BÀI
2. GIẢI
TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Câu
1. Giải tam
giác $ABC$, biết
a) $c=35,\text{
}A=40{}^\circ ,\text{ }C=120{}^\circ .$
b) $a=137,5,\text{
}B=83{}^\circ ,\text{ }C=57{}^\circ .$
Lời
giải
a) Ta có $B=180{}^\circ
-(A+C)=180{}^\circ -(40{}^\circ +120{}^\circ )=20{}^\circ .$
Từ $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin
B}=\dfrac{c}{\sin C}$, ta suy ra
$a=\dfrac{c\sin A}{\sin
C}\approx 26;\text{ }a=\dfrac{c\sin B}{\sin C}\approx \dfrac{35.0,43}{0,87}\approx
13,8.$
b) Ta có $A=180{}^\circ
-(B+C)=180{}^\circ -(83{}^\circ +57{}^\circ )=40{}^\circ .$
Từ $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin
B}=\dfrac{c}{\sin C}$, ta suy ra
$b=\dfrac{a\sin B}{\sin
A}\approx \dfrac{137,5.0,9925}{0,6427}\approx 212,3;$$c=\dfrac{a\sin C}{\sin
A}\approx \dfrac{137,5.0,8387}{0,6427}\approx 179,4.$
Câu 2. Giải
tam giác $ABC$, biết $a=6,3;\text{ }b=6,3;\text{ }\widehat{C}=54{}^\circ .$
Lời
giải
Ta có $a=b=6,3$ nên tam
giác $ABC$ cân tại $C$.
Suy ra $\widehat{A}=\widehat{B}=\dfrac{180{}^\circ
-54{}^\circ }{2}=63{}^\circ .$
Áp dụng định lí sin cho
tam giác $ABC$ ta có
$\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin
A}\Leftrightarrow c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}\Leftrightarrow c=\dfrac{6,3.\sin
54{}^\circ }{\sin 63{}^\circ }\approx 5,72.$
Vậy $\widehat{A}=\widehat{B}=63{}^\circ
$, $c\approx 5,72.$
Câu
3. Từ hai vị
trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng
độ cao $AB=70\,m$, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang một góc $30{}^\circ
$, phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang một góc $15{}^\circ 3{0}'$ (như
hình vẽ). Tính độ cao $CH$ của ngọn núi so với mặt đất.
Lời giải
Cách 1:
+ Ta có: $\tan
\,\widehat{CAH}=\dfrac{CH}{AH}\Rightarrow AH=\dfrac{CH}{\tan \,30{}^\circ }$.
+ Lại có:
$\tan \,\widehat{CBI}=\dfrac{CI}{BI}\Rightarrow BI=\dfrac{CI}{\tan \,15{}^\circ
3{0}'}=\dfrac{CH-70}{\tan \,15{}^\circ 3{0}'}$.
+ Do $AH=BI$
nên $\dfrac{CH}{\tan \,30{}^\circ }=\dfrac{CH-70}{\tan \,15{}^\circ 3{0}'}=\dfrac{70}{\tan
\,30{}^\circ -\tan \,15{}^\circ 3{0}'}$.
+ Vậy $CH=\dfrac{70.\tan
\,30{}^\circ }{\tan \,30{}^\circ -\tan \,15{}^\circ 3{0}'}\approx 134,7\,m$.
Cách 2:
+ Ta có: $\,\widehat{ABC}=90{}^\circ
\,+\,15{}^\circ 3{0}'\,=\,105{}^\circ 3{0}'$.
$\widehat{ACB}=180{}^\circ
\,-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=180{}^\circ \,-60{}^\circ -\,105{}^\circ
3{0}'\,=\,14{}^\circ 3{0}'$.
+ Áp dụng
định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có:
$\dfrac{AC}{\sin
\,\widehat{ABC}}=\dfrac{AB}{\sin \,\widehat{ACB}}\Rightarrow AC=\dfrac{70.\sin
\,105{}^\circ 3{0}'}{\sin \,14{}^\circ 3{0}'}$.
+ Lại có:
$\sin \,\widehat{CAH}=\dfrac{CH}{AC}\Rightarrow CH=AC.\sin \,30{}^\circ =\dfrac{70.\sin
\,105{}^\circ 3{0}'}{\sin \,14{}^\circ 3{0}'}.\sin \,30{}^\circ \approx
134,7\,m$.
