CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ VÀ TẬP HỢP
BÀI 1. MỆNH ĐỀ
1. Mệnh đề
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai. Một khẳng định đúng gọi là
mệnh đề đúng. Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Chú ý:
Người ta thường sử dụng các chữ cái in hoa $P,\,\,Q,\,\,R,\ldots $ để kí hiệu mệnh
đề.
Chú ý:
Những mệnh đề liên quan đến toán học còn được gọi là mệnh đề toán học.
2. Mệnh đề chứa biến
Xét câu "$n$ chia hết cho 5" ($n$ là số tự nhiên).
Câu "$n$ chia hết cho 5" là một khẳng định, nhưmg
không là mệnh đề, vì khẳng định này có thể đúng hoặc sai, tuỳ theo giá trị của $n$.
Tuy vậy, khi thay $n$ bằng một số tự nhiên cụ thể thì ta nhận được một mệnh đề.
Người ta gọi "$n$ chia hết cho 5" là một mệnh đề chứa biến
(biến $n$), kí hiệu $P(n)$. Ta viết $P(n)$: "$n$ chia hết cho 5" ($n$
là số tự nhiên).
Một mệnh đề chứa biến có thế chứa một biến hoặc nhiều biến.
3. Mệnh đề phủ định
Mỗi mệnh đề $P$ có mệnh đề phủ định, kí hiệu
là $\bar{P}$, bằng cách thêm hoặc bớt từ “không”, “không phải”
vào trước vị ngữ của nó.
Mệnh đề $P$ và mệnh đề phủ định $\bar{P}$ của nó có tính
đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là khi $P$ đúng thì $\bar{P}$ sai, khi $P$ sai
thì $\bar{P}$ đúng.
4. Mệnh đề kéo theo
Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$
" được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu là $P\Rightarrow Q$.
Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$
sai.
Nhận xét:
a) Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ còn được phát biểu là "$P$
kéo theo $Q$" hoặc "Từ $P$ suy ra $Q$".
b) Để xét tính đúng sai của mệnh đề $P\Rightarrow Q$, ta chỉ
cần xét trường hợp $P$ đúng. Khi đó, nếu $Q$ đúng thì mệnh đề đúng, nếu $Q$ sai
thì mệnh đề sai.
|
P |
Q |
P suy ra Q |
|
Đ |
Đ |
Đ |
|
S |
S |
Đ |
|
S |
Đ |
Đ |
|
Đ |
S |
S |
Trong toán học, định lí là mệnh đề đúng. Các định
lí trong toán học thường có dạng $P\Rightarrow Q$.
Khi mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là định lí, ta nói:
$P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận
của định lí; $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ và $Q$ là điều
kiện cần để có $P$.
5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo
của mệnh đề $P\Rightarrow Q$.
Chú ý:
Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
Nếu cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều
đúng thì ta nói $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu là $P\Leftrightarrow
Q$ (đọc là "$P$ tương đương $Q$" hoặc "$P$ khi và chỉ khi $Q$).
Khi đó, ta cũng nói $P$ là điều kiện cần và đủ
để có $Q$ (hay $Q$ là điều kiện cần và đủ để có $P$ ).
Nhận xét:
Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương khi chúng cùng đúng hoặc cùng sai.
6. Mệnh đề chứa kí hiệu $\forall $ (với mọi), $\exists $ (tồn
tại)
|
Mệnh đề |
Phủ định |
|
$\forall x,\,\,P(x)$ |
$\exists
x,\,\,\overline{P(x)}$ |
|
$\exists x,\,\,P(x)$ |
$\forall
x,\,\,\overline{P(x)}$ |
Mệnh đề "$\forall x\in M,\,\,P(x)$" đúng khi với mọi
${{x}_{0}}$ nó đều đúng; sai khi có một ${{x}_{0}}$ làm cho nó sai.
Mệnh đề "$\exists x\in M,\,\,P(x)$" đúng khi có một
${{x}_{0}}$ làm cho nó đúng; sai khi với mọi ${{x}_{0}}$ nó đều sai.
Ví dụ 1
Trong các câu sau đây, câu nào là mệnh đề?
a) 3 là số lẻ;
b) ${1+2>3}$;
c) ${\pi}$ là số vô tỉ phải không?
d) 0,0001 là số rất bé;
e) Đến năm 2050, con người sẽ đặt chân lên Sao Hoả.
