BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1.
Phương trình đường thẳng
Vectơ
chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ $\vec{u}$
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ nếu $\vec{u}\ne
\vec{0}$ và giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta $.
Vectơ $\vec{n}$
được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $ nếu $\vec{n}\ne
\vec{0}$ và $\vec{n}$ vuông góc với vectơ chỉ phương của $\Delta $.
Chú
ý:
- Nếu đường
thẳng $\Delta $ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left( a;b \right)$ thì $\Delta $
sẽ nhận $\vec{u}=\left( b;-a \right)$ hoặc $\vec{u}=\left( -b;a \right)$ là một
vectơ chỉ phương.
- Nếu $\vec{u}$
là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ thì $k\vec{u}\,\,\left( k\ne 0
\right)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta $.
- Nếu $\vec{n}$
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $ thì $k\vec{n}\,\,\left( k\ne 0
\right)$ cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta $.
Phương
trình tham số của đường thẳng
Trong mặt
phẳng $Oxy$, ta gọi:
$\left\{
\begin{align} &
x={{x}_{0}}+t{{u}_{1}} \\ &
y={{y}_{0}}+t{{u}_{2}} \\ \end{align} \right.$ (với $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}>0,\,\,t\in
\mathbb{R}$)
là phương
trình tham số của đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left(
{{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left(
{{u}_{1}};{{u}_{2}} \right)$.
Chú
ý: Cho $t$ một
giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng $\Delta $ và ngược
lại.
Phương
trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt
phẳng $Oxy$, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng $ax+by+c=0$
với $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.
Chú
ý:
- Mỗi
phương trình $ax+by+c=0$ ($a$ và $b$ không đồng thời bằng 0) đều xác định một
đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left( a;b \right)$.
- Khi
cho phương trình đường thẳng $ax+by+c=0$, ta hiểu $a$ và $b$ không đồng thời bằng
0.
Nhận
xét:
- Phương
trình đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}}
\right),\,\,B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ có dạng:
$\dfrac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\dfrac{y-{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}$
(với ${{x}_{B}}\ne {{x}_{A}}$, ${{y}_{B}}\ne {{y}_{A}}$).
- Nếu đường
thẳng $\Delta $ cắt trục $Ox$ và $Oy$ tại $A\left( a;0 \right)$ và $B\left( 0;b
\right)$ ($a,\,\,b$ khác 0) thì phương trình $\Delta $ có dạng: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ (1)
Phương
trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.
Liên
hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng
Ta đã biết
đồ thị của hàm số bậc nhất $y=kx+{{y}_{0}}\,\,\left( k\ne 0 \right)$ là một đường
thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( 0;{{y}_{0}} \right)$ và có hệ số góc $k$. Ta có
thể viết: $y=kx+{{y}_{0}}\Leftrightarrow kx-y+{{y}_{0}}=0$.
Như vậy,
đồ thị hàm bậc nhất $y=kx+{{y}_{0}}$ là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left(
k;-1 \right)$ và có phurơng trình tổng quát là $kx-y+{{y}_{0}}=0$. Đường thẳng
này không vuông góc với $Ox$ và $Oy$.
Ngược lại,
cho đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ với $a$ và $b$ đều
khác 0, khi đó ta có thể viết: $ax+by+c=0$$\Leftrightarrow y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$$\Leftrightarrow
y=kx+{{y}_{0}}$.
Như vậy $d$
là đồ thị của hàm bậc nhất $y=kx+{{y}_{0}}$ với hệ số góc $k=-\dfrac{a}{b}$ và
tung độ gốc ${{y}_{0}}=-\dfrac{c}{b}$.
Chú
ý:
- Nếu $a=0$
và $b\ne 0$ thì phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ trở thành $y=-\dfrac{c}{b}$.
Khi đó $d$ là đường thẳng vuông góc với $Oy$ tại điểm $\left( 0;-\dfrac{c}{b}
\right)$.
- Nếu $b=0$
và $a\ne 0$ thì phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ trở thành $x=-\dfrac{c}{a}$.
Khi đó $d$ là đường thẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm $\left( -\dfrac{c}{a};0
\right)$.
Trong cả
hai trường hợp này, đường thẳng $d$ không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.
2. Vị
trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt
phẳng $Oxy$, cho hai đường thẳng ${{\Delta
}_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0$ $\left( a_{1}^{2}+b_{1}^{2}>0
\right)$ có vectơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{1}}$ và đường thẳng ${{\Delta
}_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ $\left( a_{2}^{2}+b_{2}^{2}>0
\right)$ có vectơ pháp tuyến ${{\vec{n}}_{2}}$.
+ Nếu ${{\vec{n}}_{1}}$
và ${{\vec{n}}_{2}}$ cùng phương thì ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$
song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm $P$ tuỳ ý trên ${{\Delta }_{1}}$.
- Nếu $P\in
{{\Delta }_{2}}$ thì ${{\Delta }_{1}}\equiv {{\Delta }_{2}}$.
- Nếu $P\notin
{{\Delta }_{2}}$ thì ${{\Delta }_{1}}\parallel {{\Delta }_{2}}$.
+ Nếu ${{\vec{n}}_{1}}$
và ${{\vec{n}}_{2}}$ không cùng phương thì ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta
}_{2}}$ cắt nhau tại một điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ với $\left(
{{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{
\begin{align} &
{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0 \\ & {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0 \\ \end{align}
\right.$.
Chú
ý:
a) Nếu ${{\vec{n}}_{1}}.{{\vec{n}}_{2}}=0$
thì ${{\vec{n}}_{1}}\bot {{\vec{n}}_{2}}$, suy ra ${{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta
}_{2}}$.
b) Để
xét hai vectơ ${{\vec{n}}_{1}}=\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}} \right)$ và ${{\vec{n}}_{2}}=\left(
{{a}_{2}};{{b}_{2}} \right)$ cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức
${{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}$:
- Nếu ${{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}=0$
thì hai vectơ cùng phương.
- Nếu ${{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}\ne
0$ thì hai vectơ không cùng phương.
Trong
trường hợp tất cả các hệ số ${{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}},\,\,{{b}_{1}},\,\,{{b}_{2}}$
đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:
- Nếu $\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}$
thì hai vectơ cùng phương.
- Nếu $\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}\ne
\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}$ thì hai vectơ không cùng phương.
3.
Góc giữa hai đường thẳng
Khái
niệm góc giữa hai đường thẳng
Hai đường
thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ cắt nhau tạo thành bốn góc.
Nếu ${{\Delta
}_{1}}$ không vuông góc với ${{\Delta }_{2}}$ thì góc nhọn trong bốn góc đó được
gọi là góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$.
Nếu ${{\Delta
}_{1}}$ vuông góc với ${{\Delta }_{2}}$ thì ta nói góc giữa ${{\Delta }_{1}}$
và ${{\Delta }_{2}}$ bằng $90{}^\circ $.
Ta
quy ước: Nếu ${{\Delta
}_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa ${{\Delta
}_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ bằng $0{}^\circ $.
Như vậy
góc $\alpha $ giữa hai đường thẳng luôn thoả mãn: $0{}^\circ \le \alpha \le
90{}^\circ $.
