BÀI
4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. Góc giữa hai vectơ
Cho hai
vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$.
Từ một điểm $O$ bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$.
Góc $\widehat{AOB}$ (với số đo từ $0{}^\circ $ đến $180{}^\circ $) được gọi là góc
giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu là
$\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$.
Quy ước: Nếu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$
hoặc $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ thì ta xem góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$
và $\overrightarrow{b}$ là tùy ý (từ $0{}^\circ $ đến $180{}^\circ $).
$\vec{a}.\vec{b}=\vec{b}.\vec{a}$;
$\vec{a}\left( \vec{b}+\vec{c}
\right)=\vec{a}.\vec{b}+\vec{a}.\vec{c}$;
$\left( k\vec{a} \right).\vec{b}=k\left( \vec{a}.\vec{b}
\right)=\vec{a}.\left( k\vec{b} \right)$;
${{\vec{a}}^{2}}\ge
0;{{\vec{a}}^{2}}=0\Leftrightarrow \vec{a}=\vec{0}$.
${{\left( \vec{a}+\vec{b}
\right)}^{2}}={{\vec{a}}^{2}}+2\vec{a}.\vec{b}+{{\vec{b}}^{2}}$;
${{\left( \vec{a}-\vec{b}
\right)}^{2}}={{\vec{a}}^{2}}-2\vec{a}.\vec{b}+{{\vec{b}}^{2}}$;
${{\vec{a}}^{2}}-{{\vec{b}}^{2}}=\left(
\vec{a}-\vec{b} \right)\left( \vec{a}+\vec{b} \right)$.
$\vec{a}.\vec{b}>0 $ $ \Leftrightarrow $
$\left( \vec{a},\vec{b} \right)$ là góc nhọn;
$\vec{a}.\vec{b}<0$ $ \Leftrightarrow $
$\left( \vec{a},\vec{b} \right)$ là góc tù;
$\vec{a}.\vec{b}=0$ $ \Leftrightarrow $
$\left( \vec{a},\vec{b} \right)$ là góc vuông.
Vấn
đề 1: Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ
- Dựa
vào định nghĩa $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a}
\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\text{cos}\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)$.
- Sử dụng
tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ.
Vấn
đề 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng
- Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn
thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $A{{B}^{2}}={{\overrightarrow{AB}}^{2}}$.
- Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc
phép toán vectơ.
- Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng.
Vấn đề 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng
thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài
Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:
Cho $A,\,\,B$
là các điểm cố định, $M$ là điểm di động.
- Nếu $\left|
\overrightarrow{AM} \right|=k$ với $k$ là số thực dương cho trước thì tập hợp
các điểm $M$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $R=k$.
- Nếu $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ thì
tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$.
- Nếu $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{a}=0$
với $\overrightarrow{a}$ khác $\overrightarrow{0}$ cho trước thì tập hợp các điểm
$M$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Cho hình vuông ${A B C D}$ có tâm ${I}$ là giao điểm của hai
đường chéo. Tìm các góc:
a) ${(\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{A B})}$
b) ${(\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{A I})}$
c) ${(\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{D B})}$
d) ${(\overrightarrow{I A}, \overrightarrow{I C})}$
Giải
a) Ta có: ${\overrightarrow{D I}=\overrightarrow{I B},
\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A B}}$, suy ra $(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{AB})=(\overrightarrow{DI},\overrightarrow{DC})=\widehat{IDC}=45{}^\circ
$.
b) Ta có: ${\overrightarrow{I C}=\overrightarrow{A I}}$, suy
ra $(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{AI})=(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IC})=\widehat{BIC}=90{}^\circ
$.
c) Do hai vectơ ${\overrightarrow{I B}, \overrightarrow{D
B}}$ cùng hướng nên ta có $(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{DB})=0{}^\circ
$.
d) Do hai vectơ ${\overrightarrow{I A}, \overrightarrow{I
C}}$ ngược hướng nên ta có $(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IC})=180{}^\circ
$.
Câu 2. Cho tam giác đều ${A B C}$ có cạnh bằng 4 và có đường cao ${A
H}$. Tính các tích vô hướng:
a) ${\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}$
b) ${\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}}$
c) ${\overrightarrow{A H} \cdot \overrightarrow{B C}}$.
