BÀI 1. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Mặt
phẳng trong không gian
Biểu diễn
mặt phẳng:
Kí hiệu
mặt phẳng: $\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( \alpha \right),\,\,\left(
\beta \right),\,\,...$
Chú
ý: Mặt phẳng $(P)$
còn được viết tắt là $\text{mp}(P)$ hoặc $(P)$.
Điểm
thuộc mặt phẳng
Cho hai
điểm $A,\,\,B$ và mặt phẳng $(P)$.
- Nếu điểm
$A$ thuộc mặt phẳng $(P)$ thì ta nói $A$ nằm trên $(P)$ hay $(P)$ chứa $A$, hay
$(P)$ đi qua $A$ và kí hiệu là $A\in (P)$.
- Nếu điểm
$B$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ thì ta nói $B$ nằm ngoài $(P)$ hay $(P)$ không
chứa $B$ và kí hiệu là $B\notin (P)$.
Biểu
diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng
Để biểu
diễn một hình trong không gian lên một mặt phẳng (tờ giấy, mặt bảng,...), ta
thường dựa vào các quy tắc sau:
- Hình
biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Giữ
nguyên tính liên thuộc (thuộc hay không thuộc) giữa điểm với đường thẳng hoặc với
đoạn thẳng.
- Giữ
nguyên tính song song, tính cắt nhau giữa các đường thẳng.
- Biểu diễn đường nhìn thấy bằng nét vẽ liền và biểu diễn đường bị che khuất bằng nét vẽ đứt đoạn.
2.
Các tính chất được thừa nhận của hình học không gian
Tính
chất 1: Có một
và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Đường thẳng
đi qua hai điểm phân biệt $A,\,\,B$ được kí hiệu là $AB$. Ta cũng nói đường thẳng
$AB$ xác định bởi hai điểm $A,\,\,B$.
Tính
chất 2: Có một
và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Chú
ý: Mặt phẳng đi
qua ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ không thẳng hàng được kí hiệu là mặt phẳng $(ABC)$.
Tính
chất 3: Nếu một
đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng
đều thuộc mặt phẳng đó.
Chú
ý: Đường thẳng $d$
nằm trong mặt phẳng $(P)$ thường được kí hiệu là $d\subset (P)$ hoặc $(P)\supset
d$.
Tính
chất 4: Tồn tại
bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Chú
ý: Nếu có nhiều
điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu
không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói chúng không đồng phẳng.
Tính
chất 5: Nếu hai
mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất
chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Chú
ý: Đường thẳng $d$
chung của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được gọi là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$,
kí hiệu $d=(P)\cap (Q)$.
Tính
chất 6: Trong mỗi
mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
3.
Cách xác định mặt phẳng
a) Một
mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa ba điểm không thẳng hàng.
Mặt phẳng
xác định bởi ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ không thẳng hàng kí hiệu là $\text{mp}(ABC)$
hay $(ABC)$.
b) Một
mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa một đường thẳng và một điểm không
thuộc đường thẳng đó.
Mặt phẳng
xác định bởi điểm $A$ và đường thẳng $a$ không qua điểm $A$ kí hiệu là $\text{mp}(A,a)$
hay $(A,a)$.
c) Một
mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
Mặt phẳng
xác định bởi hai đường thẳng $a,\,\,b$ cắt nhau kí hiệu là $\text{mp}(a,b)$.
d) Ngoài ra
một mặt phẳng được xác định nếu biết nó chứa hai đường thẳng song song
(sẽ học ở bài sau).
4.
Hình chóp và hình tứ diện
Hình
chóp
Cho đa
giác lồi ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$
và điểm $S$ không thuộc $(\alpha )$. Nối $S$ với các đỉnh ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\ldots
,{{A}_{n}}$ ta được $n$ tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}},\,\,S{{A}_{2}}{{A}_{3}},\,\,\ldots
,\,\,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}$. Hình tạo bởi $n$ tam giác đó và đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots
{{A}_{n}}$ được gọi là hình chóp, kí hiệu $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots
{{A}_{n}}$.
Trong
hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}$, ta gọi:
- Điểm $S$
là đỉnh;
- Các
tam giác $S{{A}_{1}}{{A}_{2}},\,\,S{{A}_{2}}{{A}_{3}},\,\,\ldots
,\,\,S{{A}_{n}}{{A}_{1}}$ là các mặt bên;
- Đa
giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}$ là mặt đáy;
- Các đoạn
thẳng $S{{A}_{1}},\,\,S{{A}_{2}},\,\,\ldots ,\,\,S{{A}_{n}}$ là các cạnh bên;
- Các cạnh
của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}$ là các cạnh dáy.
