BÀI 2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1.
Xác suất của biến cố
Giả sử một
phép thử có không gian mẫu $\Omega $ gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy
ra và $A$ là một biến cố.
Xác
suất của biến
cố $A$ là một số, kí hiệu là $P(A)$, được xác định bởi công thức:
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega
)}$,
trong
đó: $n(A)$ và $n(\Omega )$ lần lượt kí hiệu số phần tử của tập $A$ và $\Omega $.
Chú
ý:
- Định
nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất.
- Với mọi
biến cố $A$, ta có $0\le P(A)\le 1$.
- $P(\Omega
)=1,\,\,P(\varnothing )=0$.
Xác suất
của mỗi biến cố đo lường khả năng xảy ra của biến cố đó. Biến cố có khả năng xảy
ra càng cao thì xác suất của nó càng gần $1$.
2.
Tính xác suất bằng sơ đồ hình cây
Chúng ta
đã được làm quen với phương pháp sử dụng sơ đồ hình cây để liệt kê các kết quả
của một thí nghiệm. Ta cũng có thể sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất.
3. Biến
cố đối
Cho $A$
là một biến cố. Khi đó biến cố "Không xảy ra $A$", kí hiệu là $\bar{A}$,
được gọi là biến cố đối của $A$.
$\bar{A}=\Omega
\backslash A;\quad P(\bar{A})+P(A)=1.$
4.
Nguyên lí xác suất bé
Trong thực
tế, các biến cố có xác suất xảy ra gần bằng $1$ thì gần như là luôn xảy ra
trong một phép thử. Ngược lại, các biến cố mà xác suất xảy ra gần bằng $0$ thì
gần như không xảy ra trong một phép thử.
Trong Lí
thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau:
Nếu một
biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Ví dụ
như khi một con tàu lưu thông trên biển, xác suất nó bị đắm là số dương. Tuy
nhiên, nếu tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cố này là rất
nhỏ, con tàu có thể yên tâm hoạt động.
Nếu một
nhả sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng khi tiêm một loại vắc xin là rất
nhỏ, chỉ khoảng $0,001$, thì có thể tiêm vắc xin đó cho mọi người được không?
Câu trả lời là không, vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá, nếu tiêm loại
vắc xin đó cho hàng tỉ người thì khả năng có nhiều người bị sốc phản vệ nặng là
rất cao.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Một lớp có $30$ học sinh trong đó gồm $8$ học sinh giỏi, $15$ học sinh khá và
$7$ học sinh trung bình. Người ta muốn chọn ngẫu nhiên $3$ em để đi dự đại hội.
Tính xác suất để chọn được:
a) 3 học sinh được chọn đều là học
sinh giỏi?
b) Có ít nhất $1$ học sinh giỏi?
Lời
giải
a) Gọi $A$: “Chọn $3$ học sinh
là học sinh giỏi”.
$\Rightarrow P\left( A \right)=\dfrac{C_{8}^{3}}{C_{30}^{3}}$.
b) Gọi $B$: “Chọn $3$ học sinh
có ít nhất một học sinh giỏi”.
$\Rightarrow
\overline{B}$: “Chọn $3$ học sinh không có học sinh giỏi nào”
$\Rightarrow P\left( B
\right)=1-P\left( \overline{B} \right)=1-\dfrac{C_{22}^{3}}{C_{30}^{3}}$ $\Rightarrow
P\left( \overline{B} \right)=\dfrac{C_{22}^{3}}{C_{30}^{3}}$.
Câu
2. Một hộp bóng
có $12$ bóng đèn, trong đó có $7$ bóng tốt, lấy ngẫu nhiên $3$ bóng. Tính xác
suất để được:
a) Ít nhất $2$ bóng tốt.
b) Cả $3$ bóng đều không tốt.
Lời
giải
a) Gọi $A$: “Lấy được ít nhất $2$
bóng tốt”
${{A}_{1}}$: “Lấy được $2$
bóng tốt” $\Rightarrow P\left( {{A}_{1}} \right)=\dfrac{C_{7}^{2}C_{5}^{1}}{C_{12}^{3}}$.
${{A}_{2}}$: “Lấy được $3$
bóng tốt” $\Rightarrow P\left( {{A}_{2}} \right)=\dfrac{C_{7}^{3}}{C_{12}^{3}}$.
