BÀI 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
1.
Hoán vị
Cho tập
hợp $A$ có $n$ phần tử $(n\ge 1)$.
Mỗi cách
sắp xếp $n$ phần tử của $A$ theo một thứ tự gọi là một hoán vị
các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của $A$ hay của $n$ phần tử).
Kí hiệu ${{P}_{n}}$
là số hoán vị của $n$ phần tử.
Người ta
chứng minh được rằng:
Số các
hoán vị của $n$ phần tử $(n\ge 1)$ bằng ${{P}_{n}}=n(n-1)(n-2)\ldots 2.1.$
Chú
ý:
Kí hiệu:
$n!=n(n-1)(n-2)\ldots 2.1$ và đọc là $n$ giai thừa hoặc giai thừa của $n$. Khi
đó, ${{P}_{n}}=n!$.
Quy ước:
$0!=1$.
2. Chỉnh
hợp
Cho tập
hợp $A$ có $n$ phần tử $(n\ge 1)$ và số nguyên $k$ với $1\le k\le n$.
Mỗi cách
lấy $k$ phần tử của $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh
hợp chập $k$ của $n$ phần tử đó.
Kí hiệu $A_{n}^{k}$
là số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử.
Số các
chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử $(1\le k\le n)$ bằng
$A_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)\ldots
(n-k+1)$$=\dfrac{n!}{(n-k)!}.$
Nhận
xét: Mỗi hoán vị
của $n$ phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó. Ta có ${{P}_{n}}=A_{n}^{n},\,\,n\ge
1$.
3. Tổ
hợp
Cho tập
hợp $A$ có $n$ phần tử $(n\ge 1)$.
Mỗi tập
con gồm $k$ phần tử $(1\le k\le n)$ của $A$ được gọi là một tổ hợp
chập $k$ của $n$ phần tử.
Nói cách
khác, mỗi cách lấy $k$ phần tử của $A$ và không sắp xếp chúng gọi là một
tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đó.
Kí hiệu $C_{n}^{k}$
là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử $(1\le k\le n)$.
Số các tổ
hợp chập $k$ của $n$ phần tử $(1\le k\le n)$ bằng
$C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
Chú
ý: Người ta quy
ước $C_{n}^{0}=1$.
Nhận
xét: $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\,\,(0\le
k\le n)$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Có $3$ cuốn sách lý, $4$ cuốn
sách sinh, $5$ cuốn sách địa lý. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách
trên vào giá sách nếu:
a) Sắp xếp tùy ý?
b) Các cuốn sách cùng
môn học đứng cạnh nhau?
Lời giải
a) Có tất cả $12$ cuốn
sách nên có $12!$ cách sắp xếp các cuốn sách trên vào giá sách.
b) Ta phân giá sách
làm $3$ khu để $3$ loại sách toán; lý; hóa có tất cả $3!$ cách phân như vậy.
Có $3!$ cách sắp xếp $3$
cuốn sách lý vào khu đã được phân.
Có $4!$ cách sắp xếp $4$
cuốn sách sinh vào khu đã được phân.
Có $5!$ cách sắp xếp $5$
cuốn sách địa vào khu đã được phân.
Vậy có tất cả $3!3!4!5!=103680$
cách sắp xếp các cuốn sách cùng môn học đứng cạnh nhau trên giá.
Câu 2. Bao nhiêu cách sắp xếp $7$ bạn
A, B, C, D, E, F, G vào $1$ hàng sao cho
a) A đứng chính giữa?
b) A, B ngồi đứng $2$
đầu dãy?
Lời giải
Vì bạn A đứng chính giữa và $6$ bạn còn
lại sắp xép tùy ý nên có $6!$ cách sắp xếp một hàng.
Vì bạn A, B đứng $2$ đầu dãy nên A, B
có $2$ cách chọn vị trí đứng. $5$ bạn còn lại có $5!$ cách sắp xếp.
Vậy có tất cả $2.5!$ cách sắp xếp $7$ bạn
thành $1$ hàng sao cho A,B đứng $2$ đầu dãy.
Câu
3. Một đội bóng
có $22$ cầu thủ, cần chọn ra $11$ cầu thủ thi đấu chính thức. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn nếu:
a) Ai cũng có thể chơi ở bất kì
vị trí nào?
b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn
còn các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?
