[Lý thuyết] TOÁN 10. Chương 6. Bài 1. Số gần đúng và sai số

BÀI 4. BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. Elip

Nhận biết elip

Cho hai điểm cố định ${{F}_{1}},\,\,{{F}_{2}}$ và một độ dài không đổi $2a$ lớn hơn ${{F}_{1}}{{F}_{2}}$. Elip $\left( E \right)$ là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho ${{F}_{1}}M+{{F}_{2}}M=2a$.

Các điểm ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{2}}$ gọi là các tiêu điểm của elip.

Độ dài ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c$ gọi là tiêu cự của elip $\left( a>c \right)$.

Phương trình chính tắc của elip

$M\left( x;y \right)\in \left( E \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ (1) trong đó $b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}$.

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.

Chú ý:

- $\left( E \right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm ${{A}_{1}}\left( -a;0 \right),\,\,{{A}_{2}}\left( a;0 \right)$ và cắt $Oy$ tại hai điểm ${{B}_{1}}\left( 0;-b \right),\,\,{{B}_{2}}\left( 0;b \right)$.

- Các điểm ${{A}_{1}},\,\,{{A}_{2}},\,\,{{B}_{1}},\,\,{{B}_{2}}$ gọi là các đỉnh của elip.

- Tiêu điểm: Điểm ${{F}_{1}}\left( -c;0 \right)$ gọi là tiêu điểm trái, điểm ${{F}_{2}}\left( c;0 \right)$ gọi là tiêu điểm phải của elip.

- Đoạn thẳng ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a$ gọi là trục lớn, đoạn thẳng ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b$ gọi là trục nhỏ của elip.

- Giao điểm $O$ của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

- Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng $x=\pm a,\,\,y=\pm b$ gọi là hình chữ nhật cơ sở.

- Tâm sai: $e=\dfrac{c}{a}<1$.

- Nếu $M\left( x;y \right)\in \left( E \right)$ thì $\left| x \right|\le a,\,\,\left| y \right|\le b$.

- Bán kính qua tiêu của điểm $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ thuộc $\left( E \right)$ là:

$M{{F}_{1}}=a+e{{x}_{M}}=a+\dfrac{c}{a}{{x}_{M}}$ và $M{{F}_{2}}=a-e{{x}_{M}}=a-\dfrac{c}{a}{{x}_{M}}$.

2. Hypebol

Nhận biết hypebol

Cho hai điểm cố định ${{F}_{1}},\,\,{{F}_{2}}$ và một độ dài không đổi $2a$ nhỏ hơn ${{F}_{1}}{{F}_{2}}$. Hypebol $\left( H \right)$ là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho $\left| {{F}_{1}}M-{{F}_{2}}M \right|=2a$.

Các điểm ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{2}}$ gọi là các tiêu điểm của hypebol.

Độ dài ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c$ gọi là tiêu cự của hypebol $\left( c>a \right)$.

Phương trình chính tắc của hypebol

Người ta chứng minh được:

$M\left( x;y \right)\in \left( H \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ (2) trong đó $b=\sqrt{{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}$.

Phương trình (2) gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

Chú ý:

- $\left( H \right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm ${{A}_{1}}\left( -a;0 \right)$ và ${{A}_{2}}\left( a;0 \right)$. Nếu vẽ hai điểm ${{B}_{1}}\left( 0;-b \right)$ và ${{B}_{2}}\left( 0;b \right)$ vào hình chữ nhật $O{{A}_{2}}P{{B}_{2}}$ thì $OP=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=c$.

- Các điểm ${{A}_{1}},\,\,{{A}_{2}}$ gọi là các đỉnh của hypebol.

- Tiêu điểm: Điểm ${{F}_{1}}\left( -c;0 \right)$ gọi là tiêu điểm trái, điểm ${{F}_{2}}\left( c;0 \right)$ gọi là tiêu điểm phải của hypebol.

- Đoạn thẳng ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a$ gọi là trục thực, đoạn thẳng ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b$ gọi là trục ảo của hypebol.

- Giao điểm $O$ của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.

- Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng $x=\pm a,\,\,y=\pm b$ gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là $y=\pm \dfrac{b}{a}x$.

- Tâm sai: $e=\dfrac{c}{a}>1$.

- Nếu $M\left( x;y \right)\in \left( H \right)$ thì $x\le -a$ hoặc $x\ge a$.

- Nếu $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ thuộc $\left( H \right)$ thì:   $M{{F}_{1}}=\left| a+e{{x}_{M}} \right|=\left| a+\dfrac{c}{a}{{x}_{M}} \right|$ và $M{{F}_{2}}=\left| a-e{{x}_{M}} \right|=\left| a-\dfrac{c}{a}{{x}_{M}} \right|$.