Giải
a) "3 là số lẻ" là mệnh đề (là mệnh đề đúng).
b) " ${1+2>3}$ " là mệnh đề (là mệnh đề sai).
c) " ${\pi}$ là một số vô tỉ phải không?" là câu hỏi,
không phải mệnh đề.
d) Câu "0,0001 là số rất bé" không có tính hoặc
đúng hoặc sai (do không đưa ra tiêu chí thế nào là số rất bé). Do đó, nó không
phải là mệnh đề.
e) "Đến năm 2050, con người sẽ đặt chân lên Sao Hoả"
là một khẳng định chưa thể chắc chắn là đúng hay sai. Tuy nhiên, nó chắc chắn
chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai. Do đó, nó là một mệnh đề.
Ví dụ 2
Cho các mệnh đề chứa biến:
a) ${P(x)}$ : " $2x=1$ ";
b) ${R(x, y)}$ : " ${2 x+y=3}$ " (mệnh đề này chứa
hai biến ${x}$ và ${y}$ );
c) ${T(n)}$ : " ${2 n+1}$ là số chẵn" ( ${n}$ là số
tự nhiên).
Với mỗi mệnh đề chứa biến trên, tìm những giá trị của biến để
nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
Giải
a) Với ${x=\frac{1}{2}}$ thì $P\left( \frac{1}{2}
\right): $ '' $2\cdot \frac{1}{2}=1$ " là mệnh đề đúng.
Với ${x=1}$ thì ${P(1)}$ : "2. ${1=1}$ " là mệnh đề
sai.
b) Với ${x=1, y=1}$ thì ${R(1,1)}$ : " ${2.1+1=3}$
" là mệnh đề đúng.
Với ${x=1, y=2}$ thì ${R(1,2)}$ : " ${2.1+2=3}$ "
là mệnh đề sai.
c) Lấy số tự nhiên ${n_{0}}$ bất kì ta đều được ${2
n_{0}+1}$ là một số lẻ, nghĩa là ${T\left(n_{0}\right)}$ : " ${2 n_{0}+1}$
là số chẵn" là mệnh đề sai. Do đó, không có giá trị ${n_{0}}$ của ${n}$ để
${T\left(n_{0}\right)}$ là mệnh đề đúng. ${T\left(n_{0}\right)}$ là mệnh đề sai
với số tự nhiên ${n_{0}}$ bất kì.
Ví dụ 3.
Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
${P}$ : "Tháng 12 dương lịch có 31 ngày";
$Q:\text{ }''{{9}^{10}}\ge {{10}^{9n}}''$,
${R}$ : "Phương trình ${x^{2}+1=0}$ có nghiệm".
Giải
Mệnh đề phủ định của các mệnh đề trên là:
${\bar{P}}$ : "Không phải tháng 12 dương lịch có 31
ngày";
$\bar{Q}:~\text{ }''{{9}^{10}}<{{10}^{9}}''$;
${\bar{R}}$ : "Phương trình ${x^{2}+1=0}$ vô nghiệm".
Ví dụ 4
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) ${R}$ : "Nếu tam giác ${A B C}$ có hai góc bằng ${60^{\circ}}$
thì nó là tam giác đều";
b) ${T}$ : "Từ ${-3<-2}$ suy ra ${(-3)^{2}<(-2)^{2}}$
".
Giải
a) ${R}$ là mệnh đề có dạng ${P \Rightarrow Q}$, với ${P}$.
"Tam giác ${A B C}$ có hai góc bằng ${{60}^{{}^\circ }}''$ và ${Q}$ :
"Tam giác ${A B C}$ là tam giác đều". Ta thấy khi ${P}$ đúng thì ${Q}$
cũng đúng. Do đó, ${P \Rightarrow Q}$ đúng hay ${R}$ đúng.
b) ${T}$ là mệnh đề có dạng ${P \Rightarrow Q}$, với ${P}$ :
"-3< ${-2}$ " và ${Q}$ : " ${{(-3)}^{2}}<{{(-2)}^{2}}''$
(hay "$9<4''$ ).
Ta thấy mệnh đề ${P}$ đúng, còn mệnh đề ${Q}$ sai. Do đó, ${P
\Rightarrow Q}$ sai. Vậy ${T}$ là mệnh đề sai.
Ví dụ 5
Sử dụng các thuật ngữ "điều kiện cần", "điều
kiện đủ" để phát biểu lại định lí: "Nếu tứ giác ${A B C D}$ là hình
chữ nhật thì hai đường chéo bằng nhau".
Giải
Ta có thể phát biểu lại định lí đã cho như sau:
"Tứ giác ${A B C D}$ có hai đường chéo bằng nhau là điều
kiện cần để nó là hình chữ nhật" hoặc "Tứ giác ${A B C D}$ là hình chữ
nhật là điều kiện đủ để hai đường chéo bằng nhau".