Câu
4. Các góc nhìn
đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển
được thể hiện trên hình vẽ. Nếu các đèn tín hiệu cách nhau $1536$ m thì ngọn
núi cao bao nhiêu (tính gần đúng sau dấu phẩy hai chữ số)?
Lời giải
Ta có $\widehat{ATB}=\widehat{TBN}-\widehat{TAN}=12,2{}^\circ
$.
Áp dụng định
lí sin cho tam giác $TAB$: $\dfrac{TB}{\sin \widehat{TAB}}=\dfrac{AB}{\sin
\widehat{ATB}}\Rightarrow TB=\dfrac{AB.\sin \widehat{TAB}}{\sin \widehat{ATB}}$.
Xét tam
giác vuông $TBN$ ta có:
$TN=TB.\sin
\widehat{TBN}=\dfrac{AB.\sin \widehat{TAB}.\sin \widehat{TBN}}{\sin \widehat{ATB}}=\dfrac{1536.\sin
27,4{}^\circ .\sin 39,6{}^\circ }{\sin 12,2{}^\circ }\approx 2132,14$.
Vậy chiều
cao ngọn núi xấp xỉ $2132,14$ m.
Câu
5. Hai chiếc
tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí $A$, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau
góc $60{}^\circ $. Tàu $B$ chạy với tốc độ $20$ hải lí một giờ. Tàu $C$chạy với
tốc độ $15$ hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Lời giải
Sau $2$ giờ tàu $B$ đi được $40$ hải
lí, tàu $C$ đi được $30$ hải lí. Vậy tam giác $ABC$ có $AB=40,\,\,\,AC=30$ và $\widehat{A}=60{}^\circ
$.
Áp dụng định lí côsin vào tam giác $ABC,$
ta có
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos
A={{30}^{2}}+{{40}^{2}}-2.30.40.\cos {{60}^{0}}=900+1600-1200=1300.$
Vậy
$BC=\sqrt{1300}\approx 36$ (hải lí).
Sau
$2$ giờ, hai tàu cách nhau khoảng $36$ hải lí.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Khoảng cách
từ $A$ đến $B$ không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm $C$ mà từ đó có thể nhìn được $A$
và $B$ dưới một góc $78{}^\circ 24'$. Biết $CA=250\,m,CB=120\,m$. Khoảng
cách $AB$ bằng bao nhiêu?
A. $266\,m.$
B. $255\,m.$
C. $166\,m.$
D. $298\,m.$
Lời
giải
Chọn
B.
Ta có: $A{{B}^{2}}=C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}-2CB.CA.\cos
C={{250}^{2}}+{{120}^{2}}-2.250.120.\cos 78{}^\circ 24'\simeq 64835\Rightarrow
AB\simeq 255.$
Câu
2. Trong
khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình
tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác
định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến
hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ($AB=4,3$cm;$BC=3,7$cm; $CA=7,5$ cm).
Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 5,73 cm.
B. 6,01cm.
C. 5,85cm.
D. 4,57cm.
Lời
giải
Chọn
A
Bán kính $R$ của chiếc đĩa bằng
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác$ABC$.
Nửa chu vi của tam giác $ABC$
là: $p=\dfrac{AB+BC+CA}{2}=\dfrac{4,3+3,7+7,5}{2}=\dfrac{31}{4}$cm.
Diện tích tam giác $ABC$ là: $S=\sqrt{p\left(
p-AB \right)\left( p-BC \right)\left( p-CA \right)}\approx 5,2$cm2.
Mà $S=\dfrac{AB.BC.CA}{4R}\Rightarrow
R=\dfrac{AB.BC.CA}{4S}\approx 5,73$cm.
Câu
3. Giả sử CD = h
là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất
sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, $\widehat{CAD}=63{}^\circ
$; $\widehat{CBD}=48{}^\circ $. Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào
sau đây?