3. Parabol

Nhận biết parabol

Cho một điểm $F$ và một đường thẳng $\Delta $ cố định không đi qua $F$. Parabol $\left( P \right)$ là tập hợp các điểm $M$ cách đều $F$ và $\Delta $.

$F$ gọi là tiêu điểm và $\Delta $ gọi là đường chuẩn của parabol $\left( P \right)$.

Phương trình chính tắc của parabol

$M\left( x;y \right)\in \left( P \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}=2px$.  (3)

Phương trình (3) gọi là phương trình chính tắc của parabol.

 Chú ý:

- $O$ gọi là đỉnh của parabol $\left( P \right)$.

- $Ox$ gọi là trục đối xứng của parabol $\left( P \right)$.

- $p=d\left( F;\Delta  \right)$ gọi là tham số tiêu của parabol $\left( P \right)$.

- Tiêu điểm $F\left( \dfrac{p}{2};0 \right)$.

- Phương trình đường chuẩn: $\Delta :x=-\dfrac{p}{2}$.

- Nếu $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)\in \left( P \right)$ thì: $MF=d\left( M;\Delta  \right)={{x}_{M}}+\dfrac{p}{2}$.

- Nếu $M\left( x;y \right)\in \left( P \right)$ thì $x\ge 0$ và ${M}'\left( x;-y \right)\in \left( P \right)$.

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1. Xác định các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình sau:

a) $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1}=1$

b) $4{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=100$

Lời giải

a) Từ phương trình  $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1}=1$ $\left( E \right)$ , ta có $a=2;$ $b=1$. Suy ra $c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{3}$.

Suy ra tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}\left( -2;0 \right)$, ${{A}_{2}}\left( 2;0 \right)$, ${{B}_{1}}\left( 0;-1 \right)$, ${{B}_{1}}\left( 0;1 \right)$.

Độ dài trục lớn ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=4$, độ dài trục bé ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2$ .

Tiêu cự ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2\sqrt{3}$. Tiêu điểm là ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{3};0 \right)$, ${{F}_{2}}\left( \sqrt{3};0 \right)$. Tâm sai là $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

b) Ta có $\text{ }4{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=100$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$, suy ra $a=5;$ $b=2$ nên $c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{21}$.

Do đó tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}\left( -5;0 \right)$, ${{A}_{2}}\left( 5;0 \right)$, ${{B}_{1}}\left( 0;-2 \right)$, ${{B}_{1}}\left( 0;2 \right)$.

Độ dài trục lớn ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=10$, độ dài trục bé ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=4$.

Tiêu cự ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2\sqrt{21}$. Tiêu điểm là ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{21};0 \right)$; ${{F}_{2}}\left( \sqrt{21};0 \right)$. Tâm sai là $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{21}}{5}$.

Câu 2. Lập phương trình chính tắc của elip, biết

a) Elip đi qua điểm $M\left( 2;\dfrac{5}{3} \right)$ và có một tiêu điểm $F\left( -2;0 \right)$ .

b) Elip nhận ${{F}_{2}}\left( 5;0 \right)$ là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng $4\sqrt{6}$ .

c) Elip có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt{5}$ và tiêu cự bằng $2$.

d) Elip đi qua hai điểm $M\left( 2;-\sqrt{2} \right)$ và $N\left( -\sqrt{6};1 \right)$ .

Lời giải

a) Do $\left( E \right)$ có một tiêu điểm ${{F}_{1}}\left( -2;0 \right)$ nên $c=2$. Suy ra ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{b}^{2}}+4$ .

Mặt khác, $\left( E \right)$ đi qua điểm M$\left( 2;\dfrac{5}{3} \right)$ nên:

$\dfrac{{{2}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{\left( 5/3 \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{{{b}^{2}}+4}+\dfrac{25}{9{{b}^{2}}}=1$ $\Leftrightarrow 9{{b}^{4}}-25{{b}^{2}}-100=0$  $\Leftrightarrow {{b}^{2}}=5$ hoặc ${{b}^{2}}=-\dfrac{20}{9}\,\,\,\left( l \right)$.

Vậy elip cần tìm có phương trình $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{5}=1$.

b) Do $\left( E \right)$ có một tiêu điểm ${{F}_{2}}\left( 5;0 \right)$ nên $c=5$.

Theo giả thiết độ dài trục nhỏ bằng $4\sqrt{6}$ nên $2b=4\sqrt{6}\Leftrightarrow b=2\sqrt{6}$.