Ví dụ 6
Xét hai mệnh đề:
${P}$ : "Tam giác ${A B C}$ vuông tại ${A}$ ";
${Q}$ : "Tam giác ${A B C}$ có ${A B^{2}+A C^{2}=B
C^{2}}$ ".
Hai mệnh đề ${P}$ và ${Q}$ có tương đương không? Nếu có, hãy
phát biểu một định lí thể hiện điều này, trong đó có sử dụng thuật ngữ
"khi và chỉ khi" hoặc "điều kiện cần và đủ".
Giải
Theo định lí Pythagore, hai mệnh đề ${P \Rightarrow Q}$ và ${Q
\Rightarrow P}$ đều đúng. Do đó, ${P}$ và ${Q}$ là hai mệnh đề tương đương. Ta
có thể phát biểu thành định lí như sau:
"Tam giác ${A B C}$ vuông tại ${A}$ khi và chỉ khi ${A
B^{2}+A C^{2}=B C^{2}}$ ",
hoặc "Để tam giác ${A B C}$ vuông tại ${A}$, điều kiện
cần và đủ là ${A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}}$ ".
Ví dụ 7
Xét tính đúng sai và viết mệnh để phủ định của các mệnh đề
sau:
a) ${\forall x \in \mathbb{R}, x^{2}+2 x+2>0}$
b) ${\exists x \in \mathbb{R}, x^{2}+3 x+4=0}$.
Giải
a) Mệnh đề đúng, vì ${x^{2}+2 x+2=\left(x^{2}+2
x+1\right)+1=(x+1)^{2}+1>0}$ với mọi số thực ${x}$.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: ${\exists x \in
\mathbb{R}, x^{2}+2 x+2 \leq 0}$.
b) Mệnh đề sai, vì phương trình ${x^{2}+3 x+4=0}$ vô nghiệm ${(\Delta=-7<0)}$.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: ${\forall x \in
\mathbb{R}, x^{2}+3 x+4 \neq 0}$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề. Nếu là mệnh đề, xét
tính đúng, sai của mệnh đề:
a. $1+2+4=10$
b. Năm 1997 là năm nhuận.
c. Hôm nay trời đẹp quá!
d. $x+1=4$.
Lời giải
a. Mệnh đề sai, vì $1+2+4=7$.
b. Mệnh đề sai vì 1997 không chia hết cho
4 nên không phải năm nhuận.
c. Không phải là mệnh đề, đây là một câu cảm
thán.
d. Không phải là mệnh đề, vì tính chân trị
của mệnh đề có thể thay đổi được.
Câu 2. Trong
các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) Số $11$ là số chẵn.
b) Bạn có chăm học không?
c) Huế là một thành phố của Việt Nam.
d) $2x+3$ là một số nguyên dương.
e) $2-\sqrt{5}<0$.
f) $4+x=3$.
g) Hãy trả lời câu hỏi này!
h) Paris là thủ đô nước Ý.
i) Phương trình ${{x}^{2}}-x+1=0$ có nghiệm.
k) $13$ là một số nguyên tố.
Lời giải
Các câu a, c, e, i, k là các mệnh đề.
Các câu d, f, i là các mệnh đề chứa biến.
Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
đúng? Giải thích?
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi
chúng có diện tích bằng nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi
chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.
c) Một tam giác là tam giác vuông khi và
chỉ khi chúng có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.
d) Đường tròn có một tâm đối xứng và một
trục đối xứng.
e) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.
f) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi
nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
g) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn
khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.
Lời giải
a) Sai, không nằm trong các trường hợp hai
tam giác bằng nhau.
b) Sai vì 2 cạnh bằng nhau chưa chắc đã
tương ứng trong hai tam giác đồng dạng.
c) Đúng vì $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{0}}\Leftrightarrow
2\widehat{A}={{180}^{0}}\Leftrightarrow \widehat{A}={{90}^{0}}.$
d) Sai, vì đường tròn có vô số trục đối xứng.
e) Đúng.
f) Sai, giả sử có hai đường chéo độ dài khác
nhau.
g) Sai, lấy tứ giác bất kỳ nội tiếp đường
tròn.
Câu
4. Cho tam giác $ABC$. Xét hai mệnh đề sau:
$\left( P \right)$:
“tam giác $ABC$ vuông”; $\left( Q \right)$: “$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$”
Hãy phát biểu
thành lời mệnh đề sau, và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai:
a. $\left( P
\right)\Rightarrow \left( Q \right)$
b. $\left( Q
\right)\Rightarrow \left( P \right)$.
