BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Phương trình đường tròn
Dạng
1 (Dạng chính tắc):
Đường
tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R$ là:
${{\left(
x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$.
Dạng 2 (Dạng khai triển):
Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ là phương trình của đường tròn $\left( C \right)$ khi và
chỉ khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$. Khi đó đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( a;b \right)$
và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$.
Nhận xét: Phương trình đường tròn $\left(
C \right)$ có tâm là gốc tọa độ $O\left( 0;0 \right)$ và bán kính $R$ là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}$.
2. Phương trình tiếp tuyến của
đường tròn
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Chứng minh một phương trình $\left(
C \right)$ là phương trình đường tròn
- Nếu ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$
thì $\left( C \right)$ là phương trình đường tròn.
- Nếu ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c\le
0$ thì $\left( C \right)$ không phải là phương trình đường tròn.
Chú ý:
- Nếu hệ
số của ${{x}^{2}}$ và ${{y}^{2}}$ không bằng nhau thì suy ra ngay $\left(
C \right)$ không phải là phương trình đường tròn.
- Nếu hệ
số $c<0$ thì suy ra ngay $\left( C \right)$ là phương trình đường tròn.
2. Tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của
đường tròn $\left( C \right)$
- Nếu $\left(
C \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ thì $\left(
C \right)$ có tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R$.
- Nếu $\left(
C \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ thì $\left( C \right)$ có tâm $I\left(
a;b \right)$ và bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}$.
3. Viết phương trình đường tròn $\left(
C \right)$
Dạng 1: Đường tròn $\left( C \right)$
có tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R$:
$\left(
C \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
Dạng 2: Đường tròn $\left( C \right)$
có tâm $I\left( a;b \right)$ và đi qua điểm $M$:
B1: Bán
kính $R=IM=\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-a \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-b
\right)}^{2}}}$.
B2: Thực
hiện như Dạng 1.
Dạng 3: Đường tròn $\left( C \right)$
có đường kính $AB$:
B1: $\left(
C \right)$ có đường kính $AB$ nên tâm $I$ là trung điểm của $AB$, suy ra tọa độ
$I\left( \dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \right)$.
B2: Bán
kính $R=IA=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left(
{{y}_{A}}-{{y}_{I}} \right)}^{2}}}$.
B3: Thực
hiện như Dạng 1.
Dạng 4: Đường tròn $\left( C \right)$
có tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$:
B1: Bán
kính $R=d\left( I,\Delta \right)$.
B2: Thực
hiện như Dạng 1.
Dạng 5: Đường tròn $\left( C \right)$
đi qua 3 điểm $A,\,\,B,\,\,C$ (ngoại tiếp tam giác $ABC$):
Cách 1:
B1: Gọi $I\left( a;b \right)$ là tâm đường tròn $\left( C
\right)$, ta có: $\left\{ \begin{align}
& IA=IB \\ & IA=IC \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{align} & I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\ & I{{A}^{2}}=I{{C}^{2}} \\ \end{align}
\right.$
$\Leftrightarrow
$$\left\{ \begin{align} & {{\left(
{{x}_{A}}-a \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-b \right)}^{2}}={{\left(
{{x}_{B}}-a \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-b \right)}^{2}} \\ & {{\left( {{x}_{A}}-a
\right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-b \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{C}}-a
\right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{C}}-b \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$
(thay vào và khai triển đưa về hệ PT 2 ẩn $a,\,\,b$ rồi giải hệ này, suy ra tâm
$I\left( a;b \right)$.
B2: Tính bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-a
\right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-b \right)}^{2}}}$.
B3: Thực hiện như Dạng 1.
Cách 2:
B1: Gọi phương trình đường tròn $\left( C \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$
(*)
B2: Thay 3 điểm $A,\,\,B,\,\,C$ vào (*), rút gọn đưa về hệ
phương trình 3 ẩn $a,\,\,b,\,\,c$ rồi giải hệ này (bằng máy tính bỏ túi).
B3: Thay $a,\,\,b,\,\,c$ vào (*) ta được phương trình đường
tròn $\left( C \right)$ cần tìm.
Cách 3:
B1: Viết phương trình đường trung trực của 2 trong 3 cạnh
$AB,\,\,AC,\,\,BC$.
B2: Giải hệ phương trình để tìm tọa độ tâm $I\left( a;b
\right)$ là giao điểm
của 2 đường trung trực vừa viết.
B3: Tính bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-a
\right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-b \right)}^{2}}}$.
B4: Thực
hiện như Dạng 1.
Dạng 6: Đường
tròn $\left( C \right)$ đi qua điểm $M$ và tiếp xúc với hai trục tọa độ $Ox,\,\,Oy$:
B1: Gọi phương trình đường tròn $\left( C \right)$: ${{\left(
x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$ (*).
B2: $\left( C \right)$ tiếp xúc với 2 trục tọa độ $Ox,\,\,Oy$
$\Leftrightarrow $$\left| a \right|=\left| b \right|=R$.
Trường
hợp 1: $a=b,\,\,R=\left|
a \right|$, (*) trở thành: ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-a
\right)}^{2}}={{a}^{2}}$ (**).
Mà: $M\in
\left( C \right)$ nên ${{\left( {{x}_{M}}-a \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-a
\right)}^{2}}={{a}^{2}}$. Giải phương trình này được $a$, thay $a$ vào (**) ta
được $\left( C \right)$ cần tìm.