Giải
a) $\overrightarrow{AB}\cdot
\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos
(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$$=4\cdot 4\cdot \cos 60{}^\circ =16\cdot
\dfrac{1}{2}=8$;
b) $\overrightarrow{AB}\cdot
\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos
(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$$=4\cdot 4\cdot \cos 120{}^\circ
=16\cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right)=-8$;
c) $\overrightarrow{AH}\cdot
\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{AH}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cdot \cos
(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})$$=|\overrightarrow{AH}|\cdot
|\overrightarrow{BC}|\cdot \cos 90{}^\circ =0$
Câu 3. Cho tam giác ${ABC}$ đều cạnh $a$, tâm $O$. Hãy tính:
a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$
c) $\left(
\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)\left(
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)$
d) $\left(
\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} \right)\left(
\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC} \right)$
Lời
giải
a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|
\overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|\cos \left(
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)$$=AB.AC.\cos 60{}^\circ =a.a.\dfrac{1}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$$=-\left|
\overrightarrow{BA} \right|.\left| \overrightarrow{BC} \right|\cos \left(
\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right)$$=-BA.BC.\cos 60{}^\circ
=-a.a.\dfrac{1}{2}=-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
c) Gọi $E$ là trung
điểm của ${BC}$ có $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OE}$,
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$;
Do đó $\left(
\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right)\left(
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}
\right)=2\overrightarrow{OE}.\overrightarrow{CB}$$=2\left| \overrightarrow{OE}
\right|.\left| \overrightarrow{CB} \right|.\cos \left(
\overrightarrow{OE},\overrightarrow{CB} \right)$$=2.OE.CB\cos 90{}^\circ =0$.
d) Khai triển biểu thức, ta được
$D=\left( \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}
\right)\left( \overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC} \right)$$={{\overrightarrow{AB}}^{2}}-3\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-6\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$
Chú ý rằng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\dfrac{{{a}^{2}}}{2};$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2};$$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Từ
đó $D={{a}^{2}}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}+{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Câu 4. Cho tam giác ${ABC}$ đều cạnh $a$, đường cao ${AH}$. Tính:
a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC};\text{
}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AH}$.
b) $\left(
\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA} \right)\left(
2\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{AH} \right)$
Lời
giải
a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos
\widehat{BAC}$$=a.a.\cos 60{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=-AB.AH.\cos
\widehat{BAH}$$=-a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\cos 30{}^\circ =-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}$
b) $\left( \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}
\right)\left( 2\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{AH} \right)$$=\overrightarrow{AB}\left(
2\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{AH} \right)$$=2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$
$=-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$$=-2.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}-3.\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}=-\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}$.
Câu 5. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.
Cho biết $\left| \overrightarrow{a} \right|=6,\,\,\left| \overrightarrow{b}
\right|=3,\,\,\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=45{}^\circ $.
Hãy tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}\left(
2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)\,,$$\left(
3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b} \right)\left( -2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}
\right)$.
Lời giải
Trước hết ta có: ${{\overrightarrow{a}}^{2}}={{\left|
\overrightarrow{a} \right|}^{2}}=36\,,\,\,\,{{\overrightarrow{b}}^{2}}={{\left|
\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=9,$$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\left|
\overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos 45{}^\circ
=6.3.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$.
Vậy:
· $\overrightarrow{a}\left(
2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}
\right)=2{{\overrightarrow{a}}^{2}}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$$=2.36-9\sqrt{2}=72-9\sqrt{2}$
· $\left(
3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b} \right)\left(
-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}
\right)=-6{{\overrightarrow{a}}^{2}}+12{{\overrightarrow{b}}^{2}}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$
$=-6.36+12.9-9\sqrt{2}=-108-9\sqrt{2}$.
Câu 6. Cho tam giác ${ABC}$ có $I$
trung điểm của ${BC}$. Chứng minh:
a). $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=2A{{I}^{2}}+\dfrac{B{{C}^{2}}}{2}$
b). $A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}=2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH}$
(Với $H$ là hình chiếu của $A$ xuống $BC$).
