BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Ta nói
hàm số $y=f(x)$ có giới hạn hữu hạn là số $L$ khi $x$ dần tới ${{x}_{0}}$
nếu với dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, ${{x}_{n}}\in K\backslash
\left\{ {{x}_{0}} \right\}$ và ${{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$, thì $f\left( {{x}_{n}}
\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ hay $f(x)\to
L$ khi $x\to {{x}_{0}}$.
1. Một vài giới hạn hữu hạn cơ bản
a) $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,x={{x}_{0}}$;
b) $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim
}}\, c=c$ (với $c$ là hằng số).
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
a) Giả sử $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim
}}\,g(x)=M$. Khi đó:
$\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)+g(x) \right]=L+M$;
$\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-g(x) \right]=L-M$;
$\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x).g(x) \right]=L.M$;
$\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}$ (nếu $M\ne 0$).
b) Nếu $f(x)\ge
0$ và $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.
c) Nếu $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ thì $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim
}}\,\left| f(x) \right|=\left| L \right|$.
3. Giới hạn một bên
Cho hàm
số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left( {{x}_{0}};b \right)$.
Ta nói
hàm số $y=f(x)$ có giới hạn bên phải là số $L$ khi $x$ dần tới ${{x}_{0}}$
nếu với dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, ${{x}_{0}}<{{x}_{n}}<b$
và ${{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$ thì $f\left( {{x}_{n}} \right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to
x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$.
Cho hàm
số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left( a;{{x}_{0}} \right)$.
Ta nói
hàm số $y=f(x)$ có giới hạn bên trái là số $L$ khi $x$ dần tới ${{x}_{0}}$
nếu với dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, $a<{{x}_{n}}<{{x}_{0}}$
và ${{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$ thì $f\left( {{x}_{n}} \right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to
x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$.
Chú
ý:
a) Ta thừa
nhận các kết quả sau:
$\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ khi và chỉ khi $\underset{x\to
x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ và $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim
}}\,f(x)=L$.
Nếu $\underset{x\to
x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim
}}\,f(x)$ thì không tồn tại $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$.
b) Các
phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay $x\to {{x}_{0}}$ bằng
$x\to x_{0}^{+}$ hoặc $x\to x_{0}^{-}$.
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm
số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;+\infty )$.
Ta nói
hàm số $y=f(x)$ có giới hạn hữu hạn là số $L$ khi $x\to +\infty $
nếu với dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, ${{x}_{n}}>a$ và ${{x}_{n}}\to
+\infty $, thì $f\left( {{x}_{n}} \right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to
+\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to +\infty $.
Cho hàm
số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(-\infty ;a)$.
Ta nói
hàm số $y=f(x)$ có giới hạn hữu hạn là số $L$ khi $x\to -\infty $
nếu với dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, ${{x}_{n}}<a$ và ${{x}_{n}}\to
-\infty $, thì $f\left( {{x}_{n}} \right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to -\infty $.
Chú ý:
Với $c$ là hằng
số và $k$ nguyên dương, ta có:
$\underset{x\to
\pm \infty }{\mathop{\lim }}\,c=c$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{c}{{{x}^{k}}}=0$.
Các phép toán về giới hạn hữu hạn
của hàm số vẫn đúng khi thay $x\to {{x}_{0}}$ bằng $x\to +\infty $ hoặc $x\to
-\infty $.
III. Giới hạn vô cực của hàm số.
Giới
hạn vô cực của hàm số tại một điểm
Cho hàm
số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left( {{x}_{0}};b \right)$.
Ta nói
hàm số $y=f(x)$ có giới hạn bên phải là $+\infty $ khi $x\to
{{x}_{0}}$ về bên phải nếu với dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, ${{x}_{0}}<{{x}_{n}}<b$
và ${{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$, thì $f\left( {{x}_{n}} \right)\to +\infty $, kí hiệu
$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty $ hay $f(x)\to +\infty
$ khi $x\to x_{0}^{+}$.
Ta nói
hàm số $y=f(x)$ có giới hạn bên phải là $-\infty $ khi $x\to
{{x}_{0}}$ về bên phải nếu với dãy số $\left( {{x}_{n}} \right)$ bất kì, ${{x}_{0}}<{{x}_{n}}<b$
và ${{x}_{n}}\to {{x}_{0}}$, thì $f\left( {{x}_{n}} \right)\to -\infty $, kí hiệu
$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty $ hay $f(x)\to -\infty
$ khi $x\to x_{0}^{+}$.
Chú
ý: Các giới hạn
$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,$ $\underset{x\to
x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,$ $\underset{x\to +\infty
}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,$ $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim
}}\,f(x)=-\infty ,$ $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,$ $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty $ được định nghĩa tương tự như trên.