Trường
hợp 2: $a=-b,\,\,R=\left|
a \right|$, (*) trở thành: ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y+a
\right)}^{2}}={{a}^{2}}$ (***).
Mà: $M\in
\left( C \right)$ nên ${{\left( {{x}_{M}}-a \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}+a
\right)}^{2}}={{a}^{2}}$. Giải phương trình này được $a$, thay $a$ vào (***) ta
được $\left( C \right)$ cần tìm.
Dạng 7: Đường tròn $\left( C \right)$ tiếp
xúc với 2 trục tọa độ $Ox,\,\,Oy$ và có tâm nằm trên đường thẳng $d:mx+ny+p=0$:
B1: Gọi $\left(
C \right)$: ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$
(*).
B2: $\left(
C \right)$ tiếp xúc với 2 trục tọa độ $Ox,\,\,Oy$ $\Leftrightarrow $$\left| a
\right|=\left| b \right|=R$.
Trường
hợp 1: $a=b,\,\,R=\left|
a \right|$: (*) trở thành: ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-a
\right)}^{2}}={{a}^{2}}$ (**)
Từ (**)
ta có tâm $I\left( a;a \right)$ mà $I\in d$ nên $ma+na+p=0$, giải phương trình
này tìm $a$, thay $a$ vào (**) ta được $\left( C \right)$ cần tìm.
Trường
hợp 2: $a=-b,\,\,R=\left|
a \right|$: (*) trở thành: ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y+a
\right)}^{2}}={{a}^{2}}$ (***)
Từ (***)
ta có $I\left( a;-a \right)$ mà $I\in d$ nên: $ma-na+p=0$, giải phương trình
này tìm $a$, thay $a$ vào (***) ta được $\left( C \right)$ cần tìm.
Dạng 8: $\left( C \right)$ đi qua hai
điểm $A,\,\,B$ và có tâm $I$ nằm trên đường thẳng $\Delta $:
Cách 1:
-
Tâm $I$ thuộc $\Delta $, suy ra tọa độ tâm $I$ theo tham số $t$.
-
Từ $IA=IB$ tìm $t$, suy ra tâm $I$ và bán kính $R$, sau đó viết phương trình $\left(
C \right)$.
Cách 2:
-
Viết phương trình đường trung trực $d$ của đoạn $AB$.
-
Xác định tâm $I$ là giao điểm của $d$ và $\Delta $.
-
Bán kính $R=IA$.
Dạng 9: $\left( C \right)$ đi qua hai
điểm $A,\,\,B$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta $:
-
Viết phương trình đường trung trực $d$ của đoạn $AB$.
-
Tọa độ tâm $I$ thoả mãn phương trình: $\left\{ \begin{align} & I\in d \\ & d\left( I,\Delta \right)=IA \\ \end{align} \right.$.
-
Bán kính $R=IA$.
Dạng 10: $\left( C \right)$ đi qua điểm $A$
và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta $ tại điểm $B$:
-
Viết phương trình đường trung trực $d$ của đoạn $AB$.
-
Viết phương trình đường thẳng ${\Delta }'$ đi qua $B$ và vuông góc với $\Delta $.
-
Xác định tâm $I$ là giao điểm của $d$ và ${\Delta }'$.
-
Bán kính $R=IA$.
Dạng 11: $\left( C \right)$ đi qua điểm $A$
và tiếp xúc với hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$:
-
Tâm I của $\left( C \right)$ thoả mãn: $\left\{ \begin{align} & d\left( I,{{\Delta }_{1}}
\right)=d\left( I,{{\Delta }_{2}} \right)(1) \\ & d\left( I,{{\Delta }_{1}} \right)=IA(2) \\
\end{align} \right.$
-
Bán kính $R=IA$.
Chú ý:
-
Muốn bỏ dấu trị tuyệt đối trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi ${{\Delta
}_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$.
-
Nếu ${{\Delta }_{1}}\parallel {{\Delta }_{2}}$, ta tính $R=\dfrac{1}{2}d\left(
{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)$ và (2) được thay thế bởi $IA=R$.
Dạng 12: $\left( C \right)$ tiếp xúc với
hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},\,\,{{\Delta }_{2}}$ và có tâm nằm trên đường
thẳng $d$:
–
Tâm I của $\left( C \right)$ thoả mãn: $\left\{ \begin{align} & d\left( I,{{\Delta }_{1}}
\right)=d\left( I,{{\Delta }_{2}} \right) \\ & I\in d \\ \end{align} \right.$.
–
Bán kính $R=d\left( I,{{\Delta }_{1}} \right)$.
4. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn $\left( C \right)$
Số
giao điểm của đường thẳng $d:Ax+By+C=0$ và đường tròn $\left( C \right)$:
$d\left(
I,d \right)<R$ $\Leftrightarrow$ $d$ cắt $\left( C \right)$ tại
hai điểm phân biệt.
$d\left(
I,d \right)=R$ $\Leftrightarrow$ $d$ tiếp xúc với $\left( C
\right)$.
$d\left(
I,d \right)>R$ $\Leftrightarrow$ $d$ và $\left( C \right)$ không
có điểm chung.
5. Phương trình tiếp tuyến của
đường tròn $\left( C \right)$
Dạng 2: PTTT của $\left( C \right)$
song song với đường thẳng $d:Ax+By+C=0$
B1: Xác
định tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R$ của $\left( C \right)$.