$A={{A}_{1}}\cup
{{A}_{2}}$ $\Rightarrow P\left( A \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left(
{{A}_{2}} \right)$ $=\dfrac{C_{7}^{2}C_{5}^{1}}{C_{30}^{3}}+\dfrac{C_{7}^{3}}{C_{30}^{3}}$.
b) Gọi $B$: “Cả $3$ bóng đều
không tốt” $\Rightarrow P\left( B \right)=\dfrac{C_{5}^{3}}{C_{12}^{3}}$.
Câu
3. Lớp học môn
xác suất gồm $70$ học sinh, trong đó có $25$ nữ. Chọn ngẫu nhiên ra một nhóm gồm
$10$ học sinh. Tính xác suất để trong nhóm chọn ra có $4$ học sinh nữ.
Lời
giải
Gọi $A$: “Chọn $4$
học sinh nữ và $6$
học sinh nam”.
$\Rightarrow n\left( A \right)=C_{45}^{6}C_{25}^{4}$
$\Rightarrow P\left( A \right)=\dfrac{C_{45}^{6}C_{25}^{4}}{C_{70}^{10}}$.
Câu
4. Một lớp có $40$
học sinh, được đánh số từ $1-40$. Chọn ngẫu nhiên ra một bạn học sinh. Tính xác
suất để bạn được chọn:
a) Mang số chẵn.
b) Mang số chia hết cho $3$.
Lời
giải
a. Gọi $A:$ “Học sinh mang số chẵn”
$\Rightarrow n\left( A \right)=20$ $\Rightarrow P\left( A \right)=\dfrac{20}{40}=0,5$.
b. Gọi $B:$ “Học sinh mang số
chia hết cho $3$”.
$B=\{3,6,9,12,15,18,21,$$24,27,30,33,36,39\}$
$\Rightarrow n\left( B
\right)=13\Rightarrow P\left( B \right)=\dfrac{13}{40}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Một hộp chứa $11$ quả cầu gồm $5$ quả màu xanh và $6$ quả cầu
màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời $2$ quả cầu từ hộp đó. Xác suất để $2$ quả cầu
chọn ra cùng màu bằng
A. $\dfrac{5}{22}$.
B. $\dfrac{6}{11}$.
C. $\dfrac{5}{11}$.
D. $\dfrac{8}{11}$.
Lời giải
Chọn
C
Số
cách lấy ra $2$ quả cầu trong $11$ quả là $C_{11}^{2}$. Suy ra $n\left(
\Omega \right)=C_{11}^{2}$.
Gọi
$A$ là biến cố lấy được $2$ quả cùng màu. Suy ra $n\left( A \right)=C_{5}^{2}+C_{6}^{2}$.
Xác
suất của biến cố $A$ là $P\left(
A \right)=\dfrac{C_{5}^{2}+C_{6}^{2}}{C_{11}^{2}}=\dfrac{5}{11}$.
Câu 2. Một
người làm vườn có $12$ cây giống gồm $6$ cây xoài, $4$ cây mít và $2$ cây ổi.
Người đó muốn chọn ra $6$ cây giống để trồng. Tính xác suất để $6$ cây được chọn,
mỗi loại có đúng $2$ cây.
A. $\dfrac{1}{8}$.
B. $\dfrac{1}{10}$.
C. $\dfrac{15}{154}$.
D. $\dfrac{25}{154}$.
Lời giải
Số phần tử của không gian
mẫu là: $n\left( \Omega
\right)=C_{12}^{6}=924$.
Gọi $A$ là biến cố: “$6$
cây được chọn, mỗi loại có đúng $2$ cây”.
Ta có: $n\left( A
\right)=C_{6}^{2}.C_{4}^{2}.C_{2}^{2}=15.6.1=90$.
Vậy: $P\left( A \right)=\dfrac{n\left(
A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{90}{924}=\dfrac{15}{154}$.
Câu 3. Một
bình đựng $8$ viên bi xanh và $4$ viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi. Xác
suất để có được ít nhất hai viên bi xanh là bao nhiêu?
A. $\dfrac{41}{55}$.
B. $\dfrac{14}{55}$.
C. $\dfrac{28}{55}$.
D. $\dfrac{42}{55}$.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu $n\left(
\Omega \right)=C_{12}^{3}=220$ (cách chọn).
Gọi $A$ là biến cố “Lấy được ít
nhất hai viên bi xanh”.
Ta có $n\left( A
\right)=C_{8}^{2}C_{4}^{1}+C_{8}^{3}C_{4}^{0}=168$ (cách chọn).