1. Một vài giới hạn vô cực cơ bản
Với $c$ là hằng
số và $k$ nguyên dương, ta có:
$\underset{x\to
+\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty $ và $\underset{x\to -\infty
}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=\left\{ \begin{align} & +\infty \,\,\,\,;k=2l \\
& -\infty \,\,\,\,;k=2l+1 \\ \end{align}
\right.$;
$\underset{x\to
{{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{x}=-\infty $ và $\underset{x\to
{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{x}=+\infty $;
$\underset{x\to
{{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{x-a}=+\infty $ và $\underset{x\to
{{a}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{x-a}=-\infty $ $(a\in \mathbb{R})$;
$\underset{x\to
{{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\left| x \right|}=\underset{x\to
{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\left| x \right|}=+\infty $.
2. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Quy tắc 1: Tìm giới hạn của tích
$f(x).g(x)$
Nếu $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\ne 0$ và $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty $ (hoặc $-\infty $) thì $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x).g(x)$ được tính theo quy tắc cho trong bảng
sau:
Quy tắc 2: Tìm giới hạn của
thương $\dfrac{f(x)}{g(x)}$
(Dấu của
$g(x)$ xét trên một khoảng $K$ nào đó đang tính giới hạn, với $x\ne {{x}_{0}}$).
Chú ý: Hai quy tắc trên vẫn đúng cho
các trường hợp $x\to x_{0}^{+}$, $x\to x_{0}^{-}$, $x\to +\infty $, $x\to
-\infty $.
Một số phương pháp khử dạng vô định:
Khi tính
giới hạn có một trong các dạng vô định: $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty }{\infty
}$, $\infty -\infty $, $0.\infty $ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Dạng $\dfrac{0}{0}$:
a) Tử và mẫu là các đa thức: Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và
rút gọn.
b) Tử và mẫu là các biểu thức chứa căn cùng bậc:
Nhân lượng liên hợp.
c) (*) Tử thức là biểu thức chứa căn không cùng bậc (thường thì chứa căn bậc 2 và bậc 3 cùng lúc): Thêm bớt
hằng số $a$ hoặc một biểu thức
phù hợp vào tử.
Dạng $\dfrac{\infty }{\infty }$: Rút nhân tử chung bậc cao nhất tử và mẫu (rút $x$ mũ) hoặc nhân lượng liên hợp.
Dạng $\infty -\infty $: Rút nhân tử chung bậc cao nhất (rút $x$ mũ) hoặc nhân lượng liên hợp.
Dạng $0.\infty $: Nhân
liên hợp.
BÀI TẬP
TỰ LUẬN
Câu 1. Tìm các giới hạn sau: (Dạng thay
số)
a) $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\left( 2{{x}^{2}}-x \right)$.
b) ${\lim _{x \rightarrow-2}\left(x^2-7
x+4\right)}$.
Lời giải:
a) ${\lim _{x \rightarrow
3}\left(2 x^2-x\right)=2.3^2-3=15}$.
b) $\underset{x\to
-2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-7x+4 \right)$ $={{(-2)}^{2}}-7.(-2)+4=22$.
Câu 2. Tìm các giới hạn sau: (Dạng 0/0
phân tích nhân tử)
a) ${\lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{x-3}{x^2-9}}$.
b) ${\lim _{x \rightarrow-1} \dfrac{x^2+2
x+1}{x+1}}$.
c) $\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2{{x}^{2}}+3x+1}{{{x}^{2}}-1}$.
d)
$\underset{x\to -5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+2x-15}{x+5}$.
Lời giải:
a) $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-3}{{{x}^{2}}-9}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)}$ $=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{3+3}=\dfrac{1}{6}$.
b) $\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1}{x+1}=\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{(x+1)}^{2}}}{x+1}$ ${\lim _{x \rightarrow-1} \dfrac{x^2+2
x+1}{x+1}=\lim _{x \rightarrow-1} \dfrac{(x+1)^2}{x+1}=\lim _{x
\rightarrow-1}(x+1)=-1+1=0}$.
c)
$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2{{x}^{2}}+3x+1}{{{x}^{2}}-1}$ $=\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\left( x+1 \right)\left( x+\dfrac{1}{2}
\right)}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}$ $=\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2x+1}{x-1}=\dfrac{1}{2}$.
d) $\underset{x\to
-5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+2x-15}{x+5}$ $=\underset{x\to
-5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x+5 \right)\left( x-3 \right)}{x+5}$ $=\underset{x\to
-5}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=-8$.
Câu 3. Tính giới hạn: (Dạng 0/0 phân
tích nhân tử)
a)
$\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{4}}-16}{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}$.
b)
$\underset{x\to -4}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x-4}{{{x}^{2}}+4x}$.
c)
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{3}}-1}{x\left( x+5 \right)-6}$.
d) $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{4}}-27x}{2{{x}^{2}}-3x-9}$.