Lời giải
a) Số cách chọn $11$ cầu thủ
trong $22$ cầu thủ ra sân thi đấu là $A_{22}^{11}$.
b) Số cách chọn $11$ cầu thủ trong đó cầu thủ A làm thủ môn
còn các cầu thủ khác vào vị trí nào cũng được là: $A_{21}^{10}$.
Câu
4. Một bó hoa
có $9$ bông hoa màu hồng và $5$ bông hoa màu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra $3$
bông hoa thỏa mãn:
a) Có $2$ bông màu hồng?
b) Có ít nhất $1$ bông màu hồng?
c) Có đủ cả $2$ màu?
Lời giải
a) Số cách chọn $2$ bông hoa màu
hồng trong $9$ bông hồng: $C_{9}^{2}$
Số cách
chọn 1 bông hoa màu đỏ trong $5$ bông màu đỏ: $5$
Cách lấy
ra $3$ bông hoa thỏa mãn có $2$ bông màu hông là: $5.C_{9}^{2}=180$.
b) Số cách chọn không có bông
màu hồng là: $C_{5}^{3}$
Số cách
chọn có ít nhất $1$ bông màu hồng là: $C_{14}^{3}-C_{5}^{3}=354$.
c) Có
hai trường hợp: $2$ hồng $1$ đỏ hoặc $2$ đỏ $1$ hồng
Như câu a), ta có số cách chọn $2$
đỏ $1$ hồng là: $9C_{5}^{2}$
Số cách chọn đủ cả hai màu là: $5C_{9}^{2}+9C_{5}^{2}=270.$
Câu
5. Một lớp $50$
học sinh, trong đó có $30$ nữ. Cô giáo muốn lấy ra $5$ học sinh để lập thành một
đội văn nghệ. Hỏi cô có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Chọn
bất kỳ?
b) Có hai
học sinh nam?
c) Có ít
nhất $1$ bạn nam?
Lời giải
a) Có $C_{50}^{5}=2118760$
cách chọn.
b) Số cách chọn $2$ học sinh
nam: $C_{20}^{2}$
Số cách chọn $3$ hs nữ còn lại: $C_{30}^{3}$
Số cách chọn $5$ hs trong đó có $2$
hs nam là: $C_{20}^{2}$.$C_{30}^{3}=771400$
c) Số cách chọn không có bạn nam
nào (tất cả $5$ hs đều là nữ): $C_{30}^{5}$
Số cách
chọn $5$ hs trong đó có ít nhất $1$ hs nam là: $C_{50}^{5}-C_{30}^{5}=1976254$
Câu
6. Có bao nhiêu
số tự nhiên có $5$ chữ số được lập từ các số $0,1,2,3,4,5,6,7,8$. Trong đó chữ
số $3$ có mặt đúng $2$ lần. Các chữ số khác có mặt $1$ lần?
Lời giải
- Xét TH1:
số $3$ đứng đầu, khi đó số $3$ thứ $2$ có $4$ cách chọn và ba vị trí còn lại có
$A_{8}^{3}$ cách chọn.
Vậy nếu có
$1$ số $3$ đứng đầu thì có: $4A_{8}^{3}$ cách.
- Xét TH2:
Không có số $3$ đứng đầu, khi đó
+ Có $C_{4}^{2}$
cách chọn $2$ số $3$ vào hai vị trí trong $4$ vị trí còn lại.
+ Có $7$
cách chọn vào vị trí đầu tiên.
+ Có $A_{7}^{2}$
(chọn $2$ số khác vị trí đầu và số $3$) cách chọn vào $2$ vị trí còn lại
Nếu
không có số $3$ đứng đầu thì có $7.A_{4}^{2}.A_{7}^{2}$.
Như vậy
có $4A_{8}^{3}+7C_{4}^{2}.A_{7}^{2}$ cách chọn.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Từ các chữ số $2,3,4,5,6,7$ có
thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau?
A. $256$.
B. $720$.
C. $120$.
D. $24$.
Lời giải
Chọn
B
Số cách lập số tự nhiên có $6$
chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của $6$ phần tử, do đó có $6!=720$.