Vậy xác suất là $P\left( A
\right)=\dfrac{168}{220}=\dfrac{42}{55}$.
Câu
4. Một hộp đựng
tám thẻ được ghi số từ $1$ đến $8$. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ba thẻ, tính xác
suất để tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng $11$.
A. $\dfrac{5}{56}$.
B. $\dfrac{4}{56}$.
C. $\dfrac{3}{56}$.
D. $\dfrac{1}{28}$.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian
mẫu là số cách lấy $3$ thẻ từ $8$ thẻ, do đó ta có $n\left( \Omega \right)=C_{8}^{3}=56$.
Gọi $A$ là biến cố ba thẻ lấy ra có tổng bằng
$11$.
Ta có $11=1+2+8=1+3+7$ $=1+4+6=2+3+6=2+4+5$.
Như vậy có $5$ kết quả
thuận lợi xảy ra biến cố $A$, tức
là: $n\left( A \right)=5$.
Vậy xác suất cần để tổng
các số ghi trên ba thẻ lấy ra bằng $11$ là: $P\left( A \right)=\dfrac{5}{56}$.
Câu
5. Gọi $S$ là tập
hợp tất cả các số tự nhiên gồm $4$ chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số của
tập hợp $A=\left\{ 1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6 \right\}$. Chọn ngẫu nhiên một
số từ tập hợp $S$. Tính xác suất để số được chọn có $2$ chữ số chẵn và $2$ chữ
số lẻ.
A. $\dfrac{2}{5}$.
B. $\dfrac{3}{5}$.
C. $\dfrac{1}{40}$.
D. $\dfrac{1}{10}$.
Lời giải
Chọn B
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left(
\Omega \right)=A_{6}^{4}=360$.
Gọi $A$ là biến cố: “Số được chọn
có $2$ chữ số chẵn và $2$ chữ số lẻ”.
Chọn $2$ chữ số chẵn: $C_{3}^{2}$
cách.
Chọn $2$ chữ số lẻ: $C_{3}^{2}$
cách.
Sắp xếp $4$ chữ số được chọn
thành một số tự nhiên có $4$ chữ số phân biệt: $4!$ cách.
Suy ra $n\left( A
\right)=C_{3}^{2}.C_{3}^{2}.4!=216$.
Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left(
A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{216}{360}=\dfrac{3}{5}$.
Câu
6. Chọn ngẫu
nhiên hai số khác nhau từ $27$ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được
hai số có tổng là một số chẵn bằng
A. $\dfrac{365}{729}$.
B. $\dfrac{14}{27}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{13}{27}$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $A$ là tập tất cả các số
nguyên dương đầu tiên.
$A=\left\{
1;2;3;...........;26;27 \right\}$
Chọn hai số khác nhau từ $A$ có: $n(\Omega )=C_{27}^{2}=351.$
Tổng hai số là số chẵn khi cả
hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ, do đó:
Chọn hai số chẵn khác nhau từ tập
$A$ có: $C_{13}^{2}=78.$
Chọn hai số lẻ khác nhau từ tập $A$ có: $C_{14}^{2}=91.$
Số cách chọn là: $78+91=169.$
Xác
suất cần tìm là: $P=\dfrac{169}{351}=\dfrac{13}{27}.$
Câu
7. Ba bạn $A,
B, C$ mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $\left[ 1;16
\right]$. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho $3$ bằng
A.
$\dfrac{683}{2048}$.
B.
$\dfrac{1457}{4096}$.
C.
$\dfrac{19}{56}$.
D.
$\dfrac{77}{512}$.
Lời giải
Chọn A
Gọi $3$ số cần viết ra là $a,b,c$. Ta có $n\left(
\Omega \right)={{16}^{3}}$.
Phân đoạn $\left[ 1;16 \right]$ ra thành $3$ tập:
$X=\left\{
3,6,9,12,15 \right\}$ là những số chia hết cho $3$ dư $0$, có $5$ số.
$Y=\left\{ 1,4,7,10,13,16 \right\}$ là những số
chia hết cho $3$ dư $1$, có $6$ số.
$Z=\left\{ 2,5,8,11,14 \right\}$ là những số
chia hết cho $3$ dư $2$, có $5$ số.
Ta thấy $3$ số $a,b,c$ do $3$ bạn $A, B, C$ viết ra có tổng chia hết cho $3$ ứng với $2$ trường hợp sau:
TH1: Cả $3$ số $a,b,c$ cùng thuộc một tập, số cách chọn là ${{6}^{3}}+{{5}^{3}}+{{6}^{3}}=466$.