Lời giải
a) $\underset{x\to
-2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{4}}-16}{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}}$ $=\underset{x\to
-2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{2}}+4
\right)}{{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}$ $=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left(
x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{{{x}^{2}}}=-8$.
b) $\underset{x\to
-4}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x-4}{{{x}^{2}}+4x}$ $=\underset{x\to
-4}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}{x\left( x+4
\right)}$ $=\underset{x\to -4}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{5}{4}$.
c) $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{3}}-1}{x\left( x+5 \right)-6}$ $=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1
\right)}{\left( x-1 \right)\left( x+6 \right)}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x+6}=\dfrac{3}{7}$.
d) $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{4}}-27x}{2{{x}^{2}}-3x-9}$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x({{x}^{3}}-27)}{(x-3)(2x+3)}$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x(x-3)({{x}^{2}}+3x+9)}{(x-3)(2x+3)}$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x({{x}^{2}}+3x+9)}{2x+3}=9$.
Câu 4. Tính giới hạn: (Dạng 0/0 nhân
liên hợp)
a) ${\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}}$.
b)
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{4x}$ .
c) $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{\sqrt{x+2}-2}$ .
Lời giải
a)
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$ $=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(3-\sqrt{x+8})(3+\sqrt{x+8})}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}$
$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{9-x-8}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}$ $=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1-x}{(x-1)(3+\sqrt{x+8})}$ $=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-1}{3+\sqrt{x+8}}$ $=\dfrac{-1}{3+\sqrt{1+8}}=\dfrac{-1}{6}$.
b)
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{4x}$ $=\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( \sqrt{4+x}-2 \right)\left( \sqrt{4+x}+2
\right)}{4x.\left( \sqrt{4+x}+2 \right)}$ $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{4+x-4}{4x.\left( \sqrt{4+x}+2 \right)}$ $=\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{4.\left( \sqrt{4+x}+2 \right)}=\dfrac{1}{16}$.
c)
$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{\sqrt{x+2}-2}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( \sqrt{2x+5}-3 \right)\left( \sqrt{2x+5}+3
\right)\left( \sqrt{x+2}+2 \right)}{\left( \sqrt{x+2}-2 \right)\left(
\sqrt{2x+5}+3 \right)\left( \sqrt{x+2}+2 \right)}$
$=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( 2x+5-9 \right)\left( \sqrt{x+2}+2
\right)}{\left( x+2-4 \right)\left( \sqrt{2x+5}+3 \right)}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\left( \sqrt{x+2}+2 \right)}{\sqrt{2x+5}+3}=\dfrac{4}{3}$.
Câu 5. Tính giới hạn: (Dạng 0/0 nhân
liên hợp)
a)
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{3}}-\sqrt{3x-2}}{x-1}$.
b) $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}$.
Lời giải
a)
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{3}}-\sqrt{3x-2}}{x-1}$ $=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( {{x}^{3}}-1 \right)-\left( \sqrt{3x-2}-1
\right)}{x-1}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left[ \dfrac{{{x}^{3}}-1}{x-1}-\dfrac{\sqrt{3x-2}-1}{x-1}
\right]$
$=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\left[ {{x}^{2}}+x+1-\dfrac{3x-2-1}{\left( x-1
\right)\left( \sqrt{3x-2}+1 \right)} \right]$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim
}}\,\left[ {{x}^{2}}+x+1-\dfrac{3}{\sqrt{3x-2}+1} \right]$ $=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$.
b)
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}$ $=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( \sqrt[3]{x+7}-2 \right)\left(
\sqrt[3]{{{\left( x+7 \right)}^{2}}}+2\sqrt[3]{x+7}+4 \right)}{\left( x-1
\right).\left( \sqrt[3]{{{\left( x+7 \right)}^{2}}}+2\sqrt[3]{x+7}+4 \right)}$
$=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+7-{{2}^{3}}}{\left( x-1 \right).\left(
\sqrt[3]{{{\left( x+7 \right)}^{2}}}+2\sqrt[3]{x+7}+4 \right)}$ $=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\left( \sqrt[3]{{{\left( x+7
\right)}^{2}}}+2\sqrt[3]{x+7}+4 \right)}=\dfrac{1}{12}$.
Câu 6. Tính giới hạn: (dạng vô cùng/vô
cùng)
a)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{3x+5}{2{{x}^{2}}+1}$.
b)
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{-4{{x}^{2}}+1}{2-x}$.
c)
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{2{{x}^{2}}-3x+1}{-2+3x-4{{x}^{2}}}$.
d)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}+3x}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}-x+3}$.