Câu 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp $5$ học
sinh thành một hàng dọc?
A. ${{5}^{5}}$.
B. $5!$.
C. $4!$.
D. $5$.
Lời giải
Chọn
B
Số cách sắp xếp $5$ học sinh
thành một hàng dọc là $5!$.
Câu 3. Tính số cách sắp xếp $6$ nam
sinh và $4$ nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có $10$ chỗ ngồi sao cho các nữ
sinh luôn ngồi cạnh nhau.
A. $10!$.
B. $7!\times 4!.$
C. $6!\times 4!.$
D. $6!\times 5!.$
Lời giải
Chọn B
Sắp xếp $4$ nữ sinh vào $4$ ghế:
$4!$ cách.
Xem $4$ nữ sinh lập thành nhóm
X, sắp xếp nhóm X cùng với $6$ nam sinh: có $7!$ cách.
Vậy có $7!\times 4!$ cách sắp xếp.
Câu
4. Cho tập $M=\left\{
1;2;3;4;5;6;7;8;9 \right\}$. Số các số tự nhiên gồm $4$ chữ số phân biệt lập từ
$M$ là
A. $4!$.
B. $A_{9}^{4}$.
C. ${{4}^{9}}$.
D. $C_{9}^{4}$.
Lời giải
Chọn
B
Số các số tự nhiên gồm $4$ chữ số
phân biệt lập từ $M$ là: $A_{9}^{4}$.
Câu
5. Từ các chữ số
$1,2,3,4,5,6$. Có thể lập được bao nhiêu số có $3$ chữ số khác nhau?
A. $216$.
B. $120$.
C. $504$.
D. $6$.
Lời giải
Chọn B
Mỗi cách lập số là một chỉnh hợp
chập $3$ của $6$.
Vậy có $A_{6}^{3}=120$ số.
Câu 6. Trong trận chung kết bóng đá phải
phân định thắng thua bằng đá luân lưu $11$ mét. Huấn luyện viên của mỗi đội cần
trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự $5$ cầu thủ trong $11$ cầu thủ để
đá luân lưu $5$ quả $11$ mét. Hỏi huấn luyện viên của mỗi đội sẽ có bao nhiêu
cách chọn?
A. $55440$.
B. $120$.
C. $462$.
D. $39916800$.
Lời giải
Chọn A
Số cách của huấn luyện viên của mỗi đội là $A_{11}^{5}=55440$.
Câu
7. Từ các chữ số
$1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau nằm trong
khoảng $\left( 300;500
\right)$
A. $24$.
B. $25$.
C. $23$.
D. $22$.
Lời giải
Chọn A
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$
với $a,b,c\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$.
Để $\overline{abc}\in
\left( 300;500 \right)$ thì $a=3$ hoặc $a=4$.
Với $a=3$, số cách chọn $b,c$
là $A_{4}^{2}=12$.
Với $a=4$, số cách chọn $b,c$
là $A_{4}^{2}=12$.
Vây số các số lập được là
$24$.
Câu
8. Từ các chữ số
$0,1,2,3,4,5,6$ có thể lập được bao nhiêu số có $5$ chữ số đôi một khác nhau
sao cho có $3$ chữ số chẵn và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau.
A. $360$.
B. $144$.
C. $252$.
D. $108$.
Lời giải
Chọn
C
Giả sử số cần lập có dạng
$\overline{abcde}$, với $a,b,c,d,e\in \left\{ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6
\right\}$.
Trường hợp 1: $a$, $b$ là hai chữ số lẻ: Có $A_{3}^{2}=6$ cách chọn $\overline{ab}$
Với mỗi $\overline{ab}$,
có $A_{4}^{3}=24$ cách chọn $\overline{cde}$
$\Rightarrow $ có $6.24=144$
số thỏa mãn.
Trường hợp 2: $d$, $e$ là hai chữ số lẻ: Có $A_{3}^{2}=6$ cách chọn $\overline{de}$
Với mỗi $\overline{de}$,
có $3$ cách chọn $a$, $A_{3}^{2}=6$ cách chọn $\overline{bc}$
$\Rightarrow $ có $6.3.6=108$
số thỏa mãn.