B2: Do $\Delta
\parallel d$ nên $\Delta $ có dạng: $Ax+By+{C}'=0$ (*) với ${C}'\ne C$.
B3: Sử dụng
điều kiện tiếp xúc: $d\left( I,\Delta
\right)=R$ tìm ${C}'$ (nhớ so điều kiện).
B4: Thay
${C}'$ vào (*), ta được PTTT $\Delta $ cần tìm.
Dạng 3: PTTT của $\left( C \right)$
vuông góc với đường thẳng $d:Ax+By+C=0$
B1: Xác
định tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R$ của $\left( C \right)$.
B2: Do $\Delta
\bot d$ nên $\Delta $ có dạng: $Bx-Ay+{C}'=0$ (*).
B3: Sử dụng
điều kiện tiếp xúc: $d\left( I,\Delta
\right)=R$ tìm ${C}'$ (có 2 giá trị).
B4: Thay
${C}'$ vào (*), ta được PTTT $\Delta $ cần tìm (có 2 PTTT).
Dạng 4: PTTT của $\left( C \right)$ đi
qua $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ với $A\notin \left( C \right)$.
B1: Xác
định tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R$ của $\left( C \right)$.
B2: PT đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $A\left(
{{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có dạng: $y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$$\Leftrightarrow
$$kx-y-k{{x}_{0}}+{{y}_{0}}=0$ (*).
B3: Sử dụng điều kiện tiếp xúc $d\left( I,\Delta \right)=R$ tìm hệ số góc $k$.
B4: Thay $k$ vào (*), ta được PTTT của $\left( C \right)$
cần tìm (thường có 2 PTTT).
Chú ý: Nếu
chỉ tìm được 1 nghiệm $k$ thì tiếp tuyến còn lại có phương trình là: $x-{{x}_{M}}=0$.
6. Kiểm tra
điểm A thuộc (nằm trên), nằm ngoài, nằm trong đường tròn $\left( C
\right)$
Cách
1:
B1: Xác
định tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $R$ của $\left( C \right)$.
B2: Tính độ dài $IA=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-a
\right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-b \right)}^{2}}}$.
Nếu $IA=R$
thì $A\in \left( C \right)$.
Nếu $IA<R$
thì $A$ nằm bên trong $\left( C \right)$.
Nếu $IA>R$
thì $A$ nằm bên ngoài $\left( C \right)$.
Cách 2: Đường tròn ở dạng 1: ${{\left( x-a
\right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{R}^{2}}$.
Thay tọa độ điểm $A$ vào vế trái của $\left( C \right)$:
Nếu $VT=VP$
thì $A\in \left( C \right)$.
Nếu $VT<VP$
thì $A$ nằm bên trong $\left( C \right)$.
Nếu $VT>VP$
thì $A$ nằm bên ngoài $\left( C \right)$.
Cách 3: Đường tròn ở dạng 2: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$.
Thay tọa độ điểm $A$ vào vế trái của $\left( C \right)$:
Nếu $VT=0$
thì $A\in \left( C \right)$.
Nếu $VT<0$
thì $A$ nằm bên trong $\left( C \right)$.
Nếu $VT>0$
thì $A$ nằm bên ngoài $\left( C \right)$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Trong các
phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu
có.
a) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y+9=0\,\,\left(
1 \right)$
b) ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y+13=0\,\,\left(
2 \right)$
c) $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-4y-1=0\,\,\left(
3 \right)$
d) $2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-3y+9=0\,\,\left(
4 \right)$
Lời
giải
a) Phương trình $\left( 1
\right)$ có dạng ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ với $a=-1;b=2;c=9$
Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c=1+4-9<0$
Vậy phương trình $\left( 1
\right)$ không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c=9+4-13=0$
Suy ra phương trình $\left( 2
\right)$ không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có $\left( 3
\right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3x-2y-\dfrac{1}{2}=0$$\Leftrightarrow
{{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=\dfrac{5}{2}$
Vậy phương trình $\left( 3
\right)$ là phương trình đường tròn tâm $I\left( \dfrac{3}{2};1 \right)$, bán
kính $R=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
d) Phương trình $\left( 4
\right)$ không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của ${{x}^{2}}$ và ${{y}^{2}}$
khác nhau.
Câu
2. Cho phương
trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2mx-4\left( m-2 \right)y+6-m=0\,\,\left( 1 \right)$.
a) Tìm điều kiện của $m$ để $\left(
1 \right)$ là phương trình đường tròn.
b) Nếu $\left( 1 \right)$ là
phương trình đường tròn, hãy tìm tâm và bán kính theo $m$.
Lời
giải
a) Phương trình $\left( 1
\right)$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$
Với $a=m;b=2\left( m-2
\right);c=6-m$: ${{m}^{2}}+4{{\left( m-2 \right)}^{2}}-6+m>0$$\Leftrightarrow
5{{m}^{2}}-15m+10>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>2 \\ & m<1 \\ \end{align} \right.$.
b) Với điều kiện trên thì đường
tròn có tâm $I\left( m;2\left( m-2 \right) \right)$ và bán kính $R=\sqrt{5{{m}^{2}}-15m+10}$.
Câu
3. Viết phương
trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm $I\left( 1;-5 \right)$
và đi qua $O\left( 0;0 \right)$.
b) Nhận $AB$ làm đường kính với $A\left(
1;1 \right),B\left( 7;5 \right)$.