Lời giải
a. $\left( P
\right)\Rightarrow \left( Q \right)$: Nếu tam giác $ABC$ vuông thì $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$.
Mệnh đề này sai vì chưa chắc $ABC$ vuông tại $A$.
b. $\left( Q
\right)\Rightarrow \left( P \right)$: Nếu $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$
thì tam giác $ABC$ vuông. Mệnh đề này đúng theo định lí Pitago đảo.
Câu
5. Cho tứ giác $ABCD$. Xét hai mệnh đề:
$\left( P \right)$ : “Tứ giác $ABCD$ là hình vuông”
$\left( Q \right)$: “Tứ giác $ABCD$ là
hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”.
Phát biểu $\left( P \right)\Rightarrow
\left( Q \right)$ bằng hai cách, mệnh đề này đúng hay sai?.
Lời giải
Mệnh đề $\left( P \right)\Rightarrow
\left( Q \right)$: “Tứ giác$ABCD$ là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác đó là
hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc” và “Tứ giác$ABCD$ là hình vuông khi
và chỉ khi tứ giác đó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”. Mệnh
đề này đúng.
Câu
6. Cho tam giác $ABC$. Lập mệnh đề $\left( P \right)\Rightarrow
\left( Q \right)$ và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng sai của chúng
khi :
a. $\left( P
\right):$ “Góc
$A$ bằng ${{90}^{0}}$” $\left( Q \right):$ “Cạnh $BC$ lớn nhất”
b. $\left( P \right):$ “$\widehat{A}=\widehat{B}$” $\left( Q \right):$ “Tam
giác $ABC$ cân”.
Lời giải
Với tam giác $ABC$ đã cho, ta có:
a. $\left( P \right)\Rightarrow \left( Q
\right)$: “Nếu góc $A$ bằng ${{90}^{0}}$ thì cạnh $BC$ lớn nhất” là mệnh đề
đúng.
$\left( Q \right)\Rightarrow \left( P
\right):$ “Nếu cạnh $BC$ lớn nhất thì góc $A$ bằng ${{90}^{0}}$”.
b. $\left( P \right)\Rightarrow \left( Q
\right)$: “Nếu $\widehat{A}=\widehat{B}$ thì tam giác $ABC$ cân” là mệnh đề
đúng.
$\left( Q \right)\Rightarrow \left( P
\right):$ “Nếu tam giác $ABC$ cân thì $\widehat{A}=\widehat{B}$” là mệnh đề
sai, vì tam giác $ABC$ chưa chắc cân tại $C$.
Câu 7. Mệnh đề sau đúng, sai?
a)
Điều kiện cần và đủ để $a=0$ là $\frac{5}{a}=\frac{5}{b}$.
b)
Điều kiện đủ để $x>y$ là $\sqrt{x}>\sqrt{y}$.
c)
Điều kiện cần để tam giác ABC vuông là $A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}$.
d)
Điều kiện đủ để $\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|$ là $x\ge 0$.
Lời giải:
a)
Nếu $a=b$thì $\frac{5}{a}=\frac{5}{b}$: Mệnh đề sai.
b)
Nếu $\sqrt{x}>\sqrt{y}$ thì $x>y$: Mệnh đề đúng.
c)
Nếu tam giác ABC vuông thì $A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}$: Mệnh đề sai.
d)
Nếu $x\ge 0$ thì $\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|$: Mệnh đề đúng.
Câu
8. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a. Hai tam giác bằng
nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
b. Hai tam giác bằng
nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.
c. Một tam giác là
tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.
d. Một tam giác là
tam giác đều khi và chỉ khi nó có hai phân giác bằng nhau và một góc bằng ${{60}^{0}}$.
Lời giải
a.
Đây là mệnh đề sai.
Gọi
$A:$“Hai tam giác bằng nhau” B : “Hai tam giác có diện tích bằng nhau”
Mệnh
đề $A\Rightarrow B$ đúng, mệnh đề $B\Rightarrow A$ sai, do đó mệnh đề đã cho
sai.
b.
Mệnh đề sai, vì 2 cạnh bằng nhau chưa chắc đã tương ứng trong hai tam giác đồng
dạng.
c.
Mệnh đề đúng, vì góc bằng tổng hai góc còn lại vuông.
d.
Mệnh đề đúng, vì 2 phân giác bằng nhau là tam giác cân.