Suy ra ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{5}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{6} \right)}^{2}}=49$.

Vậy elip cần tìm có phương trình $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{49}+\dfrac{{{y}^{2}}}{24}=1$.

c) Độ dài trục lớn bằng $2\sqrt{5}$ nên $2a=2\sqrt{5}\Leftrightarrow a=\sqrt{5}$.

Tiêu cự bằng 2 nên $2c=2\Leftrightarrow c=1$ .

Từ hệ thức ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ , suy ra ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=5-1=4$.

Vậy elip cần tìm có phương trình $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{5}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$.

d) Do $\left( E \right)$ đi qua $M\left( 2;-\sqrt{2} \right)$ và $N\left( -\sqrt{6};1 \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}  & \dfrac{4}{{{a}^{2}}}+\dfrac{2}{{{b}^{2}}}=1 \\  & \dfrac{6}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{8} \\  & \dfrac{1}{{{b}^{2}}}=\dfrac{1}{4} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}^{2}}=8 \\  & {{b}^{2}}=4 \\ \end{align} \right.$.

Vậy elip cần tìm có phương trình $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{8}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$.

Câu 3. Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm, tính tâm sai, độ dài trục thực, độ dài trục ảo và viết phương trình các đường tiệm cận của các hypebol $\left( H \right)$ sau:

a) $\dfrac{{{x}^{2}}}{6}-\dfrac{{{y}^{2}}}{8}=1$.

b) $5{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}=20$.

Lời giải

a) Ta có ${{a}^{2}}=6$, ${{b}^{2}}=8$ nên $a=\sqrt{6}$, $b=2\sqrt{2}$, $c=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=10$.

Suy ra tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}\left( -\sqrt{6};0 \right)$, ${{A}_{2}}\left( \sqrt{6};0 \right)$.

Tiêu điểm là ${{F}_{1}}\left( -10;0 \right)$, ${{F}_{2}}\left( 10;0 \right)$.

Tâm sai của $\left( H \right)$ là $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{10}{\sqrt{6}}$.

Độ dài trục thực $2a=2\sqrt{6}$, độ dài trục ảo $2b=4\sqrt{2}$.

Đường tiệm cận có phương trình là $y=\pm \dfrac{b}{a}x=\pm \dfrac{2}{\sqrt{3}}x$.

b) Phương trình chính tắc của $\left( H \right)$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{5}=1$.

Ta có ${{a}^{2}}=4$, ${{b}^{2}}=5$ nên $a=2$, $b=\sqrt{5}$, $c=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=3$.

Suy ra tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}\left( -2;0 \right)$, ${{A}_{2}}\left( 2;0 \right)$.

Tiêu điểm là ${{F}_{1}}\left( -3;0 \right)$, ${{F}_{2}}\left( 3;0 \right)$.

Tâm sai của $\left( H \right)$ là $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{2}$.

Độ dài trục thực $2a=4$, độ dài trục ảo $2b=2\sqrt{5}$.

Đường tiệm cận có phương trình là $y=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2}x$.

Câu 4. Viết phương trình chính tắc của hypebol $\left( H \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left( H \right)$ có một tiêu điểm tọa độ là $\left( -4;0 \right)$ và độ dài trục ảo bằng $2\sqrt{7}$.

b) $\left( H \right)$ có tiêu cự bằng $10$ và đường tiệm cận là $y=\pm \dfrac{4}{3}x$.

c) $\left( H \right)$ có tâm sai bằng $\dfrac{\sqrt{13}}{3}$ và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng $48$.

d) $\left( H \right)$ đi qua hai điểm $M\left( \sqrt{2};2\sqrt{2} \right)$ và $N\left( -1;-\sqrt{3} \right)$.

e) $\left( H \right)$ đi qua $M\left( -2;1 \right)$ và góc giữa hai đường tiệm cận bằng $60{}^\circ $.

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của $\left( H \right)$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với ${{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$.

a) $\left( H \right)$ có một tiêu điểm tọa độ là $\left( -4;0 \right)$ suy ra $c=4$.

 Độ dài trục ảo bằng $2\sqrt{7}$ suy ra $2b=2\sqrt{7}\Rightarrow {{b}^{2}}=7$, ${{a}^{2}}={{c}^{2}}-{{b}^{2}}=9$.

Vậy phương trình $\left( H \right)$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{9}-\dfrac{{{y}^{2}}}{7}=1$.

b) $\left( H \right)$ có tiêu cự bằng $10$ suy ra $2c=10\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25$. $\left( 1 \right)$

Đường tiệm cận là $y=\pm \dfrac{4}{3}x$ suy ra $\dfrac{b}{a}=\dfrac{4}{3}$ hay ${{b}^{2}}=\dfrac{16}{9}{{a}^{2}}$. $\left( 2 \right)$

Thế $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được ${{a}^{2}}+\dfrac{16}{9}{{a}^{2}}=25\Leftrightarrow {{a}^{2}}=9\Rightarrow {{b}^{2}}=16$.