Góc giữa
hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ được kí hiệu là $\left(
\widehat{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}} \right)$ hoặc $\left( {{\Delta
}_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)$.
Công
thức tính góc giữa hai đường thẳng
Ta thấy
góc $\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)$ giữa hai đường thẳng và
góc $\left( {{{\vec{n}}}_{1}},\,\,{{{\vec{n}}}_{2}} \right)$ giữa hai vectơ
pháp tuyến luôn bằng nhau hoặc bù nhau. Do đó:
$\cos
\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=\left| \cos \left(
{{{\vec{n}}}_{1}},\,\,{{{\vec{n}}}_{2}} \right) \right|=\dfrac{\left|
{{{\vec{n}}}_{1}}.{{{\vec{n}}}_{2}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{1}}
\right|.\left| {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}$.
Ta có
công thức:
$\cos
\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{\left|
{{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}
\right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$.
Nhận
xét: Nếu ${{\Delta
}_{1}},\,\,{{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vectơ chỉ phương ${{\vec{u}}_{1}},\,\,{{\vec{u}}_{2}}$
thì $\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=\left| \cos \left(
{{{\vec{u}}}_{1}},\,\,{{{\vec{u}}}_{2}} \right) \right|$.
Chú
ý: Ta đã biết
hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông
góc. Do đó:
- Nếu ${{\Delta
}_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có phương trình ${{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0$
và ${{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ thì ta có:
$\left(
{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=90{}^\circ \Leftrightarrow
{{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}=0$.
$\left(
{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=90{}^\circ \Leftrightarrow
{{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1$.
Nói cách
khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng $-1$ thì vuông góc với nhau.
Khoảng
cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt
phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình $ax+by+c=0\,\,\left(
{{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0 \right)$ và điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}}
\right)$. Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}$ đến đường thẳng $\Delta $ kí hiệu là $d\left(
{{M}_{0}},\Delta \right)$ được tính bởi
công thức:
$d\left(
{{M}_{0}},\Delta \right)=\dfrac{\left|
a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.
Ví dụ 1. a) Cho đường thẳng ${\Delta}$ có
vectơ pháp tuyến ${\vec{n}=\left(\dfrac{1}{2} ;-\dfrac{5}{2}\right)}$. Tìm
vectơ chỉ phương của ${\Delta}$.
b) Cho đường thẳng ${d}$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}=(1 ;
3)}$. Tìm hai vectơ pháp tuyến của ${d}$.
Giải
a) ${\Delta}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}=\left(\dfrac{1}{2}
;-\dfrac{5}{2}\right)}$, suy ra ${\Delta}$ cũng có vectơ pháp tuyến ${2
\vec{n}=(1 ;-5)}$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}=(5 ; 1)}$.
b) Hai vectơ pháp tuyến của ${d}$ là: ${\vec{n}=(3 ;-1)
;-\vec{n}=(-3 ; 1)}$.
Ví dụ 2. a) Viết phương trình tham số của
đường thẳng ${\Delta}$ đi qua điểm ${A(2 ; 7)}$ và nhận ${\vec{u}=(-3 ; 5)}$
làm vectơ chỉ phương.
b) Tìm toạ độ điểm ${M}$ trên ${\Delta}$, biết ${M}$ có
hoành độ bằng ${-4}$.
Giải
a) Phương trình tham số của đường thẳng ${\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=2-3
t \\ y=7+5 t\end{array}\right.}$
b) Thay ${x=-4}$ vào phương trình ${x=2-3 t}$, ta được ${-4=2-3
t}$, suy ra ${t=2}$.
Thay ${t=2}$ vào phương trình ${y=7+5 t}$, ta được ${y=17}$.
Vậy ${M=(-4 ; 17)}$.
Ví dụ 3. Viết phương trình tham số và
phương trình tổng quát của đường thẳng ${d}$ trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng ${d}$ đi qua điểm ${A(2 ; 1)}$ và có vectơ chỉ
phương ${\vec{u}=(3 ; 2)}$;
b) Đường thẳng ${d}$ đi qua điểm ${B(3 ; 3)}$ và có vectơ
pháp tuyến ${\vec{n}=(5 ;-2)}$;
c) Đường thẳng ${d}$ đi qua hai điểm ${C(1 ; 1), D(3 ; 5)}$.
Giải
a) Đường thẳng ${d}$ đi qua điểm ${A(2 ; 1)}$ và có vectơ chỉ
phương ${\vec{u}=(3 ; 2)}$, nên ta có phương trình tham số của ${d}$ là: $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} x=2+3t \\
y=1+2t \\\end{array} \right.$${}$
Đường thẳng ${d}$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}=(3 ; 2)}$
nên có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}=(2 ;-3)}$. Phương trình tổng quát của ${d}$
là: ${2(x-2)-3(y-1)=0 \Leftrightarrow 2 x-3 y-1=0}$.
b) Đường thẳng ${d}$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}=(5 ;-2)}$
nên có vectơ chỉ phương ${\vec{u}=(2 ; 5)}$. Phương trình tham số của ${d}$ là:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=3+2t \\ y=3+5t
\\\end{array} \right.$${}$
Phương trình tổng quát của ${d}$ là: ${5(x-3)-2(y-3)=0
\Leftrightarrow 5 x-2 y-9=0}$.
c) Đường thẳng ${d}$ đi qua hai điểm ${C(1 ; 1), D(3 ; 5)}$
nên có vectơ chỉ phương ${\vec{u}=\overrightarrow{C D}=(2 ; 4)}$ và có vectơ
pháp tuyến ${\vec{n}=(4 ;-2)}$.
Phương trình tham số của ${d}$ là: ${\left\{\begin{array}{l}x=1+2
t \\ y=1+4 t\end{array}\right.}$.
Phương trình tổng quát của ${d}$ là:
$4(x-1)-2(y-1)=0$$\Leftrightarrow 4x-2y-2=0$$\Leftrightarrow
2x-y-1=0$.
Ví dụ 4. Xét vị trí tương đối của các cặp
đường thẳng ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$ trong mỗi trường hợp sau:
a) ${\Delta_{1}: 2 x+y-2=0}$ và ${\Delta_{2}: x-2=0}$;
b) ${\Delta_{1}: 2 x+y-2=0}$ và ${\Delta_{2}: x-y-1=0}$
c) ${\Delta_{1}: 2 x+y-2=0}$ và ${\Delta_{2}: 4 x+2 y+3=0}$
d) ${\Delta_{1}: 2 x+y-2=0}$ và ${\Delta_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=3
t \\ y=2-6 t\end{array}\right.}$
e) ${\Delta_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=2-2
t\end{array}\right.}$ và ${{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=1+2t'
\\ y=t' \\\end{array} \right.$
Giải
a) ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$ có vectơ pháp tuyến lần
lượt là ${\vec{n}_{1}=(2 ; 1)}$ và ${\vec{n}_{2}=(1 ; 0)}$.
Ta có: ${a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=2.0-1.1=-1 \neq 0}$, suy ra
${\vec{n}_{1}}$ và ${\vec{n}_{2}}$ là hai vectơ không cùng phương .
Vậy ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$ cắt nhau tại một điểm ${M}$.