Lời
giải
a) Đường tròn cần tìm có bán
kính là $OI=\sqrt{{{1}^{2}}+{{5}^{2}}}=\sqrt{26}$ nên có phương trình là: ${{\left(
x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}=26$.
b) Gọi $I$ là trung điểm của đoạn
thẳng $AB$ suy ra $I\left( 4;3 \right)$, $AI=\sqrt{{{\left( 4-1
\right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{13}$.
Đường tròn cần tìm có đường kính
là $AB$ suy ra nó nhận $I\left( 4;3 \right)$ làm tâm và bán kính $R=AI=\sqrt{13}$
nên có phương trình là ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3
\right)}^{2}}=13$.
Câu
4. Trong mặt phẳng
với hệ tọa độ $Oxy$, viết
phương trình đường tròn $\left( C \right)$ đi qua ba điểm $A\left( -3;-1
\right),B\left( -1;3 \right),C\left( -2;2 \right)$.
Lời
giải
Cách
1. Phương trình
đường tròn có dạng $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0$, với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$.
Vì $A,B,C$ thuộc $\left( C
\right)$ nên ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}6a + 2b - c = 10\\2a - 6b - c = 10\\4a - 4b - c = 8\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\\c = - 20\end{array} \right.$
Vậy phương trình đường tròn cần
tìm ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y-20=0$
Cách
2. Gọi $I\left(
a;b \right)$ là tâm của $\left( C \right)$.
Vì $A,B,C$ thuộc $\left( C
\right)$ nên
$\left\{ \begin{align} & IA=IB \\ & IA=IC \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & {{\left(
-3-a \right)}^{2}}+{{\left( -1-b \right)}^{2}}={{\left( -1-a
\right)}^{2}}+{{\left( 3-b \right)}^{2}} \\ & {{\left( -3-a \right)}^{2}}+{{\left(
-1-b \right)}^{2}}={{\left( -2-a \right)}^{2}}+{{\left( 2-b \right)}^{2}} \\ \end{align}
\right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 8b = 0\\2a + 6b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.$
Suy ra tâm $I\left( 2;-1 \right)$,
bán kính $IA=5$.
Vậy phương trình đường tròn cần
tìm $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=25$.
Câu
5. Trong mặt phẳng
với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x-y-5=0$ và hai điểm $A\left( 1;2
\right),B\left( 4;1 \right)$. Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$
có tâm thuộc $d$ và đi qua hai điểm $A,B$.
Lời
giải
Cách
1. Gọi $I$ là
tâm của $\left( C \right)$. Do $I\in d$ nên $I\left( t;2t-5 \right)$.
Hai điểm $A,B$ cùng thuộc $\left(
C \right)$ nên
$IA=IB$$\Leftrightarrow {{\left(
1-t \right)}^{2}}+{{\left( 7-2t \right)}^{2}}={{\left( 4-t
\right)}^{2}}+{{\left( 6-2t \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $I\left( 1;-3 \right)$ và
bán kính $R=IA=5$.
Vậy phương trình đường tròn cần
tìm $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=25$.
Cách
2.
Gọi $M\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}
\right)$ là trung điểm $AB$. Đường trung trực của đoạn $AB$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(
3;-1 \right)$ làm vecto pháp tuyến nên có phương trình $\Delta :3x-y-6=0$.
Tọa độ tâm $I$ của $\left( C
\right)$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{align} & 2x-y-5=0 \\ & 3x-y-6=0 \\ \end{align}
\right.\Rightarrow I\left( 1;-3 \right)$.
Bán kính của đường tròn bằng $R=IA=5$.
Vậy phương trình đường tròn cần
tìm là $\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3
\right)}^{2}}=25$
Câu
6. Trong mặt phẳng
với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:x+3y+8=0,$ ${{d}_{2}}:3x-4y+10=0$
và điểm $A\left( -2;1 \right)$. Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$
có tâm thuộc ${{d}_{1}}$, đi qua điểm $A$ và tiếp xúc với ${{d}_{2}}$
Lời
giải
Gọi $I$ là tâm của $(C)$. Do $I\in
{{d}_{1}}$ nên $I\left( -3t-8;t \right)$. Theo giả thiết ta có
$d(I,{{d}_{2}})=IA$$\Leftrightarrow
\dfrac{\left| 3(-3t-8)-4t+10 \right|}{25}$$=\sqrt{{{(-3t-8+2)}^{2}}+{{(t-1)}^{2}}}$$\Leftrightarrow
t=-3$
Suy ra $I\left( 1;-3 \right)$ và
$R=5$.
Vậy phương trình $(C)$ là ${{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}=25$.
Câu
7. Trong mặt phẳng
tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):$ ${{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=8$.
a) Viết
phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $A(3; -4).$
b) Viết
phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ qua điểm $B(5; -2).$
c) Viết
phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ biết tiếp tuyến vuông góc với $d:x+y+2024=0$.
Lời
giải.
a) Đường
tròn $(C)$ có tâm $I(1; -2)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Do $A$ thuộc $(C)$ nên tiếp
tuyến $\Delta $ qua $A$ và nhận $\overrightarrow{IA}=(2;-2)$ làm vecto pháp tuyến.