TH2: Cả $3$ số $a,b,c$ thuộc ba tập khác nhau, số cách chọn là $3!.5.5.6=900$.
Xác suất cần tìm $P\left( A \right)=\dfrac{466+900}{{{16}^{3}}}=\dfrac{683}{2048}$.
Câu
8. Gọi $A$ là tập
hợp các số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự
nhiên thuộc tập $A$. Tính xác suất để chọn được một số thuộc $A$ và số đó chia
hết cho $5$.
A.
$P=\dfrac{11}{27}$.
B.
$P=\dfrac{53}{243}$.
C.
$P=\dfrac{2}{9}$.
D.
$P=\dfrac{17}{81}$.
Lời giải
$A$
là tập hợp các số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau $\Rightarrow n\left(
A \right)=9.A_{9}^{4}=27216$.
Chọn
ngẫu nhiên một số thuộc tập $A$ có $27216$ cách chọn $\Rightarrow n\left(
\Omega \right)=27216$.
Gọi
$B$ là biến cố “Chọn được một số thuộc $A$ và số đó chia hết cho $5$”.
Gọi số chia hết cho $5$ thuộc tập
$A$ là $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}}$.
Trường
hợp 1: Chữ số tận cùng là $0$.
Có $A_{9}^{4}$ cách chọn $4$ chữ
số còn lại.
Trường
hợp 2: Chữ số tận cùng là $5$.
Chọn chữ số ${{a}_{1}}$ có $8$
cách.
Chọn $P=\dfrac{n\left( B
\right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{17}{81}$
chữ số còn lại có $A_{8}^{3}$
$\Rightarrow n\left( B
\right)=A_{9}^{4}+8.A_{8}^{3}=5712$.
Vậy $P=\dfrac{n\left( B \right)}{n\left(
\Omega \right)}=\dfrac{17}{81}$.
Câu
9. Xếp ngẫu nhiên $10$ học sinh gồm $2$ học sinh lớp $12A$, $3$
học sinh lớp $12B$ và $5$ học sinh lớp $12C$ thành một hàng ngang. Xác suất để $10$
học sinh trên không có $2$ học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng
A. $\dfrac{11}{630}$.
B. $\dfrac{1}{126}$.
C. $\dfrac{1}{105}$.
D. $\dfrac{1}{42}$.
Lời
giải
Chọn
A
Ta
có $n\left( \Omega \right)=10!$
Gọi
$X$ là biến cố “Không có $2$ học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”.
+
Đầu tiên xếp $5$ học sinh lớp $12C$ thì có $5!$ cách xếp.
+
Giữa $5$ học sinh lớp $C$ và ở hai đầu có $6$ khoảng trống.
TH1:
Xếp $5$ học sinh của hai lớp $A$ và $B$ vào $4$ khoảng trống ở giữa và $1$ khoảng
trống ở $1$ đầu thì có $2.5!$ cách xếp
TH2:
Xếp $5$ học sinh vào $4$ khoảng trống giữa $5$ học sinh lớp $C$ sao cho có đúng
một khoảng trống có $2$ học sinh thuộc $2$ lớp $A, B$ thì có $2!.2.3.4!$ cách xếp.
Suy
ra, $n\left(
X \right)=5!\left( 2.5!+2!.2.3.4! \right)$ $\Rightarrow P\left( X \right)=\dfrac{11}{630}.$
Câu
10. Có $5$ học
sinh lớp $A$, $5$ học sinh lớp $B$ được xếp ngẫu nhiên vào hai dãy ghế đối diện
nhau mỗi dãy $5$ ghế (xếp mỗi học sinh một ghế). Tính xác suất để $2$ học sinh
bất kì ngồi đối diện nhau khác lớp.
A. $\dfrac{{{\left( 5!
\right)}^{2}}}{10!}$.
B. $\dfrac{5!}{10!}$.
C. $\dfrac{2{{\left( 5!
\right)}^{2}}}{10!}$.
D. $\dfrac{{{2}^{5}}.{{\left( 5!
\right)}^{2}}}{10!}$.
Lời giải
Chọn D
Xếp $10$ học sinh vào $10$ ghế
có $10!$ cách
Xếp $2$ học sinh bất kì ngồi đối
diện nhau khác lớp ta thực hiện như sau:
Ghép $5$ cặp gồm $1$ học sinh lớp
$A$ và $1$ học sinh lớp $B$ có $5!$ cách, xếp $5$ cặp này vào $5$ cặp ghế đối
diện, mỗi cặp có $2$ hoán vị nên có ${{2}^{5}}.5!$ cách.
