BÀI 1. KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Định nghĩa vectơ
Vectơ
là một đoạn
thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.
- Vectơ
có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là
vectơ $\overrightarrow{AB}$.
- Đường
thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ gọi là giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$.
- Độ dài
của đoạn thẳng $AB$ gọi là độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$
và được kí hiệu là $\left| \overrightarrow{AB} \right|$.
Như vậy
ta có: $\left| \overrightarrow{AB} \right|=AB$.
Chú
ý: Một vectơ
khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là $\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b},\,\,\overrightarrow{x},\,\,\overrightarrow{y},...$
2. Hai
vectơ cùng phương, cùng hướng
Hai
vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc
trùng nhau.
Nhận
xét: Hai vectơ
cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Trong hình trên, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$
cùng phương vì giá trùng nhau; $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{RS}$
cùng phương vì giá song song.
Hơn nữa, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$
cùng hướng; hai vectơ $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{RS}$ ngược hướng.
Nhận xét: Ba điểm phân biệt $A,\,\,B,\,\,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai
vectơ $\overrightarrow{AB}$ và
$\overrightarrow{AC}$ cùng
phương.
3. Vectơ
bằng nhau – Vectơ đối nhau
Hai
vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau
nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$.
Hai
vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là đối nhau
nếu chúng ngược hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$.
Khi đó, vectơ $\overrightarrow{b}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$.
Trong
hình trên, hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng nhau,
hai vectơ $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{d}$ đối nhau.
Chú
ý:
a) Cho
vectơ $\overrightarrow{a}$ và điểm $O$, ta luôn tìm được một điểm $A$ duy nhất
sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$. Khi đó độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$
là độ dài đoạn $OA$, kí hiệu là $\left| \overrightarrow{a} \right|$.
b) Cho
đoạn thẳng $MN$, ta luôn có $\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{NM}$.
4.
Vectơ-không
Ta biết
rằng mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Với một
điểm $A$ bất kì, ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều
là $A$. Vectơ đó được kí hiệu là $\overrightarrow{AA}$ và gọi là vectơ-không
(có gạch nối giữa hai từ).
Vectơ có
điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không, kí hiệu là $\overrightarrow{0}$.
Chú
ý:
- Quy ước
vectơ-không có độ dài bằng 0.
-
Vectơ-không luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
- Mọi
vectơ-không đều bằng nhau: $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=...$
với mọi điểm $A,\,\,B,\,\,C,...$
- Vectơ
đối của vectơ-không là chính nó.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Cho
tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Dựng điểm ${B}'$
sao cho $\overrightarrow{{B}'B}=\overrightarrow{AG}$.
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$.
b) Gọi $J$ là trung điểm của $B{B}'$.
Chứng minh rằng $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{IG}$.
Lời giải.
a) Vì $I$ là trung điểm của $BC$
nên $BI=CI$ và $\overrightarrow{BI}$ cùng hướng với $\overrightarrow{IC}$ do đó
hai véc-tơ $\overrightarrow{BI}$, $\overrightarrow{IC}$ bằng nhau hay $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$.
b)
Ta có $\overrightarrow{{B}'B}=\overrightarrow{AG}$ suy ra ${B}'B=AG$ và ${B}'B\,\text{//}\,AG$.
Do
đó $\overrightarrow{BJ}$,
$\overrightarrow{IG}$ cùng hướng. (1)
Vì $G$
là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $IG=\dfrac{1}{2}AG$
và $J$
là trung điểm $B{B}'$suy ra $BJ=\dfrac{1}{2}B{B}'.$
Vì
vậy $BJ=IG$. (2)
Từ
(1) và (2) ta có $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{IG}$.
Câu 2. Cho
tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Trên cạnh $AC$ lấy hai điểm $E$ và $F$ sao
cho $AE=EF=FC$; $BE$ cắt $AM$ tại $N$. Chứng minh $\overrightarrow{NA}$ và $\overrightarrow{NM}$
là hai vec-tơ đối nhau.
Lời giải.
Ta
có $FM\text{ // }BE$ vì $FM$ là đường trung bình của tam giác$CEB$.
Mà $EA=EF$
nên $EN$ là đường trung bình của tam giác AFM.
Suy
ra $N$ là trung điểm của$AM$.
Vậy
$\overrightarrow{NA}=-\overrightarrow{NM}$.
Câu 3. Cho
tứ giác $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$,
$DA$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}$.
Lời giải.
Do $M$,
$Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$ nên $MQ$ là đường trung bình của
tam giác $ABD$.
Suy
ra $MQ\,\text{//}\,BD$ và $MQ=\dfrac{1}{2}BD$. (1)
Tương
tự $NP$ là đường trung bình của tam giác $CBD$.