Vậy phương trình $\Delta
:x-y-7=0$.
b) Gọi
$\overrightarrow{n}=(a;b)$ là vecto pháp tuyến của $\Delta $, khi đó
$\Delta :a(x-5)+b(y+2)=0$$\Leftrightarrow
ax+by-5a+2b=0$
Do $\Delta $ tiếp xúc với
$(C)$ nên
$d(I;\Delta )=R$$\Leftrightarrow
\dfrac{\left| -4a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2\sqrt{2}$$\Leftrightarrow
{{a}^{2}}={{b}^{2}}\Leftrightarrow a=\pm b$
Với $a=b$ chọn $a=1\Rightarrow
b=1$. Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ là $x+y-3=0$.
Với $a=-b$ chọn $a=1\Rightarrow
b=-1$. Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ là $x-y-7=0$.
c) Tiếp
tuyến $\Delta $ vuông góc $d$ nên $\Delta $ có dạng $x-y+c=0$.
Mà $d(I;\Delta )=R$ $\Leftrightarrow
\dfrac{\left| 3+c \right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left[
\begin{matrix} c=1 \\
c=-7 \\\end{matrix} \right.$
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa
mãn: $x-y+1=0$ hoặc $x-y-7=0$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Tìm tọa độ
tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $\left( C \right)$: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y+1=0$.
A. $I\left( -1;2 \right);R=4$.
B. $I\left( 1;-2 \right);R=2$.
C. $I\left( -1;2
\right);R=\sqrt{5}$.
D. $I\left( 1;-2 \right);R=4$.
Lời giải
Chọn B
$\left( C \right)$ có tâm $I\left(
1;-2 \right)$, bán kính $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}-1}=2$.
Câu
2. Trong mặt phẳng
$Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3
\right)}^{2}}=9$. Đường tròn có tâm và bán kính là
A. $I\left( 2;3 \right),\,\,R=9$.
B. $I\left( 2;-3 \right),\,\,R=3$.
C. $I\left( -3;2 \right),\,\,R=3$.
D. $I\left( -2;3 \right),\,\,R=3$.
Lời giải
Chọn B
Đường tròn $\left( C
\right)$ có tâm $I\left( 2;-3 \right)$ và bán kính $R=3$.
Câu 3. Phương trình nào sau đây là phương
trình của đường tròn tâm $I\left( -1;2 \right)$, bán kính bằng $3$?
A. ${{\left(
x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$.
B. ${{\left(
x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$.
C. ${{\left(
x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=9$.
D. ${{\left(
x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=9$.
Lời giải
Chọn D
Phương
trình đường tròn tâm $I\left( -1;2 \right)$ và bán kính $R=3$ là: ${{\left( x+1
\right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=9$.
Câu
4. Trong mặt phẳng
$Oxy$, phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A. ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-4x-8y+1=0$.
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y-12=0$.
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-8y+20=0$.
D. $4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-6y-2=0$.
Lời giải
Chọn B
Để là phương trình đường tròn
thì điều kiện cần là hệ số của ${{x}^{2}}$ và ${{y}^{2}}$ phải bằng nhau nên loại
được đáp án A và D.
Kiểm tra điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$
ta chọn được B.
Câu
5. Tìm tất cả
các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\left( m+2
\right)x+4my+19m-6=0$ là phương trình đường tròn.
A. $1<m<2.$
B. $m<-2$ hoặc $m>-1$.
C. $m<-2$ hoặc $m>1$.
D. $m<1$ hoặc $m>2$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\left(
m+2 \right)x+4my+19m-6=0\text{ }\left( 1
\right)$
$\Rightarrow
a=m+2;b=-2m;c=19m-6.$
Phương trình $\left( 1 \right)$
là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c>0$
$\Leftrightarrow
5{{m}^{2}}-15m+10>0$$\Leftrightarrow m<1$ hoặc $m>2$.
Câu
6. Đường tròn $\left(
C \right)$ đi qua hai điểm $A\left( 1;1 \right)$, $B\left( 5;3 \right)$ và có
tâm $I$ thuộc trục hoành có phương trình là
A. ${{\left( x+4
\right)}^{2}}+{{y}^{2}}=10$.
B. ${{\left( x-4
\right)}^{2}}+{{y}^{2}}=10$.
C. ${{\left( x-4
\right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\sqrt{10}$.
D. ${{\left( x+4
\right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\sqrt{10}$.
Lời giải
Chọn B
Gọi $I\left( x;0 \right)\in Ox$;
$I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{\left( 1-x
\right)}^{2}}+{{1}^{2}}={{\left( 5-x \right)}^{2}}+{{3}^{2}}$ $\Leftrightarrow
{{x}^{2}}-2x+1+1={{x}^{2}}-10x+25+9$ $\Leftrightarrow x=4$. Vậy tâm đường
tròn là $I\left( 4;0 \right)$ và bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( 1-4
\right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{10}$.
Phương trình đường tròn $\left(
C \right)$ có dạng ${{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=10$.
Câu
7. Trong mặt phẳng
với hệ tọa độ $Oxy$, tìm tọa độ tâm $I$ của đường tròn đi qua ba điểm $A\left(
0;4 \right)$, $B\left( 2;4 \right)$, $C\left( 2;0 \right)$.
