BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
1.
Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Trên đường
tròn lượng giác, gọi $M$ là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha $.
Khi đó:
- Tung độ
${{y}_{M}}$ của $M$ gọi là sin của $\alpha $, kí hiệu $\sin \alpha $.
- Hoành
độ ${{x}_{M}}$ của $M$ gọi là côsin của $\alpha $, kí hiệu $\cos \alpha
$.
- Nếu ${{x}_{M}}\ne
0$ thì tỉ số $\dfrac{{{y}_{M}}}{{{x}_{M}}}=\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
gọi là tang của $\alpha $, kí hiệu $\tan \alpha $.
- Nếu ${{y}_{M}}\ne
0$ thì tỉ số $\dfrac{{{x}_{M}}}{{{y}_{M}}}=\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$
gọi là côtang của $\alpha $, kí hiệu $\cot \alpha $.
Các giá
trị $\sin \alpha ,\,\,\cos \alpha ,\,\,\tan \alpha $ và $\cot \alpha $ được gọi
là các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha $.
Chú
ý:
a) Ta gọi
trục hoành là trục côsin, còn trục tung là trục sin.
Trục $As$
có gốc ở điểm $A(1;0)$ và song song với trục sin gọi là trục tang.
Nếu đường
thẳng $OM$ cắt trục tang thì tung độ của giao điểm đó chính là $\tan \alpha $.
Trục $Bt$
có gốc ở điểm $B(0;1)$ và song song với trục côsin gọi là trục côtang. Nếu đường
thẳng $OM$ cắt trục côtang thì hoành độ của giao điểm đó chính là $\cot \alpha
$.
b) $\sin
\alpha $ và $\cos \alpha $ xác định với mọi $\alpha \in \mathbb{R}$; $\tan
\alpha $ chỉ xác định với các góc $\alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,(k\in
\mathbb{Z})$; $\cot \alpha $ chỉ xác định với các góc $\alpha \ne k\pi \,\,(k\in
\mathbb{Z})$.
c) Với mọi
góc lượng giác $\alpha $ và số nguyên $k$, ta có
$\left\{
\begin{align} & \sin (\alpha +k2\pi
)=\sin \alpha \\ & \cos (\alpha +k2\pi )=\cos \alpha \\ & \tan (\alpha +k\pi )=\tan \alpha \\ & \cot (\alpha +k\pi )=\cot \alpha \\ \end{align} \right.$;
$\left\{
\begin{matrix} -1\le \sin \alpha \le
1 \\
-1\le \cos \alpha \le 1 \\ \end{matrix}
\right.$.
d) Ta đã
biết bảng giá trị lượng giác của một số góc $\alpha $ đặc biệt với $0\le \alpha
\le \dfrac{\pi }{2}$ (hay $0{}^\circ \le \alpha \le 90{}^\circ $) như sau:
e) Dấu của
các giá trị lượng giác
3. Hệ
thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác
${{\sin
}^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$
$\dfrac{1}{{{\cos
}^{2}}\alpha }=1+{{\tan }^{2}}\alpha $
$\dfrac{1}{{{\sin
}^{2}}\alpha }=1+{{\cot }^{2}}\alpha $
$\tan
\alpha .\cot \alpha =1$
$\tan
\alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$
$\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$
4.
Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt
“COS
ĐỐI – SIN BÙ – PHỤ CHÉO – TAN, COT HƠN KÉM PI”
a)
Hai góc đối nhau: $\alpha $ và $-\alpha $
Các điểm biểu diễn của hai góc $\alpha
$ và $-\alpha $ đối xứng qua trục $Ox$, nên ta có:
$\begin{align} & \sin (-\alpha )=-\sin \alpha \\ & \cos (-\alpha )=\cos \alpha \\ & \tan (-\alpha )=-\tan \alpha \\ & \cot (-\alpha )=-\cot \alpha \\ \end{align}$
b)
Hai góc bù nhau: $\alpha $ và $\pi -\alpha $
Các điểm biểu diễn của hai góc $\alpha
$ và $\pi -\alpha $ đối xứng nhau qua trục $Oy$, nên ta có:
$\begin{align} & \sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha \\ & \cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha \\ & \tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha \\ & \cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha \\ \end{align}$
c)
Hai góc phụ nhau: $\alpha $ và $\dfrac{\pi }{2}-\alpha $
Các điểm biểu diễn của hai góc $\alpha
$ và $\dfrac{\pi }{2}-\alpha $ đối xứng nhau qua đường phân giác $d$ của góc $xOy$,
nên ta có:
$\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha $
$\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha $
$\tan \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha $
$\cot \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha $
d)
Hai góc hơn kém $\pi $: $\alpha $ và $\alpha +\pi $
Các điểm
biểu diễn của hai góc $\alpha $ và $\alpha +\pi $ đối xứng nhau qua gốc toạ độ $O$,
nên ta có:
$\begin{align} & \sin (\alpha +\pi )=-\sin \alpha \\ & \cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha \\ & \tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha \\ & \cot (\alpha +\pi )=\cot \alpha \\ \end{align}$
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Cho $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ $. Xét dấu của các
biểu thức sau:
a) $A=\sin
\left( \alpha +90{}^\circ \right)$.
