BÀI
2. ĐỊNH
LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN
1. Hệ thức lượng trong
tam giác vuông
2. Hệ
thức lượng trong tam giác
5. Giải
tam giác
Giải tam
giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các
yếu tố đủ để xác định tam giác đó.
Để giải
tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin,
định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.
Chú
ý:
— Nếu ${{a}^{2}}<{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
(hoặc $\cos A>0$) thì góc $\widehat{A}$ nhọn.
— Nếu ${{a}^{2}}>{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
(hoặc $\cos A<0$) thì góc $\widehat{A}$ tù.
— Nếu ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
(hoặc $\cos A=0$) thì góc $\widehat{A}$ vuông.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Cho tam giác
$ABC$, biết
a) $a=12,b=13,c=15$. Tính độ lớn
góc $A$.
b) $AB=5,AC=8,A=60{}^\circ $.
Tính cạnh $BC$.
Lời
giải.
a)
Ta có $\cos
A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{{{13}^{2}}+{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}{2.13.15}=\dfrac{25}{39}$.
Suy ra $\widehat{A}\approx 50{}^\circ $
b)
Ta có $B{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2AC.AB.\cos
A={{8}^{2}}+{{5}^{2}}-2.8.5.\cos 60{}^\circ =49$. Vậy $BC=7$
Câu
2. Cho tam giác
$ABC$, biết
a) $\widehat{A}=60{}^\circ
,\widehat{B}=45{}^\circ ,b=4$. Tính cạnh $b$ và $c$.
b) $\widehat{A}=60{}^\circ ,a=6$.
Tính $R$
Lời
giải.
a)
Ta có $A+B+C=180{}^\circ \Rightarrow C=180{}^\circ -A-B=75{}^\circ $.
Suy
ra $a=\dfrac{b\sin A}{\sin B}=\dfrac{4\sin 60{}^\circ }{\sin 45{}^\circ }\approx
4,9$ và $c=\dfrac{b\sin C}{\sin B}=\dfrac{4\sin 75{}^\circ }{\sin 45{}^\circ
}\approx 5,5$
b)
Ta có $R=\dfrac{a}{2\sin A}=\dfrac{6}{2\sin 60{}^\circ }\approx 3,5$.
Câu
3. Cho tam giác
$ABC$, biết
a) $a=7,b=8,c=6$. Tính $S$ và ${{h}_{a}}$.
b) $b=7,c=5,\cos A=\dfrac{3}{5}$.
Tính $S$ và $R,r$.
Lời giải.
a)
Áp dụng công thức Hê-rông với $p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{21}{2}$
Ta
có $S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c
\right)}=\sqrt{\dfrac{21}{2}\left( \dfrac{21}{2}-7 \right)\left( \dfrac{21}{2}-8
\right)\left( \dfrac{21}{2}-6 \right)}=\dfrac{21\sqrt{15}}{4}$
Vì $S=\dfrac{1}{2}a{{h}_{a}}\Rightarrow
\dfrac{21\sqrt{15}}{4}=\dfrac{1}{2}7.{{h}_{a}}\Rightarrow
{{h}_{a}}=\dfrac{3\sqrt{15}}{2}$
b)
Ta có ${{\sin }^{2}}A=1-{{\cos }^{2}}A=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\Rightarrow
\sin A=\dfrac{4}{5}$ (vì $\sin A>0$).
Mà $S=\dfrac{1}{2}bc\sin
A=\dfrac{1}{2}.7.5.\dfrac{4}{5}=14$
Theo
Định lí Cô-sin ta có ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos
A={{7}^{2}}+{{5}^{2}}-2.7.5.\dfrac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$
Từ $S=\dfrac{1}{2}a{{h}_{a}}\Rightarrow
{{h}_{a}}=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{28}{4\sqrt{2}}=\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$
Theo định lí sin: $\dfrac{a}{\sin
A}=2R\Rightarrow R=\dfrac{a}{2\sin
A}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2.\dfrac{4}{5}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
Ta
có $S=pr\Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{14}{5+7+4\sqrt{2}}=\dfrac{14}{12+4\sqrt{2}}=\dfrac{7}{6+2\sqrt{2}}$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1.
Cho tam giác
ABC có $a=8,b=10$, góc $C$ bằng $60{}^\circ $. Độ dài cạnh $c$ là?
A. $c=3\sqrt{21}$.
B. $c=7\sqrt{2}$.
C. $c=2\sqrt{11}$.
D. $c=2\sqrt{21}$.
Lời
giải
Chọn
D.
Ta có: ${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a.b.\cos
C={{8}^{2}}+{{10}^{2}}-2.8.10.\cos 60{}^\circ =84\Rightarrow c=2\sqrt{21}$.
Câu 2. Cho
$\Delta ABC$ có $b=6,c=8,\widehat{A}=60{}^\circ $. Độ dài cạnh $a$ là:
A. $2\sqrt{13}.$
B. $3\sqrt{12}.$
C. $2\sqrt{37}.$
D. $\sqrt{20}.$
Lời
giải
Chọn
A.
Ta có: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos
A=36+64-2.6.8.\cos 60{}^\circ =52\Rightarrow a=2\sqrt{13}$.