A. $I\left( 1;1 \right)$.
B. $I\left( 0;0 \right)$.
C. $I\left( 1;2 \right)$.
D. $I\left( 1;0 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Giả sử phương trình đường tròn
đi qua 3 điểm $A,B,C$ có dạng $\left( C
\right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2ax+2by+c=0$
Thay tọa độ 3 điểm $A\left( 0;4
\right)$, $B\left( 2;4 \right)$, $C\left( 2;0 \right)$ ta được:
$\left\{ \begin{align} & 8b+c=-16 \\ & 4a+8b+c=-20 \\ & 4a+c=-4 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & a=-1 \\ & b=-2 \\ & c=0 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow
\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y=0$.
Vậy $\left( C \right)$ có tâm $I\left(
1;2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$.
Câu
8. Lập phương
trình đường tròn đi qua hai điểm $A\left( 3;0 \right),B\left( 0;2 \right)$ và
có tâm thuộc đường thẳng $d:x+y=0$.
A.
${{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{13}{2}$.
B. ${{\left( x+\dfrac{1}{2}
\right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{13}{2}$.
C.
${{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{13}{2}$.
D. ${{\left( x+\dfrac{1}{2}
\right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{13}{2}$.
Lời giải
Chọn A
$A\left( 3;0 \right)$, $B\left(
0;2 \right)$, $d:x+y=0$.
Gọi $I$ là tâm đường tròn vậy $I\left(
x;-x \right)$ vì $I\in d$.
$I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}$$\Leftrightarrow
{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{x}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( 2+x \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow
-6x+9=4x+4$$\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$. Vậy $I\left( \dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}
\right)$.
$IA=\sqrt{{{\left( 3-\dfrac{1}{2}
\right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$ là bán
kính đường tròn.
Phương trình đường tròn cần lập
là: ${{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{1}{2}
\right)}^{2}}=\dfrac{13}{2}$.
Câu
9. Một đường
tròn có tâm $I\left( 3\,;\,4 \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta
:\,3x+4y-10=0$. Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?
A. $\dfrac{5}{3}$.
B. $5$.
C. $3$.
D. $\dfrac{3}{5}$.
Lời giải
Chọn C
Đường
tròn tâm $I\left( 3\,;\,4 \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta
:\,3x+4y-10=0$ nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm $I\left(
3\,;\,4 \right)$ tới đường thẳng $\Delta :\,3x+4y-10=0$.
Ta
có: $R=d\left( I,\Delta \right)$$=\dfrac{\left|
3.3+4.4-10 \right|}{\sqrt{{{3}^{3}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{15}{5}=3$.
Câu
10. Đường tròn
nào sau đây tiếp xúc với trục $Ox$:
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x=0$.
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-5=0$.
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-2y+1=0$.
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+5y+9=0$.
Lời giải
Chọn D
Đường tròn $\left( C \right)$tiếp
xúc với trục Ox khi $d\left( I,Ox \right)=R$.
Xét đường tròn: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+5y+9=0$
có $I\left( -3;-\dfrac{5}{2} \right)$ và $R=\dfrac{5}{2}$, $d\left( I,Ox
\right)=\dfrac{5}{2}$. Suy ra: $d\left( I,Ox \right)=R$. Vậy $\left( C \right)$
tiếp xúc với trục $Ox$.
Câu
11. Cho đường
tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\text{x}-4y-4=0$ và điểm $A\left(
1;5 \right)$. Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của
đường tròn $\left( C \right)$ tại điểm $A$.
A. $y-5=0$.
B. $y+5=0$.
C. $x+y-5=0$.
D. $x-y-5=0$.
Lời giải
Chọn A
Đường tròn $\left( C \right)$ có
tâm $I\left( 1;2 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( 0;3 \right)$.
Gọi $d$ là tiếp tuyến của $\left(
C \right)$ tại điểm $A$, khi đó $d$ đi qua $A$ và nhận vectơ $\overrightarrow{IA}$
là một VTPT.
Chọn một VTPT của $d$ là $\overrightarrow{{{n}_{d}}}=\left(
0;1 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$
là $y-5=0$.
Câu
12. Trong mặt
phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{{\left( x-1
\right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=4$. Phương trình tiếp tuyến với đường
tròn $\left( C \right)$ song song với đường thẳng $\Delta :4x-3y+2=0$ là
A. $4x-3y+18=0$.
B. $4x-3y+18=0$.
C. $\left[ \begin{align} & 4x-3y+18=0 \\ & 4x-3y-2=0 \\ \end{align} \right.$.
D. $\left[ \begin{align} & 4x-3y-18=0 \\ & 4x-3y+2=0 \\ \end{align} \right.$.
Lời giải
Chọn C
Đường tròn $\left( C
\right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=4$ có tâm $I\left(
1;4 \right)$ và bán kính $R=2$.
Gọi
$d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$.
Vì $d//\Delta
$ nên đường thẳng $d:4x-3y+m=0$$\left( m\ne 2 \right)$.
$d$
là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ $\Leftrightarrow d\left( I;\left( d
\right) \right)=R$$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.1-3.4+m
\right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}}=2$
$\Leftrightarrow
\left| m-8 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=18 \\ & m=-2 \\ \end{align} \right.$ (thỏa mãn
điều kiện)
Vậy
có 2 tiếp tuyến cần tìm: $4x-3y+18=0;$ $4x-3y-2=0$.
Câu
13. Viết phương
trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}=25$, biết tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng $d:3x-4y+5=0$.