b) $C=\cos
\left( 270{}^\circ -\alpha \right)$.
Lời giải
a) $0{}^\circ
<\alpha <90{}^\circ $ $\Rightarrow 90{}^\circ <\alpha +90{}^\circ
<180{}^\circ $ $\Rightarrow \sin \left( \alpha +90{}^\circ \right)>0$.
b) $0{}^\circ
<\alpha <90{}^\circ $ $\Rightarrow 180{}^\circ <270{}^\circ -\alpha
<270{}^\circ $ $\Rightarrow \cos \left( 270{}^\circ -\alpha \right)<0$.
Câu
2. Cho $0<\alpha <\dfrac{\pi }{2}$. Xét dấu của các biểu
thức sau:
a) $A=\cos
\left( \alpha +\pi \right)$.
b) $B=\tan
\left( \alpha -\pi \right)$.
Lời giải
a) $0<\alpha
<\dfrac{\pi }{2}$ $\Rightarrow \pi <\alpha +\dfrac{\pi }{2}<\dfrac{3\pi
}{2}$ $\Rightarrow \cos \left( \alpha +\pi
\right)<0$.
b) $0<\alpha
<\dfrac{\pi }{2}$ $\Rightarrow -\pi <\alpha -\pi <-\dfrac{\pi }{2}$ $\Rightarrow
\tan \left( \alpha -\pi \right)>0$.
Câu
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) ${\dfrac{1}{\tan \alpha+1}+\dfrac{1}{\cot
\alpha+1}}$.
b) ${\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin
(\pi+\alpha)}$.
Lời giải
a) $\dfrac{1}{\tan \alpha +1}+\dfrac{1}{\cot
\alpha +1}$ $=\dfrac{1}{\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+1}+\dfrac{1}{\dfrac{\cos
\alpha }{\sin \alpha }+1}$ $=\dfrac{1}{\dfrac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\cos
\alpha }}+\dfrac{1}{\dfrac{\cos \alpha +\sin \alpha }{\sin \alpha }}$$=\dfrac{\cos
\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }+\dfrac{\sin \alpha }{\sin \alpha +\cos
\alpha }$ $=\dfrac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }=1$.
b) ${\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin
(\pi+\alpha)}$$=\sin \alpha -(-\sin \alpha )=2\sin \alpha $.
Câu 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) $A=\text{cos}\left( \dfrac{\pi
}{2}+x \right)+\text{cos}\left( 2\pi -x \right)$$+\text{cos}\left( 3\pi +x
\right)$.
b) $B=2\cos x-3\cos \left( \pi
-x \right)$$+5\sin \left( \dfrac{7\pi }{2}-x \right)+\cot \left( \dfrac{3\pi
}{2}-x \right)$.
Lời giải
a) $A=\text{cos}\left( \dfrac{\pi
}{2}+x \right)+\text{cos}\left( 2\pi -x \right)$$+\text{cos}\left( 3\pi +x
\right)$
$=-\sin x+\text{cos}\left( -x
\right)-\cos x$
$=-\sin x+\text{cosx}-\cos x$
$=-\sin x$
b) $B=2\cos x-3\cos \left( \pi
-x \right)$$+5\sin \left( \dfrac{7\pi }{2}-x \right)+\cot \left( \dfrac{3\pi
}{2}-x \right)$
$=2\cos x+3\cos x$$+5\sin \left(
3\pi +\dfrac{\pi }{2}-x \right)+\cot \left( \pi +\dfrac{\pi }{2}-x \right)$
$=5\cos x-5\sin \left( \dfrac{\pi
}{2}-x \right)$$+\cot \left( \dfrac{\pi }{2}-x \right)$
$=5\cos x-5\cos x+\tan x$
$=\tan x$.
