BÀI 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Để giải bất phương trình bằng cách xét dấu
các biểu thức bậc nhất và bậc hai ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Chuyển các biểu
thức qua vế trái, để vế phải là 0.
Bước 2: Biến đổi, quy đồng,
rút gọn để được dạng tích, thương của các biểu thức (bậc nhất, bậc hai)
Bước 3: Tìm nghiệm của
các biểu thức và lập bảng xét dấu.
Bước 4: Dựa vào bảng xét
dấu kết luận tập nghiệm của bất phương trình.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Giải
các bất phương trình sau
a) $-3{{x}^{2}}+2x+1<0$.
b) ${{x}^{2}}+x-12<0$.
Lời giải.
a) Ta có $-3{{x}^{2}}+2x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}$
hoặc $x=1$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình
là $S=\left( -\infty \,;-\,\dfrac{1}{3} \right)\cup \left( 1\,;\,+\infty \right)$.
b) Ta có ${{x}^{2}}+x-12=0\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=-4$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình
là $S=\left( -4\,;\,3 \right)$.
Câu 2. Giải
các bất phương trình sau
a) $\left( 1-2x \right)\left(
{{x}^{2}}-x-1 \right)>0$.
b) ${{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+2x+3\le
0$.
Lời giải.
a) Ta có $1-2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$; ${{x}^{2}}-x-1=0\Leftrightarrow
x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình
là
$S=\left(
-\infty \,;\,\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)\cup \left( \dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
\right)$.
b) Bất phương trình tương đương với
$\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4 \right)-\left( {{x}^{2}}-2x+1
\right)\le 0$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-{{\left( x-1
\right)}^{2}}\le 0$$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x-3 \right)\left(
{{x}^{2}}-x-1 \right)\le 0$.
Ta có ${{x}^{2}}+x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm
\sqrt{13}}{2}$; ${{x}^{2}}-x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình
là
$S=\left[ \dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\,;\,\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\right]$$\cup \left[ \dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\,;\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$.
Câu 3. Giải
các bất phương trình sau
a) $\dfrac{{{x}^{2}}-1}{\left(
{{x}^{2}}-3 \right)\left( -3{{x}^{2}}+2x+8 \right)}>0$.
b) ${{x}^{2}}+10\le \dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-8}$.
Lời giải.
a) Ta có
${{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1$; ${{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow
x=\pm \sqrt{3}$; $-3{{x}^{2}}+2x+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-\dfrac{4}{3} \\ \end{align} \right.$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình
đã cho là
$S=\left( -\sqrt{3}\,;\,-\dfrac{4}{3} \right)$$\cup \left(
-1\,;\,1 \right)\cup \,\left( \sqrt{3}\,;\,2 \right)$.
b) Bất phương trình tương đương với
$\dfrac{2{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-8}-{{x}^{2}}+10\ge 0$$\Leftrightarrow
\dfrac{2{{x}^{2}}+1-\left( {{x}^{2}}-8 \right)\left( {{x}^{2}}+10
\right)}{{{x}^{2}}-8}\ge 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{81-{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}-8}\ge 0$$\Leftrightarrow
\dfrac{\left( 9-{{x}^{2}} \right)\left( 9+{{x}^{2}} \right)}{\left( {{x}^{2}}-8
\right)}\ge 0$$\Leftrightarrow \dfrac{9-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-8}\ge 0$.
Ta có $9-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm 3$; ${{x}^{2}}-8=0\Leftrightarrow
x=\pm 2\sqrt{2}$.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình
là
$S=\left[ -3\,;\,-2\sqrt{2} \right)\cup \left(
2\sqrt{2}\,;\,3 \right]$.
Câu
4. Tìm $m$ để
các phương trình sau có nghiệm.
a) ${{x}^{2}}-mx+m+3=0$.
b) $\left( 1+m
\right){{x}^{2}}-2mx+2m=0$.
Lời giải.
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
$\Delta ={{m}^{2}}-4\left( m+3 \right)\ge 0$$\Leftrightarrow
{{m}^{2}}-4m-12\ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m\ge 6 \\ & m\le -2 \\ \end{align} \right.$.