Ta gọi
hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,... lần lượt là hình chóp tam
giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,...
Hình
tứ diện
Cho bốn
điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ không đồng phẳng. Hình tạo bởi bốn tam giác $ABC,\,\,ACD,\,\,ADB$
và $BCD$ được gọi là hình tứ diện (hay tứ diện), kí hiệu là $ABCD$.
Trong tứ
diện $ABCD$, ta gọi:
- Các điểm
$A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ là các đỉnh.
- Các đoạn
thẳng $AB,\,\,AC,\,\,AD,$ $BC,\,\,CD,\,\,BD$ là các cạnh của tứ diện.
- Hai cạnh
không đi qua một đỉnh là hai cạnh đối diện.
- Các
tam giác $ABC,\,\,ACD,\,\,ADB,\,\,BCD$ là các mặt của tứ diện.
- Đỉnh
không thuộc một mặt của tứ diện là đỉnh đối diện với mặt đó.
Chú
ý:
a) Hình
tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là hình tứ diện đều.
b) Một tứ
diện có thể xem như là một hình chóp tam giác với đỉnh là một đỉnh tuỳ ý của tứ
diện và đáy là mặt của tứ diện không chứa đỉnh đó.
CÁC
KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG
Điểm
thuộc đường thẳng: $A\in \Delta $.
Điểm
thuộc mặt phẳng: $A\in \left( \alpha \right)$.
Đường
nằm trong mặt phẳng: $\Delta \subset \left( \alpha \right)$.
Giao điểm của 2 đường thẳng: $M=\Delta \cap d$.
Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: $M=\Delta \cap \left( \alpha \right)$.
Điểm chung của 2 mặt phẳng: $M\in \left( \alpha \right)\cap \left(
\beta \right)$.
Giao tuyến của 2 mặt phẳng: $\Delta =\left( \alpha \right)\cap \left(
\beta \right)$.
BÀI TẬP
TỰ LUẬN
Dạng
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Muốn tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi
qua 2 điểm chung đó là giao tuyến cần tìm.
Về dạng
này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại ta tìm hai đường thẳng
lần lượt thuộc hai mặt phẳng sao cho chúng cắt nhau được (tức là chúng cùng thuộc
mặt phẳng thứ ba và chúng không song song với nhau). Giao điểm của hai đường thẳng
đó là điểm chung thứ hai.
Nhớ
kĩ: Giao tuyến
là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến vừa nằm trong mặt
phẳng này vừa nằm trong mặt phẳng kia.
Trình
bày:
Ta có …
Suy ra $M\in \left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$ (1) (điểm chung thứ
nhất)
Lại có …
Suy ra $N\in \left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$ (2) (điểm chung thứ
hai)
Từ (1)
và (2) suy ra $MN=\left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$.
Dạng
2. Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng
Tìm giao
điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$:
Loại
1: Những bài
đơn giản, ta tìm một đường thẳng $a$ trong mặt phẳng $(\alpha )$ cắt đường thẳng
$d$ tại giao điểm.
Trình
bày:
Trong mp$\left(
a,d \right)$, gọi $M=a\cap d$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & M\in
a\subset \left( \alpha \right) \\ & M\in d \\ \end{align}
\right.\Rightarrow M=d\cap \left( \alpha \right)$.
Trình
bày:
Chọn mp
phụ (…) chứa $d$.
Tìm giao
tuyến của mp phụ (…) và mp$(\alpha )$ ta được: $a=\left( ... \right)\cap \left(
\alpha \right)$.
Trong mp
phụ (…), gọi $M=a\cap d$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & M\in a\subset
\left( \alpha \right) \\ & M\in d \\ \end{align} \right.\Rightarrow M=d\cap
\left( \alpha \right)$.
Dạng
3. Tìm thiết diện
Thiết diện
của mặt phẳng $\,\left( \alpha \right)$ với hình chóp $\left( H \right)$ là phần
chung giữa mặt phẳng $\,\left( \alpha \right)$ và hình chóp đó.
- Thiết
diện là đa giác kín.
- Các cạnh
của thiết diện nằm trên các mặt của hình chóp.