Câu
5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A={{\sin }^{2}}25{}^\circ +{{\sin
}^{2}}45{}^\circ $$+{{\sin }^{2}}60{}^\circ +{{\sin }^{2}}65{}^\circ $
b) $B={{\tan }^{2}}\dfrac{\pi }{8}.\tan \dfrac{3\pi }{8}.\tan \dfrac{5\pi
}{8}$
Lời giải
c) Vì $25{}^\circ +65{}^\circ
=90{}^\circ $$\Rightarrow \sin 65{}^\circ =\cos 25{}^\circ $, do đó
$A=\left( {{\sin }^{2}}25{}^\circ +{{\cos
}^{2}}25{}^\circ \right)$$+{{\sin
}^{2}}45{}^\circ +{{\sin }^{2}}60{}^\circ $$=1+{{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{7}{4}$
d) $B=-\left( \tan \dfrac{\pi }{8}.\tan
\dfrac{3\pi }{8} \right)$$.\left[ \tan \left( -\dfrac{\pi }{8} \right)\tan \dfrac{5\pi
}{8} \right]$
Mà $\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{3\pi }{8}=\dfrac{\pi }{2},\,-\dfrac{\pi
}{8}+\dfrac{5\pi }{8}=\dfrac{\pi }{2}$ nên $\tan \dfrac{3\pi }{8}=\cot \dfrac{\pi
}{8},$ $\tan \dfrac{5\pi }{8}=\cot \left( -\dfrac{\pi }{8} \right)$
$D=-\left( \tan \dfrac{\pi }{8}.\cot \dfrac{\pi }{8}
\right)$$.\left[ \tan \left( -\dfrac{\pi }{8} \right)\cot \left( -\dfrac{\pi
}{8} \right) \right]=-1$.
Câu
6. Tính ${\sin \left(-\dfrac{2 \pi}{3}\right)}$ và tan $495{}^\circ
$.
Lời giải
Ta có $\sin \left( -\dfrac{2\pi
}{3} \right)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$; $\tan 495{}^\circ =\tan \left( 135{}^\circ
+360{}^\circ \right)$$=\tan \left(
135{}^\circ \right)=-1$.
Câu
7. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
a) $\cos
a=\dfrac{4}{5}\,,\,\,270{}^\circ <a<360{}^\circ $.
b) $\sin
a=\dfrac{5}{13}\,,\,\,\dfrac{\pi }{2}<a<\pi $.
c) $\tan
a=3\,,\,\,\pi <a<\dfrac{3\pi }{2}$.
d) $\cot
15{}^\circ =2+\sqrt{3}$.
Lời giải
a) $270{}^\circ
<a<360{}^\circ \Rightarrow \sin a<0$ nên $\sin a=-\sqrt{1-{{\cos
}^{2}}a}=-\dfrac{3}{5}$; $\tan a=-\dfrac{3}{4}$; $\cot a=-\dfrac{4}{3}$.
b) $\dfrac{\pi
}{2}<a<\pi \Rightarrow \cos a<0$ nên $\cos a=-\sqrt{1-{{\sin
}^{2}}a}=-\dfrac{12}{13}$; $\tan a=-\dfrac{5}{12}$; $\cot a=-\dfrac{12}{5}$.
c) $\pi
<a<\dfrac{3\pi }{2}\Rightarrow \cos a<0$ nên từ $1+{{\tan }^{2}}a=\dfrac{1}{{{\cos
}^{2}}a}$ $\Rightarrow \cos a=-\dfrac{1}{\sqrt{1+{{\tan }^{2}}a}}=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$;
$\sin a=\tan a.\cos a=-\dfrac{3}{\sqrt{10}}$; $\cot a=\dfrac{1}{\tan
a}=-\sqrt{10}$.
d) Ta
có $\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}15{}^\circ }=1+{{\cot }^{2}}15{}^\circ =8+2\sqrt{3}$
$\Rightarrow \sin 15{}^\circ =\dfrac{1}{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}$; $\cos 15{}^\circ
=\cot 15{}^\circ .\sin 15{}^\circ $$=\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{8+2\sqrt{3}}}$.