Lời giải
a) Ta có: $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{\overrightarrow{AB}}^{2}}+{{\overrightarrow{AC}}^{2}}$$={{\left(
\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left(
\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}$
$={{\left(
\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left(
\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}$(I trung điểm của BC$\Rightarrow
\overrightarrow{IC}=-\overrightarrow{IB}$)
$=2A{{I}^{2}}+2B{{I}^{2}}$$=2A{{I}^{2}}+2.{{\left(
\dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}=2A{{I}^{2}}+\dfrac{B{{C}^{2}}}{2}$ (đpcm).
b) $A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}={{\overrightarrow{AB}}^{2}}-{{\overrightarrow{AC}}^{2}}$$=\left(
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)\left(
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)$$=\overrightarrow{CB}.2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{HI}$$=2\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{IH}$
Câu 7. Cho tam giác ${ABC}$ đều cạnh $a$. Gọi ${M, N}$ là các điểm
sao cho ${3\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BC},}$ ${5\overrightarrow{AN}=4\overrightarrow{AC}}$.
a) Tính ${\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC};}$${\text{
}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}}$
b) Chứng minh ${AM}$ vuông góc với
${BN}$.
Lời
giải
a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos
\widehat{BAC}$$=a.a.\cos 60{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}$$=CB.CA.\cos
\widehat{BCA}=a.a.\cos 60{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
b) $3\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BC}$$\Leftrightarrow
3\left( \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB} \right)=2\left(
\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)$$\Rightarrow
\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
$5\overrightarrow{AN}=4\overrightarrow{AC}$$\Leftrightarrow
5\left( \overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BA} \right)=4\overrightarrow{AC}$$\Rightarrow
\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AC}$
Ta có: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\left(
\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} \right)\left(
-\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AC} \right)$$=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{8}{15}{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-\dfrac{1}{3}{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+\dfrac{4}{15}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$$=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\dfrac{8}{15}{{\overrightarrow{AC}}^{2}}-\dfrac{1}{3}{{\overrightarrow{AB}}^{2}}$
$=-\dfrac{2}{5}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{8}{15}.{{a}^{2}}-\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}=0$$\Rightarrow
\overrightarrow{AM}\bot \overrightarrow{BN}\Leftrightarrow $ $AM$ vuông góc với $BN$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$
là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a}
\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|$.
B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.
C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-1$.
D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-\left| \overrightarrow{a}
\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|$.
Lời giải
Chọn A
Do $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$
là hai vectơ cùng hướng nên $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}
\right)=0{}^\circ \Rightarrow cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}
\right)=1$.
Vậy $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|
\overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|$.
Câu 2.
Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a.$ Tính tích vô hướng
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2{{a}^{2}}.$
B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Lời giải
Chọn D
Xác định được góc $\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}
\right)$ là góc $\widehat{A}$ nên $\left(
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=60{}^\circ .$
Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\left(
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right)=a.a.cos60{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.$
Câu 3. Cho
hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $C.$ Đẳng thức
nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}=2{{a}^{2}}.$
B. $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}{{a}^{2}}.$
C. $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}=\sqrt{5}{{a}^{2}}.$
D. $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}=5{{a}^{2}}.$
Lời giải
Chọn A
Ta có $C$ là trung điểm của $DE$ nên $DE=2a.$
Khi
đó $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AB}=\left(
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE} \right).\overrightarrow{AB}$$=\underbrace{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}}_{0}+\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{AB}$
$=DE.AB.\cos \left(
\overrightarrow{DE},\overrightarrow{AB} \right)=DE.AB.\cos 0{}^\circ
=2{{a}^{2}}.$
Câu 4. Cho 2 vectơ đơn vị ${\overrightarrow{a}}$ và ${\overrightarrow{b}}$
thỏa${\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=2}$. Hãy xác định ${\left(
3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b} \right)\left(
2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b} \right)}$
A. $7$.
B. $5$.
C. $-7$.
D. $-5$.
Lời giải
Chọn C
$\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=1$, $\left|
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=2\Leftrightarrow {{\left(
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1$, $\left(
3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b} \right)\left( 2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}
\right)$$=6{{\overrightarrow{a}}^{2}}-20{{\overrightarrow{b}}^{2}}+7\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-7$.
Câu 5. Cho tam
giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AB=c,\text{ }AC=b.$ Tính $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}.$
A. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}={{b}^{2}}$
B. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}={{c}^{2}}$
C. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}={{b}^{2}}-{{c}^{2}}$
Lời giải
Chọn B
Cách
1. Ta
có $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.cos\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}
\right)$$=BA.BC.cos\widehat{B}$$=c.\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\dfrac{c}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}={{c}^{2}}$.