Vậy có $144+108=252$ số
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu
9. Cho tập hợp $M$
có ${10}$ phần tử. Số tập con gồm hai phần tử của $M$ là
A. $C_{10}^{2}$.
B. ${{10}^{2}}$.
C. $A_{10}^{8}$.
D. $A_{10}^{2}$.
Lời giải
Chọn A
Mỗi cách lấy ra $2$ phần tử
trong ${10}$ phần tử của $M$ để tạo thành tập con gồm $2$ phần tử là một tổ hợp
chập $2$ của ${10}$ phần tử. Số tập con của $M$ gồm $2$ phần tử là $C_{10}^{2}$.
Câu
10. Từ các
chữ số $2$, $3$, $4$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $9$ chữ số,
trong đó chữ số $2$ có mặt $2$ lần, chữ số $3$ có mặt $3$ lần, chữ
số $4$ có mặt $4$ lần?
A. $1260$.
B. $40320$.
C. $120$.
D. $1728$.
Lời giải
Chọn
A
Chọn vị trí cho $2$ chữ số $2$
có $C_{9}^{2}$ cách.
Chọn vị trí cho $3$ chữ số $3$
có $C_{7}^{3}$ cách.
Chọn vị trí cho $4$ chữ số $4$
có $C_{4}^{4}$ cách.
Vậy số các số tự nhiên
thỏa yêu cầu bài toán là $C_{9}^{2}$$C_{7}^{3}$$C_{4}^{4}$$=1260$ số.
Câu 11. Từ một tập
gồm $10$ câu hỏi, trong đó có $4$ câu lí thuyết và $6$ câu bài tập, người ta tạo
thành các đề thi. Biết rằng một đề thi phải gồm $3$ câu hỏi trong đó có ít nhất
$1$ câu lí thuyết và $1$ câu bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề khác
nhau.
A. $100$.
B. $36$.
C. $96$.
D. $60$.
Lời giải
Chọn C
Trường hợp 1: $2$ câu lí thuyết,
$1$ câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là $C_{4}^{2}.C_{6}^{1}=36$ (đề)
Trường hợp 2: $1$ câu lí thuyết,
$2$ câu bài tập. Suy ra số đề tạo ra là $C_{4}^{1}.C_{6}^{2}=60$ (đề)
Vậy
có thể tạo được số đề khác nhau là: $36+60=96$ (đề).
Câu
12. Một hộp chứa
$20$ quả cầu khác nhau trong đó có $12$ quả đỏ, $8$ quả xanh. Hỏi có bao nhiêu
cách lấy được $3$ quả trong đó có ít nhất $1$ quả xanh?
A. Đáp án khác.
B. $220$.
C. $900$.
D. $920$.
Lời giải
Chọn D
Số cách lấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu
từ $20$ quả là $C_{20}^{3}$.
Số cách lấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu
mà không có quả cầu màu xanh là $C_{12}^{3}$.
Vậy số cách lấy ra $3$ quả cầu
trong đó có ít nhất $1$ quả màu xanh là $C_{20}^{3}-C_{12}^{3}=920$ (cách).
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Có $5$ nam sinh
và $3$ nữ sinh cần được xếp vào một hàng dọc.
a) Số cách xếp $8$ học sinh theo một hàng dọc là: $40320$
(cách).
b) Số cách xếp học sinh cùng giới đứng cạnh nhau là: $1440$
(cách).
c) Số cách xếp học sinh nữ luôn đứng cạnh nhau là: $4320$
(cách).
d) Số cách xếp không có em nữ nào đứng cạnh nhau là: $2400$
(cách).
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Đúng
d)
Sai
a) Số cách xếp $8$ học sinh theo một hàng dọc: ${P_8=8
!=40320}$ (cách).
b) Gọi ${X}$ là nhóm $3$ học sinh nữ, ${Y}$ là nhóm $5$ học
sinh nam.
Số cách xếp trong $X:$ $3!$; số cách xếp trong ${{Y}}$: 5!.
Số cách hoán đổi $X, Y$: 2!.
Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: ${3 ! 5 ! 2 !=1440}$
(cách).
c) Gọi ${X}$ là nhóm 3 học sinh nữ. Khi ấy số cách xếp trong
${X}$: 3!.