Câu
8. Cho $\tan \alpha -\cot \alpha =3$. Tính giá trị các biểu thức
sau:
a) $A={{\tan }^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha $
b) $B=\tan \alpha +\cot \alpha $
c) $C={{\tan }^{4}}\alpha -{{\cot }^{4}}\alpha $
Lời giải
a) $A={{\tan }^{2}}\alpha
+{{\cot }^{2}}\alpha $ $\Leftrightarrow A={{\left( \tan \alpha -\cot
\alpha \right)}^{2}}+2\tan \alpha .\cot
\alpha $ $\Leftrightarrow A={{3}^{2}}+2\Leftrightarrow A=11$.
b) $B=\tan \alpha +\cot \alpha $
$\Rightarrow {{B}^{2}}={{\left( \tan \alpha +\cot \alpha \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow
{{B}^{2}}={{\left( \tan \alpha -\cot \alpha
\right)}^{2}}+4\tan \alpha .\cot \alpha $
$\Leftrightarrow
{{B}^{2}}={{3}^{2}}+4$ $\Leftrightarrow {{B}^{2}}=13\Leftrightarrow B\pm
\sqrt{13}$.
c) $C={{\tan }^{4}}\alpha
-{{\cot }^{4}}\alpha $ $\Leftrightarrow C=\left( {{\tan }^{2}}\alpha -{{\cot
}^{2}}\alpha \right)\left( {{\tan
}^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha
\right)$
$\Leftrightarrow C=\left( \tan
\alpha -\cot \alpha \right)\left( \tan
\alpha +\cot \alpha \right)$ $\left(
{{\tan }^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha
\right)$
$\Leftrightarrow C=\pm
33\sqrt{13}$.
Câu
9.
a) Cho $3{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=\dfrac{3}{4}$. Tính $A={{\sin
}^{4}}x+3{{\cos }^{4}}x$.
b) Cho $3{{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x=\dfrac{1}{2}$. Tính $B={{\sin
}^{4}}x+3{{\cos }^{4}}x$.
c) Cho $4{{\sin }^{4}}x+3{{\cos }^{4}}x=\dfrac{7}{4}$. Tính $C=3{{\sin
}^{4}}x+4{{\cos }^{4}}x$.
Lời giải
a) Ta có $3{{\sin }^{4}}x+{{\cos
}^{4}}x=\dfrac{3}{4}$
$\Leftrightarrow 3{{\sin
}^{4}}x+{{(1-{{\sin }^{2}}x)}^{2}}=\dfrac{3}{4}$ $\Leftrightarrow 4{{\sin
}^{4}}x-2{{\sin }^{2}}x+\dfrac{1}{4}=0$ $\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=\dfrac{1}{4}$.
Với ${{\sin }^{2}}x=\dfrac{1}{4}$
thì ${{\cos }^{2}}x=\dfrac{3}{4}$.
Vậy $A=\dfrac{1}{16}+3.\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{4}$.
b) Ta có $3{{\sin }^{4}}x-{{\cos
}^{4}}x=\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 3{{\sin
}^{4}}x-{{(1-{{\sin }^{2}}x)}^{2}}=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2{{\sin
}^{4}}x+2{{\sin }^{2}}x-\dfrac{3}{2}=0$ $\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=\dfrac{1}{2}$.
Với ${{\sin }^{2}}x=\dfrac{1}{2}$
thì ${{\cos }^{2}}x=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $B=\dfrac{1}{4}+3.\dfrac{1}{4}=1$.
c) Ta có $4{{\sin
}^{4}}x+3{{\cos }^{4}}x=\dfrac{7}{4}$
$\Leftrightarrow 4{{\sin
}^{4}}x+3{{(1-{{\sin }^{2}}x)}^{2}}=\dfrac{7}{4}$ $\Leftrightarrow 7{{\sin
}^{4}}x-6{{\sin }^{2}}x+\dfrac{5}{4}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\sin }^{2}}x=\dfrac{1}{2} \\ & {{\sin }^{2}}x=\dfrac{5}{14} \\ \end{align}
\right.$.
Với ${{\sin }^{2}}x=\dfrac{1}{2}$
thì ${{\cos }^{2}}x=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow C=3.\dfrac{1}{4}+4.\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{4}$.