Câu
3. Cho tam giác
$ABC$ thoả mãn: ${{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}=\sqrt{3}bc$. Khi đó:
A. $A=30{}^\circ $
B. $A=45{}^\circ $
C. $A=60{}^\circ $
D. $A=75{}^\circ $
Lời
giải
Chọn
A.
Ta có: $\cos
A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\dfrac{\sqrt{3}bc}{2bc}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow
A=30{}^\circ $.
Câu 4.
Cho tam giác $ABC$.
Tìm công thức sai:
A. $\dfrac{a}{\sin A}=2R\,.$
B. $\sin
A=\dfrac{a}{2R}\,.$
C. $b\sin
B=2R\,.$
D. $\sin
C=\dfrac{c\sin A}{a}\,.$
Lời
giải
Chọn
C.
Ta có: $\dfrac{a}{\sin
A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R.$
Câu
5. Cho tam
giác $ABC$ có góc $\widehat{BAC}=60{}^\circ $ và cạnh $BC=\sqrt{3}$. Tính bán
kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
A. $R=4$.
B. $R=1$.
C. $R=2$.
D. $R=3$.
Lời
giải
Chọn
B
Ta
có: $\dfrac{BC}{\sin
A}=2R\Leftrightarrow R=\dfrac{BC}{2\sin
A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=1$.
Câu
6. Trong mặt phẳng, cho
tam giác $ABC$ có $AC=4\text{ cm}$, góc $\widehat{A}=60{}^\circ $,
$\widehat{B}=45{}^\circ $. Độ
dài cạnh $BC$ là
A. $2\sqrt{6}$.
B. $2+2\sqrt{3}$.
C. $2\sqrt{3}-2$.
D. $\sqrt{6}$.
Lời
giải
Chọn
A
Ta có $\dfrac{BC}{\sin
A}=\dfrac{AC}{\sin B}$$\Leftrightarrow
BC=\dfrac{4.\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{6}$.
Câu
7. Cho $\Delta
ABC$có $a=6,b=8,c=10.$ Diện tích $S$ của tam giác trên là:
A. $48.$
B. $24.$
C. $12.$
D. $30.$
Lời
giải
Chọn
B.
Ta có: nửa chu vi $\Delta
ABC$: $p=\dfrac{a+b+c}{2}$.
Áp dụng công thức
Hê-rông: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}=24$.
Câu 8.
Cho $\Delta
ABC$có $a=4,c=5,B=150{}^\circ $. Diện tích của tam giác là:
A. $5\sqrt{3}.$
B. $5.$
C. $10.$
D. $10\sqrt{3}\,.$
Lời
giải
Chọn
B.
Ta có: ${{S}_{\Delta
ABC}}=\dfrac{1}{2}a.c.\sin B=\dfrac{1}{2}.4.5.\sin 150{}^\circ =5.$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho tam giác
${A B C}$ có $b=7~cm,c=5~cm,\widehat{A}=120{}^\circ $. Khi đó:
a) $a=\sqrt{127}~cm$
b) $\cos C\approx 0,91$
c) $\cos B\approx 0,21$
d) $R\approx 6,03(~cm)$
Lời giải
a)
Sai
b) Đúng
c)
Sai
d)
Đúng
Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos
A\Rightarrow {{a}^{2}}={{7}^{2}}+{{5}^{2}}-2.7.5.\cos 120{}^\circ =109.$
Do đó, ${a=\sqrt{109} {~cm}}$.
Ta có ${b^2=a^2+c^2-2 a c \cos B \Rightarrow \cos
B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}=\dfrac{109+5^2-7^2}{2 \sqrt{109} .5} \approx 0,81}$.
Tương tự, ${\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2 a b}=\dfrac{109+7^2-5^2}{2
\sqrt{109} .7} \approx 0,91}$.
Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:
${\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2 R}$
nên $R=\dfrac{a}{2.\sin A}=\dfrac{\sqrt{109}}{2.\sin 120{}^\circ }\approx
6,03(~cm)$.
Câu
2. Cho tam giác
${A B C}$ với ${a=49,4 {~cm} ; b=26,4 {~cm}}$ và $\widehat{C}=47{}^\circ 20'$.
Khi đó:
a) ${c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C}$
b) $c\approx 47~cm$
c) $\widehat{A}\approx 137{}^\circ $
d) $\widehat{B}\approx 31{}^\circ
40'$
Lời giải:
a)
Đúng
b) Sai
c)
Sai
d)
Đúng
Theo định lí cosin, ta có: ${c^2=a^2+b^2-2 a b \cos C}$
$={{(49,4)}^{2}}+{{(26,4)}^{2}}-2.49,4.26,4.\cos \left(
47{}^\circ 20' \right)\approx 1369,66.\text{ }$
Suy ra: ${c \approx 37 {~cm}}$.
