BÀI 2. HÀM SỐ BẬC HAI
1. Hàm số bậc hai
Hàm
số bậc hai
theo biến $x$ là hàm số cho bởi công thức có dạng $y=f\left( x
\right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,\,\,b,\,\,c$ là các số thực và $a$ khác 0. Tập xác định của hàm số
bậc hai là $\mathbb{R}$.
2. Đồ
thị hàm số bậc hai
Trong mặt
phẳng toạ độ $Oxy$, đồ thị hàm số bậc hai $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ (với $a\ne 0$) là
một parabol $\left( P \right)$:
- Có đỉnh
$S$ với hoành độ ${{x}_{S}}=-\frac{b}{2a}$, tung độ ${{y}_{S}}=-\frac{\Delta
}{4a}=f\left( {{x}_{S}} \right)$;
- Có trục
đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh $S$ và
song song với trục $Oy$ nếu $b\ne 0$, trùng với trục $Oy$ nếu $b=0$);
- Có bề
lõm quay lên trên nếu $a>0$, quay xuống dưới nếu $a<0$;
- Cắt trục
tung tại điểm có tung độ bằng $c$, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ $\left(
0;c \right)$.
Chú
ý:
a) Nếu $b=2{b}'$
thì $\left( P \right)$ có đỉnh $S\left( -\frac{{{b}'}}{a};-\frac{{{\Delta
}'}}{a} \right)$.
b) Nếu
phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thì đồ
thị hàm số bậc hai $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ cắt trục hoành tại hai điểm lần lượt có
hoành độ là hai nghiệm này.
 |
 |
|
$a>0$ |
$a<0$ |
Cách
vẽ đồ thị hàm số bậc hai $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ ($a\ne 0$):
1) Xác định
tọa độ đỉnh $S\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right)$.
2) Vẽ trục
đối xứng $d$ là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$.
3) Tìm
toạ độ giao điểm của đồ thị với trục tung (điểm $A\left( 0;c \right)$) và giao
điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có). Xác định thêm điểm đối xứng với $A$ qua trục đối
xứng $d$, là điểm $B\left( -\frac{b}{a};c \right)$.
4) Vẽ
parabol có đỉnh $S$, có trục đối xứng $d$, đi qua các điểm tìm được.
3. Sự
biến thiên của hàm số bậc hai
Dựa vào
đồ thị hàm số bậc hai $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ (với $a\ne 0$), ta có bảng tóm tắt về
sự biến thiên của hàm số này như sau:
|
$a>0$ |
$a<0$ |
|
Hàm số đồng biến trên $\left(
-\frac{b}{2a};+\infty \right)$ và nghịch
biến trên $\left( -\infty ;-\frac{b}{2a} \right)$. Bảng
biến thiên:  |
Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-\frac{b}{2a}
\right)$ và
nghịch biến trên $\left( -\frac{b}{2a};+\infty \right)$. Bảng
biến thiên:  |
Chú
ý:
Từ bảng
biến thiên của hàm số bậc hai, ta thấy:
- Khi $a>0$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng
$-\frac{\Delta }{4a}$ tại $x=-\frac{b}{2a}$, kí hiệu là $\min
y=-\frac{\Delta }{4a}\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị
là $T=~\left[ -\frac{\Delta }{4a};+\infty
\right)$.
- Khi $a<0$,
hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $-\frac{\Delta }{4a}$ tại $x=-\frac{b}{2a}$, kí hiệu là $\max
y=-\frac{\Delta }{4a}\Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}$ và hàm số có tập giá trị
là $T=\left( -\infty ;-\frac{\Delta }{4a} \right]$.
4. Ứng dụng của hàm số bậc hai
Trong
môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân
đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.
Trong mặt
phẳng toạ độ $Oxy$, chọn điểm có tọa độ $\left( 0;{{y}_{0}} \right)$ là điểm
phát cầu thì phương trình quỹ đạo của quả cầu khi rời khỏi mặt vợt là:
$y=\frac{-g.{{x}^{2}}}{2.v_{0}^{2}.{{\cos
}^{2}}\alpha }+\left( \tan \alpha
\right).x+{{y}_{0}}$,
trong
đó:
Ÿ $g$ là gia tốc trọng trường
(thường được chọn là $9,8$ m/s2);
Ÿ $\alpha $ là góc phát cầu (so với
phương ngang của mặt đất);
Ÿ ${{v}_{0}}$ là vận tốc ban đầu
của cầu;
Ÿ ${{y}_{0}}$ là khoảng cách từ vị
trí phát cầu đến mặt đất.
Đây là một
hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của quả cầu là một parabol.