Với ${{\sin }^{2}}x=\dfrac{5}{14}$
thì ${{\cos }^{2}}x=\dfrac{9}{14}$ $\Rightarrow C=3.{{\left( \dfrac{5}{14}
\right)}^{2}}+4.{{\left( \dfrac{9}{14} \right)}^{2}}=\dfrac{57}{28}$.
Câu
10. Chứng minh
các đẳng thức lượng giác sau:
a) ${\sin ^4 \alpha-\cos ^4
\alpha=1-2 \cos ^2 \alpha}$;
b) ${\tan \alpha+\cot \alpha=\dfrac{1}{\sin
\alpha \cos \alpha}}$;
c) ${{\tan }^{2}}x-{{\sin
}^{2}}x\,\,=\,\,{{\tan }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x$.
Lời giải
a) Ta có: ${{\sin }^{4}}\alpha
-{{\cos }^{4}}\alpha $ $=\left( {{\sin }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha \right).\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos
}^{2}}\alpha \right)$ $=\left( {{\sin
}^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha
\right).1$ $={{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha -2{{\cos
}^{2}}\alpha $ $=1-2{{\cos }^{2}}\alpha $.
b) Ta có: $\tan \alpha +\cot
\alpha $ $=\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha
}$ $=\dfrac{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha
}$ $=\dfrac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }$.
c)
Ta có: ${{\tan }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos
}^{2}}x}-{{\sin }^{2}}x$ $=\dfrac{{{\sin }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x.{{\cos
}^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}$ $=\dfrac{{{\sin }^{2}}x\left( 1-{{\cos }^{2}}x
\right)}{{{\sin }^{2}}x}$ $=\dfrac{{{\sin }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x}{{{\cos
}^{2}}x}$ $={{\tan }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x$.
Câu
11. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh :
a) $\sin B=\sin \left( A+C \right)$.
b) $\cos \left( A+B \right)=-\cos C$.
c) $\sin \dfrac{A+B}{2}=\cos \dfrac{C}{2}$.
d) $\cos \left( B-C \right)=-\cos \left( A+2C \right)$.
Lời giải
a) Vì $A,B,C$ là $3$ góc của $\Delta
ABC$ nên ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ $ $\Rightarrow
\widehat{B}=180{}^\circ -\left( \widehat{A}+\widehat{C} \right)$
$\Rightarrow \sin B=\sin \left[
180{}^\circ -\left( A+C \right) \right]$ $=\sin \left( A+C \right)$.
Vậy $\sin B=\sin \left( A+C
\right)$.
b. Vì $A,B,C$ là $3$ góc của $\Delta
ABC$ nên ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ $ $\Rightarrow
\widehat{A}+\widehat{B}=180{}^\circ -\widehat{C}$
$\Rightarrow \cos \left( A+B
\right)$ $=\cos \left[ 180{}^\circ -C \right]=-\cos C$.
Vậy $\cos \left( A+B
\right)=-\cos C$.
c. Vì $A,B,C$ là $3$ góc của $\Delta
ABC$ nên ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ $ $\Rightarrow
\widehat{A}+\widehat{B}=180{}^\circ -\widehat{C}$ $\Rightarrow \dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=\dfrac{180{}^\circ
-\widehat{C}}{2}=90{}^\circ -\dfrac{\widehat{C}}{2}$ $\Rightarrow \sin \left( \dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}
\right)=\sin \left( 90{}^\circ -\dfrac{\widehat{C}}{2} \right)$ $=\cos \dfrac{\widehat{C}}{2}$.
Vậy $\sin \dfrac{A+B}{2}=\cos \dfrac{C}{2}$.
d. Vì $A,B,C$ là $3$ góc của $\Delta
ABC$ nên ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ $ $\Rightarrow
\widehat{B}+\widehat{C}=180{}^\circ -\widehat{A}$ $\Rightarrow
\widehat{B}+\widehat{C}-2\widehat{C}=180{}^\circ -\widehat{A}-2\widehat{C}$ $\Rightarrow
\widehat{B}-\widehat{C}=180{}^\circ -\left( \widehat{A}+2\widehat{C} \right)$
$\Rightarrow \cos \left( B-C
\right)=\cos \left[ 180{}^\circ -\left( A+2C \right) \right]$ $=-\cos \left(
A+2C \right)$.