Do đó xếp $2$ học sinh bất kì ngồi
đối diện nhau khác lớp có ${{2}^{5}}.5!.5!$ cách.
Câu
11. Có $6$ học
sinh lớp $11$ và $3$ học sinh lớp $12$ được xếp ngẫu nhiên vào $9$ ghế thành một
dãy. Tính xác suất để xếp được $3$ học sinh lớp $12$ xen kẽ $6$ học sinh lớp $11$.
A. $\dfrac{1}{84}$.
B. $\dfrac{15}{32}$.
C. $\dfrac{5}{12}$.
D. $\dfrac{5}{72}$.
Lời giải
Chọn C
Xếp
ngẫu nhiên $9$ học sinh thành một dãy nên số cách xếp là $9!$. Số phần tử của
không gian mẫu là $n\left( \Omega
\right)=9!$.
Gọi
$A$ là biến cố: “Xếp $9$ học sinh sao cho $3$ học sinh lớp $12$ xen kẽ $6$ học sinh lớp $11$”.
Xếp
$6$ học sinh lớp $11$ thành một hàng ngang có $6!$ cách xếp.
Với
mỗi cách xếp $6$
học sinh lớp $11$ nói trên: Cứ giữa mỗi hai học sinh có một khoảng trống,
tính cả khoảng trống hai đầu hàng ta có được $7$ khoảng trống. Chọn $3$ khoảng trống
trong số $7$ khoảng trống để mỗi khoảng trống xếp một học sinh lớp $12$ có $A_{7}^{3}$
cách xếp.
Vậy
có $n\left( A \right)=6!.A_{7}^{3}$ cách xếp.
Xác
suất là $P\left( A \right)=\dfrac{6!.A_{7}^{3}}{9!}=\dfrac{5}{12}$.
Câu
12. Một hộp đựng $9$ thẻ được đánh số từ
$1$ đến $9$. Rút ngẫu nhiên hai thẻ và nhân hai số trên hai thẻ lại với nhau.
Tính xác suất để kết quả thu được là một số chẵn.
A. $\dfrac{5}{18}$.
B. $\dfrac{1}{6}$.
C. $\dfrac{8}{9}$.
D. $\dfrac{13}{18}$.
Lời giải
Chọn D
Số phần tử của không gian mẫu
là $n\left( \Omega \right)=C_{9}^{2}=36$.
Gọi $A$ là biến cố “Tích
hai số ghi trên thẻ là số chẵn”, suy ra $\overline{A}$ là biến cố “Tích
hai số ghi trên thẻ là số lẻ” $\Rightarrow n\left(
\overline{A} \right)=C_{5}^{2}=10$.
Vậy xác suất cần tìm là $P\left(
A \right)=1-P\left( \overline{A} \right)$ $=1-\dfrac{n\left(
\overline{A} \right)}{n\left( \Omega
\right)}=\dfrac{13}{18}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Trong lớp $10A$
có $25$ bạn nam và $21$ bạn nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên $3$ bạn trong lớp để
làm cán bộ lớp.
a) Số cách chọn ra $3$ bạn trong lớp $10A$
là $15180$ (cách).
b) Xác suất của biến cố "Ba bạn
được chọn đều là nam" bằng $\dfrac{5}{33}$.
c) Xác suất của biến cố "Ba bạn được chọn đều là nữ"
bằng $\dfrac{133}{1158}$.
d) Xác suất của biến cố "Trong ba học sinh được chọn có
hai bạn nam và một bạn nữ" bằng $\dfrac{105}{253}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Đúng
Số cách chọn ra $3$ bạn trong lớp $10A$ gồm $46$ bạn ($25$ bạn
nam và $21$ bạn nữ) là: ${C_{46}^3=15180}$ (cách). Do đó, ${n(\Omega)=15180}$.
Suy ra ${n(A)=2300}$.
Xác suất của biến cố ${A}$ là: ${P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{2300}{15180}=\dfrac{5}{33}}$.
Số cách chọn được $3$ bạn nữ từ $21$ bạn nữ là: ${C_{21}^3=1330}$
(cách).
Suy ra ${n(B)=1330}$.
Xác suất của biến cố ${B}$ là: ${P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{1330}{15180}=\dfrac{133}{1518}}$.