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x+y-2=0
\\ x-2=0 \\\end{array} \right.$ ta được $M(2;-2).$
b) ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$ có vectơ pháp tuyến lần
lượt là ${\vec{n}_{1}=(2 ; 1)}$ và ${\vec{n}_{2}=(1 ;-1)}$.
Ta có: ${\dfrac{2}{1} \neq \dfrac{1}{-1}}$, suy ra ${\vec{n}_{1}}$
và ${\vec{n}_{2}}$ là hai vectơ không cùng phương.
Vậy ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$ cắt nhau tại một điểm ${M}$.
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}
2x+y-2=0 \\ x-y-1=0
\\\end{matrix} \right.$ ta được $M(1;0).$
c) ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$ có vectơ pháp tuyến lần
lượt là ${\vec{n}_{1}=(2 ; 1)}$ và ${\vec{n}_{2}=(4 ; 2)}$.
Ta có ${\dfrac{2}{1}=\dfrac{4}{2}}$, suy ra ${\vec{n}_{1}}$
và ${\vec{n}_{2}}$ là hai vectơ cùng phương. Vậy ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$
song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm ${M(1 ; 0)}$ thuộc ${\Delta_{1}}$, thay toạ
độ của ${M}$ vào phương trình ${\Delta_{2}}$, ta được ${4+0+3=7 \neq 0}$, suy
ra ${M}$ không thuộc ${\Delta_{2}}$. Vậy ${\Delta_{1} / / \Delta_{2}}$.
d) ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$ có vectơ pháp tuyến lần
lượt là ${\vec{n}_{1}=(2 ; 1)}$ và ${\vec{n}_{2}=(6 ; 3)}$.
Ta có ${\dfrac{2}{1}=\dfrac{6}{3}}$, suy ra ${\vec{n}_{1}}$
và ${\vec{n}_{2}}$ là hai vectơ cùng phương. Vậy ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$
song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm ${P(0 ; 2)}$ thuộc ${\Delta_{2}}$, thay toạ độ của ${P}$
vào phương trình ${\Delta_{1}}$, ta được ${0+2-2=0}$, suy ra ${P}$ thuộc ${\Delta_{2}}$.
Vậy ${\Delta_{1} \equiv \Delta_{2}}$.
e) ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$ có phương trinh tổng
quát lần lượt là ${2 x+y-2=0}$ và ${x-2 y-1=0}$, có vectơ pháp tuyến lần lượt
là ${\vec{n}_{1}=(2 ; 1)}$ và ${\vec{n}_{2}=(1 ;-2)}$.
Ta có ${\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}=2 \cdot 1+1
\cdot(-2)=0}$ nên ${\vec{n}_{1}}$ và ${\vec{n}_{2}}$ là hai vectơ vuông góc,
suy ra ${\Delta_{1} \perp \Delta_{2}}$.
Vậy ${\Delta_{1}}$ và ${\Delta_{2}}$ vuông góc và cắt nhau tại
${M(1 ; 0)}$.
Ví dụ 5. Tìm số đo của góc giữa hai đường
thẳng ${d_{1}}$ và ${d_{2}}$ trong các trường hợp sau:
a) ${{d}_{1}}:2x+4y+5=0$ và ${{d}_{2}}:3x+y+2022=0$
b) ${{d}_{1}}:x+2y+1=0$ và ${{d}_{2}}:\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} x=t \\
y=99+2t \\\end{array} \right.$
c) ${d_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=3-7
t\end{array}\right.}$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=2022+4t'
\\ y=2023-14t' \\\end{array} \right.$
Giải
a) Ta có: $\cos \left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\dfrac{|2.3+4.1|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}\cdot
\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}$${\cos \left(d_{1}, d_{2}\right)=\dfrac{|2.3+4.1|}{\sqrt{2^{2}+4^{2}}
\cdot \sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\dfrac{10}{\sqrt{200}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$. Suy ra $\left(
{{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=45{}^\circ $.
b) ${d_{2}}$ có phương trình tổng quát là ${2 x-y+99=0}$. Ta
có: ${{a}_{1}}\cdot {{a}_{2}}+{{b}_{1}}\cdot {{b}_{2}}$${a_{1} \cdot
a_{2}+b_{1} \cdot b_{2}=1 \cdot 2+2 \cdot(-1)=0}$, suy ra $\left(
{{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=90{}^\circ $.
c) Hai đường thẳng ${d_{1}, d_{2}}$ lần lượt có vectơ chỉ
phương là ${\vec{u}_{1}=(2 ;-7), \vec{u}_{2}=(4 ;-14)}$. Ta có ${\vec{u}_{2}=2
\vec{u}_{1}}$, do đó ${\vec{u}_{1} / / \vec{u}_{2}}$, suy ra $\left(
{{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=0{}^\circ $.
Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ các điểm ${O(0
; 0), M(1 ; 2)}$ đến đường thẳng ${\Delta: 4 x+3 y+5=0}$.
Giải
Ta có: $d(O,\Delta )=\dfrac{|4.0+3.0+5|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{5}{5}=1,$${d(O,
\Delta)=\dfrac{|4.0+3.0+5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\dfrac{5}{5}=1, d(M, \Delta)=\dfrac{|4.1+3.2+5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\dfrac{15}{5}=3}$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Lập phương
trình tổng quát của đường thẳng:
a)
$d$ đi qua $M\left( 3;4 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( -2;1
\right)$.
b) Qua $A\left( 2;0 \right)$ và $B\left( 0;3 \right)$.
c) Qua $M\left( -5;-8 \right)$ và có hệ số góc $k=-3$.
Lời giải
a) Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( 3;4 \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left(
-2;1 \right)$.
Phương trình tổng quát của $d$ có dạng $Ax+By+C=0$. Thay $A=-2$,
$B=1$ vào ta có: $-2x+y+C=0$.
$M\in d$ $\Rightarrow -6+4+C=0\Rightarrow C=2$.
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $-2x+y+2=0$
hay $2x-y-2=0$.
b) Phương trình theo đoạn chắn $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}=1\Leftrightarrow
3x-2y-6=0$.
c) Phương trình theo hệ số góc: $y=kx+m=-3x+m$.
Đường thẳng đi qua $M\left( -5;-8 \right)$ nên $-8=15+m\Leftrightarrow
m=-23$.
Do đó phương trình tổng quát: $y=-3x-23\Leftrightarrow
3x+y+23=0$.
Câu
2. Viết phương
trình tổng quát của đường thẳng $d$:
a) Qua $M\left( -1;-4 \right)$ và song song với đường thẳng $3x+5y-2=0$.
b) Qua $N\left( 1;1 \right)$ và vuông góc với đường thẳng $2x+3y+7=0$.
Lời giải
a) VTPT của đường thẳng $3x+5y-2=0$ cũng là VTPT của đường
thẳng $d$ nên phương trình của $d$ có dạng $3x+5y+c=0$ $(c\ne -2)$.
Vì $d$ đi qua điểm $M\left( -1;-4 \right)$ nên $-3-20+c=0\Rightarrow
c=23$.