Vậy với $m\in \left( -\infty \,;\,-2 \right]\cup \left[
6\,;\,+\infty \right)$ thì phương trình
có nghiệm.
b) Với $m=-1$, phương trình trở thành $2x-2=0\Leftrightarrow
x=1$. Suy ra $m=-1$thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với $m\ne -1$ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
$\Delta ={{m}^{2}}-2m\left( 1+m \right)\ge 0$$\Leftrightarrow
{{m}^{2}}+2m\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le 0$.
Vậy với $-2\le m\le 0$ thì phương trình có nghiệm.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Tập
nghiệm của bất phương trình $2{{x}^{2}}-14x+20<0$ là
A. $S=\left( -\infty ;2
\right]\cup \left[ 5;+\infty \right)$.
B. $S=\left( -\infty ;2
\right)\cup \left( 5;+\infty \right)$.
C. $S=\left( 2;5 \right)$.
D. $S=\left[ 2;5 \right]$.
Lời giải
Chọn C
Bất phương trình $0\le x\le 10$$\Leftrightarrow
2<x<5$.
Vậy $S=\left( 2;\,5 \right)$.
Câu 2. Tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${{x}^{2}}-x-6\le
0$.
A. $S=\left( -\infty ;-3
\right)\cup \left( 2:+\infty \right)$.
B. $\left[ -2;3 \right]$.
C. $\left[ -3;2 \right]$.
D. $\left( -\infty ;-3 \right]\cup
\left[ 2;+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${{x}^{2}}-x-6\le
0\Leftrightarrow -2\le x\le 3$.
Tập
nghiệm bất phương trình là: $S=\left[ -2;3 \right]$.
Câu
3. Hàm số $y=\dfrac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}-3}+x-2}$
có tập xác định là
A. $\left( -\infty ;-\sqrt{3}
\right)\cup \left( \sqrt{3};+\infty
\right)$.
B. $\left( -\infty ;-\sqrt{3}
\right]\cup \left[ \sqrt{3};+\infty
\right)\backslash \left\{ \dfrac{7}{4} \right\}$.
C. $\left( -\infty ;-\sqrt{3}
\right)\cup \left( \sqrt{3};+\infty
\right)\backslash \left\{ \dfrac{7}{4} \right\}$.
D. $\left( -\infty ;-\sqrt{3}
\right)\cup \left( \sqrt{3};\dfrac{7}{4} \right)$.
Lời giải
Chọn
B
Hàm số đã cho xác định khi $\left\{
\begin{align} &
\sqrt{{{x}^{2}}-3}+x-2\ne 0 \\ &
{{x}^{2}}-3\ge 0 \\ \end{align} \right.$
Ta có ${{x}^{2}}-3\ge 0\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x\ge \sqrt{3}
\\ & x\le -\sqrt{3} \\ \end{align}
\right.$.
Xét $\sqrt{{{x}^{2}}-3}+x-2=0$$\Leftrightarrow
\sqrt{{{x}^{2}}-3}=2-x$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2-x\ge 0 \\ & {{x}^{2}}-3={{\left( 2-x \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\le 2 \\ & x=\dfrac{7}{4} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
x=\dfrac{7}{4}$
Do đó tập xác định của hàm số đã
cho là $D=\left( -\infty ;-\sqrt{3} \right]\cup \left[ \sqrt{3};+\infty \right)\backslash \left\{ \dfrac{7}{4}
\right\}$.
Câu
4. Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{2{{x}^{2}}-5x+2}$.
A.
$\left( -\infty ;\,\dfrac{1}{2} \right]\cup \left[ 2;\,+\infty \right)$.
B.
$\left[ 2;\,+\infty \right)$.
C.
$\left( -\infty ;\,\dfrac{1}{2} \right]$.
D.
$\left[ \dfrac{1}{2};\,2 \right]$.
Lời giải
Chọn A.
Hàm
số xác định $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x+2\ge 0$$\Leftrightarrow \left[
\begin{align} & x\le \dfrac{1}{2} \\
& x\ge 2 \\ \end{align} \right.$.
Câu 5.
Tập nghiệm của bất phương trình ${{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4<0$
là
A. $\left(
1;4 \right)$.
B. $\left(
-2;-1 \right)$.
C. $\left(
1;2 \right)$.
D. $\left(
-2;-1 \right)\cup \left( 1;2 \right)$.