Số cách xếp nhóm ${X}$ với 5 học sinh nam (ta xem có 6 đơn vị):
6!
Vậy số cách xếp thỏa mãn đề bài: ${3 ! 6 !=4320}$ (cách).
d) Sắp xếp trước cho $5$ nam sinh, (số cách hình vẽ): $5!$
(cách).
Sắp xếp $3$ nữ sinh vào $3$ vị trí (trong $6$ vị trí xen kẽ
giữa các nam) vừa được chọn: 3!${C_6^3}$ (cách).
Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn là: ${5 ! C_6^3 3 !=14400}$.
Câu
2. Có $5$ bông
hồng, $4$ bông trắng (mỗi bông đều khác nhau về hình dáng). Một người cần chọn
một bó bông từ số bông này.
a) Số cách chọn $4$ bông tùy ý là $126$ cách.
b) Số cách chọn $4$ bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là $50$
cách.
c) Số cách chọn $4$ bông, trong đó có $3$ bông hồng và $1$
bông trắng là $30$ cách.
d) Số cách chọn $4$ bông có đủ hai màu là $120$ cách.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Sai
d)
Đúng
a) Số cách chọn $4$ bông từ $9$ bông: ${C_9^4=126}$ (cách).
b) Số cách chọn $2$ bông hồng từ $5$ bông hồng: ${C_5^2}$
(cách).
Số cách chọn $2$ bông trắng từ $4$ bông trắng: ${C_4^2}$
(cách).
Số cách chọn một bó bông thỏa mãn đề bài: ${C_5^2 \cdot
C_4^2=60}$ (cách).
c) $3$ bông hồng, $1$ bông trắng: có ${C_5^3 \cdot
C_4^1=40}$ (cách).
d) Cách 1:
Trường hợp 1: $3$ bông hồng, $1$ bông trắng:
có ${C_5^3 \cdot C_4^1=40}$ (cách).
Trường hợp 2: $2$ bông hồng, $2$ bông trắng:
có ${C_5^2 \cdot C_4^2=60}$ (cách).
Trường hợp 3: $1$ bông hồng, $3$ bông trắng:
có ${C_5^1 \cdot C_4^3=20}$ (cách).
Theo quy tắc cộng ta có tất cả ${40+60+20=120}$ (cách chọn).
Cách 2:
Số cách chọn $4$ bông từ $9$ bông (tùy ý): ${C_9^4=126}$
(cách).
Số cách chọn $4$ bông chỉ một màu (hồng hoặc trắng): ${C_5^4+C_4^4=6}$
(cách).
Vậy số cách chọn $4$ bông có đủ hai màu: ${126-6=120}$
(cách).
Câu
3. An và Bình
cùng $7$ bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. Cả $9$ bạn được xếp vào $9$ ghế theo
hàng ngang.
a) Có $362880$ cách xếp chỗ ngồi tùy ý.
b) Có $40320$ cách xếp An và Bình ngồi cạnh nhau.
c) Có $282240$ cách xếp An và Bình không ngồi cạnh nhau.
d) Có $5040$ cách xếp để An và Bình ngồi $2$ đầu dãy ghế .
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Đúng
d)
Sai
a) Xếp tùy ý $9$ bạn lên hàng ghế nằm ngang, ta có ${9
!=362880}$ (cách xếp).
b) Xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau (thành nhóm ${X}$),
số cách xếp trong ${{X}}$ là ${2 !}$.
Số cách xếp nhóm ${{X}}$ với $7$ người còn lại (ta xem là
hoán vị của $8$ phần tử), số cách xếp là ${8 !}$.
Số cách xếp hàng thỏa mãn là ${2 ! 8 !=80640}$ (cách).
c) Số cách xếp $9$ bạn vào $9$ chỗ là $9!$ cách. Vậy số cách
xếp để An và Bình không ngồi cạnh nhau là: ${9 !-2 ! 8 !=282240}$ (cách).
d) Số cách xếp để An, Bình ngồi $2$ đầu dãy ghế là: $2!.7!=10080$.