Số cách chọn được $2$ bạn nam và $1$ bạn nữ là: ${C_{25}^2
\cdot C_{21}^1=6300}$ (cách).
Suy ra ${n(C)=6300}$.
Xác suất của biến cố ${C}$ là: ${P(C)=\dfrac{n(C)}{n(\Omega)}=\dfrac{6300}{15180}=\dfrac{105}{253}}$.
Câu
2. Ném $3$ đồng
xu đồng chất (giả thiết các đồng xu hoàn toàn giống nhau gồm $2$ mặt: sấp và ngửa).
a) $n(\Omega
)=8$.
b) Xác suất để thu được $3$ mặt giống nhau bằng $\dfrac{1}{4}$.
c) Xác suất để thu được ít nhất một mặt ngửa bằng $\dfrac{1}{8}$.
d) Xác suất để không thu được một mặt ngửa nào bằng $\dfrac{7}{8}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Sai
a) Ta có: $\Omega =\{SSS,SSN,SNS,SNN,$$NNN,NNS,NSS,NSN\}$ ${\Rightarrow
n(\Omega)=8}$.
b) Gọi ${A}$ là biến cố: "Thu được 3 mặt giống
nhau".
Ta có: $A=\{SSS,NNN\}$ ${\Rightarrow n(A)=2}$.
Xác suất của ${A}$ là: ${P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}}$.
c) Gọi ${C}$ là biến cố: "Thu được ít nhất một mặt ngửa".
Ta xét biến cố đối của ${C}$ là ${\bar{C}}$: "Không thu
được một mặt ngửa nào". Suy ra ${n(\bar{C})=1}$.
Do vậy $P(C)=1-P(\bar{C})$ ${=1-\dfrac{n(\bar{C})}{n(\Omega)}=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}}$.
Câu
3. Cho các chữ
số ${0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$. Gọi ${X}$ là tập hợp các số tự nhiên có năm chữ số
đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên ra một số từ ${X}$.
a) Số phần tử không gian mẫu là $27216$.
b) Xác suất để lấy được số lẻ là $\dfrac{40}{71}$.
c) Xác suất để lấy được số đó chia hết cho $10$ là $\dfrac{1}{9}$.
d) Xác suất để lấy được số đó lớn hơn $59000$ là $\dfrac{47}{81}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Sai
a) Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega
)=9.9.8.7.6=27216$.
b) Gọi biến cố ${A}$: "Chọn được số tự nhiên lẻ từ tập ${X}$".
Gọi số tự nhiên năm chữ số là ${\overline{a b c d e}}$. Chọn
${d \in\{1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9\}}$: có $5$ cách.
Số cách chọn ${a, b, c, d}$ lần lượt là ${8,8,7,6}$ nên số
các số tự nhiên thỏa mãn là $5.8.8.7.6$ ${=13440}$ hay ${n(A)=13440}$.
Do đó: ${P(A)=\dfrac{13440}{27216}=\dfrac{40}{81}}$.
c) Gọi biến cố ${B}$: "Số được chọn chia hết cho $10$".
Số tự nhiên được chọn phải có dạng ${\overline{a b c d 0}}$.
Số cách chọn ${a, b, c, d}$ lần lượt là ${9,8,7,6}$ nên ${n(B)=9}$.8.7.6
${=3024}$.
Do vậy ${P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{3024}{27216}=\dfrac{1}{9}}$.
d) Gọi biến cố ${C}$: "Số có năm chữ số khác nhau lớn
hơn $59000$".
Gọi số có năm chữ số khác nhau lớn hơn $59000$ là: ${\overline{a
b c d e}}$.
Trường hợp 1: ${a=5 \Rightarrow b=9}$. Chọn ${c,
d, e}$ thì lần lượt có ${8,7,6}$ cách.
Suy ra số cách chọn trường hợp này là 8.7.6 ${=336}$.
Trường hợp 2: ${a>5 \Rightarrow a \in\{6 ;
7 ; 8 ; 9\}}$ nên có $4$ cách chọn ${a}$.
Số cách chọn ${b, c, d}$, e lần lượt là ${9,8,7,6}$.
Suy ra có $4.9.8.7.6=12096$ cách chọn trong trường hợp này.
Do vậy ${n(C)=336+12096=12432}$.
Suy ra ${P(C)=\dfrac{n(C)}{n(\Omega)}=\dfrac{12432}{27216}=\dfrac{37}{81}}$.