- Cạnh của
thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt
của hình chóp.
Dạng
4. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Để chứng
minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của
hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt
phẳng nên thẳng hàng.
Dạng
5. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy
Muốn chứng
minh $3$ đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này nằm
trên đường thẳng còn lại, từ đó chuyển qua bài toán chứng minh $3$ điểm thẳng
hàng.
BÀI TẬP
TỰ LUẬN
Câu
1. Cho hình
chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ có $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AC$ cắt $BD$ tại $F$.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$, $(SAC)$
và $(SBD)$.
b) Tìm giao tuyến của $(SEF)$ với các mặt phẳng $(SAD),(SBC)$.
Lời giải
a) Ta có: $S\in (SAB)\cap (SCD)$;
$\left\{ \begin{matrix} E\in AB\subset (SAB) \\ E\in
CD\subset (SCD) \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow E\in (SAB)\cap (SCD)$.
Suy ra $SE=(SAB)\cap (SCD)$.
Ta có: $S\in (SAC)\cap (SBD)$;
$\left\{ \begin{matrix} F\in AC\subset (SAC) \\ F\in
BD\subset (SBD) \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow F\in (SAC)\cap (SBD)$.
Suy ra $SF=(SAC)\cap (SBD)$.
b) Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $EF\cap AD=G,$ $EF\cap BC=H$.
Ta có
$S\in (SEF)\cap (SAD)$;
$\left\{ \begin{matrix} G\in EF\subset (SEF) \\ G\in
AD\subset (SAD) \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow G\in (SEF)\cap (SAD)$.
Suy ra $(SEF)\cap (SAD)=SG$.
Lại có:
$S\in (SEF)\cap (SBC)$;
$\left\{ \begin{matrix} H\in EF\subset (SEF) \\ H\in
BC\subset (SBC) \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow H\in (SEF)\cap (SBC)$.
Suy ra $(SEF)\cap (SBC)=SH$.
Câu
2. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AD,
BC$.
a) Tìm giao tuyến của
2 mặt phẳng $(IBC), (JAD)$.
b) $M$ là một điểm
trên cạnh $AB$, $N$ là một điểm trên cạnh $AC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
$(IBC), (DMN)$.
Lời giải
a) Ta có: $\left\{
\begin{align} & I\in AD\subset (JAD) \\ & I\in (IBC) \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow I\in (JAD)\cap (IBC)$;
$\left\{ \begin{align}
& J\in (JAD) \\ & J\in BC\subset (IBC) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
J\in (JAD)\cap (IBC)$.
Vậy $(IBC)\cap
(JAD)=IJ.$
b) Gọi $E=DN\cap IC$ $\Rightarrow
\left\{ \begin{matrix} E\in DN\subset (DMN) \\ E\in IC\subset (IBC) \\\end{matrix}
\right.$ $\Rightarrow E\in (IBC)\cap (DMN)$;
Ta có: $F=BI\cap DM$ $\Rightarrow
\left\{ \begin{matrix} F\in DM\subset (DMN) \\ F\in BI\subset (IBC) \\\end{matrix}
\right.$ $\Rightarrow F\in (IBC)\cap (DMN)$.
Suy ra $EF=(IBC)\cap
(DMN).$
Câu
3. Cho tứ diện $ABCD$.
Trên $AC$ và $AD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $MN$ không song song với
$CD$. Gọi $O$ là một điểm bên trong $\Delta BCD$.
a) Tìm giao tuyến của $\left( OMN \right)$
và $\left( BCD \right)$.
b) Tìm giao điểm của $BC$ và $BD$ với mặt
phẳng $\left( OMN \right)$.
Lời giải
a) Trong mp$\left( ACD \right)$, kẻ $MN$ giao với $CD$ tại $I$.
Khi đó $O\in (OMN)\cap (BCD)$ (1)
$I=MN\cap CD$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & I\in
MN\subset (OMN) \\ & I\in CD\subset (BCD) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
I\in (OMN)\cap (BCD)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OI=(OMN)\cap (BCD)$.
b) Trong mp$\left( BCD \right)$, kẻ $IO$ giao $BC$ và $BD$ lần
lượt tại $E$ và $F$.
Ta có $\left\{ \begin{align} & E\in BC \\ & E\in
IO\subset (OMN) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow E=BC\cap (OMN)$;
$\left\{ \begin{align} & F\in BD \\ & F\in IO\subset
(OMN) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow F=BD\cap (OMN)$.