Vậy phương trình $\left( H \right)$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{9}-\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1$.

c) Tâm sai bằng $\dfrac{\sqrt{13}}{3}$ suy ra $\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$ $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{a}=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$ hay $4{{a}^{2}}=9{{b}^{2}}$. $\left( 3 \right)$

Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng $48$ suy ra $2a.2b=48\Leftrightarrow ab=12$. $\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra ${{a}^{2}}=18$, ${{b}^{2}}=8$.

Vậy phương trình $\left( H \right)$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{18}-\dfrac{{{y}^{2}}}{8}=1$.

d) $\left( H \right)$ đi qua hai điểm $M\left( \sqrt{2};2\sqrt{2} \right)$ và $N\left( -1;-\sqrt{3} \right)$ nên ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{{a^2}}} - \dfrac{8}{{{b^2}}} = 1\\ \dfrac{1}{{{a^2}}} - \dfrac{3}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \dfrac{2}{5}\\{b^2} = 2\end{array} \right..$

Vậy phương trình $\left( H \right)$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{\dfrac{2}{5}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{2}=1$.

e) Do $M\left( -2;1 \right)\in \left( H \right)$ nên $\dfrac{4}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{{{b}^{2}}}=1$. $\left( 5 \right)$

Phương trình hai đường tiệm cận là

${{\Delta }_{1}}:y=\dfrac{b}{a}x$ hay $bx-ay=0$, ${{\Delta }_{2}}:y=-\dfrac{b}{a}x$ hay $bx+ay=0$.

Vì góc giữa hai đường tiệm cận bằng $60{}^\circ $ nên $\cos 60{}^\circ =\dfrac{\left| {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right|}{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}$ hay

$\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left| {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right|}{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}$ $\Leftrightarrow 2\left| {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right|={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)={{b}^{2}}+{{a}^{2}} \\  & 2\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)=-\left( {{b}^{2}}+{{a}^{2}} \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{b}^{2}}=3{{a}^{2}} \\  & {{a}^{2}}=3{{b}^{2}} \\ \end{align} \right.$.

- Với ${{b}^{2}}=3{{a}^{2}}$ thay vào $\left( 5 \right)$ được ${{a}^{2}}=\dfrac{11}{3}$, ${{b}^{2}}=11$.

Suy ra phương trình hypebol  $\left( H \right)$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{\dfrac{11}{3}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{11}=1$.

- Với ${{a}^{2}}=3{{b}^{2}}$ thay vào $\left( 5 \right)$ được ${{a}^{2}}=1$, ${{b}^{2}}=\dfrac{1}{3}$.

Suy ra phương trình hypebol  $\left( H \right)$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{1}-\dfrac{{{y}^{2}}}{\dfrac{1}{3}}=1$.

Vậy có hai hypebol thỏa mãn có phương trình là $\dfrac{{{x}^{2}}}{\dfrac{11}{3}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{11}=1$ và $\dfrac{{{x}^{2}}}{1}-\dfrac{{{y}^{2}}}{\dfrac{1}{3}}=1$.

Câu 5. Tìm tiêu điểm, đường chuẩn của parabol sau

a) ${{y}^{2}}=4x$.

b) ${{y}^{2}}-x=0$.

Lời giải

a) ${{y}^{2}}=4x\Rightarrow p=2$.

Tiêu điển $F\left( 1;\,0 \right)$, phương trình đường chuẩn $x=-\dfrac{p}{2}=-1$.

b) ${{y}^{2}}-x=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}=x\Rightarrow p=\dfrac{1}{2}$.

Tiêu điển $F\left( \dfrac{1}{4};\,0 \right)$, phương trình đường chuẩn $x=-\dfrac{p}{2}=-\dfrac{1}{4}$.

Câu 6. Viết phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right)$ biết

a) $\left( P \right)$ có tiêu điểm là $F\left( 5;\,0 \right)$.

b) Khoảng cách từ tiêu điểm $F$ đến đường thẳng $\Delta :\,x+y-12=0$ là $2\sqrt{2}$.

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right)$ là ${{y}^{2}}=2px$.

a) $\left( P \right)$ có tiêu điểm là $F\left( 5;\,0 \right)$ nên $\dfrac{p}{2}=5\Leftrightarrow p=10$.