Câu 9. Xét
tính đúng, sai của các mệnh đề:
a. $\forall x\in \mathbb{R},\,{{x}^{2}}+1\ge 0$
b. $\forall x\in \mathbb{R},\,x+2=x$
c. $\exists x\in \mathbb{Q},\,9{{x}^{2}}-4=0$
d. $\forall x\in \mathbb{Q},\,3{{x}^{2}}-5=0$.
Lời giải
a. Mệnh đề đúng vì ${{x}^{2}}+1\ge 1>0$.
b. Mệnh đề sai, vì chọn $x=-2$ nguyên thì $\left(
-2 \right)+2=\left( -2 \right)$ là sai.
c. Mệnh đề đúng, vì chọn $x=\frac{2}{3}$
là số hữu tỉ thì $9{{x}^{2}}-4=0$.
d. Mệnh đề sai, vì $3{x^{2}}-5=0\Leftrightarrow
{{x}^{2}}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{5}{3}}\notin \mathbb{Q}$.
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Giải thích? Phát
biểu các mệnh đề đó thành lời:
a) $\forall x\in \mathbb{R},\,{{x}^{2}}>0$.
b) $\exists x\in \mathbb{R},\,x>{{x}^{2}}$.
c) $\exists x\in \mathbb{Q},\,4{{\text{x}}^{2}}-1=0.$
d) $\forall n\in \mathbb{N},\,{{n}^{2}}>n.$
e) $\forall x\in \mathbb{R},\,{{x}^{2}}-x-1>0.$
f) $\forall x\in \mathbb{R},\,{{x}^{2}}>9\Rightarrow x>3.$.
Lời giải
a) Sai, vì $x=0\Rightarrow {{x}^{2}}=0$.
b) Đúng khi $0<x<1$. Phát biểu: “Tồn tại số thực lớn hơn bình phương
của nó”.
c) Đúng, giải phương trình $4{{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\pm
\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$.
d) Sai, chẳng hạn với $n=1$.
e) Sai, chẳng hạn với $x=1\Rightarrow {{x}^{2}}-x-1=-1<0$.
f) Sai, chẳng hạn $x=-4$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Trong
các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề ?
a) Mấy giờ rồi ?
b) Buôn Mê Thuột là thành phố của Đắk Lắk.
c) $2019$ là số nguyên tố.
d) Làm việc đi
!
A.
$4$
B.
$2.$
C.
$3.$
D.
$1.$
Lời giải
Chọn B
“Mấy giờ rồi ?” đây là câu hỏi nên không phải câu mệnh đề.
“Buôn Mê Thuột là thành phố của Đắk
Lắk” đây là câu khẳng định
đúng nên là một mệnh đề.
“$2019$ là số nguyên tố ” đây là câu khẳng định
sai nên là một mệnh đề.
“Làm việc đi !” đây là câu cảm thán nên
không phải là mệnh đề.
Câu
2. Trong các câu sau, câu
nào không phải mệnh đề?
A. $8$ là số chính
phương.
B. Hà Nội là thủ đô Việt Nam.
C. Buồn
ngủ quá!
D.
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Lời
giải
Chọn
C
Ở các đáp án A,B,D ta khẳng định được
tính đúng sai của nó nên A, B, D là các mệnh đề, còn đáp án C là một câu cảm
thán, không thể khẳng định tính đúng, sai nên không là mệnh đề.
+ $8$ là số chính phương là một khẳng
định sai nên câu A là một mệnh đề
+ Hà Nội là thủ đô Việt Nam là một khẳng
định đúng nên câu B là mệnh đề.
+ Hình thoi có hai đường chéo vuông
góc với nhau là khẳng định đúng nên câu D là mệnh đề.
Câu
3. Trong các câu sau, có
bao nhiêu câu là mệnh đề?
a) Hãy học thật tốt!
b) Số $32$ chia hết cho $2$.
c) Số $7$ là số nguyên tố.
d) Số thực $x$ là số chẵn.
A.
$1$.
B.
$4$.
C.$2$.
D.
$3$.
Lời
giải
Chọn
C
Khẳng
định: “Số $32$ chia hết cho $2$” là mệnh đề đúng.
Khẳng
định: “Số $7$ là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.
Khẳng
định “Số thực $x$ là số chẵn” không phải là mệnh đề mà đây là mện đề chứa biến.
Hãy
học thật tốt! Đây là câu cảm.
Vậy
các khẳng định trên có $2$ mệnh đề.
Câu 4. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh
đề nào đúng?