Vậy phương trình tổng quát của $d:3x+5y+23=0$.
b) Đường thẳng $d$ vuông góc với đường thẳng $2x+3y+7=0$ nên
lấy VTCP $\left( 3;-2 \right)$ làm VTPT của $d$
$\Rightarrow d:3\left( x-1 \right)-2\left( y-1 \right)=0$$\Leftrightarrow
3x-2y-1=0$.
Câu
3. Cho tam giác
$ABC$ biết $A\left( 2;\text{ }1 \right),\text{ }B\left( 1;\text{ }0
\right),\text{ }C\left( 0;\text{ }3 \right)$
a) Viết
phương trình tổng quát của đường cao $AH$.
b) Viết
phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
c) Viết
phương trình tổng quát đường thẳng $BC$.
d) Viết
phương trình tổng quát đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$.
Lời giải
a) Ta
có đường cao $AH$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{BC}(1;3)$ là VTPT nên có
phương trình tổng quát là $1.\left(
x2 \right)+3.\left( y1 \right)=0$ hay $x+3y5=0.$
b) Gọi
$I$ là trung điểm $AB$, khi đó ${{x}_{1}}=\dfrac{{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{2}=\dfrac{1}{2}$,
${{y}_{1}}=\dfrac{{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}
\right)$. Đường trung trực đoạn thẳng $AB$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow{AB}(-3;-1)$
làm VTPT nên có phương trình tổng quát là:
$-3.\left(
x-\dfrac{1}{2} \right)-1.\left( y-\dfrac{1}{2} \right)=0$ hay $3x+y+2=0$.
c) Phương
trình tổng quát của đường thẳng $BC$ có dạng $\dfrac{x}{-1}+\dfrac{y}{3}=1$ hay
$3xy+3=0$.
d) Đường
thẳng $BC$ có VTPT là $\overrightarrow{n}(3;-1)$ do đó vì đường thẳng cần tìm
song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow{n}(3;-1)$ làm VTPT do
đó có phương trình tổng quát là: $3.\left( x2 \right)1.\left( y1
\right)=0$ hay $3xy5=0.$
Câu
4. Lập phương
trình tham số của đường thẳng $d$:
a)
Đi qua điểm $M(2;1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}=(3;7)$.
b) Đi qua điểm $M(5;1)$ và có hệ số góc $k=8$.
c) Đi qua hai điểm $A(3;4)$ và $B(4;2)$.
Lời giải
a) Phương trình tham số của $d$
là $\left\{ \begin{matrix} x=2+3t \\
y=1+7t \\\end{matrix} \right.$.
b) ${d}$ có hệ số góc ${k=8}$ nên có VTCP $\overrightarrow{u}=(1;8)$.
Vậy phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x=5+t
\\ y=1+8t \\\end{matrix} \right.$.
c) $d$ đi qua $A$ và $B$ nên $d$ có VTCP $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(1;-2)$.
Vậy phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x=3+t
\\ y=4-2t \\\end{matrix} \right.$.
Câu
5. Xét vị trí
tương đối và tìm giao điểm nếu có của hai đường thẳng:
a) $2x-5y+3=0$ và $5x+2y-3=0$.
b) $x-3y+4=0$ và $0,5x-1,5y+4=0$.
c) $10x+2y-3=0$ và $5x+y-1,5=0$.
Lời giải.
a) Ta
có $\dfrac{2}{5}\ne \dfrac{-5}{2}$ nên hai đường thẳng cắt nhau.
Tọa
độ giao điểm là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix} 2x-5y+3=0
\\ 5x+2y-3=0 \\\end{matrix} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{
\begin{matrix} x=\dfrac{9}{29} \\
y=\dfrac{21}{29} \\\end{matrix}
\right.$.
Vậy
hai đường thẳng cắt nhau tại $M\left( \dfrac{9}{29};\dfrac{21}{29} \right)$.
b) Vì
$\dfrac{1}{0,5}=\dfrac{-3}{-1,5}\ne \dfrac{4}{4}$ nên hai đường thẳng song
song.
c) Vì
$\dfrac{10}{5}=\dfrac{2}{1}=\dfrac{-3}{-1,5}$ nên hai đường thẳng trùng nhau.
Câu
6. Cho đường thẳng
$\Delta: 5x + 3y - 5 = 0$.
a) Tính
khoảng cách từ điểm $A(-1; 3)$ đến đường thẳng $\Delta$.
b) Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\Delta$ và $\Delta’: 5x
+ 3y + 8 = 0$.
Lời giải
a) Áp
dụng công thức tính khoảng cách ta có: $d\left( A,\Delta \right)=\dfrac{\left| 5.(-1)+3.3-5
\right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{34}}$.
b) Do
$M(1; 0) \in \Delta$ nên ta có $d\left( \Delta
,\Delta ' \right)=d\left( M,\Delta ' \right)$$=\dfrac{\left| 5.1+3.0+8
\right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{13}{\sqrt{34}}$.
Câu
7. Xác định góc
giữa hai đường thẳng sau: ${{\Delta }_{1}}:3x-2y+1=0$ và ${{\Delta
}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=t \\
& y=7-5t \\ \end{align}
\right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Lời giải
Ta có ${{\vec{n}}_{1}} = \left( 3;-2
\right),{{\vec{n}}_{2}} = \left( 5;1 \right)$ lần lượt là véctơ pháp tuyến của các
đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$, suy ra:
$\cos \left( {{\Delta
}_{1}};{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{\left| 3.5-2.1 \right|}{\sqrt{13}.\sqrt{26}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,
do đó $\left( {{\Delta }_{1}};{{\Delta }_{2}} \right)=45{}^\circ $.
Câu 8. Tìm $m$ để góc hợp bởi hai đường
thẳng ${{\Delta }_{1}}:\sqrt{3}x-y+7=0$ và ${{\Delta }_{2}}:mx+y+1=0$bằng $30{}^\circ
$.
Lời giải
Ta có $\cos \left( {{\Delta
}_{1}};{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{\left| m\sqrt{3}-1 \right|}{\sqrt{3+1}.\sqrt{{{m}^{2}}+1}}$.
Theo giải thiết, góc hợp bởi hai đường
thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}$ bằng $30{}^\circ $ nên:
$\cos {{30}^{0}}=\dfrac{\left|
m\sqrt{3}-1 \right|}{2\sqrt{{{m}^{2}}+1}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{3\left(
{{m}^{2}}+1 \right)}=\left| m\sqrt{3}-1 \right|$$\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}+1
\right)={{\left( m\sqrt{3}-1 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
Vậy $m=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ là giá
trị cần tìm.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d:x-2y+3=0$. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$
là
A. $\overrightarrow{n}=\left(
1;-2 \right)$
B. $\overrightarrow{n}=\left(
2;1 \right)$
C. $\overrightarrow{n}=\left( -2;3
\right)$
D. $\overrightarrow{n}=\left(
1;3 \right)$
Lời giải
Chọn A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{n}=\left(
1;-2 \right)$.
Câu 2. Cho đường
thẳng $\left( d \right):3x+2y-10=0$. Véc tơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của
$\left( d \right)$?