Câu
4. Cho hình chóp $S.ABCD$, $M$ là một điểm trên cạnh $SC$.
a) Tìm giao điểm của
$AM$ và $\left( SBD \right)$.
b) Gọi $N$ là một
điểm trên cạnh $BC$. Tìm giao điểm của $SD$ và $\left( AMN \right)$.
Lời giải
a) Trong mp$\left(
ABCD \right)$, kẻ $AC$ giao $BD$ tại $O$.
Trong mp$\left( SAC
\right)$, kẻ $SO$ giao $MA$ tại $J$.
Khi đó $\left\{
\begin{align} & J\in AM \\ & J\in SO\subset (SBD) \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow J=AM\cap (SBD)$.
b) Trong mp$\left(
ABCD \right)$, kẻ $AN$ giao $CD$ tại $K$.
Trong mp$\left( SCD
\right)$, kẻ $KM$ giao $SD$ tại $T$.
Câu
5. Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình thang, đáy lớn $AB$.
Gọi $I, J, K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA, AB, BC$.
a) Tìm giao điểm của
$IK$ và $\left( SBD \right)$.
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng $\left(
IJK \right)$ với $SD$ và $SC$.
Lời giải
a) Trong $\left( ABCD \right)$,
$BD$ giao $AK$ tại $M$.
Trong $\left( SAK
\right)$, $SM$ giao $IK$ tại $T$
$\Rightarrow \left\{
\begin{align} & T\in SM\subset (SBD) \\ & T\in IK \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow T=IK\cap (SBD)$.
b) Lấy $R$ là trung
điểm của $SC$.
Dễ dàng chứng minh được
$RK$ và $IJ$ song song với nhau (song song và bằng $\dfrac{BD}{2}$) nên $R\in
\left( IJK \right)$.
$\Rightarrow R=SC\cap
(IJK)$.
Trong $\left( ABCD \right)$, kẻ $KJ$ cắt $AD$ tại $P$.
Trong $\left( SAD
\right)$, kẻ $IP$ cắt $SD$ tại $Q$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& Q\in IP\subset (IJK) \\ & Q\in SD \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
Q=SD\cap (IJK)$.
Câu
6. Cho tứ diện đều $ABCD$, cạnh bằng $a$. Kéo dài $BC$ một đoạn
$CE=a$. Kéo dài $BD$ một đoạn $DF=a$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$.
a) Tìm
thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $\left( MEF \right).$
b) Tính
diện tích của thiết diện.
Lời giải
a) Trong $mp\left(
ABC \right)$, kẻ $ME$ giao $AC$ tại $I$.
Trong $mp\left( ABD \right)$,
kẻ $MF$ giao $AD$ tại $J$.
Từ đó thiết diện của
tứ diện với $mp\left( MEF \right)$ là tam giác $MIJ.$
b) Theo cách dựng thì
$I$ và $J$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABE$ và $ABF$
$\Rightarrow AI=\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{2a}{3},$
$AJ=\dfrac{2}{3}AD=\dfrac{2a}{3}$ $\Rightarrow $Tam giác $AIJ$ đều $\Rightarrow
IJ=\dfrac{2a}{3}$.
Do $AI=AJ$ nên $\Delta
AMI=\Delta AMJ$ $\Rightarrow MI=MJ$. Gọi $K$ là trung điểm $IJ$, suy ra $MK\bot
IJ$.
Trong $\Delta AMI:$ $MI=\sqrt{M{{A}^{2}}+I{{A}^{2}}-2MA.IA\cos
A}$ $=\dfrac{a\sqrt{13}}{6}$.
Khi đó ${{S}_{\Delta
MIJ}}=\dfrac{1}{2}.IJ.MK$ $=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a}{3}.\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{13}}{6}
\right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{6}$.
Câu 7.
Cho tứ diện
$ABCD.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD.$ Mặt phẳng $\left(
\alpha \right)$ qua $MN$ cắt $AD,BC$ lần lượt tại $P$ và $Q.$ Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I.$
Chứng minh ba điểm $I,B,D$ thẳng hàng.
Lời giải
Ta có $\left( ABD
\right)\cap \left( BCD \right)=BD$.
Lại có $\left\{
\begin{align} & I\in MP\subset \left( ABD \right) \\ & I\in NQ\subset
\left( BCD \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow I\in \left( ABD
\right)\cap \left( BCD \right)$
$\Rightarrow I\in
BD\Rightarrow I, B, D$ thẳng hàng.