Lời giải
Chọn D
Ta
có ${{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4
\right)=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}{x^2} - 1 = 0 \hfill \\{x^2} - 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\x = - 1 \hfill \\x = 2 \hfill \\x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Đặt
$f\left( x \right)={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4$.
Bảng
xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy tập
nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right)<0$là $\left( -2;-1
\right)\cup \left( 1;2 \right)$.
Câu
6. Tập nghiệm của
bất phương trình $\dfrac{{{x}^{2}}-7x+12}{{{x}^{2}}-4}\le 0$là.
A. $S=\left[ -2;2 \right]\cup \left[ 3;4 \right]$.
B. $S=\left( -2;2 \right]\cup \left[ 3;4 \right]$.
C. $S=\left( -2;2 \right)\cup \left[ 3;4 \right]$.
D. $S=\left[ -2;2 \right]\cup \left( 3;4 \right)$.
Lời giải
Chọn C
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-7x+12}{{{x}^{2}}-4}$
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ -2;2 \right\}$.
${{x}^{2}}-7x+12=0\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=3 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.$.
${{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=-2 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.$.
Bảng xét dấu $f\left( x \right)$
Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm
của bất phương trình đã cho là $S=\left( -2;2 \right)\cup \left[ 3;4 \right]$.
Câu
7. Tìm $m$ để
phương trình $-{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+m-3=0$ có hai nghiệm phân biệt
A. $\left( -1;2
\right)$.
B. $\left( -\infty
;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty
\right)$.
C. $\left[ -1;2
\right]$.
D. $\left( -\infty
;-1 \right]\cup \left[ 2;+\infty
\right)$.
Lời giải
Chọn B
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta '>0$$\Leftrightarrow
{{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( -1 \right).\left( m-3 \right)>0$$\Leftrightarrow
{{m}^{2}}-m-2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-1 \\ & m>2 \\ \end{align} \right.$
Vậy $m\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup
\left( 2;+\infty \right)$.
Câu 8. Tìm
tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho phương trình $\left( m-2
\right){{x}^{2}}-2mx+m+3=0$ có hai nghiệm dương phân biệt.
A. $2<m<6.$
B. $m<-3$ hoặc $2<m<6.$
C. $m<0$ hoặc $-\,3<m<6.$
D. $-3<m<6.$
Lời giải
Chọn B.
Yêu
cầu bài toán $\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & {\Delta }'>0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & m-2\ne 0 \\ & {{m}^{2}}-\left( m-2 \right)\left( m+3
\right)>0 \\ & \dfrac{2m}{m-2}>0
\\ & \dfrac{m+3}{m-2}>0 \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& 2<m<6 \\ &
m<-\,3 \\ \end{align} \right..$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Xét tính
đúng, sai của các khẳng định sau
a) ${(1-2 x)\left(x^2+x-30\right)<0}$ có tập nghiệm ${S=\left(-6
; \dfrac{1}{2}\right) \cup(5 ;+\infty)}$
b) ${\dfrac{4 x^2+3 x-1}{x^2+5 x+7} \geq 0}$ có tập nghiệm $S=(-\infty
;-1]$
c) ${\dfrac{\left(2-x^2\right)\left(x^2-2 x+1\right)}{-x^2+3
x+4}>0}$có tập nghiệm $S=(1;\sqrt{2})\cup (4;+\infty )$
d) ${\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x+1}{x-1} \leq 2}$ có tập nghiệm ${S=(-\infty
;-1] \cup\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right] \cup(1 ;+\infty)}$
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c)
Sai
d)
Đúng
a) Xét ${f(x)=(1-2 x)\left(x^2+x-30\right)}$
$f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
1 - 2x = 0 \hfill \\
{x^2} + x - 30 = 0 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{gathered}
x = \frac{1}{2} \hfill \\
x = - 6 \vee x = 5 \hfill \\
\end{gathered}
\end{array}.} \right.$
Bảng xét dấu:
Ta có: $(1-2x)\left( {{x}^{2}}+x-30 \right)<0$$\Leftrightarrow
f(x)<0$${(1-2 x)\left(x^2+x-30\right)<0 \Leftrightarrow f(x)<0
\Leftrightarrow x \in\left(-6 ; \dfrac{1}{2}\right) \cup(5 ;+\infty)}$.