Vậy $\cos \left( B-C
\right)=-\cos \left( A+2C \right)$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Cho $\dfrac{7\pi }{4}<\alpha
<2\pi $. Xét câu nào sau đây đúng?
A. $\tan \alpha >0$.
B. $\cot \alpha >0$.
C. $\cos \alpha >0$.
D. $\sin \alpha >0$.
Lời giải
Chọn C
$\dfrac{7\pi }{4}<\alpha <2\pi \Leftrightarrow \dfrac{3\pi }{2}+\dfrac{\pi }{4}<\alpha <2\pi $ nên $\alpha $ thuộc góc phần tư thứ IV vì vậy đáp án đúng là C.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\sin \left( -\alpha \right)=-\sin \alpha $.
B. $\cot \left( -\alpha \right)=-\cot \alpha $.
C. $\cos \left( -\alpha \right)=-\cos \alpha $.
D. $\tan \left( -\alpha \right)=-\tan \alpha $.
Lời giải
Chọn C
Vì $\cos \left( -\alpha
\right)=\cos \alpha $.
Câu 3. Cho $\sin
\alpha =\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi $. Giá trị của $\text{cos}\alpha
$ là:
A. $\dfrac{4}{5}$.
B. $-\dfrac{4}{5}$.
C. $\pm
\dfrac{4}{5}$.
D. $\dfrac{16}{25}$.
Lời
giải
Chọn
B.
Ta có: ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$ $\Leftrightarrow
{{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha $ $=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ $\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & \cos \alpha
=\dfrac{4}{5} \\ & \cos \alpha =-\dfrac{4}{5}
\\ \end{align} \right.$.
Vì $\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi $ $\Rightarrow
\text{cos}\alpha =-\dfrac{4}{5}$.
Câu
4. Cho $\sin
\alpha =\dfrac{3}{5}\,\,\left( 90{}^\circ <\alpha <180{}^\circ \right)$. Tính $\cot \alpha $.
A. $\cot \alpha =\dfrac{3}{4}$.
B. $\cot \alpha =\dfrac{4}{3}$.
C. $\cot \alpha =-\dfrac{4}{3}$.
D. $\cot \alpha =-\dfrac{3}{4}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $1+{{\cot }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha
}$ $\Rightarrow $ ${{\cot }^{2}}\alpha =\dfrac{16}{9}$ $\Rightarrow $ $\cot
\alpha =\pm \dfrac{4}{3}$.
Vì $90{}^\circ <\alpha <180{}^\circ $ nên $\cot \alpha
=-\dfrac{4}{3}$.
Câu 5. Cho $P=\dfrac{3\sin
x-\cos x}{\sin x+2\cos x}$ với $\tan x=2$. Giá trị của $P$ bằng
A. $\dfrac{8}{9}$.
B. $-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{8}}{9}$.
D. $\dfrac{5}{4}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $P=\dfrac{3\sin x-\cos x}{\sin x+2\cos x}$$=\dfrac{3\tan
x-1}{\tan x+2}$$=\dfrac{3.2-1}{2+2}=\dfrac{5}{4}$.
Câu 6. Cho góc $x$ thỏa mãn $\tan x=2$.
Giá trị của biểu thức $M=\dfrac{\sin x-3{{\cos }^{3}}x}{5{{\sin }^{3}}x-2\cos
x}$ bằng
A. $\dfrac{7}{30}$.
B. $\dfrac{7}{32}$.
C. $\dfrac{7}{33}$.
D. $\dfrac{7}{31}$.
Lời giải
Chọn A
Do $\tan x=2\Rightarrow \cos x\ne 0$.
Ta có $M=\dfrac{\sin x-3{{\cos }^{3}}x}{5{{\sin
}^{3}}x-2\cos x}$ $=\dfrac{\tan x.\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-3}{5{{\tan
}^{3}}x-\dfrac{2}{{{\cos }^{2}}x}}$ $=\dfrac{\tan x\left( 1+{{\tan }^{2}}x
\right)-3}{5{{\tan }^{3}}x-2\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)}$ $=\dfrac{7}{30}$.
Câu 7. Cho $\sin
\alpha =\dfrac{3}{5}$ và $\text{90}{}^\circ <\alpha <180{}^\circ $. Giá
trị của biểu thức $E=\dfrac{\cot \alpha -2\tan \alpha }{\tan \alpha +3\cot
\alpha }$ là:
A. $\dfrac{2}{57}$.
B. $-\dfrac{2}{57}$.
C. $\dfrac{4}{57}$.
D. $-\dfrac{4}{57}$.
Lời giải
Chọn B.