A. Không có số chẵn nào là số nguyên tố.
B. $\forall x\in \mathbb{R},\
-{{x}^{2}}<0.$
C. $\exists x\in \mathbb{Z},\
2{{x}^{2}}-8=0.$
D. Phương trình $3{{x}^{2}}-6=0$ có
nghiệm hữu tỷ.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $x=2\in \mathbb{Z}$ thỏa
mãn: ${{2.2}^{2}}-8=0$ nên
mệnh đề $\exists x\in \mathbb{Z},\
2{{x}^{2}}-8=0$là mệnh đề đúng.
Câu
5. Cho mệnh đề chứa biến
$P\left( x \right)$:”$x+10\ge {{x}^{2}}$” với$x$là số tự nhiên. Mệnh đề nào sau
đây sai?
A.
$P\left( 1 \right)$.
B.
$P\left( 2 \right)$.
C.
$P\left( 3 \right)$.
D.
$P\left( 4 \right)$.
Lời giải
Chọn D
+)
$P\left( 1 \right)=11\ge {{1}^{2}}\Rightarrow A$đúng.
+)
$P\left( 2 \right)=12\ge {{2}^{2}}\Rightarrow B$đúng.
+)
$P\left( 3 \right)=13\ge {{3}^{2}}=9\Rightarrow C$đúng.
+)
$P\left( 4 \right)=14\ge {{4}^{2}}=16\Rightarrow D$sai.
Câu 6. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu em chăm chỉ thì em thành công.
B. Nếu $a$ chia hết cho $9$ thì
$a$ chia hết cho $3$.
C. Nếu một tam giác có một góc bằng $60{}^\circ $ thì
tam giác đó đều.
D. Nếu $a\ge b$ thì ${{a}^{2}}\ge {{b}^{2}}$.
Lời
giải
Chọn B
Ta
có $a$ chia hết cho $9$ nên $a=9k$. Do đó $a$ chia hết cho $3$.
Câu 7. Trong
các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề kéo theo?
A. “Nếu $x>1$ thì ${{x}^{2}}>1$”.
B. “${{x}^{3}}>1$ khi và chỉ khi $x>1$”.
C. “1 là một số lẻ”.
D. “${{x}^{2}}>1\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;1 \right)\cup \left(
1;+\infty \right)$”.
Lời giải
Chọn
A
Mệnh đề kéo theo là mệnh đề có dạng nếu P thì Q.
Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $-\pi <-2\,\,\Leftrightarrow
\,\,{{\pi }^{2}}<4$.
B. $\pi <4\,\,\Leftrightarrow
\,\,{{\pi }^{2}}<16$.
C. $\sqrt{23}<5\,\,\Rightarrow
\,\,2\sqrt[{}]{23}<2.5$.
D. $\sqrt{23}<5\,\,\Rightarrow
\,\,-2\sqrt{23}>-2.5$.
Lời giải
Chọn
A
Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai.
Vậy mệnh đề ở đáp án A sai.
Câu 9. Mệnh
đề: “ Nếu một tứ giác là hình bình hành thì nó là hình thang” có thể được phát
biểu lại là
A. Tứ giác $T$ là hình thang là điều kiện đủ để $T$
là hình bình hành.
B. Tứ giác $T$ là hình bình hành là điều kiện cần để $T$
là hình thang.
C.
Tứ giác $T$ là hình thang
là điều kiện cần để $T$ là hình bình hành.
D.
Tứ giác $T$ là hình thang
là điều kiện cần và đủ để $T$ là hình bình hành.
Lời giải
Mệnh đề: “ Nếu một tứ giác là hình
bình hành thì nó là hình thang” có thể được phát biểu lại là “ Một tứ giác là
hình thang là điều kiện cần để nó là hình bình hành”.
Câu
10. Tìm mệnh đề sai.
A.
Hình thang $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)\Leftrightarrow
ABCD$ là hình thang cân.
B.
63 chia hết cho 7 $\Rightarrow $Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.
C.
Tam giác $ABC$ vuông tại $C\Leftrightarrow
A{{B}^{2}}=C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}$.
D.
10 chia hết cho 5 $\Leftrightarrow $Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau
và vuông góc nhau.
Lời giải
Mệnh
đề A; C; D: Đúng.
Mệnh
đề: “63 chia hết cho 7”: Đúng.
Mệnh
đề: “Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc”: Sai.
Do
đó: “63 chia hết cho 7 $\Rightarrow $Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc”:
Sai
Câu 11. Cho $P\Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overline{P}\Leftrightarrow
\overline{Q}$ đúng.
B. $\overline{Q}\Leftrightarrow P$
sai.
C. $\overline{P}\Leftrightarrow
\overline{Q}$ sai.