Câu
8. Cho tứ diện $SABC$. Trên $SA, SB$ và $SC$ lấy các điểm $D, E$
và $F$ sao cho $DE$ cắt $AB$ tại $I$, $EF$ cắt $BC$ tại $J$, $FD$ cắt $CA$ tại $K$.
Chứng minh ba điểm $I, J, K$ thẳng hàng.
Lời giải
Ta có:
$I=DE\cap AB$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & I\in
DE\subset \left( DEF \right) \\ & I\in AB\subset \left( ABC \right) \\ \end{align}
\right.$ (1)
$J=EF\cap BC$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & J\in
EF\subset \left( DEF \right) \\ & J\in BC\subset \left( ABC \right) \\ \end{align}
\right.$ (2)
$K=DF\cap AC$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & K\in
DF\subset \left( DEF \right) \\ & K\in AC\subset \left( ABC \right) \\ \end{align}
\right.$ (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có $I, J, K$ là điểm chung của hai mặt
phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( DEF \right)$ nên chúng thẳng hàng.
Câu
9. Cho hình chóp
$S.ABC$, $M\in SA$ sao cho $MA=2MS$, $P\in SB$ sao cho $PS=2PB$, $Q$ là trung
điểm $SC$. Kẻ $MP\cap AB=H,$ $MQ\cap AC=K$. Chứng minh $PQ, BC, HK$ đồng quy.
Lời giải
Trong mặt phẳng $(SBC)$, kẻ $PQ\cap
BC=I$.
Ta có $I, H, K\in \left( MPQ
\right)$ và $I, H, K\in \left( ABC \right)$ $\Rightarrow I, H, K$ thẳng hàng $\Rightarrow
PQ, BC, HK$ đồng quy tại $I$.
Câu
10. Cho hình chóp
$S.ABCD$, $AC\cap BD=H$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $CD$ cắt $SA, SB$ tại
$M, N$. Chứng minh $CM, DN, SH$ đồng quy.
Lời giải
Vẽ $\left( P \right)\equiv \left( CDMN \right)$.
Gọi $CM\cap DN=I$. Ta có $S, H, I\in \left( SAC \right)$ và $S,
H, I\in \left( SBD \right)$ $\Rightarrow S, H, I$ thẳng hàng $\Rightarrow CM, DN,
SH$ đồng quy.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Cho tứ diện $ABCD$,
$G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Giao tuyến của mặt phẳng $\left( ACD
\right)$ và $\left( GAB \right)$ là:
A. $AM$ ($M$ là
trung điểm của $AB$).
B. $AN$ ($N$ là
trung điểm của $CD$).
C. $AH$ ($H$ là
hình chiếu của $B$ trên $CD$).
D. $AK$ ($K$ là
hình chiếu của $C$ trên $BD$).
Lời giải
Chọn B
Gọi $N$ là trung điểm của $CD$.
Ta có $A\in \left(
ACD \right)\cap \left( GAB \right)$ (1)
$\left\{ \begin{align} & N\in
BG\subset (GAB) \\ & N\in CD\subset (ACD) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
N\in \left( ACD \right)\cap \left( GAB \right)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AN=\left( ACD
\right)\cap \left( GAB \right)$.
Câu
2. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$
và $CD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MBD \right)$ và $\left( ABN
\right)$ là:
A.
Đường thẳng $MN$.
B.
Đường thẳng $AM$.
C.
Đường thẳng $BG$
($G$ là trọng tâm $\Delta ACD$).
D.
Đường thẳng $AH$
($H$ là trực tâm $\Delta ACD$).
Lời giải
Chọn C
Ta có
$B\in \left( MBD \right)\cap \left( ABN
\right)$;
Trong mặt phẳng $(ACD)$, gọi $G=MD\cap AN$
(tức là $G$ là trọng tâm của $\Delta ACD$), suy ra
$\left\{ \begin{align} & G\in
MD\subset (MBD) \\ & G\in AN\subset (ABN) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
G\in (MBD)\cap (ABN)$.
Do đó $\left( MBD \right)\cap \left( ABN
\right)=BG.$
Câu
3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ $\left(
AD\parallel BC \right).$ Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $DC$, $M$ là trung điểm
$SC$. $DM$ cắt $\left( SAB \right)$ tại $J$. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
$S, I, J$ thẳng
hàng.