Xét trường
hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu và góc phát cầu đã biết, cầu chuyển động theo
quỹ đạo parabol nên sẽ:
- Đạt vị
trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;
- Rơi chạm
đất ở vị trí cách nơi đứng phát cầu một khoảng, gọi là tầm bay xa.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Vẽ đồ thị các hàm số:
a) ${y=f(x)=-x^{2}+4 x-3}$;
b) ${y=f(x)=x^{2}+2 x+2}$.
Lời giải
a) Trong mặt phẳng toạ độ ${O x y}$, đồ thị hàm số bậc hai ${y=f(x)=-x^{2}+4
x-3}$ là một parabol ${(P)}$ :
- Có đỉnh ${S}$ với hoành độ ${x_{S}=2}$, tung độ ${y_{S}=1}$;
- Có trục đối xứng là đường thẳng ${x=2}$ (đường thẳng này
đi qua đỉnh ${S}$ và song song với trục ${O y}$ );
- Có bề lõm quay xuống dưới vì ${a<0}$;
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ${-3}$, tức là đồ
thị đi qua điểm có toạ độ ${(0 ;-3)}$.
Ngoài ra, phương trình ${-x^{2}+4 x-3=0}$ có hai nghiệm phân
biệt ${x_{1}=1}$ và ${x_{2}=3}$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm
có toạ độ ${(1 ; 0)}$ và ${(3 ; 0)}$.
Ta vẽ được đồ thị
b) Trong mặt phẳng toạ độ ${O x y}$, đồ thị hàm số bậc hai ${y=f(x)=x^{2}+2
x+2}$ là một parabol ${(P)}$ :
- Có đỉnh ${S}$ với hoành độ ${x_{S}=-1}$, tung độ ${y_{S}=1}$;
- Có trục đối xứng là đường thẳng ${x=-1}$ (đường thẳng này
đi qua đỉnh ${S}$ và song song với trục ${O y}$ );
- Bề lõm quay lên trên vì ${a>0}$;
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 , tức là đồ thị
đi qua điểm có toạ độ ${(0 ; 2)}$.
Ta vẽ được đồ thị
Câu 2. Xác
định parabol $y=a{{x}^{2}}+bx+2$, biết rằng parabol đó
a) Đi qua hai điểm $M\left( 1\,;\,5 \right)$ và $N\left(
-2\,;\,8 \right)$.
b) Có đỉnh $I\left( 2\,;\,-2 \right)$.
c) Đi qua điểm $A\left( 3\,;\,-4 \right)$ và có trục đối
xứng $x=-\frac{3}{4}$.
d) Đi qua điểm $B\left( -1\,;\,6 \right)$ và đỉnh có tung
độ $-\frac{1}{4}$.
Lời
giải
a)
Vì $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M\left( 1\,;\,5 \right)$ và $N\left(
-2\,;\,8 \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{align}& a+b+2=5 \\ &
4a-2b+2=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}&
a=2 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.$.
Vậy
$\left( P \right):y=2{{x}^{2}}+x+2$.
b)
Vì $\left( P \right)$ có đỉnh $I\left( 2\,;\,-2 \right)$ nên ta có $\left\{
\begin{align} & -\frac{b}{2a}=2 \\ & -\frac{\Delta }{4a}=-2 \\ \end{align}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& b=-4a \\ &
{{b}^{2}}-4ac=8a \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & b=-4a \\ & 16{{a}^{2}}-16a=0 \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& a=0 \\ & b=-4 \\ \end{align}
\right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}
& a=1 \\ & b=-4 \\ \end{align}
\right.$.
Do $\left(
P \right)$ là parabol nên $a\ne 0$ nên ta chọn $\left\{ \begin{align} & a=1 \\ & b=-4 \\ \end{align} \right.$.
Vậy
$\left( P \right):y={{x}^{2}}-4x+2$.
c) Vì $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 3\,;\,-4
\right)$ và có trục đối xứng $x=-\frac{3}{4}$ nên ta có
$\left\{ \begin{align}
& 9a+3b+2=-4 \\ &
-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{4} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{
\begin{align} & 3a+b=-2 \\ & b=\frac{3}{2}a \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} &
a=-\frac{4}{9} \\ & b=-\frac{2}{3}
\\ \end{align} \right.$.
