-2 y-1=0}$ đi qua hai điểm ${A(1 ; 0)}$ và ${B\left(0
;-\frac{1}{2}\right)}$.
Xét
gốc toạ độ ${O(0 ; 0)}$. Ta thấy ${O \notin \Delta}$ và ${0-2.0-1<0}$. Do
đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ ${\Delta}$,
không chứa gốc toạ độ ${O}$ (miền không gạch chéo trên Hình).
b)
Vẽ đường thẳng ${\Delta: x+y-1=0}$ đi qua hai điểm ${A(1 ; 0)}$ và ${B(0 ; 1)}$.
Xét
gốc toạ độ ${O(0 ; 0)}$. Ta thấy ${O \notin \Delta}$ và ${0+0-1<0}$. Do đó,
miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ ${\Delta}$, chứa gốc
tọa độ ${O}$ (miền không gạch chéo trên Hình).
a) $2x-y\ge 0$.
b) $x+4y+2<0$.
Lời giải.
a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vẽ đường thẳng $d:\,2x-y=0$. Ta
có $d$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc
đường thẳng đó, chẳng hạn điểm $M\left( 1\,;\,0 \right)$.
Ta thấy $\left( 1\,;\,0 \right)$ là nghiệm của bất phương trình
đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $d$ và chứa điểm $M\left(
1\,;\,0 \right)$ (miền không được tô màu trên hình vẽ).
b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vẽ đường thẳng $\Delta
:\,x+4y+2=0$.
Ta có $\Delta $ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một
điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm $O\left( 0\,;\,0
\right)$.
Ta thấy $\left( 0\,;\,0 \right)$ không phải là nghiệm của bất
phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ (Không kể
đường thẳng $\Delta $) và không chứa điểm $O\left( 0\,;\,0 \right)$ (miền không
được tô màu trên hình vẽ).
BÀI
TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Miền nghiệm của bất phương trình $3\left( x-1
\right)+4\left( y-2 \right)<5x-3$ là nửa mặt phẳng chứa điểm
A. $\left( 0;0
\right)$.
B. $\left( -4;2
\right)$.
C. $\left( -2;2
\right)$.
D. $\left( -5;3
\right)$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $3\left( x-1
\right)+4\left( y-2 \right)<5x-3$$\Leftrightarrow 3x-3+4y-8<5x-3$$\Leftrightarrow
2x-4y+8>0$$\Leftrightarrow x-2y+4>0$
Dễ thấy tại điểm $\left(
0;0 \right)$ ta có: $0-2.0+4=4>0$.
Câu
2. Trong các cặp
số sau đây, cặp nào không là nghiệm
của bất phương trình $x-4y+5~\ge 0$?
A. $\left( -5;0
\right)$.
B. $\left( -2;1
\right)$.
C. $\left( 1;-3
\right)$.
D. $\left( 0;0
\right)$.
Lời giải
Chọn B.
Ta thay cặp số $\left(
-2;1 \right)$ vào bất phương trình $x-4y+5~\ge 0$được $-2-4+5\ge 0$(sai) đo dó
cặp số $\left( -2;1 \right)$ không là nghiệm của bất phương trình $x-4y+5~\ge 0$.
Câu 3.
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc
nhất hai ẩn?
A.
$2x-5y+3z\le 0$.
B.
$3{{x}^{2}}+2x-4>0$.
C.
$2{{x}^{2}}+5y>3$.
D.
$2x+3y<5$.
Lời giải
Chọn D.
Theo định
nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho bất
phương trình bậc nhất hai ẩn ${2 x-5 y \leq 8}$. Khi đó:
a) $(3;-4)$ không là một nghiệm của bất
phương trình
b) $(-2;2)$ không là một nghiệm của bất
phương trình
c) $(-3;-1)$ là một nghiệm của bất
phương trình
d) ${(5 ; 0)}$ không là một nghiệm của
bất phương trình
Lời giải
a)
Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Thay ${(3 ;-4)}$ vào bất phương trình ${2 x-5 y \leq 8}$ ta
được ${2.3-5 .(-4) \leq 8 \Leftrightarrow 26 \leq 8}$
(vô lí), nên ${(3 ;-4)}$ không là một nghiệm của bất phương
trình ${2 x-5 y \leq 8}$.
Thay ${(-2 ; 2)}$ vào bất phương trình ${2 x-5 y \leq 8}$ ta
được ${2 .(-2)-5.2 \leq 8 \Leftrightarrow-14 \leq 8}$
(đúng), nên ${(-2 ; 2)}$ là một nghiệm của bất phương trình ${2
x-5 y \leq 8 .}$
Thay $\left( -3;-1 \right)$ vào bất phương trình $2x-5y\le
8$ ta được
2. ${(-3)-5 .(-1) \leq 8 \Leftrightarrow-1 \leq 8}$ (đúng),
nên ${(-3 ;-1)}$ là một nghiệm của bất phương trinh ${2 x-5 y \leq 8}$.
Thay ${(5 ; 0)}$ vào bất phương trình ${2 x-5 y \leq 8}$ ta
được ${2.5-5.0 \leq 8 \Leftrightarrow 10 \leq 8}$ (vô
lí), nên ${(5 ; 0)}$ không là một nghiệm của bất phương
trình ${2 x-5 y \leq 8}$.
Câu
2. Một đội sản
xuất cần 3 giờ để làm xong sản phẩm loại ${{I}}$ và 2 giờ để làm xong sản phẩm
loại II. Biết thời gian tối đa cho việc sản xuất hai sản phẩm trên là 18 giờ. Gọi
${x, y}$ lần lượt là số sản phẩm loại ${{I}}$, loại ${{II}}$ mà đội làm được
trong thời gian cho phép. Khi đó:
a) Tổng thời gian làm xong sản phẩm
loại ${{I}}$ là $2x$, tổng thời gian làm xong sản phẩm loại II là $3y$.
b) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo ${x, y}$ với điều
kiện ${x, y \in \mathbb{N}}$ là $3x+2y<18$
c) ${(3 ; 4)}$ là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất
hai ẩn theo ${x, y}$ với điều kiện ${x, y \in \mathbb{N}}$
d) ${(4 ; 3)}$ là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất
hai ẩn theo ${x, y}$ với điều kiện ${x, y \in \mathbb{N}}$
Lời giải
a)
Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng
a) Tổng thời gian làm xong sản phẩm loại ${{I}}$ là ${3 x}$,
tổng thời gian làm xong sản phẩm loại II là ${2 y}$.
b) Ta có bất phương trình: ${3 x+2 y \leqslant 18 \quad(*)}$,
điều kiện ${x, y \in \mathbb{N}}$.
c) Thay cặp số ${(3 ; 4)}$ vào bất phương trình ${(*):
3.3+2.4 \leqslant 18}$ (đúng), suy ra ${(3 ; 4)}$ là một nghiệm của ${(*)}$.
d) Thay cặp số ${(4 ; 3)}$ vào bất phương trình ${(*):
3.4+2.3 \leqslant 18}$ (đúng), suy ra ${(4 ; 3)}$ là một nghiệm của ${(*)}$.