Lời giải
a)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{3x+5}{2{{x}^{2}}+1}=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{{{x}^{2}}}}{2+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}=0$.
b)
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{-4{{x}^{2}}+1}{2-x}=\underset{x\to
+\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{{{x}^{2}}\left( -4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}
\right)}{x\left( \dfrac{2}{x}-1 \right)}$ $=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\left(
x.\dfrac{-4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{\dfrac{2}{x}-1} \right)=+\infty $
(vì
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,x=+\infty $ và $\underset{x\to +\infty
}{\mathop{lim}}\,\dfrac{-4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{\dfrac{2}{x}-1}=4>0$).
c)
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{2{{x}^{2}}-3x+1}{-2+3x-4{{x}^{2}}}$
$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{\dfrac{-2}{{{x}^{2}}}+\dfrac{3}{x}-4}=\dfrac{-1}{2}$.
d)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}+3x}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}-x+3}$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}.\left( 1+\dfrac{2}{x}
\right)}+3x}{\sqrt{{{x}^{2}}.\left( 4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}-x+3}$ $=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{\left| x \right|\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+3x}{\left|
x \right|\sqrt{4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}-x+3}$ $=\underset{x\to -\infty
}{\mathop{lim}}\,\dfrac{-x.\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+3x}{-x.\sqrt{4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}-x+3}$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{-\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+3}{-\sqrt{4+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}-1+\dfrac{3}{x}}=\dfrac{-2}{3}$.
Câu 7. Tính giới hạn (dạng vô cùng – vô
cùng)
a)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1
\right)$.
b)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\left( 2x-\sqrt{4{{x}^{2}}+2x-1}
\right)$.
c)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\left( \sqrt{4{{x}^{2}}-x+2}+2x
\right)$.
d) $\underset{x\to
+\infty }{\mathop{lim}}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}-x \right)$.
Lời giải
a)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1
\right)$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\left[ {{x}^{3}}\left( -1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}}
\right) \right]=+\infty $.
(vì
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,{{x}^{3}}=-\infty $ và $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{lim}}\,\left( -1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}}
\right)=-1<0$).
b)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\left( 2x-\sqrt{4{{x}^{2}}+2x-1}
\right)$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\left( 2x-\left| x
\right|\sqrt{4+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}} \right)$ $=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{lim}}\,\left( 2x+x\sqrt{4+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}
\right)$
$=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{lim}}\,\left[ x\left( 2+\sqrt{4+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}
\right) \right]=-\infty $.
(vì
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x=-\infty $ và $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2+\sqrt{4+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}
\right)=4>0$).
c)
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\left( \sqrt{4{{x}^{2}}-x+2}+2x
\right)$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{4{{x}^{2}}-x+2-4{{x}^{2}}}{\sqrt{4{{x}^{2}}-x+2}-2x}$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{2-x}{\sqrt{4{{x}^{2}}-x+2}-2x}$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2-x}{-x.\sqrt{4-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}-2x}$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\dfrac{2}{x}-1}{-\sqrt{4-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{{{x}^{2}}}}-2x}=\dfrac{1}{4}$.
d)
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}-x \right)$
$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{2x-3}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}+x}$
$=\underset{x\to +\infty }{\mathop{lim}}\,\dfrac{2-\dfrac{3}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{{{x}^{2}}}}+1}=1$.
Câu 8. Tìm các giới hạn sau: (dạng giới
hạn một bên; dạng số/0)
a) ${\lim _{x \rightarrow 3^{-}}
\dfrac{2 x}{x-3}}$.
b) ${\lim _{x \rightarrow-1^{+}}
\dfrac{1}{x+1}}$.
c) $\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{x}{3-x}$.
Lời giải:
a) Ta có: $\underset{x\to
{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,2x=2.3=6$ và ${\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \dfrac{1}{x-3}=-\infty}$. Do đó $\underset{x\to
{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2x}{x-3}=\underset{x\to
{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x\cdot \dfrac{1}{x-3} \right)=-\infty $.
b) ${\lim _{x \rightarrow-1^{+}}
\dfrac{1}{x+1}=+\infty}$.
c) $\underset{x\to
{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x}{3-x}=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,\left( x.\dfrac{1}{3-x} \right)=+\infty $ (vì $\underset{x\to
{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,x=3$ và $\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{1}{3-x}=+\infty $).
Câu 9. Tìm giới hạn: (dạng giới hạn một
bên; dạng số/0)
a) $\underset{x\to
{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left| 2-x \right|}{2{{x}^{2}}-5x+2}$.
b) $\underset{x\to
{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left| 3-x \right|}{3-x}$.
c) $\underset{x\to
-{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+4x+4}}{x+2}$.
Lời giải
a) $\underset{x\to
{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left| 2-x \right|}{2{{x}^{2}}-5x+2}$ $=\underset{x\to
{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2-x}{\left( x-2 \right)\left( 2x-1 \right)}$
$=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-1}{2x-1}=\dfrac{-1}{3}$.
b) $\underset{x\to
{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left| 3-x \right|}{3-x}=\underset{x\to
{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3-x}{3-x}=1$.
c) $\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+4x+4}}{x+2}$ $=\underset{x\to
-{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left| x+2 \right|}{x+2}=\underset{x\to
-{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+2}{x+2}=1$.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to
-2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+x+4}$.