Vậy $\left( P
\right):y=-\frac{4}{9}{{x}^{2}}-\frac{2}{3}x+2$.
d) Vì $\left( P \right)$ đi qua điểm $B\left( -1\,;\,6
\right)$ và có tung độ đỉnh bằng $-\frac{1}{4}$ nên ta có
$\left\{ \begin{align}
& a-b+2=6 \\ & -\frac{\Delta
}{4a}=-\frac{1}{4} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{
\begin{align} & a-b=4 \\ & {{b}^{2}}-4ac=a \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & a=4+b \\ & {{b}^{2}}-8\left( 4+b \right)=4+b \\ \end{align}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& a=4+b \\ &
{{b}^{2}}-9b-36=0 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=16 \\ & b=12 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{
\begin{align} & a=1 \\ & b=-3 \\ \end{align} \right.$.
Với $\left\{ \begin{align} & a=16 \\ & b=12 \\ \end{align} \right.$ ta có $\left(
P \right):y=16{{x}^{2}}+12x+2$.
Với $\left\{ \begin{align} & a=1 \\ & b=-3 \\ \end{align} \right.$ ta có $\left(
P \right):y={{x}^{2}}-3x+2$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Khoảng đồng
biến của hàm số $y={{x}^{2}}-4x+3$ là
A.
$\left( -\infty ;-2 \right)$.
B.
$\left( -\infty ;2 \right)$.
C.
$\left( -2;+\infty \right)$.
D.
$\left( 2;+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn D
Hàm
số $y={{x}^{2}}-4x+3$có $a=1>0$ nên đồng biến trên khoảng $\left(
-\frac{b}{2a};+\infty \right)$.
Vì
vậy hàm số đồng biến trên $\left( 2;+\infty
\right)$.
Câu
2. Bảng biến
thiên của hàm số $y=-2x^4+4x+1$ là bảng nào sau đây?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời
giải
Chọn
C
Hàm
số $y=-2x^4+4x+1$ có hệ số $a=-2<0$ nên bề lõm quay lên trên vì vậy ta loại
đáp án B, D. Hàm số có tọa độ đỉnh $I(1;3)$ nên ta loại đáp án A. Vậy chọn đáp án C.
Câu 3. Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị như hình bên dưới.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $a>0,\text{ }b<0,\text{ }c<0$.
B. $a>0,\text{
}b<0,\text{ }c>0$.
C. $a>0,\text{
}b>0,\text{ }c>0$.
D. $a<0,\text{
}b<0,\text{ }c<0$.
Lời
giải
Chọn
A
Parabol có bề lõm quay lên $\Rightarrow a>0$ loại D.
Parabol
cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c<0$ loại B, C. Chọn A.
Câu
4. Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ dưới
đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a>0,b>0,c>0$.
B. $a>0,b>0,c<0$.
C. $a>0,b<0,c<0$.
D. $a>0,b<0,c>0$.
Lời
giải
Chọn B
Đồ
thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm nằm phía dưới trục $Ox$ nên $c<0$
Đồ
thị có bề lõm hướng lên do đó $a>0$
Tọa
độ đỉnh nằm ở góc phần tư thứ III nên $\frac{-b}{2a}<0$$\Rightarrow b>0$.
Câu
5. Xác định các hệ số $a$ và $b$ để Parabol $\left( P
\right):y=a{{x}^{2}}+4x-b$ có đỉnh $I\left( -1;-5 \right)$.
A. $\left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=-2 \\ \end{align} \right..$
B. $\left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=2 \\ \end{align} \right..$
C. $\left\{ \begin{align} & a=2 \\ & b=3 \\ \end{align} \right..$
D. $\left\{ \begin{align} & a=2 \\ & b=-3 \\ \end{align} \right..$
Lời
giải
Chọn
C
Ta có: ${{x}_{I}}=-1\Rightarrow
-\frac{4}{2a}=-1\Rightarrow a=2.$
Hơn nữa $I\in \left( P \right)$
nên $-5=a-4-b\Rightarrow b=3.$
Câu
6. Biết đồ thị hàm số $y=a{{x}^{2}}+bx+c$, $\left(
a,\,b,\,c\,\in \mathbb{R};\,a\ne 0 \right)$ đi qua điểm $A\left( 2;1 \right)$
và có đỉnh $I\left( 1\,;\,-1 \right)$. Tính giá trị biểu thức $T={{a}^{3}}+{{b}^{2}}-2c$.
A. $T=22$.
B. $T=9$.
C. $T=6$.
D. $T=1$.
Lời giải
Chọn
A
Đồ thị hàm số $y=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+bx+c$
đi qua điểm $A\left( 2;1 \right)$ và có đỉnh $I\left( 1\,;\,-1 \right)$ nên có
hệ phương trình
$\left\{ \begin{align} & 4a+2b+c=1 \\ & -\frac{b}{2a}=1 \\ & a+b+c=-1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & 4a+2b+c=1 \\
& b=-2a \\ & a+b+c=-1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & c=1 \\ & b=-2a \\ & -a+c=-1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & c=1 \\ & b=-4 \\ & a=2 \\ \end{align} \right.$.