A. $\overrightarrow{u}=\left( 3\,;\,2 \right)$.
B. $\overrightarrow{u}=\left( 3\,;\,-2 \right)$.
C. $\overrightarrow{u}=\left( 2\,;\,-3 \right)$.
D. $\overrightarrow{u}=\left( -2\,;\,-3 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng $\left( d \right)$ có một véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(
3\,;\,2 \right)$ nên $\left( d \right)$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(
2\,;\,-3 \right)$.
Câu 3. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 2;-1 \right)$ và
$B\left( 2;5 \right)$ là
A. $\left\{
\begin{align} & x=2t \\ & y=-6t \\ \end{align} \right.$.
B. $\left\{
\begin{align} & x=2+t \\ & y=5+6t \\ \end{align} \right.$.
C. $\left\{
\begin{align} & x=1 \\ & y=2+6t \\ \end{align} \right.$.
D. $\left\{
\begin{align} & x=2 \\ & y=-1+6t \\ \end{align} \right.$.
Lời
giải
Chọn D
Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(
0;6 \right)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và
có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 0;6 \right)$ là $\left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=-1+6t \\ \end{align} \right.$.
Câu
4. Phương trình đường
thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;-2 \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta
:3x-2y+1=0$ là:
A. $3x-2y-7=0$.
B. $2x+3y+4=0$.
C. $x+3y+5=0$.
D. $2x+3y-3=0$.
Lời
giải
Chọn B
Do $d\bot \Delta \Rightarrow
\overrightarrow{{{n}_{d}}} = \left( 2;3 \right)$
Mà đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;-2
\right)$ nên ta có phương trình: $2\left( x-1 \right)+3\left( y+2
\right)=0\Leftrightarrow 2x+3y+4=0$.
Vậy phương trình đường thẳng $d:2x+3y+4=0$.
Câu 5. Viết
phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( -1;2 \right)$ và
song song với đường thẳng $\Delta :3x-13y+1=0$.
A.
$\left\{ \begin{align} & x=-1+13t \\
& y=2+3t \\ \end{align} \right.$.
B.
$\left\{ \begin{align} & x=1+13t \\ & y=-2+3t \\ \end{align} \right.$.
C.
$\left\{ \begin{align} & x=-1-13t \\
& y=2+3t \\ \end{align} \right.$.
D.
$\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=2-13t \\ \end{align} \right.$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\left\{ \begin{align} & A\left( -1;2 \right)\in d \\ & {{{\vec{n}}}_{\Delta }}=\left( 3;-13
\right) \\ & d||\Delta \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left\{
\begin{align} & A\left( -1;2
\right)\in d \\ &
{{{\vec{n}}}_{d}}=\left( 3;-13 \right) \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow
\left\{ \begin{align} & A\left( -1;2
\right)\in d \\ &
{{{\vec{u}}}_{d}}=\left( 13;3 \right) \\ \end{align} \right.$. Vậy $d:\left\{
\begin{align} & x=-1+13t \\ & y=2+3t \\ \end{align} \right.\left( t\in
\mathbb{R} \right).$
Câu 6. Cho đường thẳng ${{d}_{1}}:2x+3y+15=0$
và ${{d}_{2}}:x-2y-3=0$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$
cắt nhau và không vuông góc với nhau.
B. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$
song song với nhau.
C. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$
trùng nhau.
D. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$
vuông góc với nhau.
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng${{d}_{1}}:2x+3y+15=0$ có một vectơ pháp tuyến
là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 2;3 \right)$ và đường thẳng ${{d}_{2}}:x-2y-3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left(
1;-2 \right)$.
Ta thấy $\dfrac{2}{1}\ne \dfrac{3}{-2}$ và $\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=2.1+3.(-2)=-4\ne
0$.
Vậy ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ cắt nhau và không vuông góc với nhau.
Câu 7. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường
thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{matrix}
x=-3+4t \\ y=2+5t
\\\end{matrix} \right.$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{matrix} x=1+4{t}'
\\ y=7-5{t}' \\\end{matrix} \right..$
A.
$\left( 1;7 \right).$
B.
$\left( -3;2 \right).$
C.
$\left( 2;-3 \right).$
D.
$\left( 5;1 \right).$
Lời giải
Chọn A
Lập hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 4t = 1 + 4t'\\ 2 + 5t = 7 - 5t' \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t - t' = 1 \hfill \\ t + t' = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} t = 1 \hfill \\ t' = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Thay $t=1$ vào ${{d}_{1}}:\left\{
\begin{matrix} x=-3+4t \\
y=2+5t \\\end{matrix} \right.$ ta
được $\left\{ \begin{align} & x=1 \\
& y=7 \\ \end{align} \right.$.
Câu
8. Cho hai đường
thẳng $~{{d}_{1}}:2x+3y-19=0$ và $~{{d}_{2}}:\left\{ \begin{matrix} x=22+2t
\\ y=55+5t \\\end{matrix} \right.$. Tìm toạ độ giao điểm
của hai đường thẳng đã cho.
A.
$\left( 2;5 \right).$
B.
$\left( 10;25 \right).$
C.
$\left( -1;7 \right).$
D.
$\left( 5;2 \right).$
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình: $2\left( 22+2t
\right)+3\left( 55+5t \right)-19=0\Leftrightarrow t=-10$.
Thay $t=-10$ vào $~{{d}_{2}}:\left\{
\begin{matrix} x=22+2t \\
y=55+5t \\\end{matrix} \right.$
ta được $\left\{ \begin{align} & x=2
\\ & y=5 \\ \end{align} \right..$
Câu
9. Tính góc giữa
hai đường thẳng $\Delta :x-\sqrt{3}y+2=0$ và ${\Delta }':x+\sqrt{3}y-1=0$.
A. $90{}^\circ $.
B. $120{}^\circ $.
C. $60{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng $\Delta $ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(
1;-\sqrt{3} \right)$, đường thẳng ${\Delta }'$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}'}}=\left(
1;\sqrt{3} \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta ,{\Delta
}'.$
Khi đó $\cos \alpha =\left| \cos \left(
\overrightarrow{n},\overrightarrow{{{n}'}} \right) \right|$$=\dfrac{\left| 1-3
\right|}{\sqrt{1+3}.\sqrt{1+3}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \alpha =60{}^\circ $.
Câu 10. Khoảng cách từ điểm $M\left( 5\,;\,-1
\right)$ đến đường thẳng $3x+2y+13=0$ là:
A. $2\sqrt{13}$.
B. $\dfrac{28}{\sqrt{13}}$.
C. $26$.
D. $\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.
Lời
giải
Chọn A
Khoảng cách: $d=\dfrac{\left| 3.5+2.\left( -1 \right)+13
\right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}}$$=\dfrac{26}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}$.
Câu 11. Cho đường thẳng $d:\,-3x+y-5=0$
và điểm $M\left( -2;1 \right)$. Tọa độ hình chiếu vuông góc của $M$trên $d$ là
A. $\left(
\dfrac{7}{5};-\dfrac{4}{5} \right)$.
B. $\left(
-\dfrac{7}{5};\dfrac{4}{5} \right)$.
C. $\left(
-\dfrac{7}{5};-\dfrac{4}{5} \right)$.
D. $\left(
-\dfrac{5}{7};\dfrac{4}{5} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Gọi
$\Delta $ là
đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$.