Suy
ra $NP\,\text{//}\,BD$ và $NP=\dfrac{1}{2}BD$. (2)
Từ
(1) và (2) suy ra $MQ\,\text{//}\,NP$và $MQ=NP$ do đó tứ giác $MNPQ$ là hình
bình hành.
Vậy
ta có $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Gọi
$M,\ N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\ AC$ của tam giác đều $ABC$.
Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
A. $\overrightarrow{MN}$ và
$\overrightarrow{CB}.$
B. $\overrightarrow{AB}$ và
$\overrightarrow{MB}.$
C. $\overrightarrow{MA}$ và
$\overrightarrow{MB}.$
D. $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{CA}.$
Câu 2. Cho
tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
$\left| \overrightarrow{AC} \right|=\overrightarrow{BC}$.
B.
$\overrightarrow{AC}=a$.
C.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.
D.
$\left| \overrightarrow{AB} \right|=a$.
Lời giải
Chọn D
Câu 3. Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$
B.
$\overrightarrow{CA}$
và $\overrightarrow{CB}$ cùng hướng
C.
$\overrightarrow{AB}$
và $\overrightarrow{AC}$ ngược hướng
D.
$\overrightarrow{BA}$
và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương
Lời giải
Chọn D
Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta luôn có $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$
cùng phương.
Câu 4. Gọi $M,\
N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\ AC$ của tam giác đều $ABC$. Đẳng
thức nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}.$
B. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}.$
C. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}.$
D. $\left|
\overrightarrow{BC} \right|=2\left| \overrightarrow{MN} \right|.$
Lời giải
Chọn D
Ta có $MN$ là đường trung
bình của tam giác $ABC$.
Do đó $BC=2MN\Rightarrow
\left| \overrightarrow{BC} \right|=2\left| \overrightarrow{MN} \right|.$
Câu 5. Cho
tứ giác $ABCD$. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$?
A. $ABCD$ là hình bình hành.
B. $ABDC$ là hình bình hành.
C. $AD$ và $BC$ có cùng trung điểm.
D. $AB=CD.$
Lời giải
Chọn B
Ta có:
Ÿ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & AB\parallel CD \\ & AB=CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow ABDC$
Ÿ Mặt khác, $ABDC$ là hình bình hành
$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & AB\parallel CD \\ & AB=CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
là $ABDC$ là hình bình hành.
Câu 6. Cho
ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng.
Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng khi và chỉ khi:
A.
Điểm B thuộc đoạn AC
B.
Điểm A thuộc đoạn BC
C.
Điểm C thuộc đoạn AB
D.
Điểm A nằm ngoài đoạn BC
Lời giải
Đáp án A
Câu 7. Cho tam
giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $G$ là trọng tâm. Gọi $I$ là trung điểm của $AG$.
Độ dài của vectơ $\overrightarrow{BI}$ là
A. $a\dfrac{\sqrt{21}}{6}$.
B. $a\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
C. $a\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
D. $a\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\left|
\overrightarrow{AB} \right|=AB=a$
Gọi $M$ là trung điểm
của $BC$
Ta có $\left|
\overrightarrow{AG} \right|=AG=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}$$=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{a}^{2}}-{{\dfrac{a}{4}}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
$\left|
\overrightarrow{BI} \right|=BI=\sqrt{B{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$
Câu
8. Cho hình
vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C
qua D. Hãy tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{MN}$.
A.
$\left| \overrightarrow{MN} \right|=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
B. $\left| \overrightarrow{MN}
\right|=\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$
C. $\left| \overrightarrow{MN}
\right|=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
D. $\left| \overrightarrow{MN}
\right|=\dfrac{a\sqrt{5}}{4}$
Lời giải
Đáp án C
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông MAD ta có:
$D{{M}^{2}}=A{{M}^{2}}+A{{D}^{2}}={{\left( \dfrac{a}{2}
\right)}^{2}}+{{a}^{2}}=\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}$
$\Rightarrow DM=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Qua N kẻ đường thẳng
song song với AD cắt AB tại P.
Khi đó tứ giác ADNP
là hình vuông và $PM=PA+AM=a+\dfrac{a}{2}=\dfrac{3a}{2}$
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông NPM ta có:
$M{{N}^{2}}=N{{P}^{2}}+P{{M}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left(
\dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{13{{a}^{2}}}{4}$$\Rightarrow MN=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Suy ra $\left| \overrightarrow{MN} \right|=MN=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho tam giác
${A B C}$ có ${M}$ và ${N}$ lần lượt là trung điểm của ${A B}$ và ${A C}$. Lấy
điểm ${P}$ đối xứng với điểm ${M}$ qua ${N}$.
Khi đó:
a) $MN=BC$
b) ${|\overrightarrow{M P}|=|\overrightarrow{B
C}|}$
c) ${\overrightarrow{M N}}$ và ${\overrightarrow{B
C}}$ ngược hướng
d) ${\overrightarrow{M
P}=\overrightarrow{B C}}$.