Câu
4. Trong hộp có
chứa $7$ bi xanh, $5$ bi đỏ, $2$ bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau.
Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp $6$ viên bi.
a) Xác suất để có đúng một màu bằng $\dfrac{1}{429}$.
b) Xác suất để có đúng hai màu đỏ và vàng bằng $\dfrac{1}{429}$.
c) Xác suất để có ít nhất $1$ bi đỏ bằng $\dfrac{139}{143}$.
d) Xác suất để có ít nhất $2$ bi xanh bằng $\dfrac{32}{39}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Đúng
d)
Sai
Chọn ngẫu nhiên $6$ viên bi trong $14$ viên bi, có ${C_{14}^6}$
cách.
Vậy số phần tử của không gian mẫu ${n(\Omega)=C_{14}^6=3003}$
a) Gọi $A:$ "$6$ viên được chọn có đúng một màu".
${n(A)=C_7^6}$. Suy ra ${P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{C_7^6}{C_{14}^6}=\dfrac{1}{429}}$.
b) Gọi biến cố $B:$ "$6$ viên được chọn có đúng hai màu
đỏ và vàng".
Trường hợp 1: Chọn được $1$ vàng và $5$ đỏ,
có ${C_2^1 \cdot C_5^5=2}$ cách.
Trường hợp 2: Chọn được $2$ vàng và $4$ đỏ,
có ${C_2^2 \cdot C_5^4=5}$ cách.
${n(B)=2+5=7}$. Suy ra ${P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{7}{C_{14}^6}=\dfrac{1}{429}}$.
c) Gọi $C:$ "$6$ viên được chọn có ít nhất $1$ bi đỏ".
Biến cố đối ${\bar{C}}$: "Tất cả $6$ viên được chọn đều
không có bi đỏ".
${n(\bar{C})=C_9^6=84}$. Suy ra ${P(\bar{C})=\dfrac{n(\bar{C})}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{143}}$.
$P(C)+P(\bar{C})=1$ $\Rightarrow P(C)=1-P(\bar{C})=\dfrac{139}{143}$.
d) Gọi biến cố $D:$ "$6$ viên được chọn có ít nhất $2$
bi xanh".
Biến cố đối ${\bar{D}}$ : "$6$ viên được chọn có nhiều
nhất $1$ bi xanh".
Trường hợp 1: Chọn được $6$ bi đỏ, vàng, có ${C_7^6=7}$
cách.
Trường hợp 2: Chọn được $1$ bi xanh và $5$ bi
đỏ + vàng, có ${C_7^1 \cdot C_7^5=147}$ cách.
${n(\bar{D})=7+147=154}$. Suy ra ${P(\bar{D})=\dfrac{n(\bar{D})}{n(\Omega)}=\dfrac{2}{39}}$.
$P(D)+P(\bar{D})=1$ $\Rightarrow P(D)=1-P(\bar{D})=\dfrac{37}{39}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Chọn ngẫu
nhiên $2$ số trong tập hợp $X=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots; 50\}$. Tính xác suất của biến
cố $A:$ "Hai số được chọn là số chẵn".
Trả lời: $0,24$
Lời giải
Số cách chọn $2$ số từ tập hợp ${X}$ gồm $50$ số là: ${C_{50}^2=1225}$
(cách).
Do đó, ${n(\Omega)=1225}$.
Trong tập hợp $X$ có $25$ số chẵn $\{2;4;6;...;50\}$, nên số
cách lấy ra $2$ số chẵn là: ${C_{25}^2=300}$ (cách). Do đó, ${n(A)=300}$.
Xác suất của biến cố ${A}$ là: ${P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{300}{1225}=\dfrac{12}{49}}$.
Câu
2. Trong tủ có $4$
đôi giày khác loại. Bạn Lan lấy ra ngẫu nhiên $2$ chiếc giày. Tính xác suất để
lấy ra được một đôi giày hoàn chỉnh.
Trả lời: $0,14$
Lời giải
Gọi ${A}$ là biến cố "Lấy ra được một đôi giày hoàn chỉnh".
Ta có: $n(\Omega )=C_{8}^{2}=28,$ $n(A)=4$.
Vậy xác suất của biến cố ${A}$ là: ${P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}}$.
Câu
3. Một lô hàng
có $14$ sản phẩm, trong đó có đúng $2$ phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên $8$ sản phẩm
trong lô hàng đó. Tính xác suất của biến cố "Trong $8$ sản phẩm được chọn
có không quá $1$ phế phẩm".