B.
$DM\subset \left( SCI \right)$.
C.
$JM\subset \left( SAB \right)$.
D.
$SI=\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $M\notin (SAB)$ nên $JM$ không nằm trong $(SAB)$.
Câu
4. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB$
và $CD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $MN$, cắt $AD$, $BC$ lần lượt tại $P$ và $Q$.
Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I$. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A.
$I,A,C$.
B.
$I,B,D$.
C.
$I,A,B$.
D.
$I,D,C$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $(\alpha )\equiv (MPNQ)$.
Khi đó: $D\in (ABD)\cap (BCD)$; $B\in (ABD)\cap (BCD)$;
$I\in MP\cap NQ$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} &
I\in MP\subset (ABD) \\ & I\in NQ\subset (BCD) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
I\in (ABD)\cap (BCD)$.
Suy ra $I, B, D$ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABD),(BCD)$
nên thẳng hàng.
Câu 5.Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD,SC$. Khi đó thiết diện do mặt phẳng $\left( MNP \right)$ cắt hình chóp là hình gì?
A. Hình tam
giác.
B. Hình tứ
giác.
C. Hình ngũ
giác.
D. Hình lục
giác.
Lời giải
Chọn C
Gọi $I, K$ lần lượt là giao điểm của $MN$ với $BC$, $CD$; gọi
$F=IP\cap SB,$ $E=KP\cap SD$. Khi đó thiết diện là hình ngũ giác $MNEPF$.
Câu 6.
Cho hình
chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm $SA$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $IJCD$ là hình
thang.
B. $\left( SAB \right)\cap \left( IBC
\right)=IB$.
C. $\left( SBD \right)\cap \left( JCD
\right)=JD$.
D. $\left( IAC \right)\cap \left( JBD
\right)=AO$, $O$ là tâm hình bình
hành $ABCD$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\left(
IAC \right)\equiv \left( SAC \right)$ và $\left( JBD \right)\equiv \left( SBD
\right)$. Ta có $\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=SO$ trong đó $O$ là
tâm hình bình hành $ABCD$.
Câu
7. Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC,
CD.$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MBD \right)$ và $\left( ABN \right)$
là:
A.
Đường thẳng $MN.$
B.
Đường thẳng $AM.$
C.
Đường thẳng $BG$
($G$ là trọng tâm tam giác $ACD).$
D.
Đường thẳng $AH$
($H$ là trực tâm tam giác $ACD).$
Lời giải
Chọn C
Ta có $B$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left(
MBD \right)$ và $\left( ABN \right).$
Vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC, CD$ nên suy ra $AN,
DM$ là hai trung tuyến của tam giác $ACD.$ Gọi $G=AN\cap DM$ $\Rightarrow
\left\{ \begin{align} & G\in AN\subset \left( ABN \right) \\ & G\in
DM\subset \left( MBD \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow G$ là điểm
chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( MBD \right)$ và $\left( ABN \right).$
Vậy $\left( ABN \right)\cap \left( MBD \right)=BG.$
Câu 8. Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD,$ $M$
là trung điểm $CD,$ $I$ là điểm ở trên đoạn thẳng $AG,$ $BI$ cắt mặt phẳng $\left(
ACD \right)$ tại $J.$ Khẳng định nào sau đây sai?
A. $AM=\left( ACD \right)\cap \left(
ABG \right).$
B. $A,J,M$ thẳng hàng.
C. $J$ là trung
điểm của $AM.$
D. $DJ=\left( ACD \right)\cap \left(
BDJ \right).$
Lời giải
Chọn C
Xét đáp án A:
Ta có $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left(
ACD \right)$ và $\left( ABG \right).$
Do $BG\cap CD=M$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} &
M\in BG\subset \left( ABG \right) \\ & M\in CD\subset \left( ACD \right) \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow M$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left(
ACD \right)$ và $\left( ABG \right)$ $\Rightarrow \left( ABG \right)\cap \left(
ACD \right)=AM$.
Xét đáp án B:
Ta có $\left\{
\begin{align} & BI\subset \left( ABG \right)\equiv \left( ABM \right) \\ &
AM\subset \left( ABM \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow AM,BI$ đồng
phẳng $\Rightarrow J=BI\cap AM$ $\Rightarrow A, J, M$ thẳng hàng.
Xét đáp án C:
Không có giả
thiết nào để có thể kết luận $J$ là trung điểm của $AM$ nên C sai.