Tập nghiệm bất phương trình là: ${S=\left(-6 ; \dfrac{1}{2}\right)
\cup(5 ;+\infty)}$.
b) Đặt ${f(x)=\dfrac{4 x^2+3 x-1}{x^2+5 x+7}}$. Điều kiện: ${{x}^{2}}+5x+7\ne
0$${x^2+5 x+7 \neq 0 \Leftrightarrow\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}
\neq 0}$ (luôn đúng).
Xét $f(x)=0\Rightarrow 4{{x}^{2}}+3x-1=0$${f(x)=0
\Rightarrow 4 x^2+3 x-1=0 \Rightarrow x=-1 \vee x=\dfrac{1}{4}}$.
Bảng xét dấu:
Ta có: $\dfrac{4{{x}^{2}}+3x-1}{{{x}^{2}}+5x+7}\ge
0\Leftrightarrow f(x)\ge 0$${\dfrac{4 x^2+3 x-1}{x^2+5 x+7} \geq 0
\Leftrightarrow f(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in(-\infty ;-1] \cup\left[\dfrac{1}{4}
;+\infty\right)}$.
Tập nghiệm của bất phương trình là: ${S=(-\infty ;-1]
\cup\left[\dfrac{1}{4} ;+\infty\right)}$.
c) Đặt ${f(x)=\dfrac{\left(2-x^2\right)\left(x^2-2
x+1\right)}{-x^2+3 x+4}}$. Điều kiện: ${-x^2+3 x+4 \neq 0
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \neq-1 \\ x \neq 4\end{array}\right.}$.
Xét $f(x)=0$$\Rightarrow \left( 2-{{x}^{2}} \right)\left(
{{x}^{2}}-2x+1 \right)=0$${f(x)=0 \Rightarrow\left(2-x^2\right)\left(x^2-2
x+1\right)=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}2-x^2=0 \\ x^2-2 x+1\end{array}
\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{2} \\
x=1\end{array}\right.\right.}$.
Bảng xét dấu:
Ta có: $\dfrac{\left( 2-{{x}^{2}} \right)\left(
{{x}^{2}}-2x+1 \right)}{-{{x}^{2}}+3x+4}>0$$\Leftrightarrow f(x)>0$${\dfrac{\left(2-x^2\right)\left(x^2-2
x+1\right)}{-x^2+3 x+4}>0 \Leftrightarrow f(x)>0 \Leftrightarrow x \in(-1
; 1) \cup(1 ; \sqrt{2}) \cup(4 ;+\infty)}$.
Vậy tập nghiệm bất phương trình là: ${S=(-1 ; 1) \cup(1 ;
\sqrt{2}) \cup(4 ;+\infty)}$.
d) $\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x+1}{x-1}\le 2$$\Leftrightarrow \dfrac{{{(x-1)}^{2}}-x(x+1)}{x(x-1)}-\dfrac{2x(x-1)}{x(x-1)}\le
0$${\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x+1}{x-1} \leq 2 \Leftrightarrow \dfrac{(x-1)^2-x(x+1)}{x(x-1)}-\dfrac{2
x(x-1)}{x(x-1)} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-2 x^2-x+1}{x^2-x} \leq 0}$. Xét ${f(x)=\dfrac{-2
x^2-x+1}{x^2-x}}$. Điều kiện: ${x^2-x \neq 0
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \neq 0 \\ x \neq 1\end{array}\right.}$.
Xét ${f(x)=0 \Rightarrow-2 x^2-x+1=0 \Rightarrow x=-1 \vee
x=\dfrac{1}{2}}$.
Bảng xét dấu:
Ta có: $\dfrac{-2{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x}\le
0\Leftrightarrow f(x)\le 0$${\dfrac{-2 x^2-x+1}{x^2-x} \leq 0 \Leftrightarrow
f(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in(-\infty ;-1] \cup\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right]
\cup(1 ;+\infty)}$.
Tập nghiệm của bất phương trình là: ${S=(-\infty ;-1]
\cup\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right] \cup(1 ;+\infty)}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Tìm ${m}$ để
phương trình ${5 x^2-4 m x+m=0}$ có nghiệm.
