BÀI
2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. Tổng của hai vectơ
CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức
vectơ
- Biến đổi từ một tính chất, một hệ thức
đã biết để đi đến hệ thức cần chứng minh.
- Biến đổi vế này thành vế kia.
- Biến đổi cả 2 vế về cùng một biểu thức
trung gian.
- Biến đổi tương đương hệ thức cần chứng
minh cho đến khi có được một hệ thức đúng.
Dạng 2: Xác định và tính độ dài
của một vectơ tổng, vectơ hiệu
Biến đổi vectơ tổng (hiệu) đã cho thành một
vectơ duy nhất $\overrightarrow{u}$, sau đó tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$ đó.
Dạng 3: Tìm các điểm thỏa mãn một
hệ thức vectơ
- Nếu hệ thức đã cho được đưa về dạng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{v}$
(với $A$ cố định và $\overrightarrow{v}$ không đổi) thì có duy nhất một điểm $M$
hoàn toàn xác định.
- Nếu hệ thức được đưa về dạng $\left|
\overrightarrow{AM} \right|=\left| \overrightarrow{v} \right|=\text{const}$ (với
$A$ cố định) thì tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $A$, bán kính bằng $\left|
\overrightarrow{v} \right|$.
- Nếu hệ thức được đưa về dạng $\left|
\overrightarrow{AM} \right|=\left| \overrightarrow{BM} \right|$ (với $A,\,\,B$
cố định, phân biệt) thì tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của đoạn $AB$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Cho
hình bình hành $ABCD$. Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$.
Xác định tổng của hai véc-tơ $\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{AM}$
và $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{NC}$, $\overrightarrow{AM}$
và $\overrightarrow{AN}$.
Lời giải.
Vì $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}$
nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AC}$.
Vì $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$
nên $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}$.
Vì $\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AM}$nên
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}$,
với $E$ là
đỉnh của hình bình hành $DAME$.
Vì tứ giác $AMCN$
là hình bình hành nên $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}$.
Câu 2. Cho
tam giác $ABC$. Các điểm$M$, $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$
và $BC$. Xác định hiệu $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}$; $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NC}$;
$\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}$; $\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{CP}$.
Lời giải.
Ta có $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}$.
Vì $\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{MP}$
nên $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{PN}$.
Vì $-\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{NP}$
nên $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$.
Vì $-\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PC}$
nên $\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{BC}$.
Câu 3. Cho
tam giác $ABC$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$.
Chứng minh rằng
a) $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}$.
b) $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$.
c) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$
với $O$ là điểm bất kì.
Lời giải.
a)
Vì $PN$, $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $PN\,\text{//}\,BM$, $MN\,\text{//}\,BP$
suy ra tứ giác $BMNP$ là hình bình hành $\Rightarrow $ $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{PN}$.
Vì $N$
là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow \overrightarrow{CN}=\overrightarrow{NA}$.
Do
đó theo quy tắc ba điểm ta có
$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\left(
\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NA}
\right)+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}$.
b)
Vì tứ giác $APMN$ là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AM}$,
kết hợp với quy tắc trừ $\Rightarrow
\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}$$=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BM}$.
Mà $\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$
do $M$ là trung điểm của $BC$. Vậy $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}$.
c) Theo quy tắc ba điểm ta có
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$=\left(
\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA} \right)+\left(
\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB} \right)+\left( \overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NC}
\right)$
$=\left(
\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}
\right)+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{NC}$
$=\left(
\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP} \right)-\left(
\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP} \right)$.
Theo
câu a) ta có $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{0}$
suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$.
Câu 4. Cho
năm điểm $A,\,B,\,C,\,D,\,E$. Chứng minh rằng
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$.
b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}$.
Lời giải
a) Biến đổi vế trái ta có
$VT=\left(
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} \right)+\overrightarrow{CD}+\left(
\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DA} \right)$$=\left(
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED} \right)+\left(
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} \right)+\overrightarrow{DA}$
$=\left(
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}
\right)+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}$$=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$$=VP$
(đpcm).
b) Đẳng thức tương đương với $\left(
\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE} \right)+\left(
\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}
\right)-\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow
\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow
\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$(đúng).
Câu 5. Cho
tam giác $ABC$. Tìm tập hợp các điểm
m sao cho
a) $\left| \overrightarrow{MA}
\right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right|$
b) $\left| \overrightarrow{MA}
\right|=\left| \overrightarrow{MC} \right|$
Lời giải.
a)Ta
có $\left| \overrightarrow{MA} \right|=\left| \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}
\right|$$\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{MA} \right|=\left|
\overrightarrow{CB} \right|\Leftrightarrow MA=BC$
Vậy M cách điểm $A$ một
đoạn bằng $BC$ không đổi nên tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $A$, bán
kính $R=BC$.
b)Ta có $\left|
\overrightarrow{MA} \right|=\left| \overrightarrow{MC} \right|\Leftrightarrow
MA=MC$
Vậy $M$ cách đều $2$ điểm
$A$ và $C$ nên tập hợp các điểm $M$ là đường trung trực của đoạn $AC$.