Vậy phương trình chính tắc của $\left( P \right)$ là ${{y}^{2}}=20x$.

b) Tiêu điển $F\left( \dfrac{p}{2};\,0 \right)$, khoảng cách từ tiêu điểm $F$ đến đường thẳng $\Delta :\,x+y-12=0$ là $2\sqrt{2}$$\Leftrightarrow \dfrac{\left| \dfrac{p}{2}-12 \right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & p=16 \\  & p=32 \\ \end{align} \right.$.

Vậy có hai parabol thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là ${{y}^{2}}=32x$ và ${{y}^{2}}=64x$.

Câu 7. Viết phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right)$ biết

a) $\left( P \right)$ có đường chuẩn $\Delta $: $x=-5$.

b) $\left( P \right)$ có $p=\dfrac{1}{3}$.

Lời giải

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right)$: ${{y}^{2}}=2px$, $p>0$.

a) Đường chuẩn $\Delta $: $x=-5$ $\Rightarrow -\dfrac{p}{2}=-5$$\Rightarrow p=10$ nên $\left( P \right)$: ${{y}^{2}}=20x$.

b) Tham số tiêu $p=\dfrac{1}{3}$ nên $\left( P \right)$: ${{y}^{2}}=\dfrac{2}{3}x$.

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN

Câu 1. Đường elip $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{7}=1$ có tiêu cự bằng

A. $6$.

B. $8$.

C. $9$.

D. $3$.

Lời giải

Chọn A

Elip $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{7}=1$ có ${{a}^{2}}=16$, ${{b}^{2}}=7$ suy ra ${{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}=16-7=9$$\Leftrightarrow c=3$.

Vậy tiêu cự $2c=2.3=6$.

Câu 2. Cho elip $\left( E \right)$ có phương trình $16{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=400$. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. $\left( E \right)$ có trục nhỏ bằng $8$.

B. $\left( E \right)$ có tiêu cự bằng $3$.

C. $\left( E \right)$ có trục nhỏ bằng $10$.

D. $\left( E \right)$ có các tiêu điểm ${{F}_{1}}\left( -3;0 \right)$ và ${{F}_{2}}\left( 3;0 \right)$.

Lời giải

Chọn B

$\left( E \right)$: $16{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=400$$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1$.

Elip $\left( E \right)$ có $a=5$, $b=4$, $c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3$.

Tiêu cự của elip $\left( E \right)$ là $2c=6$ nên B sai.

Câu 3. Cho elip $\left( E \right)$ đi qua điểm $A\left( -3;0 \right)$ và có tâm sai $e=\dfrac{5}{6}$. Tiêu cự của $\left( E \right)$ là

A. $10$.

B. $\dfrac{5}{3}$.

C. $5$.

D. $\dfrac{10}{3}$.

Lời giải

Chọn C

Gọi phương trình chính tắc của $\left( E \right)$ là $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với $a>b>0$.

Vì $\left( E \right)$ đi qua điểm $A\left( -3;0 \right)$ nên $\dfrac{9}{{{a}^{2}}}=1\Rightarrow {{a}^{2}}=9\Rightarrow a=3$.

Lại có $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{6}$ $\Rightarrow c=\dfrac{5a}{6}=\dfrac{5}{2}$ $\Rightarrow 2c=5$.

Câu 4. Phương trình chính tắc của elip có đỉnh $\left( -3;\,0 \right)$ và một tiêu điểm là $\left( 1;\,0 \right)$ là

A. $\dfrac{{{x}^{2}}}{8}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1$.

B. $\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{8}=1$.

C. $\dfrac{{{x}^{2}}}{1}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1$.

D. $\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1}=1$.

Lời giải

Chọn B

Elip có đỉnh $\left( -3;\,0 \right)$$\Rightarrow a=3$ và một tiêu điểm $\left( 1;\,0 \right)$ $\Rightarrow c=1$.

Ta có ${{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=9-1=8$.

Vậy phương trình $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{8}=1$.

Câu 5. Đường hyperbol $\dfrac{{{x}^{2}}}{5}-\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$ có tiêu cự bằng:

A. $1$.

B. $2$.

C. $3$.

D.$6$.

Lời giải.

Chọn D.

Ta có: ${{a}^{2}}=5$ và ${{b}^{2}}=4$ nên ${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9\Rightarrow c=3$.

Vậy tiêu cự là: $2c=6$.

Câu 6. Đường hyperbol $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}-\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1$ có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây ?