A. 61,4 m.
B. 18,5 m.
C. 60 m.
D. 18 m.
Lời
giải
Chọn
A
Ta có $\widehat{CAD}=63{}^\circ
\Rightarrow \widehat{BAD}=117{}^\circ \Rightarrow \widehat{ADB}=180{}^\circ
-\left( 117{}^\circ +48{}^\circ
\right)=15{}^\circ $
Áp dụng định lý sin trong tam
giác ABD ta có: $\dfrac{AB}{\sin \widehat{ADB}}=\dfrac{BD}{\sin
\widehat{BAD}}\Rightarrow BD=\dfrac{AB.\sin \widehat{BAD}}{\sin \widehat{ADB}}$
Tam giác BCD vuông tại C nên có:
$\sin \widehat{CBD}=\dfrac{CD}{BD}\Rightarrow CD=BD.\sin \widehat{CBD}$
Vậy $CD=\dfrac{AB.\sin
\widehat{BAD}.\sin \widehat{CBD}}{\sin \widehat{ADB}}=\dfrac{24.\sin
117{}^\circ .sin48{}^\circ }{\sin 15{}^\circ }=61,4m$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho tam giác ${A B C}$ biết $a=8dm,\widehat{B}=45{}^\circ
,\widehat{C}=60{}^\circ $. Khi đó:
a) $\widehat{A}=75{}^\circ $
b)$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin
B}=\dfrac{c}{\sin C}$
c) $b\approx 5,26(~cm)$
d) $c\approx 3,17(~cm)$
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Trong ${\Delta A B C}$ ta có: $A=180{}^\circ
-B-C=180{}^\circ -45{}^\circ -60{}^\circ =75{}^\circ $.
Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin
C}\Rightarrow \dfrac{8}{\sin 75{}^\circ }=\dfrac{b}{\sin 45{}^\circ }=\dfrac{c}{\sin
60{}^\circ }$
Do đó, $b=\dfrac{8.\sin 45{}^\circ }{\sin 75{}^\circ
}\approx 5,86(~cm);c=\dfrac{8.\sin 60{}^\circ }{\sin 75{}^\circ }\approx
7,17(~cm)$.
Câu
2. Cho tam giác ${A B C}$ biết các cạnh ${a=52,1 {~cm}, b=85 {~cm},
c=54 {~cm}}$. Khi đó:
a) $\cos B=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}$
b) $A\approx 32{}^\circ $
c) $\hat{B}\approx 126{}^\circ $
d) $\hat{C}\approx 38{}^\circ $
Lời giải:
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
Theo hệ quả định lí ${\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}}$
$=\dfrac{{{85}^{2}}+{{54}^{2}}-52,{{1}^{2}}}{2.85.54}\approx
0,81\Rightarrow A\approx 36{}^\circ ;$${}$
$\cos B=\dfrac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}=\dfrac{52,{{1}^{2}}+{{54}^{2}}-{{85}^{2}}}{2.52,1.54}\approx
-0,28\Rightarrow \hat{B}\approx 106{}^\circ $${}$
$\hat{C}=180{}^\circ -(\hat{A}+\hat{B})\approx 38{}^\circ $.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Để đo chiều
cao của một cột cờ trên đỉnh một toà nhà anh Bắc đã làm như sau: Anh đứng trên
một đài quan sát có tầm quan sát cao ${5 {~m}}$ so với mặt đất, khi quan sát
anh đo được góc quan sát chân cột là $40{}^\circ $ và góc quan sát đỉnh cột là $50{}^\circ
$, khoảng cách từ chân toà nhà đến vị trí quan sát là ${18 {~m}}$. Tính chiều
cao cột cờ và chiều cao của toà nhà.
Trả lời: $6,34$
Lời giải
Trong tam giác ${D A C}$, ta có:
${\cos \widehat{A C D}=\dfrac{D C}{A C}}$, suy ra $AC=\dfrac{DC}{\cos
A}=\dfrac{18}{\cos 40{}^\circ }\approx 23,5(~m)$.
$\tan \widehat{ACD}=\tan 40{}^\circ =\dfrac{AD}{DC}$, suy ra
$AD=DC.\tan 40{}^\circ =18.\tan 40{}^\circ \approx 15,10(~m).$
Vậy chiều cao của toà nhà là: ${A E=A D+D E=A D+C F \approx
15,10+5=20,1({~m})}$.
Trong tam giác ${D B C}$ ta có:
${\cos \widehat{B C D}=\dfrac{D C}{B C}}$, suy ra $BC=\dfrac{DC}{\cos
B}=\dfrac{18}{\cos 50{}^\circ }\approx 28(~m)$.