Xét đáp án D:
Ta có $\left\{
\begin{align} & DJ\subset \left( ACD \right) \\ & DJ\subset \left( BDJ
\right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow DJ=\left( ACD \right)\cap \left(
BDJ \right)$.
Câu 9. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E, F, G$ là các điểm lần lượt
thuộc các cạnh $AB, AC, BD$ sao cho $EF$ cắt $BC$ tại $I$, $EG$ cắt $AD$ tại $H$.
Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A. $CD,EF,EG.$
B. $CD,IG,HF.$
C.
$AB,IG,HF.$
D.
$AC,IG,BD.$
Lời giải
Chọn B
Trong mặt
phẳng $(EHI)$, gọi $O=HF\cap
IG$. Ta chứng minh $O\in CD$.
Ta có:
$O\in HF$
mà $HF\subset \left( ACD \right)$ suy ra $O\in \left( ACD \right)$;
$O\in IG$
mà $IG\subset \left( BCD \right)$ suy ra $O\in \left( BCD \right)$.
Do đó $O\in \left( ACD \right)\cap \left( BCD \right)$ $\left(
1 \right)$
Mà $\left( ACD \right)\cap \left( BCD \right)=CD$ $\left( 2
\right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra $O\in
CD$.
Vậy ba đường thẳng $CD,IG,HF$ đồng quy.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho hình
chóp ${S.ABCD}$, biết ${A B}$ cắt ${C D}$ tại $E$, $AC$ cắt ${B D}$ tại ${F}$.
a) Đường thẳng ${E F}$ nằm trong mặt phẳng ${(A B C D)}$.
b) ${A B}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng ${(S A B)}$ và ${(A
B C D)}$.
c) $SF$ là giao tuyến của hai mặt phẳng ${(S A B)}$ và $(SCD),$
$SE$ là giao tuyến của hai mặt phẳng ${(S A C)}$ và ${(S B D)}$.
d) Gọi ${G=E F \cap A D}$, khi đó $SG$ giao tuyến của mặt phẳng
${(S E F)}$ và mặt phẳng ${(S A D)}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) Ta có: $E\in AB\subset (ABCD)$, $F\in AC\subset (ABCD)$.
Vậy ${E F \subset(A B C D)}$.
b) Dễ thấy ${A}$ là điểm chung của hai mặt phẳng ${(S A B)}$
và ${(A B C D), B}$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng ${(S A B)}$ và ${(A B
C D)}$.
Suy ra ${A B=(S A B) \cap(A B C D)}$.
c) Tìm giao tuyến của ${(S A B)}$ và ${S C D)}$:
${S}$ là điểm chung của hai mặt phẳng ${(S A B)}$ và ${(S C
D)}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} E\in AB\subset (SAB)
\\ E\in CD\subset (SCD) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow E\in (SAB)\cap
(SCD)$.
Vậy ${S E=(S A B) \cap(S C D)}$.
Tìm giao tuyến của ${(S A C)}$ và ${(S B D)}$:
${S}$ là điểm chung của hai mặt phẳng ${(S A C)}$ và ${(S B
D)}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} F\in AC\subset (SAC)
\\ F\in BD\subset (SBD) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow F\in (SAC)\cap
(SBD)$.
Vậy ${S F=(S A C) \cap(S B D)}$.
d) Tìm giao tuyến của ${(S E F)}$ với ${(S A D)}$:
${S}$ là điểm chung của hai mặt phẳng ${(S E F)}$ và ${(S A
D)}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} G\in EF\subset (SEF)
\\ G\in AD\subset (SAD) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow G\in (SEF)\cap
(SAD)$.
Vậy ${S G=(S E F) \cap(S A D)}$.
Câu
2. Cho hình
bình hành ${A B C D}$ và một điểm ${S}$ không thuộc mặt phẳng ${(A B C D)}$,
các điểm ${M, N}$ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng ${A B, S C}$. Gọi ${O=A
C \cap B D}$.
a) $SO$ giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$
và $(SBD)$.
b) Giao điểm của ${I}$ của đường thẳng ${A N}$ và mặt phẳng ${(S
B D)}$ là điểm nằm trên đường thẳng $SO$.
c) Giao điểm của ${J}$ của đường thẳng ${M N}$ và mặt phẳng ${(S
B D)}$ là điểm nằm trên đường thẳng $SD$.
d) Ba điểm $I, J, B$ thẳng hàng.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) $SO$ giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$
và $(SBD)$.
b) Trong mặt phẳng ${(S A C)}$, gọi ${I=S O \cap A N}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} I\in AN \\ I\in
SO\subset (SBD) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow I=AN\cap (SBD)$.
c) Trong mặt phẳng ${(A B C D)}$, gọi ${P=C M \cap B D}$.