A. $\left( -5;0 \right)$.

B. $\left( 0;\sqrt{7} \right)$.

C. $\left( \sqrt{7};0 \right)$.

D. $\left( 0;5 \right)$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\dfrac{{{x}^{2}}}{16}-\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1$ suy ra $\left\{ \begin{align}  & {{a}^{2}}=16 \\  & {{b}^{2}}=9 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25$ $\Leftrightarrow c=5$.

Tiêu điểm ${{F}_{1}}\left( -5;0 \right),{{F}_{2}}\left( 5;0 \right)$.

Câu 7. Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của hyperbol $\dfrac{{{x}^{2}}}{20}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1$?

A. $x+8=0$.

B. $x-\dfrac{3}{4}=0$.

C. $x+2=0$.

D. $x+\dfrac{5\sqrt{2}}{2}=0$.

Lời giải

Chọn D

Ta có: $\dfrac{{{x}^{2}}}{20}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1$ suy ra $a=\sqrt{20}=2\sqrt{5};$ $b=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

$\Rightarrow c=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=4\sqrt{2}$ $\Rightarrow e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$.

Khi đó đường chuẩn của hyperbol $x\pm \dfrac{a}{e}=0\Leftrightarrow x\pm \dfrac{5\sqrt{2}}{2}=0$.

Câu 8. Tìm phương trình chính tắc của hypebol $\left( H \right)$ biết nó có tâm sai bằng $2$ và tiêu cự bằng $4$.

A. $\dfrac{{{x}^{2}}}{3}-{{y}^{2}}=1$.

B. $\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$.

C. $\dfrac{{{x}^{2}}}{6}-\dfrac{{{y}^{2}}}{5}=1$.

D. ${{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1$.

Lời giải

Chọn D

Xét hyperbol $\left( H \right)$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ $\left( a>0,\,\,b>0 \right)$.

Theo giả thiết, ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{c}{a} = 2\\2c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow b=\sqrt{{{2}^{2}}-{{1}^{2}}}=\sqrt{3}$.

Vậy $\left( H \right)$ có phương trình là $\dfrac{{{x}^{2}}}{1}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1$.

Câu 9. Viết phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $A\left( 5;2 \right)$.

A. $y={{x}^{2}}-3x-12$.

B. $y={{x}^{2}}-27$.

C. ${{y}^{2}}=\dfrac{4x}{5}$.

D. ${{y}^{2}}=5x-21$.

Lời giải

Chọn C

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{{y}^{2}}=2px$.

$A\left( 5;2 \right)\in \left( P \right)$ $\Rightarrow 2p=\dfrac{4}{5}$.

Vậy phương trình $\left( P \right):{{y}^{2}}=\dfrac{4}{5}x$.

Câu 10. Viết phương trình chính tắc của parabol biết tiêu điểm $F\left( 2;0 \right)$.

A. ${{y}^{2}}=2x$.

B. ${{y}^{2}}=4x$.

C. ${{y}^{2}}=8x$.

D. $y=\dfrac{1}{6}{{x}^{2}}$.

Lời giải

Chọn C

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{{y}^{2}}=2px$.

Tiêu điểm $F\left( 2;0 \right)$$\Rightarrow $$p=4$.

Vậy phương trình parabol ${{y}^{2}}=8x.$

Câu 11. Viết phương trình chính tắc của parabol biết đường chuẩn có phương trình $x+1=0$.

A. ${{y}^{2}}=2x$.

B. ${{y}^{2}}=4x$.

C. $y=4{{x}^{2}}$.

D. ${{y}^{2}}=8x$.

Lời giải

Chọn B

Phương trình chính tắc của parabol $\left( P \right):{{y}^{2}}=2px$.

Đường chuẩn $x+1=0$ suy ra $\dfrac{p}{2}=1$ $\Rightarrow 2p=4$ $\Rightarrow {{y}^{2}}=4x$.

Vậy ${{y}^{2}}=4x$.

Câu 12. Cho Parabol $\left( P \right):{{y}^{2}}=2x$ và đường thẳng $\Delta :x-2y+6=0$. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa $\Delta $ và $\left( P \right)$.

A. ${{d}_{\min }}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$.

B. ${{d}_{\min }}=2$.

C. ${{d}_{\min }}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.

D. ${{d}_{\min }}=4$.

Lời giải.

Chọn A

Gọi $M\in \left( P \right)\Rightarrow M\left( 2{{m}^{2}};2m \right)$.

Ta có $d\left( M;\Delta  \right)=\dfrac{\left| 2{{m}^{2}}-4m+6 \right|}{\sqrt{5}}$ $=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\left| {{\left( m-1 \right)}^{2}}+2 \right|\ge \dfrac{4}{\sqrt{5}}$.