Lại có góc $\widehat{ACB}=50{}^\circ -40{}^\circ =10{}^\circ
$, áp dụng định lí cosin trong tam giác ${A B C}$, ta có:
${A B=\sqrt{C A^2+C B^2-2 C A \cdot C B \cdot \cos A C B}}$
$\approx \sqrt{23,{{5}^{2}}+{{28}^{2}}-2.23,5.28.\cos
10{}^\circ }\approx 6,34(~m).$
Vậy chiều cao của cột cờ khoảng 6,34 m.
Câu
2. Hai chiếc
tàu thủy ${P}$ và ${Q}$ cách nhau ${100 {~m}}$. Từ ${P}$ và ${Q}$ thẳng hàng với
chân ${A}$ của tháp hải đăng ${A B}$ ở trên bờ biển người ra
nhìn chiêu cao ${A B}$ của
tháp dưới các góc $\widehat{BPA}=15{}^\circ $ và $\widehat{BQA}=22{}^\circ
$. Tính chiều cao ${A B}$ của tháp?
Trả lời: $79,6$
Lời giải
${\Delta A B P}$ và ${\Delta A B Q}$ vuông tại ${A}$ nên $AP=AB.\cot
15{}^\circ ,AQ=AB.\cot 22{}^\circ $.
Suy ra: $PQ=AP-AQ=AB.\cot 15{}^\circ -AB.\cot 22{}^\circ
=AB\left( \cot 15{}^\circ -\cot 22{}^\circ
\right)$
$\Rightarrow AB=\dfrac{PQ}{\cot 15{}^\circ -\cot 22{}^\circ
}=\dfrac{100}{\cot 15{}^\circ -\cot 22{}^\circ }\approx 79,6m\text{. }$
Vậy tháp hải đăng có chiều cao xấp xỉ $79,6~m$.
Câu
3. Để đo khoảng
cách từ một điểm ${{A}}$ trên bờ sông đến gốc cây ${{C}}$ trên cù lao giữa
sông, người ta chọn một điểm ${{B}}$ cùng ở trên bờ với ${{A}}$ sao cho từ ${{A}}$
và ${{B}}$ có thể nhìn thấy điểm ${{C}}$. Ta đo được khoảng cách ${A B=40
{~m}}$, $\widehat{CAB}=45{}^\circ ,\widehat{CBA}=70{}^\circ $. Vậy sau khi đo đạc
và tính toán khoảng cách ${A C}$ bằng bao nhiêu mét?
Trả lời: $41,5$
Lời giải
Ta có: $\widehat{C}=180{}^\circ
-\widehat{A}-\widehat{B}=65{}^\circ $.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ${A B C}$ ta có
$\dfrac{AC}{\sin
B}=\dfrac{AB}{\sin C}\Rightarrow AC=\dfrac{AB.\sin B}{\sin C}=\dfrac{40.\sin
70{}^\circ }{\sin 65{}^\circ }\approx 41,5~m\text{. }$
Vậy khoảng cách giữa ${A}$ và ${C}$ khoảng $41,5$.
Câu
4. Từ vị trí ${A}$
người ta quan sát một cây cao (hình vẽ). Biết ${A H=4 {~m}}$, $HB=20~m,\widehat{BAC}=45{}^\circ
$. Tính chiều cao của cây?
Trả lời: $17,3$
Lời giải
Trong tam giác ${A H B}$, ta có
$\tan \widehat{ABH}=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow
\widehat{ABH}\approx 11{}^\circ 19'.$
$AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=4\sqrt{26}.$
Suy ra $\widehat{ABC}=90{}^\circ -11{}^\circ 19'=78{}^\circ
41'$.
Suy ra $\widehat{ACB}=180{}^\circ
-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})=56{}^\circ 19'$.
Áp dụng định lí sin trong tam giác ${A B C}$, ta được:
$\dfrac{AB}{\sin
\widehat{ACB}}=\dfrac{CB}{\sin \widehat{BAC}}\Rightarrow CB=\dfrac{AB.\sin
\widehat{BAC}}{\sin \widehat{ACB}}\approx 17,3~m$
Câu
5. Giả sử ${C
D=h}$ là chiều cao của tháp trong đó ${C}$ là chân tháp. Chọn hai điểm ${A}$, ${B}$
trên mặt đất sao cho ba điểm ${A, B}$ và ${C}$ thẳng hàng. Ta đo được ${A B=24
{~m}}$, $\widehat{CAD}=63{}^\circ ,\widehat{CBD}=48{}^\circ $. Tính chiều cao ${h}$
của tháp?