Cách 2.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ suy ra $AB\bot AC$$\Rightarrow
\,\,\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$
Ta có $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}.\left(
\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} \right)$$={{\overrightarrow{BA}}^{2}}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=A{{B}^{2}}={{c}^{2}}$.
Câu
6. Cho tam giác
$OAB$ vuông cân tại $O$, cạnh $OA=4$. Tính $\left|
2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|$.
A. $\left|
2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|=4$.
B. $\left|
2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|=2$.
C. $\left|
2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|=12$.
D. $\left|
2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|=4\sqrt{5}$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $D$ là điểm đối xứng của $O$
qua $A$.
$\left|
2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|=\left|
\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB} \right|=\left| \overrightarrow{BD}
\right|$$=BD=\sqrt{O{{B}^{2}}+O{{D}^{2}}}$$=\sqrt{{{8}^{2}}+{{4}^{2}}}=4\sqrt{5}$
Câu
7. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B}=30{}^\circ
,\,AC=2$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính giá trị của biểu thức $P=\overrightarrow{AM}.\,\overrightarrow{BM}$.
A. $P=-2$.
B. $P=2\sqrt{3}$.
C. $P=2$.
D. $P=-2\sqrt{3}$.
Lời giải
Chọn A
Ta
có: $P=\overrightarrow{AM}.\,\overrightarrow{BM}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}).\,\overrightarrow{BM}$$=\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{BM}+\,{{\overrightarrow{BM}}^{2}}$
$BC=\dfrac{AC}{\sin
30{}^\circ }=4;$$\,AB=AC.\,\cot 30{}^\circ =2\sqrt{3};\,BM=2$
$\Rightarrow
{{\overrightarrow{BM}}^{2}}=4;\,\,\overrightarrow{AB}.\,\overrightarrow{BM}$ $=2\sqrt{3}.\,2.\,\cos
150{}^\circ =-6$$\Rightarrow P=-2$.
Câu
8. Cho tam giác
$ABC$ vuông tại $A$, $BC=a\sqrt{3}$, $M$ là trung điểm của $BC$ và có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Tính cạnh $AB,AC.$
A. $AB=a,\,AC=a\sqrt{2}$.
B. $AB=a,\,AC=a$.
C. $AB=a\sqrt{2},\,AC=a$.
D. $AB=a\sqrt{2},\,AC=a\sqrt{2}$.
Lời giải
Chọn A
Vẽ $AH\bot BC,H\in BC$.
Có $\overrightarrow{HM}$ là hình
chiếu của $\overrightarrow{AM}$ lên $BC$.
Suy ra $\overrightarrow{AM}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HM}.\overrightarrow{BC}$,
mà $\overrightarrow{AM}\overrightarrow{BC}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$, $BC=a\sqrt{3}$.
Suy ra $\overrightarrow{HM}$
cùng chiều $\overrightarrow{BC}$ và $HM.BC=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$, $HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.
Có $BH=BM-HM$$=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}-\dfrac{a\sqrt{3}}{6}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Có $A{{B}^{2}}=BH.BC={{a}^{2}}$$\Rightarrow
AB=a$ và $AC=a\sqrt{2}$.
Vậy $AB=a$ và $AC=a\sqrt{2}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho hình
thoi ${A B C D}$ có cạnh bằng 2 và góc ${B}$ bằng $60{}^\circ $. Khi đó:
a) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=60{}^\circ $
b) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA})=30{}^\circ $
c) $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=3$
d) $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BA}=-3$
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
Xét hình thoi ${A B C D}$ có $\widehat{ABC}=60{}^\circ
\Rightarrow \widehat{BAD}=120{}^\circ $; tam giác ${A B C}$ có $AB=BC=2,\widehat{ABC}=60{}^\circ
\Rightarrow \Delta ABC$ đều cạnh ${2 \Rightarrow O B=\dfrac{2
\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}}$.
