BÀI
1. KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ
1.
Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép
thử ngẫu nhiên
(gọi tắt là phép thử) là một hoạt động mà ta không thể biết trước được kết quả
của nó.
Tập hợp
tất cả các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không
gian mẫu, kí hiệu là $\Omega $.
Chú
ý: Trong chương
này ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn phần tử.
2. Biến
cố
Mỗi tập
con của không gian mẫu được gọi là một biến cố, kí hiệu là $A,\,\,B,\,\,C,\,\,\ldots
$ Một kết quả thuộc $A$ được gọi là kết quả làm cho $A$ xảy ra, hoặc kết
quả thuận lợi cho $A$.
Biến
cố chắc chắn là
biến cố luôn xảy ra, kí hiệu là $\Omega $.
Biến
cố không thể là
biến cố không bao giờ xảy ra, kí hiệu là $\varnothing $.
Đôi khi
ta cần dùng các quy tắc đếm và công thức tổ hợp để xác định số phần tử của
không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Ví dụ 1. Một đồng xu có hai mặt, trên một
mặt có ghi giá trị của đồng xu, thường gọi là mặt sấp, mặt kia là mặt ngửa. Hãy
xác định không gian mẫu của mỗi phép thử ngẫu nhiên sau:
a) Tung đồng xu một lần;
b) Tung đồng xu hai lần.
Giải
a) Khi tung đồng xu một lần, ta có không gian mẫu là ${\Omega=\{S
; N\}}$, trong đó kí hiệu ${S}$ để chỉ đồng xu xuất hiện mặt sấp và ${N}$ để chỉ
đồng xu xuất hiện mặt ngửa.
b) Khi tung đồng xu hai lần, ta có không gian mẫu là ${\Omega=\{S
S ; S N ; N S ; N N\}}$.
Ở đây ta quy ước ${S N}$ có nghĩa là lần đầu tung được mặt sấp,
lần sau tung được mặt ngửa. Các kí hiệu ${S S, N S, N N}$ được hiểu một cách
tương tự.
Ví dụ 2. Trong hộp có bốn quả bóng được
đánh số từ $1$ đến $4$. Hãy xác định không gian mẫu của các phép thử sau:
a) Lấy ngẫu nhiên một quả bóng;
b) Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc hai quả bóng;
c) Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng.
Giải
a) Không gian mẫu ${\Omega=\{1 ; 2 ; 3 ; 4\}}$.
b) Do mỗi lần ta lấy hai quả bóng mà không tính đến thứ tự
nên không gian mẫu sẽ gồm các tập con gồm hai phần tử của tập hợp ${\{1 ; 2 ; 3
; 4\}}$, tức là:
$\Omega =\{\{1;2\};\{1;3\};\{1;4\};$ $\{2;3\};\{2;4\};\{3;4\}\}$.
c) Do hai quả bóng được lấy lần lượt nên ta cần phải tính đến
thứ tự lấy bóng. Nếu lần đầu lấy được bóng số $3$, lần sau lấy được bóng số $1$
thì ta sẽ kí hiệu kết quả của phép thử là cặp ${(3 ; 1)}$. Khi đó không gian mẫu
của phép thử là:
$\Omega =\{(1;2);(2;1);(1;3);(3;1);(1;4);(4;1);$ $(2;3);(3;2);(2;4);(4;2);(3;4);(4;3)\}$.
Ví dụ 3. Xét phép thử gieo hai con xúc xắc.
a) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử.
b) Viết tập hợp mô tả biến cố "Tổng số chấm xuất hiện
trên hai con xúc xắc bằng $4$". Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố
đó?
Giải
a) Kết quả của phép thử là một cặp số ${(i ; j)}$, trong đó ${i}$
và ${j}$ lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai.