A. $4x+3y+29=0$.
B. $4x+3y+29=0$ hoặc $4x+3y-21=0$.
C. $4x-3y+5=0$ hoặc $4x-3y-45=0$.
D. $4x+3y+5=0$ hoặc $4x+3y+3=0$.
Lời giải
Chọn B
Đường tròn $(C):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}=25$
có tâm $I(2;-4)$, bán kính $R=5$.
Đường thẳng $\Delta $ vuông góc
với đường thẳng $d:3x-4y+5=0$ có phương trình dạng:$4x+3y+c=0$
$\Delta $ là tiếp tuyến của đường
tròn $(C)$ khi và chỉ khi: $d(I;\Delta )=R$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{\left|
4.2+3.(-4)+c \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=5$ $\Leftrightarrow \left|
c-4 \right|=25$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & c-4=25 \\ & c-4=-25 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & c=29 \\ & c=-21 \\ \end{align} \right.$. Vậy có
hai tiếp tuyến cần tìm là: $4x+3y+29=0$ và $4x+3y-21=0$.
Câu
14. Cho đường
thẳng $\Delta :\,3x-4y-19=0$ và đường tròn $\left( C \right):\,{{\left( x-1
\right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=25$. Biết đường thẳng $\Delta $ cắt $\left(
C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$, khi đó độ dài đọan thẳng $AB$ là
A. 6.
B. 3.
C. 4.
D. 8.
Lời giải
Chọn A
Từ $\Delta :\,3x-4y-19=0$$\Rightarrow
y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{19}{4}\,\,\left( 1 \right)$.
Thế $\left( 1 \right)$ vào $\left(
C \right)$ ta được ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3}{4}x-\dfrac{23}{4}
\right)}^{2}}=25$$\Leftrightarrow \dfrac{25}{16}{{x}^{2}}-\dfrac{85}{8}x+\dfrac{145}{16}=0$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=\dfrac{29}{5} \\ \end{align} \right..$
${{x}_{A}}=1\Rightarrow
{{y}_{A}}=-4\Rightarrow \,A\left( 1;-4 \right).$
${{x}_{B}}=\dfrac{29}{5}\Rightarrow
{{y}_{B}}=-\dfrac{2}{5}\Rightarrow \,B\left( \dfrac{29}{5};-\dfrac{2}{5}
\right).$
Độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{{{\left(
\dfrac{29}{5}-1 \right)}^{2}}+{{\left( -\dfrac{2}{5}+4 \right)}^{2}}}=6$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Xác định
tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) ${(C)}$ có tâm ${J(2 ;-3)}$ và bán kính ${R=4}$, khi đó ${(C)}$
là: ${(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16}$.
b) ${(C)}$ có tâm ${K(-2 ; 1)}$ và đi qua ${A(3 ; 2)}$, khi
đó ${(C)}$ là: ${(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=26}$.
c) ${(C)}$ có đường kính ${P Q}$ với ${P(1 ;-1), Q(5 ; 3)}$,
khi đó ${(C)}$ là: ${{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=4$.
d) ${(C)}$ có tâm ${S(-3 ;-4)}$ và tiếp xúc với đường thẳng ${\Delta:
3 x+4 y-10=0}$, khi đó ${(C)}$ là: ${(x+3)^{2}+(y+4)^{2}=49}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) Phương trình đường tròn ${(C)}$ là: ${(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16}$.
b) Bán kính đường tròn ${(C)}$ là: ${R=A
K=\sqrt{[3-(-2)]^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{26}}$.
Suy ra phương trình đường tròn ${(C)}$ là: ${(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=26}$.
c) Tâm của đường tròn ${(C)}$ là trung điểm ${I}$ của ${P
Q}$, suy ra ${I(3 ; 1)}$.
Bán kính đường tròn là: ${R=I
P=\sqrt{(1-3)^{2}+(-1-1)^{2}}=2 \sqrt{2}}$.
Phương trình đường tròn ${(C)}$ là: ${(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=8}$.
d) Bán kính ${R}$ của đường tròn ${(C)}$ bằng khoảng cách từ
điểm ${S}$ đến đường thẳng ${\Delta: 3 x+4 y-10=0}$. Suy ra ${R=d(S,
\Delta)=\dfrac{|3 \cdot(-3)+4 \cdot(-4)-10|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=7}$.
Câu
2. Trong mặt phẳng
toạ độ ${O x y}$, cho đường tròn ${(C)}$ : ${(x+2)^{2}+(y+3)^{2}=25}$.
a) Đường tròn ${(C)}$ có tâm ${I(-2 ;-3)}$
b) Đường tròn ${(C)}$ có bán kính ${R=5}$.
c) Phương trình tiếp tuyến ${\Delta}$ của đường tròn ${(C)}$
tại điểm ${M(1 ; 1)}$ là: $x+y-2=0.$
d) Có 2 phương trình tiếp tuyến $\Delta \prime $ của đường
tròn ${(C)}$ biết $\Delta \prime $ vuông góc với ${\Delta}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) Đường tròn ${(C)}$ có tâm ${I(-2 ;-3)}$ bán kính ${R=5}$.
b) Phương trình tiếp tuyến ${\Delta}$ là: $(1+2)(x-1)+(1+3)(y-1)=0$$\Leftrightarrow
3x+4y-7=0$.
c) Vì ${\Delta}$ nhận ${\vec{n}=(3 ; 4)}$ là vectơ pháp tuyến
mà $\Delta '\bot \Delta $ nên có thể lấy vectơ pháp tuyến của $\Delta '$ là ${\vec{m}=(4
;-3)}$. Suy ra phương trình $\Delta '$ có dạng: ${4 x-3 y+c=0}$.