Vậy $T={{a}^{3}}+{{b}^{2}}-2c=22$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Xét đồ thị của
hàm số ${y=2 x^{2}+4 x+1}$. Khi đó:
a) Đồ thị có đỉnh ${I(-1 ;-1)}$
b) Đồ thị trục đối xứng là $x=1$.
c) Giao điểm của đồ thị với trục tung
là ${M(0 ; 1)}$.
d) Đồ thị đi qua các điểm $Q\left(
1;6 \right)$ và $P(-3;6)$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Ta có ${a=2>0}$ nên parabol quay bề lõm lên trên, có tọa
độ đỉnh ${I(-1 ;-1)}$ và
trục đối xứng là ${x=-1}$. Giao điểm của đồ thị với trục
tung là ${M(0 ; 1)}$. Điểm
đối xứng với $M$ qua trục đối xứng là $N\left( -2;1 \right)$.
Đồ thị đi qua các điểm $Q\left( 1;7 \right)$ và ${P(-3 ; 7)}$.
Câu
2. Cho parabol ${(P)}$ có phương trình x${y=a
x^{2}+b x+c(a \neq 0)}$ . Khi đó:
a) ${(P)}$ đi qua ba điểm ${A(0
; 1), B(1 ;-1), C(-1 ; 1)}$ khi đó ${(P)}$ có phương trình ${y=-x^{2}-x+1}$.
b) ${(P)}$ đi qua điểm ${D(3 ;
0)}$ và có đỉnh ${I(1 ; 4)}$ khi đó ${(P)}$ có phương trình $y=-{{x}^{2}}+2x+2$.
c) ${(P)}$ đi qua hai điểm ${M(2
;-7), N(-5 ; 0)}$ và có trục đối xứng là ${x=-2}$ khi đó ${(P)}$ có phương
trình $y=-{{x}^{2}}-2x+5$.
d) ${(P)}$ đi qua ${E(1 ; 4)}$,
có trục đối xứng ${x=-2}$ và có đỉnh thuộc đường thẳng ${d: y=2 x-1}$ khi đó ${(P)}$
có phương trình ${y=x^{2}+4 x-1}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Sai
d)
Đúng
a) Vì ${(P)}$ đi qua điểm ${A(0
; 1)}$ nên suy ra ${c=1}$.
Vì ${(P)}$ đi qua điểm ${B(1
;-1)}$ và ${C(-1 ; 1)}$ nên ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
a + b + 1 = - 1 \hfill \\
a - b + 1 = 1 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
a + b = - 2 \hfill \\
a - b = 0 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
a = - 1 \hfill \\
b = - 1 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Vậy parabol ${(P)}$ có phương
trình ${y=-x^{2}-x+1}$.
b) Vì ${(P)}$ đi qua hai điểm ${D(3
; 0)}$ và ${I(1 ; 4)}$ nên ta có: $9a+3b+c=0\text{ (1) ;}\,a+b+c=4\text{ (2) }$
Trừ theo từng vế của (1) cho (2)
ta có: ${8 a+2 b=-4}$ (3)
Vì ${(P)}$ có đỉnh ${I(1 ; 4)}$
và từ (3) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \hfill \\
8a + 2b = - 4 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
2a + b = 0 \hfill \\
4a + b = - 2 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
a = - 1 \hfill \\
b = 2 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}} \right.} \right.} \right..$
Thay ${a=-1}$ và ${b=2}$ vào ${(2)}$
suy ra ${c=3}$.
Vậy parabol ${(P)}$ có phương
trình ${y=-x^{2}+2 x+3}$.
c) Vì ${(P)}$ đi qua hai điểm ${M(2
;-7)}$ và ${N(-5 ; 0)}$ nên ta có: $4a+2b+c=-7(1)\text{ ; }25a-5b+c=0\text{ (2)
}$
Trừ theo từng vế của (2) cho (1)
ta có: ${21 a-7 b=7}$ (3)
Vì ${(P)}$ có trục đối xứng là ${x=-2}$
và từ ${(3)}$ ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
\frac{{ - b}}{{2a}} = - 2 \hfill \\
21a - 7b = 7 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
4a - b = 0 \hfill \\
3a - b = 1 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
a = - 1 \hfill \\
b = - 4 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Thay ${a=-1}$ và ${b=-4}$ vào
(1) suy ra ${c=5}$.