D. $\overline{P}\Leftrightarrow Q$
sai.
Lời giải
Chọn C
w
Ta có $P\Leftrightarrow Q$ khi và chỉ khi $P\Rightarrow Q$ đúng và $Q\Rightarrow
P$ đúng.
w
Khi đó $\overline{P}\Rightarrow \overline{Q}$ đúng và $\overline{Q}\Rightarrow
\overline{P}$ đúng suy ra $\overline{P}\Leftrightarrow \overline{Q}$ đúng
Phương
án trả lời là $\overline{P}\Leftrightarrow \overline{Q}$ sai.
Câu 12. Mệnh
đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Một tam giác là đều khi và
chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng $60{}^\circ
.$
B. Một tam giác là vuông khi và
chỉ khi nó có một cạnh bình phương bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại.
C. Một tứ giác là hình chữ nhật
khi và chỉ khi chúng có 3 góc vuông.
D. Hai tam giác bằng nhau khi
và chỉ khi chúng đồng dạng và có một góc bằng nhau.
Lời
giải
Chọn D
Xét mệnh đề A đúng
vì: khi hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân, có một
góc bằng $60{}^\circ $nên tam giác đó là tam giác đều. Ngược lại thì hiển nhiên
tam giác đều suy ra được hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng $60{}^\circ
.$
Xét mệnh đề B đúng
theo định lý Pytago.
Xét mệnh đề C đúng.
Mệnh đề D sai vì khi
hai tam giác đồng dạng thì ba góc của hai tam giác đó bằng nhau, các cạnh tương
ứng tỉ lệ với nhau, nên điều kiện để hai tam giác bằng nhau phải có thêm cặp cạnh
bằng nhau.
Câu
13. Cho mệnh đề $A:\,''2$ là số nguyên tố$''$. Mệnh đề phủ định
của mệnh đề $A$ là
A. $2$
không phải là số hữu tỷ.
B. $2$
là số nguyên.
C. $2$
không phải là số nguyên tố.
D. $2$
là hợp số.
Lời giải
Chọn
C
Câu 14. Mệnh đề $P\left(
x \right):''\forall x\in \mathbb{R},\text{ }{{x}^{2}}-x+3<0''$. Phủ định của
mệnh đề $P\left( x \right)$ là:
A. $\exists x\in \mathbb{R},\text{
}{{x}^{2}}-x+3>0.$
B. $\forall x\in \mathbb{R},\text{
}{{x}^{2}}-x+3>0.$
C. $\forall x\notin \mathbb{R},\text{
}{{x}^{2}}-x+3\ge 0.$
D. $\exists x\in \mathbb{R},\text{
}{{x}^{2}}-x+3\ge 0.$
Lời giải
Chọn D
Phủ
định của $P\left( x \right):''\forall x\in \mathbb{R},\text{
}{{x}^{2}}-x+3<0''$ là $\overline{P\left( x
\right)}:''\forall x\in \mathbb{R},\text{ }{{x}^{2}}-x+3\ge 0''$
Câu
15. Mệnh
đề “$\exists x\in \mathbb{R},{{x}^{2}}=3$” khẳng định rằng:
A. Bình phương của mỗi số thực bằng $3$.
B. Có ít nhất một số thực mà bình
phương của nó bằng $3$.
C. Chỉ có một số thực có bình phương bằng
$3$.
D. Nếu $x$ là số thực thì ${{x}^{2}}=3$.
Lời giải
Chọn
B
Câu
16. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
$\exists x\in \mathbb{R}:\,{{x}^{2}}-3x+2=0$.
B.
$\forall x\in \mathbb{R}:\,{{x}^{2}}\ge 0$.
C.
$\exists n\in \mathbb{N}:\,\,{{n}^{2}}=n$.
D.
$\forall n\in \mathbb{N}$ thì $n<2n$.
Lời giải
Chọn D
w Xét mệnh đề $\forall n\in \mathbb{N}$ thì $n<2n$.
Chọn $n=0\in \mathbb{N}\Rightarrow 2n=0\Rightarrow n=2n$
$\Rightarrow $$\forall n\in \mathbb{N}$ thì $n<2n$ là mệnh đề sai.
Câu 17. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
$\forall n\in \mathbb{N},\,\,{{n}^{2}}+1$ không chia hết cho $3$.
B.
$\forall x\in \mathbb{R},\,\,\left| x \right|<3$$\Leftrightarrow \,$$\,x<3$.
C.
$\forall x\in \mathbb{R},\,\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ne x-1$.