Câu 6. Cho
tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Tính $\left|
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|$ và $\left|
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right|$.
Lời giải
Từ tam giác đều $ABC$ cạnh $a$,
vẽ hình thoi $BACD$ thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$
nên $\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=AD$$=2AH$$=2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$=a\sqrt{3}$.
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ nên
$\left| \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right|=\left|
\overrightarrow{CB} \right|$$=CB=a$.
Câu 7. Cho
tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ABC}=30{}^\circ $ và $BC=a\sqrt{5}$.
Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$
và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
Lời giải
Theo quy tắc ba điểm ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
Mà $\sin \widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}$$\Rightarrow
AC=BC.\sin \widehat{ABC}=a\sqrt{5}\sin 30{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Do đó $\left|
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right|=\left| \overrightarrow{AC}
\right|=AC=\dfrac{a\sqrt{5}}{2};$ $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.
Ta có: $A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$$\Rightarrow
AB=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$.
Vì vậy $\left|
\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC} \right|=\left| \overrightarrow{AB}
\right|=AB=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$.
Gọi $D$ là điểm sao cho tứ giác $ABDC$
là hình bình hành.
Khi đó theo quy tắc hình bình
hành ta có $\overrightarrow{AB}+A\overrightarrow{C}=A\overrightarrow{D}$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$
nên tứ giác $ABDC$ là hình chữ nhật suy ra $AD=BC=a\sqrt{5}$.
Vậy $\left|
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\left| \overrightarrow{AD}
\right|=AD=a\sqrt{5}$.
Câu 8. Cho
hình vuông $ABCD$ cạnh $b$. Tính $\left|
\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB} \right|,\,\left|
\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC} \right|,\,\left|
\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC} \right|$
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}$
nên $\left| \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB} \right|=\left|
\overrightarrow{CA} \right|=CA=b\sqrt{2}$.
Ta có $\,\overrightarrow{DA}+D\overrightarrow{C}=\overrightarrow{DB}$
nên $\left| \,\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC} \right|=\left|
\overrightarrow{DB} \right|=DB=b\sqrt{2}$.
Vẽ hình bình hành $CDBM$
thì $DM$ cắt $BC$ tại trung điểm $I$ của mỗi đường.
Ta có $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DM}$nên
$\left| \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC} \right|=\left|
\overrightarrow{DM} \right|=DM=2DI$.
Mà $D{{I}^{2}}={{b}^{2}}+{{\left(
\dfrac{b}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}{{b}^{2}}\Rightarrow \left|
\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC} \right|=b\sqrt{5}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Cho hình
bình hành tâm O. Kết quả nào sau đây
là đúng?
A. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AB}$
B. $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$
C. $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
D. $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CB}$
Lời giải
Đáp án B
$\text{
}\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$
Câu
2. Cho hình
bình hành $ABCD$ và gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?
A. $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{IB}$.
B. $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{DI}$.
C. $\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IC}$.
D. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{IA}$.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AI}$.
Câu
3. Cho hình
vuông $ABCD$, tâm O. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}$.
B. $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{CA}$.
C. $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}$.
D. $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}$.
Câu
4. Cho 4 điểm$A,\text{
}B,\text{ }C,\text{ }D$. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}$.
B.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.
C.
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.
D.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{CB}$.
Lời giải
Chọn C
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.
Câu 5. Cho $ABCD$ là
hình bình hành, $M$ là điểm thỏa $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M$ trùng $D$.
B. $M$ trùng $A$.
C. $M$ trùng $B$.
D. $M$ trùng $C$.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
Câu
6. Cho $\Delta
ABC$, tìm điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}$.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $M$ là trung điểm $AB$.
B. $M$ là trung điểm $BC$.
C. $M$ là trung điểm $CA$.
D. $M$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Lời giải
Chọn D
$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}$$\Leftrightarrow
\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}$$\Leftrightarrow
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}$
Suy ra $M$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Câu
7. Cho hình
thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường
cao cùng bằng 2a và $\widehat{ABC}=45{}^\circ
$. Tính $\left| \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}
\right|$.
A. $a\sqrt{3}$
B. $2a\sqrt{5}$
C. $a\sqrt{5}$
D. $a\sqrt{2}$
Lời giải
$\left|
\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC} \right|=\left|
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC} \right|=\left|
\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC} \right|=\left| \overrightarrow{DB}
\right|=\sqrt{B{{H}^{2}}+D{{H}^{2}}}=2a\sqrt{5}$
Đáp án B.