A. $-\dfrac{1}{6}$.
B. $-\infty $.
C. $+\infty $.
D. $1$.
Lời giải
Chọn A
$A=\underset{x\to
-2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+x+4}$ $=\dfrac{\left( -2 \right)+1}{{{\left(
-2 \right)}^{2}}+\left( -2 \right)+4}=-\dfrac{1}{6}$.
Câu
2. Cho $I=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\left(
\sqrt{3x+1}-1 \right)}{x}$ và $J=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{x+1}$.
Tính $I-J$.
A. 6.
B. 3.
C. $-6$.
D. 0.
Lời giải
Chọn A
Ta có $I=\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\left( \sqrt{3x+1}-1 \right)}{x}$ $=\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{6x}{x\left( \sqrt{3x+1}+1 \right)}$ $=\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{6}{\sqrt{3x+1}+1}=3$;
$J=\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{x+1}$ $=\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)}{x+1}$ $=\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\left( x-2 \right)=-3$.
Khi đó $I-J=6$.
Câu
3. Trong bốn giới
hạn sau đây, giới hạn nào bằng $-\infty $?
A. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-3x+4}{x-2}$.
B. $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-3x+4}{x-2}$.
C. $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-3x+4}{x-2}$.
D. $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-3x+4}{x-2}$.
Lời giải
Chọn C
Vì $\underset{x\to
{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -3x+4 \right)=-2;$ $\underset{x\to
{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-2 \right)=0$ và $x-2>0,\,\,\forall x>2$ nên $\underset{x\to
{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-3x+4}{x-2}=-\infty $.
Câu 4. Tính $\underset{x\to
{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-2x+1}{x-1}$ bằng
A. $+\infty
$.
B. $-\infty
$.
C. $\dfrac{2}{3}$.
D. $\dfrac{1}{3}$.
Lời giải
Chọn B
Vì $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim
}}\,\left( -2x+1 \right)=-1,$ $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim
}}\,\left( x-1 \right)=0,$ $x\to {{1}^{+}}\Rightarrow x-1>0$ nên $\underset{x\to
{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-2x+1}{x-1}=-\infty $.
Câu 5. $\underset{x\to
\,-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-2x-3}{x+1}$ bằng
A. $0$.
B. $-4$.
C. $-3$.
D. $1$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\underset{x\to
\,-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-2x-3}{x+1}$ $=\underset{x\to \,-1}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}{x+1}$ $=\underset{x\to
\,-1}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=-4$.
Câu 6. Chọn kết quả đúng của $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -4{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+x+1 \right)$.
A. $0$.
B. $+\infty $.
C. $-\infty $.
D. $-4$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -4{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+x+1 \right)$ $=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{5}}\left( -4-\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{4}}}+\dfrac{1}{{{x}^{5}}}
\right)$ $=+\infty $
(vì $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -4-\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{4}}}+\dfrac{1}{{{x}^{5}}}
\right)=-4<0$ và $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim
}}\,{{x}^{5}}=-\infty $).
Câu 7. Tính $\underset{x\to
5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-12x+35}{25-5x}$.
A. $-\dfrac{2}{5}$.
B. $+\infty $.
C. $\dfrac{2}{5}$.
D. $-\infty $.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-12x+35}{25-5x}$
$=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-7 \right)\left( x-5
\right)}{-5\left( x-5 \right)}$ $=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-7}{-5}=\dfrac{2}{5}$.
Câu 8. Tính giới hạn $I=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-5x+6}{x-2}$.
A. $I=-1$.
B. $I=0$.
C. $I=1$.
D. $I=5$.
Lời giải
Chọn A
$I=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-5x+6}{x-2}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)}{x-2}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=-1$.
Câu 9. Tính $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{2{{x}^{2}}+x}+x \right)$.
A. $+\infty $.
B. $-1$.
C. $-\infty $.
D. $0$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim
}}\,\left( \sqrt{2{{x}^{2}}+x}+x \right)$ $=\underset{x\to -\infty
}{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}\left( 2+\dfrac{1}{x} \right)}+x
\right)$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -x\sqrt{2+\dfrac{1}{x}}+x
\right)$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x\left( -\sqrt{2+\dfrac{1}{x}}+1
\right) \right]=+\infty $
(vì $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,x=-\infty $ và $\underset{x\to -\infty
}{\mathop{\lim }}\,\left( -\sqrt{2+\dfrac{1}{x}}+1 \right)=1-\sqrt{2}<0$).
Câu 10. Biết rằng $\underset{x\to
+\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x-2}+ax-b \right)=-5$.
Tính tổng $a+b$.
A. $6$.
B. $7$.
C. $8$.
D. $5$.
Lời giải
Chọn
A
$\underset{x\to
+\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{{{x}^{2}}+1}{x-2}+ax-b \right)$ $=\underset{x\to
+\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{\left( a+1 \right){{x}^{2}}-\left(
2a+b \right)x+2b+1}{x-2} \right)$ $=-5$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 1 = 0\\
2a + b = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\\
b = 7
\end{array} \right..$
Vậy $a+b=6$.