Trả lời: $61,4$
Lời giải
Ta có $\alpha ={{\widehat{D}}_{1}}+\beta \Rightarrow
{{\widehat{D}}_{1}}=\alpha -\beta =63{}^\circ -48{}^\circ =15{}^\circ $.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ${A B D}$, ta có
$\dfrac{AD}{\sin
\beta }=\dfrac{AB}{\sin {{\widehat{D}}_{1}}}\Rightarrow AD=\dfrac{AB.\sin \beta
}{\sin {{\widehat{D}}_{1}}}=\dfrac{24\cdot \sin 48{}^\circ }{\sin 15{}^\circ
}\approx 68,9~m$
Trong tam giác vuông ${A C D}$, có
$h=CD=AD\cdot
\sin \alpha \approx 61,4m\text{. }$
Vậy chiều cao của cái tháp khoảng $61,4m$.
Câu 6. Trên nóc một tòa nhà có một cột
ăngten cao ${5 {~m}}$. Từ vị trí quan sát ${A}$ cao ${7 {~m}}$ so với mặt đất,
có thể nhìn thấy đỉnh ${B}$ và chân ${C}$ của cột ăng-ten dưới góc $50{}^\circ
$ và $40{}^\circ $ so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà?
Trả lời: $18,9$
Lời giải
Từ hình vẽ, suy ra $\widehat{BAC}=10{}^\circ $
và $\widehat{ABD}=180{}^\circ
-(\widehat{BAD}+\widehat{ADB})=180{}^\circ -\left( 50{}^\circ +90{}^\circ \right)=40{}^\circ $
Áp dụng định lí sin trong tam giác ${A B C}$, ta có
${\dfrac{B C}{\sin \widehat{B A C}}=\dfrac{A C}{\sin
\widehat{A B C}}}$
$\Rightarrow AC=\dfrac{BC.\sin \widehat{ABC}}{\sin
\widehat{BAC}}=\dfrac{5.\sin 40{}^\circ }{\sin 10{}^\circ }\approx 18,5~m$
Trong tam giác vuông ${A D C}$, ta có ${\sin \widehat{C A
D}=\dfrac{C D}{A C} \Rightarrow C D=A C \cdot \sin \widehat{C A D}=11,9 {~m}}$.
Suy ra, ${C H=C D+D H=11,9+7=18,9 {~m}}$.
Vậy chiều cao của toà nhà khoảng ${18,9 {~m}}$.
Câu
7. Từ hai vị
trí ${A}$ và ${B}$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh ${C}$ của ngọn núi.
Biết rằng độ cao ${A B=70 {~m}}$, phương nhìn ${A C}$ tạo với phương nằm ngang
góc $30{}^\circ $, phương nhìn ${B C}$ tạo với phương nằm ngang góc $15{}^\circ
30'$. Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất là bao nhiêu mét?
Trả lời: $135$
Lời giải
Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ${A B C}$ có $\widehat{CAB}=60{}^\circ
,\widehat{ABC}=105{}^\circ 30'$ và ${A B=70}$.
Khi đó $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ $
$\Leftrightarrow
\widehat{C}=180{}^\circ -(\widehat{A}+\widehat{B})=180{}^\circ -165{}^\circ
30'=14{}^\circ 30'\text{. }$
Theo định lí sin, ta có
$\dfrac{AC}{\sin
B}=\dfrac{AB}{\sin C}\Rightarrow AC=\dfrac{70.\sin 105{}^\circ 30'}{\sin
14{}^\circ 30'}\approx 269,4~m\text{. }$
Gọi ${C H}$ là khoảng cách từ ${C}$ đến mặt đất.
Tam giác vuông ${A C H}$ có cạnh ${C H}$ đối diện với góc $30{}^\circ
$ nên:
$CH=AC.\sin
30{}^\circ =\dfrac{AC}{2}=\dfrac{269,4}{2}=134,7~m\text{. }$
Vậy ngọn núi cao khoảng ${135 {~m}}$.