Trả lời: ${m \in(-\infty ; 0]
\cup\left[\dfrac{5}{4} ;+\infty\right)}$
Lời giải:
Phương trình ${5 x^2-4 m x+m=0}$ có nghiệm khi và chỉ khi
${{\Delta }^{\prime }}={{(-2m)}^{2}}-5m\ge 0\Leftrightarrow
4{{m}^{2}}-5m\ge 0.\text{ }$
Xét ${4 m^2-5 m=0 \Leftrightarrow m=0 \vee m=\dfrac{5}{4}}$.
Bảng xét dấu:
Ta có: $4{{m}^{2}}-5m\ge 0$${4 m^2-5 m \geq 0
\Leftrightarrow m \in(-\infty ; 0] \cup\left[\dfrac{5}{4} ;+\infty\right)}$.
Vậy, với ${m \in(-\infty ; 0] \cup\left[\dfrac{5}{4}
;+\infty\right)}$ thì phương trình đã cho có nghiệm.
Câu
2. Một quả bóng
được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao ${y}$ (mét) của quả bóng so với mặt
đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian ${t}$ (giây). Sau 3
giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là ${21 {~m}}$ và bắt
đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm ${t}$ lớn nhất là bao nhiêu ( ${t}$ nguyên) để quả
bóng vẫn đang ở độ cao trên ${10 {~m}}$ so với mặt đất?
Trả lời: ${t=5}$
Lời giải
Xét hàm số bậc hai ${y=a t^2+b t+c(a \neq 0)}$.
Theo giả thiết, ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} c=0 \\ -\dfrac{b}{2a}=3 \\ 9a+3b+c=21 \\\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} c=0 \\ 6a+b=0 \\ 9a+3b=21 \\\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a=-\dfrac{7}{3} \\ b=14 \\ c=0 \\\end{array} \right.$.
Vì vậy ${y=-\dfrac{7}{3} t^2+14 t}$.
Ta cần xét: ${y=-\dfrac{7}{3} t^2+14 t>10}$ hay ${-\dfrac{7}{3}
t^2+14 t-10>0}$.
Đặt ${f(t)=-\dfrac{7}{3} t^2+14 t-10 ;}$ cho $f(t)=0$${f(t)=0
\Rightarrow t_1=\dfrac{21-\sqrt{231}}{7}, t_2=\dfrac{21+\sqrt{231}}{7}}$.
Bảng xét dấu ${f(t)}$
Kết luận: ${f(t)>0}$ khi ${t_1<t<t_2}$ hay ${\underbrace{\dfrac{21-\sqrt{231}}{7}}_{\approx
0,83}<t<\underbrace{\dfrac{21+\sqrt{231}}{7}}_{\approx 5,17}}$.
Vì ${t}$ nguyên nên ${t \in[1 ; 5]}$. Do vậy giá trị ${t=5}$
thỏa mãn đề bài.
Câu
3. Một người muốn uốn tấm tôn phẳng hình chữ nhật có bề ngang
32 cm, thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đố thành ba phần rồi gấp
hai bên lại theo một góc vuông như hình vẽ. Biết rằng diện tích mặt cắt ngang của
rãnh nước phải lớn hơn hoặc bằng tổng $120c{{m}^{2}}$. Hỏi độ cao tối thiểu và
tối đa của rãnh dẫn nước là bao nhiêu cm?
Trả lời: ${6 {~cm}}$ và ${10 {~cm}}$.
Lời giải:
Bề ngang còn lại của tấm tôn sau khi gập thành rãnh dẫn nước:
${32-2 x({~cm})}$.
Diện tích mặt cắt ngang rãnh dẫn nước: ${S=x(32-2 x)=-2
x^2+32 x}$.
Theo giả thiết: $S\ge 120\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+32x\ge
120$${S \geq 120 \Leftrightarrow-2 x^2+32 x \geq 120 \Leftrightarrow-2 x^2+32
x-120 \geq 0}$.
Xét ${-2 x^2+32 x-120=0 \Leftrightarrow x=6 \vee x=10}$.
Bảng xét dấu:
Ta có: ${-2 x^2+32 x-120 \geq 0 \Leftrightarrow x \in[6 ;
10]}$.
Vậy rãnh dẫn nước chỉ đạt yêu cầu khi độ cao tối thiểu và tối
đa của nó lần lượt bằng ${6 {~cm}}$ và ${10 {~cm}}$.