Để $\Delta '$ là tiếp tuyến của ${(C)}$ thì $d\left(
I,\Delta ' \right)=R$$\Leftrightarrow \dfrac{|4\cdot (-2)-3\cdot
(-3)+c|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=5$$\Leftrightarrow |c+1|=25.\text{ }$
Vậy ${c=24}$ hoặc ${c=-26}$ nên $\Delta '$: ${4 x-3 y+24=0}$
hoặc $\Delta '$: ${4 x-3 y-26=0 .}$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho đường
tròn ${(C):(x-2)^{2}+y^{2}=\dfrac{4}{5}}$ và các đường thẳng ${d_{1}: x-y=0}$, ${d_{2}:
x-7 y=0}$. Tính bình phương bán kính của đường tròn $\left( C' \right)$ có tâm ${I}$
nằm trên đường tròn ${(C)}$ và tiếp xúc với ${d_{1}, d_{2}}$.
Trả lời: $0,32$
Lời giải
Gọi ${I(a ; b)}$ là tâm đường tròn $\left( C' \right)$. Ta
có: ${I \in(C) \Leftrightarrow(a-2)^2+b^2=\dfrac{4}{5}}$.
Đường tròn $\left( C' \right)$ tiếp xúc với hai đường thẳng ${d_1}$
và ${d_2}$
$\Leftrightarrow
d\left(I, d_1\right)=d\left(I, d_2\right)=R$ $\Leftrightarrow \dfrac{|a-b|}{\sqrt{2}}=\dfrac{|a-7
b|}{\sqrt{50}}$ ${\Leftrightarrow 5|a-b|=|a-7 b|}$ ${\Leftrightarrow a=\dfrac{-1}{2}
b}$ hoặc ${a=2 b}$.
Với ${a=\dfrac{-1}{2} b \Rightarrow\left(\dfrac{-1}{2}
b-2\right)^2+b^2=\dfrac{4}{5}}$ ${\Leftrightarrow \dfrac{5}{4} b^2+2 b+\dfrac{16}{5}=0}$
(vô nghiệm).
Với ${a=2b \Rightarrow(2 b-2)^2+b^2=\dfrac{4}{5}}$ ${\Leftrightarrow 5 b^2-8 b+\dfrac{16}{5}=0
\Leftrightarrow b=\dfrac{4}{5}}$.
Suy ra $a=\dfrac{8}{5},\,\,R=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}$. Vậy ${{R}^{2}}=\dfrac{8}{25}=0,32$.
Câu
2. Tính bán kính
đường tròn ${(C)}$ biết: ${(C)}$ có tâm ${B(1 ; 1)}$ và cắt ${d: 3 x+4 y+8=0}$
tại ${M, N}$ thoả mãn ${M N=8}$.
Trả lời: $5$
Lời giải
Gọi ${H}$ là hình chiếu của ${B}$ lên ${d: 3 x+4 y+8=0}$.
Khi đó khoảng cách từ điểm ${B}$ đến đường thẳng ${d}$ là ${B H=\dfrac{|3 \cdot
1+4 \cdot 1+8|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=3}$.
${H}$ là trung điểm của ${M N}$ nên ${H M=4}$. Suy ra bán
kính đường tròn ${(C)}$ là $R=\sqrt{B{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5.$
Câu
3. Cho hai điểm
${A(-4 ; 2)}$ và ${B(2 ;-3)}$. Tập hợp điểm ${M(x ; y)}$ thỏa mãn ${M A^2+M
B^2=31}$ là một đường tròn. Tìm bán kính đường tròn đó.
Trả lời: $0,5$
Lời giải
Ta có: $M A^2+M B^2=31$ $\Leftrightarrow(x+4)^2+(y-2)^2+(x-2)^2+(y+3)^2=31$
$\Leftrightarrow
2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+4x+2y+2=0$$\Leftrightarrow
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+y+1=0\,\,(*)$.
$(*)$ là phương trình của một đường tròn có tâm ${I\left(-1
;-\dfrac{1}{2}\right)}$, bán kính ${R=\dfrac{1}{2}}$.
Câu
4. Trong mặt phẳng
tọa độ ${O x y}$, cho đường thẳng ${\Delta: 4 x+3 y+m=0}$ và đường tròn ${(C):
x^2+y^2-9=0}$. Có 2 giá trị của $m$ là ${{m}_{1}},\,\,{{m}_{2}}$ để ${\Delta}$
và ${(C)}$ tiếp xúc với nhau. Tính $m_{1}^{2}+m_{2}^{2}$.
Trả lời: $450$
Lời giải
Đường tròn ${(C)}$ có tâm ${I(0,0)}$ và bán kính ${R=3}$.
Khoảng cách từ tâm ${I(0,0)}$ đến đường thẳng ${\Delta}$ là ${d(I
; \Delta)=\dfrac{|m|}{5}}$.
${\Delta}$ tiếp xúc $(C)$ ${\Leftrightarrow d(I ; \Delta)=3
\Leftrightarrow \dfrac{|m|}{5}=3}$ $\Leftrightarrow|m|=15 \Leftrightarrow m= \pm
15$.