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Câu 1. Cho elip (E): ${\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1}$.

a) Điểm $A\left( 4;0 \right)$ thuộc elip ${(E)}$.

b) Tiêu cự elip ${(E)}$ bằng $\sqrt{7}$.

c) Elip ${(E)}$ có tiêu điểm ${{F}_{1}}(-2\sqrt{7};0)$, ${{F}_{2}}(2\sqrt{7};0)$.

d) Cho ${M}$ là điểm thuộc ${(E)}$ thoả mãn ${M F_{1}+2 M F_{2}=11}$. Khi đó $2M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=13$.

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

a) Điểm $A\left( 4;0 \right)$ thuộc elip ${(E)}$.

b) Ta có: ${c^{2}=a^{2}-b^{2}=16-9=7}$. Suy ra ${c=\sqrt{7}}$.

Elip ${(E)}$ có tiêu cự ${2 c=2 \sqrt{7}}$.

c) Elip ${(E)}$ có tiêu điểm ${F_{1}(-\sqrt{7} ; 0)}$, ${F_{2}(\sqrt{7} ; 0)}$.

d) Ta có: ${M F_{1}+M F_{2}=2 a=2 \cdot 4=8}$.

Suy ra ${3 M F_{1}+3 M F_{2}=24}$ hay ${\left(2 M F_{1}+M F_{2}\right)+\left(M F_{1}+2 M F_{2}\right)=24}$.

Vì ${M F_{1}+2 M F_{2}=11}$ nên ${2 M F_{1}+M F_{2}=24-11=13}$.

Câu 2. Cho hypebol (${H)}$ có dạng: $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ $(a>0,b>0)$, có một tiêu điểm là ${F_{1}(-10 ; 0)}$ và đi qua điểm ${P(8 ; 0)}$.

a) ${{a}^{2}}=64$.

b) Tiêu cự hypebol (${H)}$ bằng $20$.

c) ${{b}^{2}}=36$.

d) Hypebol (${H)}$ đi qua điểm $B(1;\sqrt{10})$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Vì hypebol ${(H)}$ đi qua điểm ${P(8 ; 0)}$ nên ${\dfrac{8^{2}}{a^{2}}-\dfrac{0^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow a^{2}=64}$.

${(H)}$ có một tiêu điểm là ${F_{1}(-10 ; 0)}$ nên ${c=10}$ và ${b^{2}=c^{2}-a^{2}=100-64=36}$.

Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol ${(H)}$ là: ${\dfrac{x^{2}}{64}-\dfrac{y^{2}}{36}=1}$.

Câu 3. Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Parabol ${(P)}$ có tham số tiêu là $0,8$ có phương trình chính tắc là: ${y^{2}=1,6 x}$.

b) Parabol ${(P)}$ đi qua điểm ${A(3 ; 6)}$ có phương trình chính tắc là: ${y^{2}=12 x}$.

c) Parabol ${(P)}$ có tiêu điểm ${F(5 ; 0)}$ có phương trình chính tắc là: ${{y}^{2}}=10x$.

d) Parabol ${(P)}$ có đường chuẩn ${x=\dfrac{-1}{4}}$ có phương trình chính tắc là: ${{y}^{2}}=-\dfrac{1}{4}x$.

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

Phương trình chính tắc của đường parabol $(P):{{y}^{2}}=2px\,\,(p>0)$.

a) Vì ${p=0,8}$ nên ${2 p=1,6}$.

Vậy phương trình chính tắc của đường parabol ${(P)}$ là: ${y^{2}=1,6 x}$.

b) Vì parabol ${(P)}$ đi qua điểm ${A(3 ; 6)}$ nên ${6^{2}=2 p .3}$, suy ra ${p=6}$.

Vậy phương trình chính tắc của đường parabol ${(P)}$ là: ${y^{2}=12 x}$.

c) Vì parabol ${(P)}$ có tiêu điểm ${F(5 ; 0)}$ nên ${\dfrac{p}{2}=5}$, suy ra ${p=10}$.

Vậy phương trình chính tắc của đường parabol ${(P)}$ là: ${y^{2}=20 x}$.

d) Vì parabol ${(P)}$ có đường chuẩn ${x=\dfrac{-1}{4}}$ nên ${\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{4}}$, suy ra ${p=\dfrac{1}{2}}$. Vậy phương trình chính tắc của đường parabol ${(P)}$ là: ${y^{2}=x}$.

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Cho parabol ${(P): y^{2}=2 x}$. Tìm hoành độ các điểm thuộc ${(P)}$ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm của ${(P)}$ bằng $4$.

Trả lời: $3,5$

Lời giải

Parabol ${(P)}$ có đường chuẩn là ${\Delta: x+\dfrac{1}{2}=0}$ và tiêu điểm ${F\left(\dfrac{1}{2} ; 0\right)}$.

