BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0O ĐẾN
180O
1. Giá trị lượng giác
Với mỗi
góc $\alpha $ $\left( 0{}^\circ \le \alpha \le
180{}^\circ \right)$ ta xác định được một điểm $M$
duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha $. Gọi $\left(
{{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là toạ độ điểm $M$, ta có:
- Tung độ
${{y}_{0}}$ của $M$ là sin của góc $\alpha $, kí hiệu là $\sin \alpha ={{y}_{0}}$;
- Hoành
độ ${{x}_{0}}$ của M là côsin của góc $\alpha $, kí hiệu là $\cos \alpha
={{x}_{0}}$;
- Tỉ số $\frac{{{y}_{0}}}{{{x}_{0}}}\,\,\,\left(
{{x}_{0}}\ne 0 \right)$ là tang của góc $\alpha $, kí hiệu là $\tan
\alpha =\frac{{{y}_{0}}}{{{x}_{0}}}$;
- Tỉ số $\frac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}\,\,\,\left(
{{y}_{0}}\ne 0 \right)$ là côtang của góc $\alpha $, kí hiệu là $\cot \alpha
=\frac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}$.
Các số $\sin
\alpha ,\,\,\cos \alpha ,\,\,\tan \alpha ,\,\,\cot \alpha $ được gọi là các giá
trị lượng giác của góc $\alpha $.
Chú ý:
a) Nếu $\alpha $ là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của $\alpha $ đều
dương.
Nếu $\alpha
$ là góc tù thì $\sin \alpha >0,\,\,\cos \alpha <0,\,\,\tan \alpha
<0,\,\,\cot \alpha <0$.
b) $\tan
\alpha $ chỉ xác định khi $\alpha \ne 90{}^\circ $; $\cot \alpha $ chỉ xác định
khi $\alpha \ne 0{}^\circ $ và $\alpha \ne 180{}^\circ $.
2.
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau
$\sin \left( 90{}^\circ -\alpha \right)=\cos \alpha $;
$\cos
\left( 90{}^\circ -\alpha \right)=\sin \alpha
$;
$\tan \left( 90{}^\circ -\alpha \right)=\cot \alpha $;
$\cot
\left( 90{}^\circ -\alpha \right)=\tan
\alpha $.
3.
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mọi góc $\alpha $ thỏa mãn $0{}^\circ \le \alpha \le
180{}^\circ $ ta luôn có:
$\sin \left( 180{}^\circ -\alpha \right)=\sin \alpha $;
$\cos
\left( 180{}^\circ -\alpha \right)=-\cos
\alpha $;
$\tan
\left( 180{}^\circ -\alpha \right)=-\tan
\alpha $ $\left( \alpha \ne 90{}^\circ
\right)$;
$\cot \left( 180{}^\circ -\alpha \right)=-\cot \alpha $ $\left( \alpha \ne 0{}^\circ \right.$ và $\left. \alpha \ne 180{}^\circ \right)$.
4. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
5. Công thức lượng giác cơ bản
Trong trường hợp các biểu thức xác định, ta có:
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$;
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$;
${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$;
$\tan \alpha .\cot \alpha =1$;
$\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }=1+{{\tan }^{2}}\alpha $;
$\frac{1}{{{\sin
}^{2}}\alpha }=1+{{\cot }^{2}}\alpha $.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Cho góc $\alpha =135{}^\circ $. Hãy tính ${\sin \alpha }$,${\cos
\alpha }$, ${\tan \alpha }$và ${\cot \alpha }$
Lời giải.
$\sin 135{}^\circ =\sin \left(
180{}^\circ -135{}^\circ \right)=\sin
45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}$;$\cos 135{}^\circ =-\cos \left( 180{}^\circ
-135{}^\circ \right)=-\cos 45{}^\circ
=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\tan 135{}^\circ =\frac{\sin
135{}^\circ }{\cos 135{}^\circ }=-1$ và $\cot 135{}^\circ =\frac{1}{\tan
135{}^\circ }=-1$.
Câu
2. Tính giá trị lượng giác của các góc sau đây
a) $120{}^\circ $
b) $150{}^\circ $
c) $180{}^\circ $
Lời giải.
Sử dụng 2 góc bù nhau: $120{}^\circ
$ và $60{}^\circ $, $150{}^\circ $ và $30{}^\circ $ ta có:
a) $\sin 120{}^\circ
=\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\cos 120{}^\circ =-\frac{1}{2}$; $\tan 120{}^\circ
=-\sqrt{3}$; $\cot 120{}^\circ =-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
b) $\sin 150{}^\circ
=\frac{1}{2}$; $\cos 150{}^\circ =-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\tan 150{}^\circ
=-\frac{\sqrt{3}}{3}$; $\cot 150{}^\circ =-\sqrt{3}$.
c) Điểm cuối $M$ của góc $180{}^\circ
=\overset\frown{xOM}$ có tọa độ $M\left( -1;0 \right)$ nên $\sin 180{}^\circ =0$,
$\cos 180{}^\circ =-1$, $\tan 180{}^\circ =0$, $\cot 180{}^\circ $ không xác định.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Trong các đẳng
thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
A. $\sin 150{}^\circ
=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $\cos 150{}^\circ
=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
C. $\tan 150{}^\circ
=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
D. $\cot 150{}^\circ =\sqrt{3}$
Lời giải
Chọn
C
Giá trị lượng giác của
góc đặc biệt.
Câu 2. Giá
trị của $\tan 30{}^\circ +\cot 30{}^\circ $ bằng bao nhiêu?