Ta có
phương trình của $\Delta $ là $x+3y-1=0$
Tọa
độ hình chiếu vuông góc của $M$ trên $d$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + y - 5 = 0 \\ x + 3y - 1 = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \dfrac{7}{5}\\ y = \dfrac{4}{5} \end{array} \right.$
Câu 12. Trong
mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho
hai điểm $A\left( 1;1 \right)$, $B\left( 4;-3 \right)$ và đường thẳng $d:x-2y-1=0$.
Tìm điểm $M$ thuộc $d$ có tọa độ nguyên và thỏa mãn khoảng cách từ $M$ đến đường
thẳng $AB$ bằng $6$.
A.
$M\left( 3;7 \right).$
B.
$M\left( 7;3 \right).$
C.
$M\left( -43;-27 \right).$
D.
$M\left( 3;-\dfrac{27}{11} \right).$
Lời
giải
Chọn
B
Ta có $M\in d:x-2y-1=0$$\Rightarrow
M\left( 2m+1;m \right),\,\,m\in \mathbb{Z}$ và $AB:4x+3y-7=0$. Khi đó
$6=d\left( M;AB \right)=\dfrac{\left|
8m+4+3m-7 \right|}{5}$$\Leftrightarrow \left| 11m-3 \right|=30\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & m=3 \\ & m=\dfrac{27}{11}\,\,\,\left( l \right) \\
\end{align} \right.$. Suy ra $M\left( 7;3 \right).$
Câu
13. Trong mặt
phẳng $Oxy$, cho biết điểm $M\left( a;b \right)\,$ $\left( a>0 \right)$ thuộc
đường thẳng $d:\left\{ \begin{align}
& x=3+t \\ & y=2+t \\ \end{align}
\right.$và cách đường thẳng $\Delta :2x-y-3=0$ một khoảng $2\sqrt{5}$. Khi đó $a+b$
là.
A. $21$.
B. $23$.
C. $22$.
D. $20$.
Lời giải
Chọn B
Vì $M\left( a;b \right)\,\in d\Rightarrow M(3+t;2+t)$.
Lại có $M$ cách đường thẳng $\Delta :2x-y-3=0$ một khoảng $2\sqrt{5}$
suy ra $\dfrac{\left| 2(3+t)-(2+t)-3 \right|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$$\Leftrightarrow
\left| t+1 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=9 \\ & t=-11 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow
\left[ \begin{align} & M(12;11) \\ & M(-8;-9) \\ \end{align} \right.$.
Vì $a>0$ nên điểm $M(-8;-9)$ không thỏa mãn.
Vậy: $M(12;11)\Rightarrow a+b=23$.
Câu
14. Cho tam giác $ABC$ với $A\left( 1;\,1
\right)$, $B\left( 0;\,-2 \right)$, $C\left( 4;\,2 \right)$. Phương trình tổng
quát của đường trung tuyến đi qua điểm $B$ của tam giác $ABC$ là
A. $7x+7y+14=0$.
B. $5x-3y+1=0$.
C. $3x+y-2=0$.
D. $-7x+5y+10=0$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AC\Rightarrow M\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}
\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{7}{2}
\right)$.
Đường trung tuyến $BM$ nhận $\overrightarrow{n}=\left( -7;5
\right)$ làm một véctơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của đường trung
tuyến qua điểm $B$ của tam giác $ABC$ là:
$-7x+5(y+2)=0$$\Leftrightarrow -7x+5y+10=0$.
Câu
15. Trong mặt
phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A\left( 2;1 \right)$, $B\left(
2;-3 \right)$,$C\left( -2;-1 \right)$. Trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ có tọa độ
$\left( a;b \right)$. Biểu thức $S=3a+2b$ bằng bao nhiêu?
A. $0$.
B. $1$.
C. $5$.
D. $-1$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( -4;2 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(
-4;-2 \right)$, $\overrightarrow{AH}=\left( a-2;b-1 \right)$, $\overrightarrow{BH}=\left(
a-2;b+3 \right)$.
Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên ta có
$\left\{ \begin{align}
& \overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{BC} \\ & \overrightarrow{BH}\bot
\overrightarrow{AC} \\ \end{align} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b = 3\\2a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.$
Vậy $S=3a+2b$$=3.1+2.\left( -1 \right)=1$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) ${\Delta}$ qua ${A(-3 ; 4)}$ và có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}=(2
;-7)}$, khi đó phương trình tổng quát của ${\Delta}$ là $7x+2y+10=0$
b) ${\Delta}$ qua hai điểm ${A(1 ;-4)}$ và ${B(3 ;-1)}$, khi
đó phương trình tổng quát của ${\Delta}$ là ${3 x-2 y-11=0}$
c) ${\Delta}$ có phương trình tham số là ${\left\{\begin{array}{l}x=1+t
\\ y=2-3 t\end{array}\right.}$, khi đó phương trình tổng quát của ${\Delta}$ là
$3x+y-2=0$
d) ${\Delta}$ đi qua ${A(-1 ; 5)}$ và
có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}=(2 ; 1)}$, khi đó phương trình tổng quát của ${\Delta}$
là $2x+y-3=0.$
Lời giải
a)
Sai
b)
Đúng
c) Sai
d)
Đúng
a) Vectơ pháp tuyến của ${\Delta}$ là ${\vec{n}=(7 ; 2)}$,
vì vậy phương trình tổng quát của ${\Delta}$ là: ${7(x+3)+2(y-4)=0}$ hay ${7
x+2 y+13=0}$.
b) ${\Delta}$ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{A
B}=(2 ; 3)}$ nên có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}=(3 ;-2)}$. Phương trình tổng
quát của ${\Delta}$ là ${3(x-1)-2(y+4)=0}$ hay ${3 x-2 y-11=0}$.
c) Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương đường
thẳng.
Từ phương trình tham số của ${\Delta}$, ta biết được ${\Delta}$
qua điểm ${M(1 ; 2)}$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}=(1 ;-3)}$, suy ra vectơ pháp
tuyến ${\vec{n}=(3 ; 1)}$. Vậy phương trình tổng quát của ${\Delta:
3(x-1)+1(y-2)=0}$ hay ${3 x+y-5=0}$.
Cách 2: Khử tham số t từ phương trình
tham số đường thẳng.
Với ${x=1+t \Rightarrow t=x-1}$, thay vào phương trình ${y=2-3
t}$, ta được phương trình tổng quát của đường thẳng ${\Delta: y=2-3(x-1)}$ hay ${3
x+y-5=0}$.
d) Phương trình tổng quát của đường thẳng ${\Delta}$ : $2(x+1)+1(y-5)=0\text{
hay }2x+y-3=0.$
Câu
2. Cho tam giác ${A B C}$ có phương trình của đường thẳng ${B
C}$ là ${7 x+5 y-8=0}$, phương trình các đường cao kẻ từ ${B, C}$ lần lượt là $9x-3y-4=0,$${9
x-3 y-4=0, x+y-2=0}$. Khi đó:
a) Điểm ${B}$ có toạ độ là ${\left(\dfrac{2}{3}
; \dfrac{2}{3}\right)}$.
d) Điểm ${C}$ có toạ độ là ${(-1 ;
3)}$.
c) Phương trình đường cao kẻ từ ${A}$ là $5x-7y-6=0$.
d) Phương trình đường trung tuyến kẻ từ ${A}$ là $x-13y+4=0$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Sai
Toạ độ của điểm ${B}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} 7x+5y-8=0 \\
9x-3y-4=0 \\\end{array} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\dfrac{2}{3} \\
y=\dfrac{2}{3} \\ \end{array}
\right..$
Suy ra điểm ${B}$ có
toạ độ là ${\left(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)}$.