Gọi ${M\left(x_0 ; y_0\right)}$ là điểm cần tìm. Có ${M \in(P)}$ nên ${y_0^2=2 x_0 \Rightarrow x_0=\dfrac{1}{2} y_0^2 \Rightarrow x_0 \geq 0}$.

Khoảng cách từ ${M}$ đến tiêu điểm ${F}$ bằng 4 nên ${M F=d(M ; \Delta)=\dfrac{\left|x_0+\dfrac{1}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=4}$.

${\Rightarrow x_0=\dfrac{7}{2}}$ hoặc ${x_0=\dfrac{-9}{2}}$. Mà ${x_0 \geq 0}$ nên ${x_0=\dfrac{7}{2} \Rightarrow y_0^2=7 \Rightarrow y_0=\pm \sqrt{7}}$.

Vậy ${M\left(\dfrac{7}{2} ; \sqrt{7}\right)}$ hoặc ${M\left(\dfrac{7}{2} ;-\sqrt{7}\right)}$.

Câu 2. Viết phương trình chính tắc của parabol $(P):{{y}^{2}}=2px$ biết ${(P)}$ có phương trình đường chuẩn ${\Delta}$ song song và cách đường thẳng ${d: x=2}$ một khoảng bằng $5$. Tính $p$.

Trả lời: $6$

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc ${(P)}$ : ${{y}^{2}}=2px\,\,(p>0)$.

Phương trình đường chuẩn có dạng ${\Delta: x=-\dfrac{p}{2}}$.

Theo giả thiết: $d(d,\Delta )=5$ $\Leftrightarrow \left| \dfrac{-p}{2}-2 \right|=5$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} -\dfrac{p}{2}-2=5  \\   -\dfrac{p}{2}-2=-5  \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow p=6>0$.

Vậy phương trình chính tắc ${(P)}$ là: ${y^2=12 x}$.

Câu 3. Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao ${8 {~m}}$, rộng ${20 {~m}}$. Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường $5m$ lên đến nóc nhà vòm.

Trả lời: $6,93$

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ ${O x y}$ như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc elip là $(E):\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ ${(E): \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0, y \geq 0)}$. Ta có ${: 2 a=20 \Rightarrow a=10, b=8}$.

Vậy phương trình elip mô tả nhà vòm là $(E):\dfrac{{{x}^{2}}}{100}+\dfrac{{{y}^{2}}}{64}=1\,\,(y\ge 0)$.

Gọi ${M}$ là điểm thuộc ${(E)}$ có hoành độ bằng 5 (hoặc ${-5}$), chiều cao cần tìm chính là tung độ của điểm ${M}$.

Thay hoành độ ${M}$ vào phương trình ${(E): \dfrac{(\pm 5)^2}{100}+\dfrac{y^2}{64}=1}$ $\Rightarrow {{y}^{2}}=48$ $\Rightarrow y=4\sqrt{3}\approx 6,93~m$.

Câu 4. Một cái tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình ${\dfrac{x^2}{28^2}-\dfrac{y^2}{42^2}=1}$. Biết chiều cao của tháp là ${150 {~m}}$ và khoảng cách từ nóc tháp đến đến tâm đối xứng của hypebol bằng ${\dfrac{2}{3}}$ lần khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc của tháp.

Trả lời: $48,8$

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Ta có : $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} HK=150  \\   OH=\dfrac{2}{3}OK  \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} OH+OK=1  \\   OH=\dfrac{2}{3}OK  \\\end{array} \right.$ ${\Rightarrow O H=60 {~m}, O K=90 {~m}}$.

Đường thẳng qua ${H}$, vuông góc ${O y}$ là ${\Delta_1: y=60}$.

${\Delta_1}$ cắt hypebol tại điểm có hoành độ dương và thỏa mãn ${\dfrac{x^2}{28^2}-\dfrac{60^2}{42^2}=1}$ $\Rightarrow x=4 \sqrt{149} \approx 48,826 {~m}$.

Đường thẳng qua ${K}$, vuông góc với ${O y}$ là ${\Delta_2: y=-90}$.

${\Delta_2}$ cắt hypebol tại điểm có hoành độ dương và thỏa mãn ${\dfrac{x^2}{28^2}-\dfrac{90^2}{42^2}=1}$.

$\Rightarrow x=4\sqrt{274}\approx 66,212~m\text{. }$

Vậy bán kính nóc của tháp xấp xỉ $48,8~m$, bán kính đáy của tháp xấp xỉ $66,2m$.