Ta có: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=60{}^\circ
$, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA})=180{}^\circ
-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$$=180{}^\circ
-\widehat{BAD}=180{}^\circ -120{}^\circ =60{}^\circ $
Ta có: $\overrightarrow{DA}\cdot
\overrightarrow{DC}=|\overrightarrow{DA}|\cdot |\overrightarrow{DC}|\cos
(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})$$=DA\cdot DC\cdot \cos
\widehat{ADC}=2\cdot 2\cdot \cos 60{}^\circ =2$;
$\overrightarrow{OB}\cdot
\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BO}\cdot \overrightarrow{BA}$$=-|\overrightarrow{BO}|\cdot
|\overrightarrow{BA}|\cdot \cos \widehat{ABO}$$=-BO\cdot BA\cdot \cos
30{}^\circ =-\sqrt{3}\cdot 2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=-3.$
Câu
2. Cho hình
vuông ${A B C D}$ tâm ${O}$, có cạnh ${a}$. Biết ${M}$ là trung điểm của ${A B,
G}$ là trọng tâm tam giác ${A D M}$. Khi đó:
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}={{a}^{2}}$
b) $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AC}=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$
c) $\overrightarrow{AD}\cdot
\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
d) $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})={{a}^{2}}$
Lời giải
a) Sai
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
Độ dài đường chéo hình vuông ${A B C D}$ cạnh ${a}$ là ${A
C=B D=\sqrt{a^2+a^2}=a \sqrt{2}}$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot
\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$${\overrightarrow{A
B} \cdot \overrightarrow{C A}=-\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A
C}=-|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cdot \cos
(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})}$
$=-AB\cdot AC\cdot \cos
\widehat{BAC}$$=-a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45{}^\circ =-{{a}^{2}}$;
$\overrightarrow{AM}\cdot
\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AM}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos
(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC})$
$=AM\cdot AC\cdot \cos
\widehat{CAM}$$=\dfrac{a}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45{}^\circ =\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.$
Ta có: $\overrightarrow{AD}\cdot
\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AC}$$=\overrightarrow{DA}\cdot
\overrightarrow{DB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{AC}$${\overrightarrow{A
D} \cdot \overrightarrow{B D}+\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{A
C}=\overrightarrow{D A} \cdot \overrightarrow{D B}+\dfrac{1}{2}
\overrightarrow{D A} \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{D A}|
\cdot|\overrightarrow{D B}| \cdot \cos (\overrightarrow{D A}, \overrightarrow{D
B})-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A C}}$
$=DA\cdot DB\cdot \cos
\widehat{ADB}-\dfrac{1}{2}AD\cdot AC\cdot \cos \widehat{CAD}$
$=a\cdot a\sqrt{2}\cdot
\cos 45{}^\circ -\dfrac{1}{2}a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45{}^\circ $$={{a}^{2}}-\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}.$
Ta có ${\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A
D}=\overrightarrow{A C}}$ (quy tắc hình bình hành).
Do đó: $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC})$${(\overrightarrow{A
B}+\overrightarrow{A D})(\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B
C})=\overrightarrow{A C}(\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{B C})}$
$=\underbrace{\overrightarrow{AC}\cdot
\overrightarrow{BD}}_{0}+\overrightarrow{AC}\cdot
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$$=|\overrightarrow{CA}|\cdot
|\overrightarrow{CB}|\cos \widehat{ACB}$$=a\cdot a\sqrt{2}\cos 45{}^\circ
={{a}^{2}}$
(trong đó ${\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B
D}=0}$ vì ${\overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{B D}}$ ).
Câu
3. Cho hình
thang ${A B C D}$ vuông tại ${A}$ và ${B}$, biết ${A D=a, B C=3 a}$ và cạnh ${A
B=2 a}$. Khi đó:
a) $\overrightarrow{AB}\cdot
\overrightarrow{BD}=-4{{a}^{2}}$
b) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BD}=2{{a}^{2}}$
c) $\overrightarrow{AC}\cdot
\overrightarrow{BD}=-2{{a}^{2}}$
d) Gọi ${I, J}$ lần lượt là trung điểm của ${A B, C D}$. Khi
đó$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{IJ}=6{{a}^{2}}$
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
a) Tính ${\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B D}}$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot
\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})$${\overrightarrow{A
B} \cdot \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A B}(\overrightarrow{B
A}+\overrightarrow{A D})=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B A}+\underbrace{\overrightarrow{A
B} \cdot \overrightarrow{A D}}_0}$
$=\overrightarrow{AB}\cdot
\overrightarrow{BA}=-{{\overrightarrow{AB}}^{2}}=-A{{B}^{2}}=-4{{a}^{2}}\text{.
}$
b) Tính ${\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B D}}$.