Không gian mẫu của phép thử là:
$\Omega =\{(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(1;5);(1;6);$ $(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);(2;5);(2;6);$
$(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);(3;5);(3;6);$ $(4;1);(4;2);(4;3);(4;4);(4;5);(4;6);$ $(5;1);(5;2);(5;3);(5;4);(5;5);(5;6);$
$(6;1);(6;2);(6;3);(6;4);(6;5);(6;6)\}$
Ta cũng có thể viết không gian mẫu dưới dạng: $\Omega
=\{\left. (i,j) \right|i,j=1,2,\ldots ,6\}.$
b) Gọi ${A}$ là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện bằng $4$".
Tập hợp mô tả biến cố ${A}$ là:
$A=\left\{ \left( 1;3 \right);\left( 2;2 \right);\left( 3;1
\right) \right\}.$
Như vậy có $3$ kết quả thuận lợi cho biến cố ${A}$.
Ví dụ 4. Một nhóm có $5$ bạn nam và $4$ bạn
nữ. Chọn ngẫu nhiên cùng một lúc ra $3$ bạn đi làm công tác tình nguyện.
a) Hãy xác định số phần tử của không gian mẫu.
b) Hãy xác định số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong $3$
bạn được chọn có đúng $2$ bạn nữ”?
Giải
a) Do ta chọn ra $3$ bạn khác nhau từ $9$ bạn trong nhóm và
không tính đến thứ tự nên số phần tử của không gian mẫu là ${C_{9}^{3}=84}$.
b) Ta có ${C_{4}^{2}}$ cách chọn ra $2$ bạn nữ từ $4$ bạn nữ.
Ứng với mỗi cách chọn $2$ bạn nữ có ${C_{5}^{1}}$ cách chọn ra $1$ bạn nam từ $5$
bạn nam.
Theo quy tắc nhân ta có tất cả ${C_{4}^{2} C_{5}^{1}}$ cách
chọn ra $2$ bạn nữ và $1$ bạn nam từ nhóm bạn. Do đó số các kết quả thuận lợi
cho biến cố "Trong $3$ bạn chọn ra có đúng $2$ bạn nữ" là ${C_{4}^{2}
C_{5}^{1}=30}$.
Câu
1. Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có $2$ chữ số nhỏ hơn $20$.
Lấy ra $1$ số tự
nhiên bất kỳ trong $A$. Mô tả không gian
mẫu $\Omega $?
Giải
Ta có $\Omega =\left\{
10,11,12,...,19 \right\}$
Câu
2. Tung $1$ con
súc sắc. Mô tả không gian mẫu?
Giải
Ta có $\Omega =\left\{
1,2,3,4,5,6 \right\}$
Câu
3. Tung $3$ đồng
xu đồng chất (giả thiết các đồng xu hoàn toàn giống nhau gồm $2$ mặt: sấp và ngửa).
Mô tả không gian mẫu các kết quả đạt được?
Giải
Ta có $\Omega
=\{SSS,SSN,SNS,SNN,$ $NNN,NNS,NSS,NSN\}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Xét phép thử
gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất $6$ mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số
chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $n\left( A \right)=6$.
B. $n\left( A \right)=12$.
C. $n\left( A \right)=16$.
D. $n\left( A \right)=36$.
Lời giải
Chọn A
Gọi cặp số $\left( x;y \right)$
là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo.
Xét biến cố $A:$ “Số chấm xuất
hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”.
Các kết quả của biến cố $A$ là: $\left\{
\left( 1;1 \right);\left( 2;2 \right);\left( 3;3 \right);\left( 4;4
\right);\left( 5;5 \right);\left( 6;6 \right) \right\}$.
Suy ra $n\left( A \right)=6$.
Câu
2. Gieo ngẫu
nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất $5$ lần. Tính số phần tử không gian mẫu.
A. $64$.
B. $10$.
C. $32$.
D. $16$.
Lời giải
Chọn C
Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo $5$ lần theo quy tắc nhân ta có ${{2}^{5}}=32$.