Trong mặt phẳng ${(S C M)}$, gọi ${J=M N \cap S P}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} J\in MN \\ J\in
SP\subset (SBD) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow J=MN\cap (SBD)$.
Do $J\notin SD$ nên c) sai.
d) Chứng minh ${I, J, B}$ thẳng hàng:
Dễ thấy ${B \in(A B N) \cap(S B D)}$ (1).
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} I\in AN\subset (ABN)
\\ I\in SO\subset (SBD) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow I\in (ABN)\cap
(SBD)$ (2).
Tương tự: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} J\in MN\subset
(ABN) \\ J\in SP\subset (SBD) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow J\in
(ABN)\cap (SBD)$ (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra ${B, I, J}$ cùng thuộc giao tuyến của
hai mặt phẳng ${(A B N)}$ và ${(S B D)}$ nên ba điểm này thẳng hàng.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI NGẮN
Câu
1. Cho hình
chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$ với $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$. Gọi
$M$ là điểm trên cạnh $SD$ thỏa mãn $SM=\dfrac{1}{3}SD$. Mặt phẳng $\left( ABM
\right)$ cắt cạnh bên $SC$ tại điểm $N$. Tính tỉ số $\dfrac{SN}{SC}$.
Lời giải
Trả lời: $0,5$
Gọi $F$ là
giao điểm của $AB$ và $CD$, $FM$ cắt $SC$ tại điểm $N$. Khi đó $N$ là giao điểm
của $\left( ABM \right)$ và $SC$.
Theo giả
thiết, ta chứng minh được $C$ là trung điểm $DF$.
Trong mặt
phẳng $\left( SCD \right)$ kẻ $CE$ song song $NM$ ($E$ thuộc $SD$). Do $C$ là
trung điểm $DF$ nên suy ra $E$ là trung điểm $MD$. Khi đó, ta có $SM=ME=ED$ và $M$
là trung điểm $SE$.
Do $MN\
\text{//}\ CE$ và $M$ là trung điểm $SE$ nên $MN$ là đường trung bình của tam
giác $SCE$. Từ đó suy ra $N$ là trung điểm $SC$ và $\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{1}{2}$.
Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ là lượt là trung điểm của $AB$ và $SC$; $I$
là giao điểm của $AN$ và $\left( SBD \right)$. $J$ là giao điểm của $MN$ với $\left(
SBD \right)$. Khi đó tỉ số $\dfrac{IB}{IJ}$ là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: $4$
Gọi $O=AC\cap BD$.
Trong mặt phẳng $\left( SAC
\right)$, gọi $AN\cap SO=I$ suy ra $I$ là giao điểm của $AN$ và $\left( SBD
\right)$.
Trong mặt phẳng $\left( ABN
\right)$, gọi $MN\cap BI=J$ suy ra $J$ là giao điểm của $MN$ với $\left( SBD
\right)$.
Gọi $K$ là trung điểm của $SD$. Suy ra $NK\text{//}DC\text{//}AB$
và $BI\cap SD=K$ hay $B$, $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.
Khi đó $NK\text{//}BM$ và $NK\text{=}MA=BM$
và tứ giác $AKNM$ là hình bình hành.
Xét hai tam giác đồng dạng $\Delta
KJN$ và $\Delta BJM$ có $\dfrac{BM}{NK}=\dfrac{MJ}{NJ}=\dfrac{BJ}{JK}=1$ suy ra
$J$ là trung điểm của $MN$ và $J$ là
trung điểm của $BK$ hay $BJ=JK$.
Trong tam giác $\Delta SAC$ có $I$
là trọng tâm của tam giác nên $\dfrac{NI}{IA}=\dfrac{1}{2}$.
Do $AK\text{//}MN$ nên $\dfrac{IJ}{IK}=\dfrac{NI}{IA}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow
$ $\dfrac{IJ}{JK}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{IJ}{BJ}\Rightarrow $ $\dfrac{IJ}{BI}=\dfrac{1}{4}$
hay $\dfrac{IB}{IJ}=4$.