Câu
8. Cho hình
thang ABCD có AB song song với CD. Cho $AB=2a$, $CD=a$. Gọi O là trung điểm của AD. Khi đó:
A. $\left|
\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right|=3a$
B. $\left|
\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right|=a$
C. $\left|
\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right|=\dfrac{3a}{2}$
D. $\left|
\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right|=0$
Lời giải
$\left|
\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}
\right|=\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC} \right|\Rightarrow
\left| \overrightarrow{AB} \right|+\left| \overrightarrow{DC} \right|=3a$
(vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$
cùng hướng)
Đáp án A.
Câu
9. Cho hình
vuông ABCD có cạnh là a. O
là giao điểm của hai đường chéo. Tính $\left|
\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB} \right|$.
A. $a\sqrt{3}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
D. $a\sqrt{2}$
Lời giải
Đáp án C
$\left|
\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB} \right|=\left|
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}
\right|=\left| \overrightarrow{OD} \right|=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Câu
10. Cho hình
vuông ABCD có cạnh là 3. Tính độ dài $\left|
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right|$:
A. 6
B. $6\sqrt{2}$
C. 12
D. 0
Lời giải
Đáp án A
$\left|
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right|=\left| 2\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{OD}
\right|=2\left| \overrightarrow{AD} \right|=6$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho tam giác
${A B C}$ đều cạnh ${a}$, có trọng tâm ${G}$. Khi đó:
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
b) $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}|=2a$;
c) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{3}$;
d) $|\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BC}|=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Lời giải:
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Ta có: ${\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C
B}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}
\Rightarrow|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{A C}|=A
C=a}$.
Vẽ hình bình hành ${A B D C}$, gọi ${H}$ là giao điểm ${A
D}$ và ${B C}$
Suy ra ${H}$ là trung điểm của cả ${A D}$ và ${B C}$.
Theo quy tắc hình bình hành: ${\overrightarrow{A
B}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}}$. Ta có ${A H}$ là đường cao của
tam giác ${A B C}$ nên $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left(
\dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Suy ra: ${A D=2 A H=a \sqrt{3}}$.
Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|=AD=a\sqrt{3}\text{.
}$
Ta có: ${\overrightarrow{B G}-\overrightarrow{B
C}=\overrightarrow{B G}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{C
B}+\overrightarrow{B G}=\overrightarrow{C G}}$.
Dễ thấy ${C G=A G=\dfrac{2}{3} A H=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a
\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}}$.
Vậy $|\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CG}|=CG=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\text{.
}$
Câu
2. Cho ${\Delta
A B C}$. Khi đó:
a) ${\overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M
C}=\vec{O}}$ khi điểm ${M}$ là một đỉnh của hình bình hành ${A B C M}$.
b) ${\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N
C}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{N B}}$ khi điểm ${N}$ trùng với điểm $A$.
c) ${\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{B
C}-\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B A}}$ khi ${M}$
là trung điểm của đoạn ${A C}$.
d) ${\overrightarrow{N A}-\overrightarrow{N
B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{N D}=\overrightarrow{C D}}$ khi ${N}$
là điểm đối xứng với ${B}$ qua $A$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
a) Ta có: ${\overrightarrow{M A}-\overrightarrow{M
B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}}$
$\begin{align} & \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} \\ & \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA} \right)+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} \\ & \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM} \\ \end{align}$
Vậy điểm ${M}$ là một đỉnh của hình bình hành ${A B C M}$.
b) Ta có: ${\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N
C}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{N B}} $ ${\Leftrightarrow(\overrightarrow{N
A}+\overrightarrow{A B})+\overrightarrow{N C}=\overrightarrow{N B}}$ ${\Leftrightarrow \overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}=\overrightarrow{N
B}}$ ${\Leftrightarrow \overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}}$. Vậy điểm ${N}$
trùng với điểm ${C}$.
c) Ta có: ${\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{B
C}-\overrightarrow{B M}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B A}}
$ ${\Leftrightarrow \overrightarrow{M A}+(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{M
B})=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}}$ ${\Leftrightarrow
\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}}$. Vậy ${M}$ là
trung điểm của đoạn ${A C}$.
d) Ta có: ${\overrightarrow{N A}-\overrightarrow{N
B}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{N D}=\overrightarrow{C D}
\Leftrightarrow(\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{B N})+\overrightarrow{A
C}=\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D N}}$ ${\Leftrightarrow
\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{C N} \Leftrightarrow
\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{C N}}$.
Vậy ${N}$ là điểm đối xứng với ${B}$ qua ${C}$.
Câu
3. Cho hình
vuông ${A B C D}$ cạnh ${{a}}$, có ${O}$ là giao điểm hai đường chéo . Khi đó:
a)
${O}$ là trung điểm của ${A C, B D}$
b) $|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}|=a\sqrt{2}$
c) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|=a$
d) $|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}|=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Lời giải.