${{\sin
}^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$$\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha
\text{=1}-{{\sin }^{2}}\alpha $$=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ $\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} &
\text{cos}\alpha =\dfrac{4}{5} \\ &
\text{cos}\alpha =-\dfrac{4}{5} \\ \end{align} \right.$
Vì
$\text{90}{}^\circ <\alpha <180{}^\circ $$\Rightarrow \text{cos}\alpha
=-\dfrac{4}{5}$. Vậy $\tan \alpha =-\dfrac{3}{4}$ và $\cot \alpha =-\dfrac{4}{3}$.
$E=\dfrac{\cot
\alpha -2\tan \alpha }{\tan \alpha +3\cot \alpha }$$=\dfrac{-\dfrac{4}{3}-2.\left(
-\dfrac{3}{4} \right)}{-\dfrac{3}{4}+3.\left( -\dfrac{4}{3} \right)}=-\dfrac{2}{57}$.
Câu 8. Đơn giản biểu
thức $A=\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right).{{\cot }^{2}}x+\left( 1-{{\cot }^{2}}x
\right),$ ta được
A. $A={{\sin }^{2}}x$.
B. $A={{\cos }^{2}}x$.
C. $A=-{{\sin }^{2}}x$.
D. $A=-{{\cos }^{2}}x$.
Lời giải
Chọn A
$A=\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right).{{\cot }^{2}}x+\left(
1-{{\cot }^{2}}x \right)$ $={{\cot }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x+1-{{\cot }^{2}}x$ $={{\sin
}^{2}}x$.
Câu 9. Cho tam giác $ABC$. Đẳng thức
nào sau đây sai?
A. $A+B+C=\pi $.
B. $\cos \left( A+B \right)=\cos
C$.
C. $\sin \dfrac{A+B}{2}=\cos \dfrac{C}{2}$.
D. $\sin \left( A+B \right)=\sin
C$.
Lời giải
Chọn B
Xét tam giác $ABC$ ta có:
$A+B+C=\pi $ $\Leftrightarrow A+B=\pi -C$.
$\Rightarrow \cos \left( A+B \right)=\cos \left( \pi -C
\right)$$=-\cos C$.
Câu 10. Đơn giản biểu thức $A=\cos
\left( \alpha -\dfrac{\pi }{2} \right)+\sin \left( \alpha -\pi \right)$, ta được
A. $A=\cos a+\sin a$.
B. $A=2\sin a$.
C. $A=\sin a\cos a$.
D. $A=0$.
Lời giải
Chọn D.
$A=\cos \left( \dfrac{\pi
}{2}-\alpha \right)-\sin \left( \pi
-\alpha \right)$$=\sin \alpha -\sin
\alpha =0$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho ${0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}}$.
a) $A=\cos (\alpha +\pi )<0$.
b) $B=\tan (\alpha -\pi )>0$.
c) $C=\sin \left( \alpha +\dfrac{2\pi }{5} \right)<0$.
d) $D=\cos \left( \alpha -\dfrac{3\pi }{8} \right)<0$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
a) $0<\alpha <\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow \pi
<\alpha +\pi <\dfrac{3\pi }{2}$${\Rightarrow \cos (\alpha+\pi)<0}$.
b) $0<\alpha <\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow -\pi
<\alpha -\pi <-\dfrac{\pi }{2}$${\Rightarrow \tan
(\alpha-\pi)>0}$.
c) $0<\alpha <\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow \dfrac{2\pi
}{5}<\alpha +\dfrac{2\pi }{5}<\dfrac{9\pi }{10}$${\Rightarrow \sin \left(\alpha+\dfrac{2 \pi}{5}\right)>0}$.
d) $0<\alpha <\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow -\dfrac{3\pi
}{8}<\alpha -\dfrac{3\pi }{8}<\dfrac{\pi }{8}$${\Rightarrow \cos \left(\alpha-\dfrac{3 \pi}{8}\right)>0}$.
Câu
2. Cho $\sin
\alpha =\dfrac{3}{5},$ ${\sin \alpha=\dfrac{3}{5}, \cos \alpha=-\dfrac{4}{5}}$.