Số
phần tử không gian mẫu là $n\left( \Omega
\right)=32$.
Câu
3. Rút ngẫu
nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ $52$ con thì $n\left( \Omega \right)$ bằng bao nhiêu?
A. $140608$.
B. $156$.
C. $132600$.
D. $22100$.
Lời giải
Ta có $n\left( \Omega
\right)=C_{52}^{3}=22100$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Chọn ngẫu
nhiên một số nguyên dương không lớn hơn $10$.
a) Không gian mẫu có $10$ kết quả.
b) Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được một số chính
phương", khi đó $n\left( A \right)=2$.
c) Gọi $B$ là biến cố: "Chọn được một số chẵn",
khi đó $n\left( B \right)=5$.
d) Gọi $C$ là biến cố: "Chọn được một số lẻ", khi
đó $n\left( C \right)=6$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Sai
a) $\Omega =\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}.$
b) ${A=\{1 ; 4 ; 9\}}$.
c) $B=\left\{ 2;4;6;8;10 \right\}$.
d) $C=\left\{ 1;3;5;7;9 \right\}$.
Câu
2. Xét phép thử
tung con súc sắc $6$ mặt hai lần.
a) $n(\Omega )=36$.
b) Gọi ${A}$ là biến cố: "Tổng số chấm xuất hiện ở hai
lần tung chia hết cho $3$", khi đó: $n(A)=8$.
c) Gọi ${B}$ là biến cố: "Số chấm xuất hiện ở lần một lớn
hơn số chấm xuất hiện ở lần hai", khi đó: $n(B)=12$.
d) Gọi $C$ là biến cố: "Số chấm xuất hiện ở lần một nhỏ
hơn số chấm xuất hiện ở lần hai", khi đó: $n(C)=12$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Sai
d)
Sai
a) Không gian mẫu ${\Omega=\{(1
; 1),(1 ; 2),(1 ; 3), \ldots,(2 ; 1),(2 ; 2), \ldots,(6 ; 6)\}}$ hay $\Omega
=\{\left. (i;j) \right|i,j=1,2,\ldots ,6\}$ $\Rightarrow n(\Omega
)={{6}^{2}}=36$.
b) $A=\{(1;2),(2;1),(1;5),(5;1),(2;4),(4;2),(3;3),$ ${(3 ; 6),(6 ; 3),(4 ; 5),(5
; 4),(6 ; 6)\}}$. Suy ra $n(A)=12$.
c) Biến cố ${B}$ hoàn toàn giống với việc sắp xếp thứ tự ${6,5,4,3,2,1}$
rồi chọn hai từ sáu chữ số trên (không xáo trộn vị trí), ta có ${n(B)=C_6^2=15}$.
d) Biến cố $C$ hoàn toàn giống với việc sắp xếp thứ tự $1,2,3,4,5,6$
rồi chọn hai từ sáu chữ số trên (không xáo trộn vị trí), ta có $n(C)=C_{6}^{2}=15$.
Câu
3. Gọi ${S}$ là
tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập ${S}$.
a) $n(\Omega )=1000$.
b) Gọi ${A}$ là biến cố: "Chọn được số tự nhiên có các
chữ số đôi một khác nhau", khi đó: ${n(A)=648}$.
c) Gọi ${B}$ là biến cố: "Chọn được số tự nhiên chia hết
cho $5$", khi đó: ${n(B)=180}$.
d) Gọi $C$ là biến cố: "Chọn được số tự nhiên chẵn",
khi đó $n\left( C \right)=500$.
Lời giải
a)
Sai
b)
Đúng
c)
Đúng
d)
Sai
a) Xét số tự nhiên có ba chữ số dạng ${\overline{a b c}}$. Số
cách chọn ${a \, (a}$ khác 0${)}$ và ${b, c}$ lần lượt là ${9,10,10}$ nên số các số
tự nhiên gồm ba chữ số là ${9.10 .10=900}$.