Ta có: $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BD}=BC\cdot BD\cdot \cos
(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD})$${\overrightarrow{B C} \cdot
\overrightarrow{B D}=B C \cdot B D \cdot \cos (\overrightarrow{B C},
\overrightarrow{B D})=B C \cdot B D \cdot \cos \widehat{D B C}}$
$=BC\cdot BD\cdot \cos
\widehat{BDA}$$=BC\cdot BD\cdot \dfrac{AD}{BD}=BC\cdot AD=3{{a}^{3}}.$
(trong đó ${\widehat{D B C}=\widehat{B D A}}$ vì là hai góc
so le trong).
c) Tính ${\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}}$.
Ta có: $\overrightarrow{AC}\cdot
\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})$${\overrightarrow{A
C} \cdot \overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B
C})(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D})=\overrightarrow{A B} \cdot
\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A
D}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C} \cdot
\overrightarrow{A D}}$
$=-{{\overrightarrow{AB}}^{2}}+0+0+BC\cdot
AD\cdot \cos 0{}^\circ $$=-A{{B}^{2}}+3a\cdot a\cdot
1=-{{(2a)}^{2}}+3{{a}^{2}}=-{{a}^{2}}.$
d) Tính ${\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{I J}}$.
Ta có:
$\overrightarrow{AC}\cdot
\overrightarrow{IJ}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})\cdot
\overrightarrow{IJ}$$=\underbrace{\overrightarrow{AB}\cdot
\overrightarrow{IJ}}_{0}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{IJ}$$=BC\cdot
IJ\cdot \cos 0{}^\circ =3a\cdot 2a\cdot 1=6{{a}^{2}}.$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho tam giác
${A B C}$ vuông tại ${A}$ có cạnh ${A C=7 {~cm}}$ và ${B C=14 {~cm}}$.
Tính côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{A C}}$
và ${\overrightarrow{C B}}$.
Trả lời: $-0,5$
Lời giải
Ta có: $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=180{}^\circ
-(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$$=180{}^\circ -\widehat{ACB}$.
Mà ${\cos (\widehat{A C B})=\dfrac{A C}{B C}=\dfrac{1}{2}}$
nên $\widehat{ACB}=60{}^\circ $.
Vậy $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=180{}^\circ
-60{}^\circ =120{}^\circ $ hay $\cos (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=\cos
120{}^\circ =-\dfrac{1}{2}$
Câu
2. Cho hình
vuông ${A B C D}$ cạnh bằng 3. Trên cạnh ${A B}$ lấy điểm ${M}$ sao cho ${B
M=1}$, trên cạnh ${C D}$ lấy điểm ${N}$ sao cho ${D N=1}$ và ${P}$ là trung điểm
${B C}$. Tính ${\cos \widehat{M N P}}$.
Trả lời: $0,82$
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{NM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD},$${\overrightarrow{N
M}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{N
P}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A B}-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A D}}$
Suy ra ${\overrightarrow{N M} \cdot \overrightarrow{N P}=\dfrac{2}{9}
\cdot 9+\dfrac{1}{2} \cdot 9=\dfrac{13}{2}}$
Mặt khác $|\overrightarrow{NM}|=\sqrt{10},|\overrightarrow{NP}|=\dfrac{5}{2}$$\Rightarrow
\cos \widehat{MNP}=\dfrac{13}{5\sqrt{10}}.$
Câu
3. Cho hai
vectơ ${\vec{a}}$ và ${\vec{b}}$. Biết ${|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=\sqrt{3}}$ và $(\vec{a},\vec{b})=120{}^\circ
$. Tính ${|\vec{a}+\vec{b}|}$.
Trả lời: $1,88$
Lời giải
Ta có $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{{{(\vec{a}+\vec{b})}^{2}}}=\sqrt{{{{\vec{a}}}^{2}}+{{{\vec{b}}}^{2}}+2\vec{a}\vec{b}}$$=\sqrt{|\vec{a}{{|}^{2}}+|\vec{b}{{|}^{2}}+2|\vec{a}|\cdot
|\vec{b}|\cdot \cos (\vec{a},\vec{b})}$${|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(\vec{a}+\vec{b})^2}=\sqrt{\vec{a}^2+\vec{b}^2+2
\vec{a} \vec{b}}=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot
\cos (\vec{a}, \vec{b})}=\sqrt{7-2 \sqrt{3}}}$