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Sai
a) ${O}$ là giao điểm hai đường chéo nên ${O}$ là trung điểm
của ${A C, B D}$
b) ${|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{C
B}|=|\overrightarrow{C O}-\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{B O}|=B O=\dfrac{a
\sqrt{2}}{2}}$
c) ${|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D
C}|=|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}|=2|\overrightarrow{A B}|=2 a}$
d) ${|\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D
A}|=|\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{C B}|=|\overrightarrow{B D}|=B D=a
\sqrt{2}}$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho hai lực ${\vec{F}_1,
\overrightarrow{F_2}}$ có điểm đặt ${O}$ tạo với nhau góc ${60^{\circ}}$, biết
rằng cường độ của hai lực ${\vec{F}_1}$ và ${\vec{F}_2}$ đều bằng ${100 {~N}}$.
Tính cường độ tổng hợp của hai lực trên?
Trả lời: 173
Lời giải
Chọn các điểm $A,B$ thỏa mãn $\overrightarrow{{{F}_{1}}}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{{{F}_{2}}}=\overrightarrow{OB}$
(hình vẽ). Gọi điểm $C$ là một đỉnh của hình bình hành $OACB$, khi đó ta có $\overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{2}}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$(quy
tắc hình bình hành).
Cường độ tổng hợp hai lực là: $\left|
\overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{2}}} \right|=\left|
\overrightarrow{OC} \right|=OC$
Xét tam giác $OAB$ có $OA=OB=100$ và $\widehat{AOB}=60{}^\circ
$ nên tam giác $OAB$ đều.
Gọi $I$ là tâm hình bình hành $OACB$, khi đó $OI$ cũng là đường
cao tam giác đều $OAB$.
Do đó ${O I=\dfrac{100 \sqrt{3}}{2}=50 \sqrt{3}}$, suy ra ${O
C=2 O I=100 \sqrt{3}}$.
Vậy hợp lực của ${\vec{F}_1, \vec{F}_2}$ có độ lớn là ${100
\sqrt{3} N}$.
Câu
2. Cho hình
vuông ${A B C D}$ cạnh ${2 a, M}$ là trung điểm ${B C}$. Tính ${|\overrightarrow{A
B}+\overrightarrow{B M}|}$ với $a=5$
Trả lời: 11,2
Lời giải
Ta có: ${|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M}|=|\overrightarrow{A
M}|=A M}$.
Theo định lí Py-ta-go: $A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}={{\left(
2a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}\Rightarrow AM=a\sqrt{5}$
Vậy $\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}
\right|=AM=a\sqrt{5}$, với $a=5$ ta được $\left|
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM} \right|=5\sqrt{5}$.
Câu
3. Cho tam giác
vuông ${A B C}$ có các cạnh góc vuông là ${A B=1, A C=2}$.
Điểm ${M}$ thỏa mãn ${\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A
B}=\overrightarrow{A M}}$. Tính độ dài vectơ ${\overrightarrow{A M}}$ ?
Trả lời: 2,24
Lời giải
Ta có : ${\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A
B}=\overrightarrow{A M}}$.
Vẽ hình bình hành ${A B C M}$, ta có điểm ${M}$ thỏa mãn.
Ta có: ${|\overrightarrow{A M}|=A M=B
C=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}}$.
Câu
4. Cho hai lực ${\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{M
A}, \overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{M B}}$ cùng tác động vào một vật tại
điểm ${M}$. Cường độ hai lực $\overrightarrow{{{F}_{1}}},\overrightarrow{{{F}_{2}}}$lần
lượt là 300N và 400N, $\widehat{AMB}=90{}^\circ $. Tìm cường độ của lực tác động
lên vật?
Trả lời: 500
Lời giải
- Ta có tổng lực tác dụng lên vật: ${\vec{F}_1+\vec{F}_2=\overrightarrow{M
A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{M C}}$ (Với ${C}$ là điểm sao cho ${A M
B C}$ là hình bình)
- Khi đó cường độ lực tác dụng lên vật: ${\left|\vec{F}_1+\vec{F}_2\right|=|\overrightarrow{M
C}|=M C}$
- Ta có: ${M A=|\overrightarrow{M
A}|=\left|\vec{F}_1\right|=400 {~N}}$, $MB=|\overrightarrow{MB}|=\left|
{{{\vec{F}}}_{2}} \right|=300~N$
- Mặt khác, do ${\widehat{A M B}=90^{\circ}}$ nên ${A M B
C}$ là hình chữ nhật.
Khi đó: ${M C=\sqrt{M A^2+M B^2}=\sqrt{400^2+300^2}=500(N)}$