Xét các biểu thức:
$A=\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)+\sin (\pi +\alpha )$; $B=\cos (\pi
-\alpha )+\cot \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha
\right)$.
a) $A=\cos \alpha -\sin \alpha $.
b) $B=\cos \alpha +\tan \alpha $.
c) $A+B=\dfrac{27}{20}$.
d) $A-B=-\dfrac{29}{20}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
Ta có: $A=\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\alpha \right)+\sin (\pi +\alpha )$$=\cos \alpha
-\sin \alpha =-\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5}$$=-\dfrac{7}{5}$.
Ta có: $B=\cos (\pi -\alpha )+\cot \left( \dfrac{\pi
}{2}-\alpha \right)$$=-\cos \alpha +\tan
\alpha $$=-\cos \alpha +\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{4}{5}+\dfrac{\dfrac{3}{5}}{-\dfrac{4}{5}}$$=\dfrac{1}{20}\text{.}$
Câu
3. Cho ${\sin
x=-\dfrac{3}{5}}$ với ${\pi<x<\dfrac{3 \pi}{2}}$.
a) $\cos x>0$.
b) $\cos x=-\dfrac{4}{5}$.
c) $\tan x=\dfrac{3}{4}$.
d) $\cot x=\dfrac{4}{3}$.
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Do ${\pi<x<\dfrac{3 \pi}{2}}$ nên ${\cos x<0}$.
Ta có: ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1$ $\Rightarrow {{\cos
}^{2}}x=1-{{\sin }^{2}}x$ ${=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}}$.
Suy ra $\cos x=-\dfrac{4}{5}$; $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos
x}=\dfrac{3}{4}$; $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{4}{3}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho $\cos
x=\dfrac{1}{2}$. Tính giá trị biểu thức ${P=3 \sin ^2 x+4 \cos ^2 x}$.
Trả lời: $3,25$
Lời giải
Ta có: $\cos x=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow {{\sin
}^{2}}x=1-{{\cos }^{2}}x$ ${=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}}$.
Khi đó: $P=3{{\sin }^{2}}x+4{{\cos }^{2}}x$${P=3 \sin ^2 x+4
\cos ^2 x=3 \cdot \dfrac{3}{4}+4 \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{13}{4}}$.
Câu
2. Cho ${\cot
\alpha=\dfrac{1}{3}}$. Tính giá trị của biểu thức ${A=\dfrac{3 \sin \alpha+4
\cos \alpha}{2 \sin \alpha-5 \cos \alpha}}$.
Trả lời: $13$
Lời giải
Vì ${\cot \alpha=\dfrac{1}{3}}$ nên ${\sin \alpha \neq 0}$.
Chia cả tử và mẫu của biểu thức ${A}$ cho ${\sin \alpha}$, ta có: ${A=\dfrac{3+4
\cot \alpha}{2-5 \cot \alpha}=\dfrac{3+4 \cdot \dfrac{1}{3}}{2-5 \cdot \dfrac{1}{3}}=13}$.
Câu
3. Biết ${\sin
a+\cos a=\sqrt{2}}$. Tính giá trị của ${\sin ^4 a+\cos ^4 a}$.
Trả lời: $0,5$
Lời giải
Ta có: $\sin a+\cos a=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{(\sin
a+\cos a)}^{2}}=2$ $\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}a+2\sin a\cos a+{{\cos
}^{2}}a=2$ $\Leftrightarrow 2\sin a\cos a=1$ $\Rightarrow \sin a\cos a=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó: ${{\sin }^{4}}a+{{\cos }^{4}}a$ $={{\left( {{\sin
}^{2}}a+{{\cos }^{2}}a \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}a{{\cos }^{2}}a$ ${=1-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}}$.
Câu
4. Cho ${\tan
\alpha+\cot \alpha=m}$. Tìm ${m}$ nguyên âm để ${\tan ^2 \alpha+\cot ^2
\alpha=7}$.
Trả lời: $-3$
Lời giải
Ta có: $7={{\tan }^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha $ $={{(\tan
\alpha +\cot \alpha )}^{2}}-2\tan \alpha \cot \alpha $ ${=m^2-2}$.
Suy ra ${m^2=9 \Rightarrow m= \pm 3}$. Do ${m}$ nguyên âm nên
$m=-3$.