Câu
11. Cho $a$, $b$ là các số thực khác $0$. Để giới hạn $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-3x}+ax}{bx-1}=3$ thì
A. $\dfrac{a-1}{b}=3$.
B. $\dfrac{a+1}{b}=3$.
C. $\dfrac{-a-1}{b}=3$.
D. $\dfrac{a-1}{b}=-3$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-3x}+ax}{bx-1}$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-x\sqrt{1-\dfrac{3}{x}}+ax}{x\left(
b-\dfrac{1}{x} \right)}$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x\left(
-\sqrt{1-\dfrac{3}{x}}+a \right)}{x\left( b-\dfrac{1}{x} \right)}$ $=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-\sqrt{1-\dfrac{3}{x}}+a}{b-\dfrac{1}{x}}$ $=\dfrac{a-1}{b}=3$.
Câu
12. Biết $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4{{x}^{2}}+x+1}+4}{mx-2}=\dfrac{1}{2}$. Giá trị của $m$ thuộc tập hợp
nào sau đây?
A. $\left[ 3;\,6 \right]$.
B. $\left[ -3;\,0 \right]$.
C. $\left[ -6;-3 \right]$.
D. $\left[ 1;\,3 \right]$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4{{x}^{2}}+x+1}+4}{mx-2}$ $=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-\sqrt{4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}+\dfrac{4}{x}}{m-\dfrac{2}{x}}$
$=-\dfrac{2}{m}$.
Theo bài
ra ta có: $-\dfrac{2}{m}=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow m=-4\in \left[ -6;\,-3
\right]$.
Câu 13. Biết giới hạn $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-4}=\dfrac{a}{b}$ trong đó $\dfrac{a}{b}$
là phân số tối giản. Tính $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.$
A. $S=20$.
B. $S=17$.
C. $S=10$.
D. $S=25$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{{{x}^{2}}-4}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{1}{4}.$
Do đó $a=1;\text{
}b=4$ suy ra $S={{1}^{2}}+{{4}^{2}}=17.$
Câu
14. Biết $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+bx+c}{x-3}=8$ $(b,\,c\in \mathbb{R}).$
Tính $P=b+c.$
A. $P=-13.$
B. $P=-11.$
C. $P=5.$
D. $P=-12.$
Lời giải
Chọn A
Vì $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+bx+c}{x-3}=8$
là hữu hạn nên tam thức ${{x}^{2}}+bx+c$ có nghiệm $x=3$ $\Leftrightarrow
3b+c+9=0$ $\Leftrightarrow c=-9-3b$.
Khi đó $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+bx+c}{x-3}$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+bx-9-3b}{x-3}$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+3+b \right)}{x-3}$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\left( x+3+b \right)=8$ $\Leftrightarrow 6+b=8$ $\Leftrightarrow
b=2\Rightarrow c=-15$.
Vậy $P=b+c=-13$.
Câu 15. Cho $a,b$ là các số nguyên và
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{a{{x}^{2}}+bx-5}{x-1}=7$.
Tính ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a+b$.
A. $5$.
B. $1$.
C. $15$.
D. $18$.
Lời
giải
Chọn
D
Vì $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{a{{x}^{2}}+bx-5}{x-1}=7$ nên $x=1$ phải là nghiệm
của phương trình $a{{x}^{2}}+bx-5=0$, do đó $a+b-5=0\Rightarrow b=5-a$.
Khi đó $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{a{{x}^{2}}+\left( 5-a \right)x-5}{x-1}$ $=\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-1 \right)\left( ax+5
\right)}{x-1}\,\,\,=\,\,\,a+5=7$ $\Rightarrow a=2$, $b=3$.
Suy ra: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a+b=18$.
Câu
16. Biết $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{3}}-ax+a-1}{x-1}=2$. Tính $M={{a}^{2}}+2a$.
A. $M=3$.
B. $M=1$.
C. $M=-1$.
D. $M=8$.
Lời giải
Chọn
A
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{3}}-ax+a-1}{x-1}$
$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-1 \right)\left(
{{x}^{2}}+x+1 \right)-a\left( x-1 \right)}{x-1}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim
}}\,\left( {{x}^{2}}+x+1-a \right)=3-a=2$ $\Rightarrow a=1$.
Vậy $M={{a}^{2}}+2a=3$.
Câu
17. Cho $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left(
\sqrt{9{{x}^{2}}+ax}+3x \right)=-2$. Tính giá trị của $a$.
A. $-6$.
B. $12$.
C. $6$.
D. $-12$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{9{{x}^{2}}+ax}+3x \right)$ $=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{ax}{\sqrt{9{{x}^{2}}+ax}-3x} \right)$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{a}{-\sqrt{9+\dfrac{a}{x}}-3}=-\dfrac{a}{6}$
Theo đề
bài: $-\dfrac{a}{6}=-2\Leftrightarrow a=12$.