A. ${\frac{4}{\sqrt{3}}}$
B. ${\frac{1+\sqrt{3}}{3}}$
C. ${\frac{2}{\sqrt{3}}}$
D. $2$
Lời giải
Chọn A
$\tan 30{}^\circ +\cot 30{}^\circ
=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Câu 3.
Giá trị của
$B={{\cos }^{2}}73{}^\circ +{{\cos }^{2}}87{}^\circ +{{\cos }^{2}}3{}^\circ
+{{\cos }^{2}}17{}^\circ $ là
A. ${\sqrt{2}}$.
B. $2$.
C. ${-2}$.
D. $1$.
Lời giải
Chọn B
$B=\left( {{\cos }^{2}}73{}^\circ
+{{\cos }^{2}}17{}^\circ \right)+\left(
{{\cos }^{2}}87{}^\circ +{{\cos }^{2}}3{}^\circ
\right)$$=\left( {{\cos }^{2}}73{}^\circ +{{\sin }^{2}}73{}^\circ \right)+\left( {{\cos }^{2}}87{}^\circ
+{{\sin }^{2}}87{}^\circ \right)=2$
Câu
4. Cho $\tan \alpha -\cot \alpha =3.$ Tính giá trị của biểu thức
sau: $A={{\tan }^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha $.
A.
$A=12$.
B.
$A=11$.
C.
$A=13$.
D.
$A=5$.
Lời
giải
Chọn
B
$\tan \alpha -\cot \alpha =3\Leftrightarrow {{\left( \tan
\alpha -\cot \alpha
\right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha
-2\tan \alpha .\cot \alpha =9$
$\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha
-2=9\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha =11$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho ${\sin
\alpha=\frac{1}{3}}$ với $90{}^\circ <\alpha <180{}^\circ $. Khi đó:
a) $\cos \alpha >0$
b) $\cos \alpha
=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{. }$
c) $\tan \alpha =-\frac{1}{2\sqrt{2}}$
d) $\cot \alpha =2\sqrt{2}$
Lời giải:
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
a) Vì $90{}^\circ <\alpha <180{}^\circ $ nên ${\cos
\alpha<0}$.
b) Ta có: ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha
=1\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\left(
\frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{8}{9}\Rightarrow \cos \alpha
=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{. }$
c) Do đó: ${\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos
\alpha}=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2 \sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2 \sqrt{2}}}$.
d) $\cot \alpha =-2\sqrt{2}$
Câu
2. Cho ${\tan
\alpha=-\frac{5}{12}}$. Khi đó:
a) $\alpha \in \left( 90{}^\circ
;180{}^\circ \right)$
b) $\cos \alpha =\frac{12}{13}$
c) $\cot \alpha =\frac{12}{5}$
d) $\sin \alpha =\frac{5}{13}$
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
a) Vì $\tan \alpha =-\frac{5}{12}<0,\,\,\alpha \in \left(
90{}^\circ ;180{}^\circ
\right)\Rightarrow \cos \alpha <0$.
b) Mặt khác: ${\frac{1}{\cos ^2 \alpha}=1+\tan ^2
\alpha=1+\frac{25}{144}=\frac{169}{144} \Rightarrow \cos ^2
\alpha=\frac{144}{169} \Rightarrow \cos \alpha=-\frac{12}{13}}$.
c) d) Vì ${\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\Rightarrow \sin \alpha=\tan \alpha \cdot \cos \alpha=-\frac{5}{12} \cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13}
; \cot \alpha=\frac{1}{\tan \alpha}=-\frac{12}{5}}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho ${\cot
\alpha=-3}$. Tính giá trị biểu thức ${P=\frac{\sin ^{3} \alpha+\cos ^{3}
\alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}}$ có dạng $-\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là
phân số tối giản. Tính $a+b$.
Trả lời:
33
Lời giải
Vì $\cot \alpha =-3$ nên $\sin
\alpha \ne 0.$ Chia cả tử và mẫu của $P$ cho ${{\sin }^{3}}\alpha $, ta có:
$P=\frac{1+{{\cot }^{3}}\alpha
}{\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\left( 1-\cot \alpha \right)}=\frac{1+{{\cot }^{3}}\alpha }{\left(
1+{{\cot }^{2}}\alpha \right)\left(
1-\cot \alpha \right)}$$=\frac{1+{{\left(
-3 \right)}^{3}}}{\left[ 1+{{\left( -3 \right)}^{2}} \right]\left[ 1-\left( -3
\right) \right]}=-\frac{13}{20}$; $a+b=33$
Câu
2. Cho ${\cos
x=\frac{1}{2}}$. Tính giá trị biểu thức ${P=3 \sin ^2 x+4 \cos ^2 x}$ ?
Trả lời:
3,25
Lời giải:
Ta có: ${P=3 \sin ^2 x+4 \cos ^2 x=3\left(1-\cos ^2
x\right)+4 \cos ^2 x=3+\cos ^2 x=3+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}}$.
Câu
3. Biết ${\sin
a+\cos a=\sqrt{2}}$. Tính giá trị của ${\sin ^4 a+\cos ^4 a}$ ?
Trả lời:
0,5
Lời giải
Ta có: ${\sin a+\cos a=\sqrt{2}}$ ${\Rightarrow 2=(\sin
a+\cos a)^2=\sin ^2 a+2 \sin a \cos a+\cos ^2 a=1+2 \sin a \cos a}$ ${\Rightarrow
\sin a \cdot \cos a=\frac{1}{2}}$.
Khi đó: ${\sin ^4 a+\cos ^4 a=\left(\sin ^2 a+\cos ^2
a\right)-2 \sin ^2 a \cos ^2 a=1-2\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}}$.