D.
$\exists n\in \mathbb{N},{{n}^{2}}+1$ chia hết cho $4$.
Lời giải
Chọn A
Với mọi số tự nhiên thì có các trường
hợp sau:
$n=3k\Rightarrow {{n}^{2}}+1={{\left( 3k \right)}^{2}}+1$chia $3$ dư 1.
$n=3k+1\Rightarrow {{n}^{2}}+1={{\left( 3k+1 \right)}^{2}}+1=9{{k}^{2}}+6k+2$chia
$3$ dư 2.
$n=3k+2\Rightarrow {{n}^{2}}+1={{\left( 3k+2
\right)}^{2}}+1=9{{k}^{2}}+12k+5$chia $3$ dư 2.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI
Câu 1. Xét tính đúng, sai của các câu
sau
a) P: "3" là số chính
phương" có mệnh đề phủ định là ${\bar{P}}$: "${{3}^{3}}$ không là số
chính phương".
b) Q: "Tam giác ${A B C}$
là tam giác cân" có mệnh đề phủ định là ${\bar{Q}}$: "Tam giác ${A B
C}$ không là tam giác vuông".
c) R: "${{2}^{2003}}-1$ là
số nguyên tố" có mệnh đề phủ định là ${\bar{R}:}$ "${{2}^{2003}}-1$
không là số nguyên tố".
d) ${H:}$ "${\sqrt{2}}$ là
số vô tỉ" có mệnh đề phủ định là $\bar{H}:\text{ }''\sqrt{2}$ là số hữu tỉ".
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
a) ${\bar{P}}$: " ${{3}^{3}}$
không là số chính phương".
b) ${\bar{Q}}$: "Tam giác ${A
B C}$ không là tam giác cân".
c) ${\bar{R}:}$ "${{2}^{2003}}-1$
không là số nguyên tố".
d) $\bar{H}:\text{ }''\sqrt{2}$
là số hữu tỉ".
Câu
2. Cho biết
tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau.
a) Nếu số ${a}$ chia hết cho 3
thì ${a}$ chia hết cho 6.
b) Nếu ${\Delta A B C}$ cân tại ${A}$
thì ${\Delta A B C}$ có ${A B=A C}$.
c) Tứ giác ${A B C D}$ là hình
vuông khi và chỉ khi ${A B C D}$ là hình chữ nhật và có ${A C}$ vuông góc với ${B
D}$.
d) ${\pi^2>10}$.
Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai
a) Mệnh đề sai.
b) Mệnh đề đúng.
c) Mệnh đề đúng.
d) Mệnh đề sai.
Câu
3. Xét tính
đúng, sai của mỗi mệnh đề sau.
a) ${\forall x \in
\mathbb{R}, x^2>0}$.
b) ${\exists a \in \mathbb{Q},
a>a^2}$.
c) ${\forall n \in \mathbb{Z},
n^2+n+2}$ chia hết cho 2.
d) ${\forall n \in \mathbb{N},
n(n+1)(n+2)}$ không chia hết cho 3.
Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai
a) Mệnh đề sai. Ta chọn ${x=0}$
thì ${x^2=0>0}$ là sai.
b) Mệnh đề đúng. Ta chọn ${a=\frac{1}{2}
\in \mathbb{Q}}$ thì ${a^2=\frac{1}{4}}$ nên ${a>a^2}$ (đúng).
c) Mệnh đề đúng. Thật vậy: ${\forall
n \in \mathbb{Z}, n^2+n+2=n(n+1)+2}$, trong đó ${n(n+1)}$ là tích của hai số
nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, vì vậy ${n(n+1)+2}$ cũng chia hết cho 2.
d) Mệnh đề sai. Ta cho ${n=1}$
thì ${n(n+1)(n+2)=1.2 .3=6}$ chia hết cho 3.
Câu 4. Cho định lí: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.
a) Hai tam giác bằng nhau là điều
kiện cần và đủ để diện tích của chúng bằng nhau.
b) Hai tam giác có diện tích bằng
nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau.
c) Hai tam giác bằng nhau là điều
kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau.
d) Hai tam giác bằng nhau là điều
kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.
Lời
giải
a) Sai b) Sai c) Sai d) Đúng
Mệnh
đề “Nếu $P$ thì $Q$” trong đó $P$
là điều kiện đủ để có $Q$ và $Q$
là điều kiện cần để có $P$.
$P$:
“Hai tam giác bằng nhau”
và $Q$: “Diện tích
của chúng bằng nhau”.
Vậy
“Hai tam giác bằng
nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau”.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