Câu 18.
Biết $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left(
\sqrt{4{{x}^{2}}-3x+1}-\left( ax+b \right) \right)=0$. Tính $a-4b$.
A. $3$.
B. $5$.
C. $-1$.
D. $2$.
Lời
giải
Chọn
B
Ta có
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left(
\sqrt{4{{x}^{2}}-3x+1}-\left( ax+b \right) \right)=0$ $\Leftrightarrow
\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \left(
\sqrt{4{{x}^{2}}-3x+1}-ax \right)-b \right)=0$ $\Leftrightarrow \underset{x\to
+\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{4{{x}^{2}}-3x+1-{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{\sqrt{4{{x}^{2}}-3x+1}+ax}-b
\right)=0$ $\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{\left(
4-{{a}^{2}} \right){{x}^{2}}-3x+1}{\sqrt{4{{x}^{2}}-3x+1}+ax}-b \right)=0$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & 4-{{a}^{2}}=0 \\ & a>0 \\ & \dfrac{-3}{2+a}-b=0 \\ \end{align}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=2 \\ & b=-\dfrac{3}{4} \\ \end{align} \right.$.
Vậy $a-4b=5$.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Tính các giới hạn sau:
a) $\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\left( -5{{x}^{3}}-4x+2 \right)=2$.
b) $\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2x-3{{x}^{2}}}{4x+1}=-\dfrac{3}{4}$.
c) $\underset{x\to
-5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+2x-15}{x+5}=+\infty $.
d) $\underset{x\to
-4}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x-4}{{{x}^{2}}+4x}=\dfrac{5}{4}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Sai
d)
Đúng
a) $\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\left( -5{{x}^{3}}-4x+2 \right)$ $=-{{5.0}^{3}}-4.0+2=2$.
b) $\underset{x\to
-1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2x-3{{x}^{2}}}{4x+1}$ $=\dfrac{2.(-1)-3.{{(-1)}^{2}}}{4.(-1)+1}=\dfrac{5}{3}$.
c) $\underset{x\to
-5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+2x-15}{x+5}$ $=\underset{x\to
-5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(x+5)(x-3)}{x+5}$ ${=\lim _{x
\rightarrow-5}(x-3)=-5-3=-8}$.
d) $\underset{x\to
-4}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x-4}{{{x}^{2}}+4x}=\underset{x\to
-4}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(x-1)(x+4)}{x(x+4)}$ ${\lim _{x
\rightarrow-4} \dfrac{x-1}{x}=\dfrac{-4-1}{-4}=\dfrac{5}{4}}$.
Câu 2. Tìm các giới hạn sau:
a) $\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{4x}=\dfrac{1}{16}$.
b) $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{4-{{x}^{2}}}{\sqrt{x+7}-3}=-24$.
c) $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{\sqrt{x+2}-2}=\dfrac{4}{3}$.
d) $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\dfrac{1}{3}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Đúng
d)
Sai
a) $\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{4x}$ $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)}{4x(\sqrt{4+x}+2)}$ ${\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{4+x-4}{4 x(\sqrt{4+x}+2)}}$
$=\underset{x\to
0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{4(\sqrt{4+x}+2)}$ $=\dfrac{1}{4(\sqrt{4}+2)}=\dfrac{1}{16}\text{.}$
b) $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{4-{{x}^{2}}}{\sqrt{x+7}-3}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(2-x)(2+x)(\sqrt{x+7}+3)}{(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}$
$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(2-x)(2+x)(\sqrt{x+7}+3)}{x+7-9}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,[-(2+x)(\sqrt{x+7}+3)]$ $=-4.6=-24$.
c) $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{\sqrt{x+2}-2}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(\sqrt{2x+5}-3)(\sqrt{2x+5}+3)(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)(\sqrt{2x+5}+3)}$
$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(2x+5-9)(\sqrt{x+2}+2)}{(x+2-4)(\sqrt{2x+5}+3)}$
$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2(\sqrt{x+2}+2)}{\sqrt{2x+5}+3}=\dfrac{4}{3}$.
d) $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}$ ${\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\lim
_{x \rightarrow 1} \dfrac{(\sqrt[3]{x+7}-2)\left(\sqrt[3]{(x+7)^2}+2
\sqrt[3]{x+7}+4\right)}{(x-1)\left(\sqrt[3]{(x+7)^2}+2
\sqrt[3]{x+7}+4\right)}}$
$=\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{1}{\sqrt[3]{(x+7)^2}+2
\sqrt[3]{x+7}+4}=\dfrac{1}{12} $.