Lời giải
a)
Sai
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Đúng
a) Do ${M N}$ là đường trung bình của tam giác ${A B C}$ nên
${M N=\dfrac{1}{2} B C}$.
b) Điểm ${P}$ đối xứng với điểm ${M}$ qua ${N}$ nên ${M P=2
M N=B C}$, do đó ${|\overrightarrow{M P}|=|\overrightarrow{B C}|}$. (1)
c) Xét nửa mặt phẳng bờ ${A B}$ chứa ${C}$, ta có ${N}$ là
trung điểm ${A C}$ nên ${N}$ và ${C}$ cùng phía ${A B}$ hay cùng phía ${M B}$
do đó ${\overrightarrow{M N}}$ và ${\overrightarrow{B C}}$ cùng hướng. Lại có ${P}$
đối xứng ${M}$ qua ${N}$ nên ${M P}$ và ${M N}$ cùng hướng, dễ thấy $\overrightarrow{MN}\ne
\overrightarrow{0}$ nên ${M P}$ và ${B C}$ cùng hướng. (2)
d) Từ ${(1)}$ và ${(2)}$, suy ra ${\overrightarrow{M
P}=\overrightarrow{B C}}$.
Câu
2. Cho tứ giác ${A
B C D}$. Gọi ${M, N, P, Q}$ lần lượt là trung điểm ${A B, B C}$,${C D, D A}$.
Khi đó:
a) $MN$ là đường trung bình của tam
giác $ACD$
b) $PQ=\dfrac{1}{2}AC$
c) Tứ giác ${M N P Q}$ là hình thang
d) ${\overrightarrow{M
N}=\overrightarrow{Q P}}$
Lời giải
a)
Sai
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Đúng
a) Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên:
$\left\{ \begin{align} & MN\parallel AC \\ & MN=\dfrac{1}{2}AC \\ \end{align} \right.\left( 1 \right)$
b) Tương tự, $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên:
$\left\{ \begin{align} & PQ\parallel AC \\ & PQ=\dfrac{1}{2}AC \\ \end{align} \right.\left( 2 \right)$
c) Từ (1), (2) suy ra tứ giác ${M N P Q}$ là hình bình hành
nên ${\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{Q P}}$.
Câu
3. Cho tam giác
$ABC$ vuông tại $A$ có $AB=\sqrt{3},AC=2\sqrt{3}.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$
và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. Khi đó:
a) $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$
b) $|\overrightarrow{AM}|=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
c) $AB.AC=AH.BC$
d) $|\overrightarrow{AH}|=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Sai
Áp dụng định lí Py-ta-go trong ${\Delta A B C}$ vuông tại ${A}$,
ta có:
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{\sqrt{3}}^{2}}+{{(2\sqrt{3})}^{2}}=15$$\Rightarrow
|\overrightarrow{BC}|=BC=\sqrt{15}\text{. }$
Ta có: ${A M}$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền ${B C}$ ${\Rightarrow|\overrightarrow{A
M}|=A M=\dfrac{B C}{2}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}}$.
Ta có: ${A B \cdot A C=A H \cdot B C}$ (hệ thức lượng trong
tam giác vuông) $\Rightarrow |\overrightarrow{AH}|=AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}.2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho hình chữ
nhật ${A B C D}$. Có bao nhiêu vectơ được tạo thành mà điểm đầu và điểm cuối lấy
từ các đỉnh của hình chữ nhật?
Trả lời: 16
Lời giải
Dễ thấy có 4 vectơ-không là: ${\overrightarrow{A A},
\overrightarrow{B B}, \overrightarrow{C C}, \overrightarrow{D D}}$.
Từ mỗi đỉnh của hình chữ nhật, ta lập được 3 vectơ khác
vectơ-không nhận đỉnh đó làm điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh còn lại. Chẳng hạn
với đỉnh ${A}$ ta có: ${\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C},
\overrightarrow{A D}}$.
Suy ra có 12 vectơ khác ${\overrightarrow{0}}$. Như vậy có tất
cả 16 vectơ thỏa mãn.
Câu
2. Cho tam giác
${A B C}$ đều cạnh 1 và ${G}$ là trọng tâm. Gọi ${I}$ là trung điểm của ${A G}$.
Tính độ dài của vectơ ${\overrightarrow{B I}}$.
Trả lời: 0,76
Lời giải
Ta có $|\overrightarrow{AB}|=AB=1$
Gọi ${{M}}$ là trung điểm của ${B C}$, Ta có
$|\overrightarrow{AG}|=AG=$$\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}$$=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{1}^{2}}-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$|\overrightarrow{BI}|=BI=\sqrt{B{{M}^{2}}+M{{I}^{2}}}$$=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{21}}{6}$