Phép thử đang xét là hoạt động chọn ngẫu nhiên một số từ ${S}$
nên số kết quả thuận lợi không gian mẫu là ${n(\Omega)=C_{900}^1=900}$.
b) Xét số tự nhiên có ba chữ số dạng ${\overline{a b c}}$.
Chọn ${a \, (a \neq 0)}$: có $9$ cách. Chọn ${b \, (b \neq a)}$: có $9$
cách.
Chọn ${c \, (c \neq a, c \neq b)}$: có $8$ cách.
Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau là ${9.9
.8=648}$.
Vì vậy ${n(A)=648}$.
c) Xét số tự nhiên có ba chữ số dạng ${\overline{a b c}}$.
Số này chia hết cho $5$ nên ${c \in\{0 ; 5\}}$: có $2$ cách
chọn ${c}$.
Số cách chọn ${a (a}$ khác 0${), b}$ lần lượt là $9,10$.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là ${2.9 .10=180}$.
Vì vậy ${n(B)=180}$.
d) Xét số tự nhiên có ba chữ số dạng ${\overline{a b c}}$.
Số này là số chẵn vậy $a$ có $9$ cách chọn, $b$ có $10$ cách
chọn, $c$ có $5$ cách chọn.
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là $9.10.5=450$.
Câu
4. Gieo hai con
xúc xắc. Khi đó, số các kết quả thuận lợi cho biến cố:
a) "Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau
$2$ chấm" bằng $8$.
b) "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết
cho $5$" bằng $12$.
c) "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một
số lẻ" bằng $9$.
d) "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số
chẵn" bằng $15$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Sai
a) Gọi ${A}$ là biến cố "Số chấm xuất hiện trên hai con
xúc xắc hơn kém nhau $2$ chấm".
$A=\{\left( 1;3 \right);\left( 2;4 \right);\left( 3;5
\right);\left( 4;6 \right);$$\left( 3;1 \right);\left( 4;2 \right);\left( 5;3
\right);\left( 6;4 \right)\}$.
Như vậy có $8$ kết quả thuận lợi cho biến cố ${A}$.
b) Gọi ${B}$ là biến cố "Tích số chấm xuất hiện trên
hai con xúc xắc chia hết cho ${5^{\prime \prime}}$.
$B=\{\left( 1;5 \right);\left( 2;5 \right);\left( 3;5
\right);\left( 4;5 \right);\left( 5;5 \right)$$;\left( 6;5 \right);\left( 5;1
\right);\left( 5;2 \right);\left( 5;3 \right);\left( 5;4 \right);\left( 5;6
\right)\}$
Như vậy có $11$ kết quả thuận lợi cho biến cố ${B}$.
c) Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lẻ
khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
Do đó số các kết quả thuận lợi cho biến cố "Tích số chấm
xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lẻ" là ${3.3=9}$.
d) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn
khi và chỉ khi cả hai số đó đều là số lẻ hoặc đều là số chẵn.
Do đó số các kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng số chấm
xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn" là ${2.3 .3=18}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho tập ${Q=\{1
; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}}$. Từ tập $Q$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$
chữ số khác nhau. Xác định số phần tử không gian mẫu.
Trả lời: $120$
Lời giải
Số số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau có thể lập được là: ${A_6^3=120}$.
Số phần tử không gian mẫu: ${n(\Omega)=120}$.
Câu
2. Cho tập ${Q=\{1
; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}}$. Từ tập $Q$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$
chữ số khác nhau. Tính số phần tử của biến cố sao cho số được chọn nhỏ hơn $345$.
Trả lời: $48$
Lời giải
Gọi ${B}$ là biến cố: "Số được chọn nhỏ hơn $345$".
Số tự nhiên có $3$ chữ số có dạng ${\overline{a b c}}$.
Trường hợp 1: ${a=3}$.
Nếu ${b=4}$ thì lập được $2$ số tự nhiên thỏa mãn.