Câu
3. Các mệnh đề
sau đúng hay sai?
a) $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left(
\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x-2 \right)=\dfrac{-3}{2}$.
b) $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left(
\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x-2 \right)=+\infty $.
c) $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3x+2}{x+1}=-\infty
$.
d) $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3x+2}{x+1}=-\infty
$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Đúng
a) $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left(
\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x-2 \right)$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-x+1-{{x}^{2}}+4x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-x+2}$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3x-3}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-x+2}$
$=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x\left( 3-\dfrac{3}{x}
\right)}{-x\left( \sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}+1-\dfrac{2}{x}
\right)}$ $=\dfrac{-3}{2}$.
b) $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left(
\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x-2 \right)$ $=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim
}}\,\left[ x\left( \sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}+1-\dfrac{2}{x}
\right) \right]$ $=+\infty $
(vì $\underset{x\to
+\infty }{\mathop{\lim }}\,x=+\infty $ và $\underset{x\to +\infty
}{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}+1-\dfrac{2}{x}
\right)=2>0$).
c) Do $\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left(
x+1 \right)=0$, $x+1<0$ với mọi $x<-1$ và $\underset{x\to
-{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x+2 \right)=-1<0$ nên $\underset{x\to
-{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3x+2}{x+1}=+\infty $.
d) Do $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left(
x+1 \right)=0$, $x+1>0$ với mọi $x>-1$ và $\underset{x\to
-{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x+2 \right)=-1<0$ nên $\underset{x\to
-{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3x+2}{x+1}=-\infty $.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Cho $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}-1}=\dfrac{-1}{2}$ $\left(
a,b\in \mathbb{R} \right).$ Tổng $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ bằng bao nhiêu?
Lời giải: $13$
Vì hàm số có giới hạn hữu hạn tại $x=1$ nên biểu thức tử
nhận $x=1$ làm nghiệm, hay $1+a+b=0$.
Khi đó
ta có $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+ax-1-a}{{{x}^{2}}-1}=-\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-1
\right)\left( x+1+a \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=-\dfrac{1}{2}$.
$\Leftrightarrow
\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+1+a}{x+1}=-\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow
\dfrac{2+a}{2}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=-3$. Suy ra $b=2$.
Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=13$.
Câu 2. Biết $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\dfrac{a}{{{b}^{2}}}$ ($\dfrac{a}{b}$
là phân số tối giản). Tính $\sqrt{a}+b+2028$.
Lời giải: $2031$
$\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$ $=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{x-3}{\left( x-3 \right)\left( \sqrt{x+1}+2 \right)}$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}$ $=\dfrac{1}{{{2}^{2}}}$.
Suy ra $a=1;\,b=2$;
$\sqrt{a}+b+2028=1+2+2028=2031$.
Câu 3. Cho giới hạn $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+1-\sqrt{5x+1}}{x-\sqrt{4x-3}}=\dfrac{a}{b}$ (phân
số tối giản). Giá trị của $T=2a-b$ là bao nhiêu?
Lời giải: $10$
$\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+1-\sqrt{5x+1}}{x-\sqrt{4x-3}}$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( {{x}^{2}}-3x \right)\left( x+\sqrt{4x-3}
\right)}{\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)\left( x+1+\sqrt{5x+1} \right)}$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x\left( x+\sqrt{4x-3} \right)}{\left( x-1
\right)\left( x+1+\sqrt{5x+1} \right)}$ $=\dfrac{3.\left( 3+3 \right)}{2.\left(
4+4 \right)}=\dfrac{9}{8}.$
Vậy $T=2a-b=10$.
Câu
4. Cho hàm số $f(x)$
xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)-16}{x-2}=12$.
Tính giới hạn $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{5f(x)-16}-4}{{{x}^{2}}+2x-8}$.
Lời giải: $0,21$
Do $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)-16}{x-2}=12$ nên ta có $f(2)-16=0$ hay $f(2)=16$.
$\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt[3]{5f(x)-16}-4}{{{x}^{2}}+2x-8}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{5(f(x)-16)}{(x-2)(x+4)(\sqrt[3]{{{(5f(x)-16)}^{2}}}+4\sqrt[3]{5f(x)-16}+16)}$
$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{f(x)-16}{x-2}.\dfrac{5}{(x+4)(\sqrt[3]{{{(5f(x)-16)}^{2}}}+4\sqrt[3]{5f(x)-16}+16)}$
$=12.\dfrac{5}{6.48}=\dfrac{5}{24}$.
Câu 5. Cho
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+ax+5}+x
\right)=5$. Khi đó giá trị $a$ là bao nhiêu?
Lời
giải: $-10$
Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left(
\sqrt{{{x}^{2}}+ax+5}+x \right)$ $=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left(
\sqrt{{{x}^{2}}+ax+5}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+ax+5}-x \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+ax+5}-x}$
$=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{ax+5}{\sqrt{{{x}^{2}}+ax+5}-x}$ $=\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{a+\dfrac{5}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{5}{{{x}^{2}}}}-1}=\dfrac{a}{-2}$.
Do đó: $\underset{x\to
-\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+ax+5}+x \right)=5$ $\Leftrightarrow
\dfrac{a}{-2}=5\Leftrightarrow a=-10$.