Vậy parabol ${(P)}$ có phương
trình ${y=-x^{2}-4 x+5}$.
d) Do ${(P)}$ có trục đối xứng
là ${x=-2}$ và có đỉnh thuộc đường thẳng ${d: y=2 x-1}$ nên đỉnh của ${(P)}$ là
điểm ${I(-2 ;-5)}$.
Vì ${(P)}$ đi qua hai điểm ${E(1
; 4)}$ và ${I(-2 ;-5)}$ nên ta có: $a+b+c=4\text{ (1) ; }4a-2b+c=-5\text{ (2)
}$
Trừ theo từng vế của (2) cho (1)
ta có: ${3 a-3 b=-9}$ (3)
Vì ${(P)}$ có trục đối xứng là ${x=-2}$
và từ ${(3)}$ ta có hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
\frac{{ - b}}{{2a}} = - 2 \hfill \\
3a - 3b = - 9 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
4a - b = 0 \hfill \\
a - b = - 3 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
a = 1 \hfill \\
b = 4. \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
Thay ${a=1}$ và ${b=4}$ vào (1)
suy ra ${c=-1}$.
Vậy parabol ${(P)}$ có phương
trình ${y=x^{2}+4 x-1}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Xác định hàm
số bậc hai có đồ thị là parabol ${(P)}$ biết: ${(P): y=a x^2+b x+2}$ đi qua điểm
${A(1 ; 0)}$ và có trục đối xứng ${x=\frac{3}{2}}$. Khi đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$
bằng bao nhiêu?
Trả lời: 10
Lời giải
${(P)}$ qua ${A(1 ; 0)}$ nên ${0=a .1^2+b .1+2
\Leftrightarrow a+b=-2}$ (1).
(P) có trục đối xứng ${x=-\frac{b}{2 a}=\frac{3}{2}
\Rightarrow 3 a+b=0}$ (2). Từ (1) và (2) suy ra: ${a=1, b=-3}$.
Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10$.
Câu
2. Cổng Arch tại
thành phố St Louis của Mỹ có hình dạng của một parabol. Biết khoảng cách giữa
hai chân cổng là ${162 {~m}}$. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao ${43
{~m}}$ so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất và vị trí chạm đất này
cách chân cổng (điểm ${A}$) một khoảng ${10 {~m}}$. Hãy tính gần đúng độ cao của
cổng Arch (tính chính xác đến hàng phần chục).
Trả lời: ${185,6 {~m}}$
Lời giải
Dựng hệ trục $Oxy$ như hình vẽ và gọi hàm số tương ứng cổng
Arch là: $y=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right)$.
Vì parabol qua ba điểm $A\left( 0;0 \right),B\left( 162;0
\right),M\left( 10;43 \right)$ nên
$\left\{ \begin{align}
& c=0 \\ &
{{162}^{2}}a+162b+c=0 \\ &
{{10}^{2}}a+10b+c=43 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{
\begin{align} & a=-\frac{43}{1520}
\\ & b=\frac{3483}{760} \\ \end{align}
\right.$
Do vậy ta xác định được hàm số là ${y=-\frac{43}{1520}
x^2+\frac{3483}{760} x}$.
Đỉnh ${I}$ của parabol có tọa độ: ${x_I=-\frac{b}{2 a}=81,
y_I \approx 185,6}$.
Vậy, chiều cao của cổng gần bằng ${185,6 {~m}}$.
Câu
3. Một cửa hàng
kinh doanh giày và giá để nhập một đôi giày là 40 đô la. Theo nghiên cứu của bộ
phận kinh doanh thì nếu cửa hàng bán mỗi đôi giày với giá ${x}$ đô la thì mỗi
tháng sẽ bán được ${120-x}$ đôi giày. Hỏi cửa hàng bán giá bao nhiêu cho một
đôi giày để có thể thu lãi cao nhất trong tháng.
Trả lời: 80
Lời giải
Gọi ${x}$ (đôla) là giá mỗi đôi giày bán ra thì số tiền lãi
tương ứng là ${x-40}$ (đô la) Số tiền lãi thu được mỗi tháng là ${f(x)=(x-40)(120-x)=-x^2+160
x-4800}$.
Đây là hàm số bậc hai với ${a=-1, b=160, c=-4800
\Rightarrow-\frac{b}{2 a}=80}$.
Vì ${a=-1<0}$ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng ${f(80)=-80^2+160.80-4800=1600}$,
ứng với ${x=80}$.
Vậy, để tối ưu hóa lợi nhuận, cửa hàng cần đưa ra giá bán 80 đô la mỗi đôi giày, khi đó lợi nhuận tối đa trong tháng là 1600 đô la.