Nếu ${b \in\{1 ; 2\}, b}$ có $2$ cách chọn, ${c}$ có $4$
cách chọn. Lập được $8$ số tự nhiên thỏa mãn.
Trường hợp 2: ${a \in\{1 ; 2\}}$.
${a}$ có $2$ cách chọn, ${b}$ có $5$ cách chọn, $c$ có $4$
cách chọn.
Lập được ${2.5 .4=40}$ số tự nhiên thỏa mãn.
Vậy lập được $48$ số tự nhiên thỏa mãn.
Câu
3. Hộp thứ nhất
chứa $6$ quả bóng được đánh số từ $1$ đến $6$. Hộp thứ hai chứa $4$ quả bóng được
đánh số từ $1$ đến $4$. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp $1$ quả bóng. Có bao nhiêu kết
quả thuận lợi cho biến cố "Tổng các số ghi trên hai quả bóng không nhỏ hơn
$5$".
Trả lời: $18$
Lời giải
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là ${6.4=24}$. Vì số kết
quả thuận lợi cho biến cố "Tổng các số ghi trên hai quả bóng nhỏ hơn $5$"
là $6$. Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng các số ghi trên hai quả bóng
không nhỏ hơn $5$” là ${24-6=18}$.
Câu
4. Gieo bốn con
xúc xắc cân đối đồng chất. Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biên cố
"Tích số chấm xuất hiện trên bốn con xúc xắc là một số chẵn".
Trả lời: $1215$
Lời giải
Tích số chấm xuất hiện trên bốn con xúc xắc là một số lẻ khi
và chỉ khi cả bốn số đó đều là số lẻ. Do đó số các kết quả thuận lợi cho biên cố
"Tích số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc là một số lẻ" là ${3.3 .3
.3=81}$. Số kết quả có thể xảy của phép thử là ${6.6 .6 .6=1296}$.
Vì tích số chấm xuất hiện trên bốn con xúc xắc chỉ có thể là
một số lẻ hoặc là một số chẵn. Do đó số các kết quả thuận lợi cho biến cố
"Tích số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc là một số chẵn" là ${1296-81=1215}$.
Câu
5. Một hộp chứa
$12$ quả bóng được đánh số từ $1$ đến $12$. Bình và An mỗi người lấy ra ngẫu
nhiên $1$ quả bóng từ hộp. Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố
"Tích hai số ghi trên hai quả bóng chia hết cho $3$''.
Trả lời: $76$
Lời giải
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là ${12.11=132}$.
Vì số kết quả thuận lợi cho biến cố "Tích hai số ghi
trên hai quả bóng không chia hết cho $3$'' là ${8.7=56}$.
Nên số kết quả thuận lợi cho biến cố "Tích hai số ghi
trên hai quả bóng chia hết cho $3$" là ${132-56=76}$.
Câu
6. Cho hai đường
thẳng song song ${a}$ và ${b}$. Trên đường thẳng ${a}$ lấy $6$ điểm phân biệt.
Trên đường thẳng ${b}$ lấy $5$ điểm phân biệt. Chọn ngẫu nhiên $3$ điểm. Xác định
số phần tử của biến cố ${A}$: "Ba điểm được chọn tạo thành một tam
giác".
Trả lời: $135$
Lời giải:
Có hai trường hợp để biến cố ${A}$ xảy ra:
Trường hợp 1: Chọn được $2$ điểm thuộc ${a}$
và $1$ điểm thuộc ${b}$:
Số cách chọn là ${C_6^2 \cdot C_5^1}$.
Trường hợp 2: Chọn được $1$ điểm thuộc ${a}$
và $2$ điểm thuộc ${b}$:
Số cách chọn là ${C_6^1 \cdot C_5^2}$.
Vậy số phần tử của ${A}$ là: ${n(A)=C_6^2 \cdot C_5^1+C_6^1
\cdot C_5^2=135}$.