Toạ độ của điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} 7x+5y-8=0 \\
x+y-2=0 \\\end{array} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-1 \\ y=3 \\
\end{array} \right.$.
Suy ra điểm ${C}$ có toạ độ là ${(-1 ; 3)}$.
Đường thẳng ${A B}$ đi qua điểm ${B\left(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)}$
và nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-1)$ của đường cao kẻ từ
$C$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $(x+1)+3(y-3)=0$$\Leftrightarrow
x+3y-8=0$
Toạ độ của điểm ${A}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} x-y=0 \\
x+3y-8=0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=2 \\ y=2 \\\end{array}
\right. \right..$
Suy ra điểm ${A}$ có toạ độ là ${(2 ; 2)}$.
Phương trình đường cao kẻ từ ${A(2 ; 2)}$ và nhận vectơ chỉ
phương $\vec{u}=(5;-7)$ của đường thẳng ${B C}$ làm vectơ pháp tuyến là: $5(x-2)-7(y-2)=0$${5(x-2)-7(y-2)=0
\Leftrightarrow 5 x-7 y+4=0}$.
Gọi ${I}$ là trung điểm của ${B C}$, ta có toạ độ của điểm ${I}$
là ${\left(\dfrac{-1}{6} ; \dfrac{11}{6}\right)}$.
Do đó, ta có ${\overrightarrow{I A}\left(\dfrac{13}{6} ; \dfrac{1}{6}\right)}$.
Đường trung tuyến kẻ từ ${A}$ nhận $\vec{n}=(1;-13)$ làm
vectơ pháp tuyến có phương trình là: $(x-2)-13(y-2)=0$${(x-2)-13(y-2)=0
\Leftrightarrow x-13 y+24=0}$.
Câu
3. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) ${{d}_{1}}:x+\sqrt{3}y=0,$${d_1: x+\sqrt{3} y=0, d_2:
x+10=0}$ có $\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=45{}^\circ $.
b) ${{d}_{1}}:2x+2\sqrt{3}y+\sqrt{5}=0,$${d_1: 2 x+2
\sqrt{3} y+\sqrt{5}=0, d_2: y-\sqrt{6}=0}$ có $\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}}
\right)=60{}^\circ $.
c) ${\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=4+2 t \\ y=1-3
t\end{array}\right.}$ và ${\Delta_2: 3 x+2 y-14=0}$ có $({{\Delta
}_{1}},{{\Delta }_{2}})=30{}^\circ $.
d) ${\Delta_1: x-3 y+3=0}$ và ${\Delta_2: x-3 y-5=0}$ có ${{\Delta
}_{1}}//{{\Delta }_{2}}$.
Lời giải:
a)
Sai
b)
Sai
c)
Sai
d)
Đúng
a) Hai đường thẳng ${d_1, d_2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec{n}_1=(1
; \sqrt{3}), \vec{n}_2=(1 ; 0)}$.
Vì vậy $\cos \left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left|
{{{\vec{n}}}_{1}}\cdot {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{1}}
\right|\cdot \left| {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}$${\cos \left(d_1, d_2\right)=\dfrac{\left|\vec{n}_1
\cdot \vec{n}_2\right|}{\left|\vec{n}_1\right| \cdot\left|\vec{n}_2\right|}=\dfrac{|1.1+\sqrt{3}
\cdot 0|}{\sqrt{1+3} \cdot \sqrt{1+0}}=\dfrac{1}{2}}$. Suy ra $\left(
{{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=60{}^\circ $.
b) Hai đường thẳng ${d_1, d_2}$ có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec{n}_1=(2
; 2 \sqrt{3}), \vec{n}_2=(0 ; 1)}$.
Vì vậy $\cos \left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left|
{{{\vec{n}}}_{1}}\cdot {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{1}}
\right|\cdot \left| {{{\vec{n}}}_{2}} \right|}$${\cos \left(d_1, d_2\right)=\dfrac{\left|\vec{n}_1
\cdot \vec{n}_2\right|}{\left|\vec{n}_1\right| \cdot\left|\vec{n}_2\right|}=\dfrac{|2.0+2
\sqrt{3} \cdot 1|}{\sqrt{4+12} \cdot \sqrt{0+1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$. Suy ra $\left(
{{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=30{}^\circ $.
c) ${\Delta_1}$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}_1=(2 ;-3)}$
nên có một vectơ pháp tuyến ${\vec{n}_1=(3 ; 2)}$; ${\Delta_2}$ có một vectơ
pháp tuyến ${\vec{n}_2=(3 ; 2)}$.
Ta có : ${3.2=2.3}$ nên hai vectơ pháp tuyến này cùng phương
nhau.
Mặt khác điểm ${A(4 ; 1) \in d_1}$ và ${A \in d_2}$. Vậy ${\Delta_1,
\Delta_2}$ trùng nhau.
d) Hai đường thẳng ${\Delta_1, \Delta_2}$ lần lượt có vectơ
pháp tuyến ${\vec{n}_1=(1 ;-3)}$, ${\vec{n}_2=(1 ;-3)}$ với ${1 .(-3)=-3.1}$
nên hai vectơ này cùng phương.
Mặt khác: ${A(0 ; 1) \in \Delta_1}$ mà ${A \notin \Delta_2}$
nên hai đường thẳng này song song nhau.
Câu
4. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) ${M(2 ;-1) ; 3 x-4 y-12=0}$ khi đó $d(M,\Delta )=\dfrac{3}{5}$.
b) ${M(4 ;-5) ;\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\ y=2+3
t\end{array}\right.}$ khi đó $d(M,\Delta )=2\sqrt{13}$.
c) ${\Delta_1: 7 x+y-3=0}$ và ${\Delta_2: 7 x+y+12=0}$ có ${\Delta_1
/ / \Delta_2}$.
d) ${\Delta_1: 7 x+y-3=0}$ và ${\Delta_2: 7 x+y+12=0}$ khi
đó $d\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Lời giải
a)
Sai
b)
Đúng
c)
Đúng
d)
Sai
a) Ta có : ${d(M, \Delta)=\dfrac{|3 \cdot 2-4
\cdot(-1)-12|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\dfrac{2}{5}}$.
b) Ta có $\Delta :\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=2t \\ y=2+3t
\\\end{array} \right.$$\Rightarrow \Delta :\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{3}$$\Rightarrow
\Delta :3x-2y+4=0$.