Câu
4. Một hộp có $6$
viên bi xanh, $5$ viên bi đỏ và $4$ viên bi vàng, chọn ngẫu nhiên $4$ viên bi.
a) Chọn $2$ bi xanh, $1$ bi đỏ và $1$
bi vàng có: $300$ cách.
b) Chọn $1$ bi xanh, $2$ bi đỏ và $1$
bi vàng có: $120$ cách.
c) Chọn $1$ bi xanh, $1$ bi đỏ và $2$
bi vàng có: $180$ cách.
d) Có $600$ cách chọn ngẫu nhiên $4$
viên bi từ hộp sao cho có đủ cả ba màu.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Sai
a) Chọn $2$ bi xanh, $1$ bi đỏ và $1$ bi vàng có: $C_{6}^{2}.5.4=300$
cách.
b) Chọn $1$ bi xanh, $2$ bi đỏ và $1$ bi vàng có: ${6 .
C_5^2 .4=240}$ cách.
c) Chọn $1$ bi xanh, $1$ bi đỏ và $2$ bi vàng có: ${6.5
\cdot C_4^2=180}$ cách.
d) ${300+240+180=720}$ cách.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Có bao nhiêu
số tự nhiên có $7$ chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số $2$ đứng liền
giữa hai chữ số $1$ và $3$?
Trả lời: $7440$
Lời giải
Vì chữ số $2$ đứng liền giữa hai chữ số $1$ và $3$ nên số cần
lập có bộ ba số $123$ hoặc $321$.
TH1: Số cần lập có bộ ba số $123$.
Nếu bộ ba số $123$ đứng đầu thì số có dạng ${\overline{123 a
b c d}}$.
Có ${A_7^4=840}$ cách chọn bốn số ${a, b, c, d}$ nên có ${A_7^4=840}$
số,
Nếu bộ ba số $123$ không đứng đầu thì số có $4$ vị trí đặt bộ
ba số $123$.
Có $6$ cách chọn số đứng đầu và có ${A_6^3=120}$ cách chọn
ba số ${b, c, d}$,
Theo quy tắc nhân có ${6 \cdot 4 \cdot A_6^3=2880}$ số.
Theo quy tắc cộng có ${840+2880=3720}$ số.
TH2: Số cần lập có bộ ba số $321$.
Do vai trò của bộ ba số $123$ và $321$ như nhau nên có ${2(840+2880)=7440}$.
Câu
2. Từ các chữ số
${0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số
khác nhau?
Trả lời: $180$
Lời giải
Số cách chọn ra chữ số hàng trăm là $6$ cách. Với chữ số
hàng chục và chữ số hàng đơn vị, mỗi cách chọn ra $2$ số chính là một chỉnh hợp
chập $2$ của $6$ phần tử. Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được
là: $6.A_{6}^{2}=180$ (cách).
Câu
3. Một chú kiến
đứng tại góc dưới cùng của lưới ${4 \times 5}$ ô vuông như hình sau đây. Mỗi bước
di chuyển chú kiến là một ô, và chú kiến chỉ có thể đi sang phải hoặc đi lên
trên theo đường kẻ. Hỏi chú kiến có bao nhiêu cách đến vị trí cuốn sách?
Trả lời: $126$
Lời giải
Để đi đến vị trí cuốn sách, chú kiến cần bước $9$ bước gồm $4$
bước đi lên và $5$ bước đi sang phải. Số cách chọn $4$ bước đi lên và $5$ bước
đi sang phải chính là số cách chọn $4$ bước đi lên trong dãy $9$ bước cần di
chuyển. Do đó, số cách chú kiến có thể chọn để đi đến vị trí cuốn sách là: ${C_9^4=126}$
(cách).
Câu
4. Từ ${n}$ điểm
phân biệt, ta lập được $153$ đoạn thẳng có hai đầu mút là $2$ trong ${n}$ điểm
đã cho. Tìm ${n}$.
Trả lời: $18$
Lời giải
Số đoạn thẳng lập được từ ${n}$ điểm đã cho là ${{C}_{n}^{2}}$.
Theo đề bài, ta có: $C_{n}^{2}=153\Leftrightarrow \dfrac{n!}{2!(n-2)!}=153$ $\Leftrightarrow
\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}=153$ $\Leftrightarrow \dfrac{n(n-1)}{2}=153$
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-n-306=0$. Suy ra $n=18.$