Trả lời: $0,69$
Lời giải
Số cách chọn ngẫu nhiên $8$ sản phẩm là: ${{C}_{14}^{8}=3003}$.
Số cách chọn ngẫu nhiên $8$ sản phẩm mà không có phế phẩm
là: ${{C}_{12}^{8}=495}$.
Số cách chọn ngẫu nhiên $8$ sản phẩm mà trong đó có đúng $1$
phế phẩm là: ${{C}_{2}^{1} \cdot {C}_{12}^{7}=1584}$.
Suy ra số cách chọn ngẫu nhiên $8$ sản phẩm mà trong đó có
không quá $1$ phế phẩm là: ${495+1584=2079}$.
Vậy xác suất của biến cố "Trong $8$ sản phẩm được chọn
có không quá $1$ phế phẩm" là: ${\dfrac{2079}{3003}=\dfrac{9}{13}}$.
Câu
4. Viết ngẫu
nhiên một số gồm ba chữ số. Xác suất của biến cố: "Viết được số ${\overline{a
b c}}$ thoả mãn ${a>b>c}$" bằng $\dfrac{m}{n}$ với $m,n\in
\mathbb{Z}$ và $\dfrac{m}{n}$ tối giản. Tính $m+n$.
Trả lời: $17$
Lời giải
Số các số tự nhiên gồm ba chữ số là $900$.
Mỗi số ${\overline{a b c}}$ thoả mãn ${a>b>c}$ tương ứng
với một tổ hợp chập $3$ của tập hợp gồm $10$ chữ số vì $3$ chữ số được chọn đôi
một khác nhau và chỉ có duy nhất một cách xếp ${a>b>c}$. Suy ra số các kết
quả thuận lợi của biến cố là: ${{C}_{10}^{3}=120}$.
Xác suất của biến cố: "Viết được số ${\overline{a b
c}}$ thoả mãn ${a>b>c}$" là: ${\dfrac{120}{900}=\dfrac{2}{15}}$.
Vậy $m+n=17$.
Câu
5. Sắp xếp ngẫu
nhiên $5$ viên bi đỏ và $3$ viên vi xanh thành hàng ngang (biết rằng tất cả
viên bi đều khác nhau về bán kính). Tính xác suất để không có hai viên bi xanh
nào đứng cạnh nhau.
Trả lời: $0,36$
Lời giải
Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=8!$.
Gọi ${B}$ là biến cố: "Không có hai viên bi xanh nào đứng
cạnh nhau".
Sắp xếp trước $5$ bi đỏ trên một hàng, có $5!$ cách.
Mỗi cặp bi đỏ kề nhau sẽ có một vị trí giữa, ta có $4$ vị
trí như vậy, cộng với $2$ vị trí đầu, cuối hàng; vậy có $6$ vị trí có thể đặt $3$
bi xanh vào để không có hai viên bi xanh nào nằm cạnh nhau.
Suy ra ${n(B)=5 ! A_6^3}$. Vậy ${P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{5
! A_6^3}{8 !}=\dfrac{5}{14}}$.
Câu
6. Có $20$ tấm
thẻ được đánh số từ $1$ đến $20$. Chọn ngẫu nhiên $8$ tấm. Tính xác suất để chọn
được $5$ tấm mang số lẻ, $3$ tấm mang số chẵn trong đó ít nhất có $2$ tấm mang
số chia hết cho $4$.
Trả lời: $0,02$
Lời giải
Trong $20$ tấm thẻ có $10$ số lẻ, $10$ số chẵn và $5$ số
chia hết cho $4$.
Số phần tử của không gian mẫu: ${n(\Omega)=C_{20}^8}$.
Gọi ${A}$ là biến cố chọn được $8$ tấm thẻ thỏa đề bài.
Số cách chọn $8$ tấm thẻ trong đó có $5$ tấm mang số lẻ, $3$
tấm mang số chẵn trong đó ít nhất có $2$ tấm mang số chia hết cho $4$ là: ${n(A)=C_{10}^5
\cdot C_5^2 \cdot C_5^1+C_{10}^5 \cdot C_5^3}$.
Xác suất cần tìm: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega )}$ $=\dfrac{C_{10}^{5}\cdot
C_{5}^{2}\cdot C_{5}^{1}+C_{10}^{5}\cdot C_{5}^{3}}{C_{20}^{8}}$${=\dfrac{90}{4199}=0,02}$.