Do đó: ${d(M, \Delta)=\dfrac{|3 \cdot 4-2
\cdot(-5)+4|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}=2 \sqrt{13}}$.
c) Ta dễ dàng chứng minh được ${\Delta_1 / / \Delta_2}$. Ta
có ${M(0 ; 3) \in \Delta_1}$.
d) Khi đó: ${d\left(\Delta_1,
\Delta_2\right)=d\left(M, \Delta_2\right)=\dfrac{|7.0+3+12|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\dfrac{3
\sqrt{2}}{2}}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Trong mặt phẳng
toạ độ ${O x y}$, cho tam giác ${A B C}$ có ${A(2 ; 2), B(1 ; 5)}$ và đỉnh ${C}$
nằm trên đường thẳng ${d: 2 x-y-8=0}$. Tìm hoành đỉnh ${C}$, biết rằng ${C}$ có
tung độ âm và diện tích tam giác ${A B C}$ bằng 2 .
Trả lời: $2,4$
Lời giải
Phương trình đường thẳng $AB$ là: $\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-2}{3}$$\Leftrightarrow
3x+y-8=0$. $C$ nằm trên đường thẳng $d$ nên giả sử $C(t;2t-8)$.
Ta có: $AB=\sqrt{{{(1-2)}^{2}}+{{(5-2)}^{2}}}=\sqrt{10}$. Do
${{S}_{\Delta ABC}}=2$ nên $d(C,AB)=\dfrac{4}{\sqrt{10}}$. Khi đó $\dfrac{\left|
3t+(2t-8)-8 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}$$\Leftrightarrow
\left| 5t-16 \right|=4$. Suy ra $t=4$ hoặc $t=\dfrac{12}{5}$. Với $t=4$ thì $2t-8=0$
(loại vì $C$ có tung độ âm). Với $t=\dfrac{12}{5}$ thì $2t-8=\dfrac{-16}{5}$. Vậy
$C\left( \dfrac{12}{5};\dfrac{-16}{5} \right)$.
Câu
2. Trong mặt phẳng
toạ độ ${O x y}$, cho tam giác ${A B C}$ có ${A(1 ; 1), B(5 ;-2)}$, đỉnh ${C}$
thuộc đường thẳng ${y-4=0}$, trọng tâm ${G}$ thuộc đường thẳng ${3 x-2 y+6=0}$.
Tính diện tích tam giác ${A B C}$.
Trả lời: $10,5$
Lời giải
a) Đỉnh ${C}$ nằm trên đường thẳng ${y-4=0}$ nên giả sử ${C(c
; 4)}$. Giả sử ${G(a ; b)}$. Vì ${G}$ là trọng tâm tam giác nên ${a=\dfrac{6+c}{3},
b=1}$.
Do ${G}$ nằm trên đường thẳng ${3 x-2 y+6=0}$ nên ${3\left(\dfrac{6+c}{3}\right)-2+6=0
\Leftrightarrow c=-10}$. Suy ra ${G\left(-\dfrac{4}{3} ; 1\right)}$.
b) Ta có: ${\overrightarrow{A B}=(4 ;-3)}$. Suy ra ${A B=5}$
và phương trình đường thẳng ${A B}$ là: $\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-1}{-3}$$\Leftrightarrow
3x+4y-7=0$.
Từ câu a) ta có: ${C(-10}$; 4).
Khoảng cách từ ${C}$ đến đường thẳng ${A B}$ là: ${d(C, A B)=\dfrac{|3
\cdot(-10)+4 \cdot 4-7|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\dfrac{21}{5}}$.
Diện tích tam giác ${A B C}$ là: ${S=\dfrac{1}{2} A B \cdot d(C, A B)=\dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot \dfrac{21}{5}=\dfrac{21}{2}}$.
Câu
3. Cho tam giác
${A B C}$ có phương trình đường thẳng chứa các cạnh ${A B, A C, B C}$ lần lượt
là: $x+2y-1=0;$$x+y+2=0;$${x+2 y-1=0 ; x+y+2=0 ; 2 x+3 y-5=0}$. Tính diện tích
tam giác ${A B C}$.
Trả lời: $18$
Lời giải
Tọa độ của điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 3\end{array} \right.$
Suy ra điểm $A$ có tọa độ là $\left( -5;3 \right)$.
Gọi ${A H}$ là đường cao kẻ từ ${A}$ của tam giác ${A B C(H
\in B C)}$. Ta có:
$AH=d(A,BC)$$=\dfrac{|2\cdot (-5)+3\cdot 3-5|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}.$
Từ các phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ${A
B C}$ ta tính đuợc
toạ độ của điểm ${B}$ và điểm ${C}$ lần lượt là ${(7
;-3),(-11 ; 9)}$.
Do đó, độ dài đoạn thẳng ${B C}$ là ${6 \sqrt{13}}$.
Diện tích tam giác bằng $\dfrac{1}{2}.\dfrac{6\sqrt{13}}{13}.6\sqrt{13}=18$
Câu
4. Trong mặt phẳng
toạ độ ${O x y}$, cho điểm ${I(-2 ; 4)}$. Tính bán kính của đường tròn tâm $I$
tiếp xúc với đường thẳng ${\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=2+3 t \\
y=-2-t\end{array}\right.}$. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Trả lời: $4,4$
Lời giải
Đường thẳng ${\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=2+3 t \\
y=-2-t\end{array}\right.}$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(3;-1)$ nên nhận $\vec{n}=(1;3)$
làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ${\Delta}$
là: $(x-2)+3(y+2)=0$$\Leftrightarrow x+3y+4=0$.
Vì đường tròn tâm ${I}$ tiếp xúc với đường thẳng ${\Delta}$
tâm ${I}$ bằng khoảng cách từ ${I}$ đến đường thẳng ${\Delta}$ tâm I bằng khoảng cách từ ${I}$ đến đường thẳng $\Delta
$:
$R=d(I,\Delta )$$=\dfrac{|(-2)+3\cdot
4+4|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\approx 4,4$.
Câu
5. Tìm ${m}$ để
hai đường thẳng ${\Delta_1: 2 x-3 y+4=0}$ và ${\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=2-3
t \\ y=1-4 m t\end{array}\right.}$ vuông góc với nhau. Ta được $m=-\dfrac{a}{b}$
với $a,b\in \mathbb{Z}$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$.
Trả lời: $17$
Lời giải
${\Delta_1, \Delta_2}$ có hai vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}_1=(2
;-3), \vec{n}_2=(4 m ;-3)}$.
Ta có: $\Delta_1 \perp \Delta_2$ $\Leftrightarrow \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2=0$
${\Leftrightarrow 2 \cdot 4 m+(-3) \cdot(-3)=0 \Leftrightarrow m=-\dfrac{9}{8}}$.
Ta có $a+b=17$.
Câu
6. Trong mặt phẳng
tọa độ ${O x y}$, cho tam giác ${A B C}$, biết ${A(1 ; 1), B(3 ; 2), C(1 ; 3)}$.
Tính góc giữa hai đường thẳng ${A B, A C}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Trả lời: $63,4$
Lời giải
Vì ${\overrightarrow{A B}=(2 ; 1), \overrightarrow{A C}=(0 ;
2)}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ${A B, A C}$ nên ${\cos (A B, A C)=\cos
|(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})|=\dfrac{|\overrightarrow{A B}
\cdot \overrightarrow{A C}|}{|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A
C}|}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}}$.
Vậy $(AB,AC)\approx 63,4{}^\circ $.