Ta có: $\cos
A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}\approx \dfrac{{{\left( 26,4
\right)}^{2}}+1369,66-{{\left( 49,4 \right)}^{2}}}{2.26,4.37}\approx
-0,191\Rightarrow \widehat{A}\approx 101{}^\circ $
Ta có: $\widehat{B}=180{}^\circ -\left( \widehat{A}+\widehat{C}
\right)\approx 31{}^\circ 40'$
Câu
3. Cho ${\Delta
{ABC}}$ có $\widehat{A}=135{}^\circ ,\widehat{C}=15{}^\circ $ và ${b=12}$. Khi
đó:
a) $\widehat{B}=30{}^\circ;$
b) $a=12\sqrt{2};$
c) $c\approx 8,21;$
d) $R=15$
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Sai
Ta có: $B=180{}^\circ -(A+C)=180{}^\circ -\left( 135{}^\circ
+15{}^\circ \right)=30{}^\circ \text{.
}$
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$$\Leftrightarrow
\dfrac{a}{\sin 135{}^\circ }=\dfrac{12}{\sin 30{}^\circ }=\dfrac{c}{\sin
15{}^\circ }=2R$.
$a=\dfrac{12\cdot \sin 135{}^\circ }{\sin 30{}^\circ }=12\sqrt{2};$
$c=\dfrac{12\cdot \sin 15{}^\circ }{\sin 30{}^\circ }\approx 6,21;$ $R=\dfrac{12}{2\sin
30{}^\circ }=12.$
Câu
4. Cho tam giác
${A B C}$, biết ${b=7, c=5, \cos A=\dfrac{3}{5}}$. Khi đó:
a) $\sin A=\dfrac{4}{5}$
b) $S=14$
c) $a=3\sqrt{2}$
d) $r=4-\sqrt{2}$
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Sai
Ta có: ${\sin ^2 A=1-\cos ^2 A=\dfrac{16}{25} \Rightarrow
\sin A=\dfrac{4}{5}}$ (vì ${\sin A>0}$).
${\sin A=14}$
${a^2=b^2+c^2-2 b c \cos A=7^2+5^2-2.7 \cdot 5 \cdot
\dfrac{3}{5}=32 \Rightarrow a=4 \sqrt{2}}$. $\dfrac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow
R=\dfrac{a}{2.\sin A}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2};p=\dfrac{a+b+c}{2}=6+2\sqrt{2}$;
${S=p r \Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{14}{6+2
\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Để kéo dây
điện từ cột điện vào nhà phải qua một cái ao, anh Nam không thể đo độ dài dây
điện cần mua trực tiếp được nên đã làm như sau: Lấy một điểm ${B}$ như trong
hình, người ta đo được độ dài từ ${B}$ đến ${A}$ (nhà) là ${15 {~m}}$, từ ${B}$
đến ${C}$ (cột điện) là ${18 {~m}}$ và $\widehat{ABC}=120{}^\circ $. Hãy tính độ
dài dây điện nối từ nhà ra đến cột điện.
Trả lời:
28,6
Lời giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ${A B C}$ ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB\cdot
BC\cdot \cos B}=\sqrt{{{15}^{2}}+{{18}^{2}}-2\cdot 15\cdot 18\cdot \cos
120{}^\circ }\approx 28,6(~m).$
Vậy độ dài dây điện nối từ nhà ra cột điện dài 28,6 m.
Câu
2. Từ một miếng
bìa hình tròn, bạn Nam cắt ra một hình tam giác ${A B C}$ có độ dài các cạnh ${A
B=4 {~cm}, A C=5 {~cm}, B C=6 {~cm}}$ (Hình). Tính bán kính ${R}$ của miếng bìa
ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị xăng-ti-mét)
Trả lời:
3
Lời giải
Áp dụng định lí côsin cho tam
giác ${A B C}$, ta có: ${\cos A=\dfrac{A B^{2}+A C^{2}-B C^{2}}{2 A B \cdot A
C}=\dfrac{4^{2}+5^{2}-6^{2}}{2.4 .5}=\dfrac{1}{8}}$. Mà ${\widehat{A}<180^{\circ}}$
nên ${\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\sqrt{1-\dfrac{1}{64}}=\dfrac{3 \sqrt{7}}{8}}$
Áp dụng định lí sin, ta có: ${\dfrac{B
C}{\sin A}=2 R \Rightarrow R=\dfrac{B C}{2 \sin A}=\dfrac{6}{2 \cdot \dfrac{3
\sqrt{7}}{8}} \approx 3({~cm})}$.
Câu
3. Cho tam giác
cân ${A B C}$ có $\widehat{A}=120{}^\circ $ và ${A B=A C=a}$. Lấy điểm ${M}$
trên cạnh ${B C}$ sao cho ${B M=\dfrac{2 B C}{5}}$. Độ dài $AM=\dfrac{a\sqrt{m}}{5}$.
Tính $m$.
Trả lời: 7
Lời giải
Ta có: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2ABAC\cos 120{}^\circ
}$
$=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a\cdot a\cdot \left(
-\dfrac{1}{2} \right)}=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow
BM=\dfrac{2a\sqrt{3}}{5}AM=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}-2AB.BM.\cos 30{}^\circ }$
$=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{2a\sqrt{3}}{5}
\right)}^{2}}-2a\cdot \dfrac{2a\sqrt{3}}{5}\cdot
\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{5}.$
