BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
1. Cấp
số nhân
Cấp
số nhân là
một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số $q$ không đổi, nghĩa
là:
${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q\text{;}\,\,n\in
{{\mathbb{N}}^{*}}$.
Số $q$
được gọi là công bội của cấp số nhân.
Chú
ý: Dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân thì $u_{n}^{2}={{u}_{n-1}}.{{u}_{n+1}}\text{;}\,\,n\ge
2$.
2. Số
hạng tổng quát của cấp số nhân
Nếu một
cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q$
thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ của nó được xác định bởi công thức: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}},\,\,n\ge
2$.
3. Tổng
của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Giả sử $\left(
{{u}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân có công bội $q\ne 1$. Đặt ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots
+{{u}_{n}}$, khi đó:
${{S}_{n}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left(
1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}$.
Chú
ý: Khi $q=1$
thì ${{S}_{n}}=n.{{u}_{1}}$.
DẠNG
TOÁN 1: TÌM CẤP SỐ NHÂN, CHỨNG MINH CẤP SỐ NHÂN
Chứng
minh $\forall n\ge 1,\,\,{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q$ trong đó $q$ là một số không
đổi.
Nếu ${{u}_{n}}\ne
0$ với mọi $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ thì ta lập tỉ số $q=\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}$:
Nếu $q$
là hằng số thì $({{u}_{n}})$ là cấp số nhân có công bội $q$.
Nếu $q$
phụ thuộc vào $n$ thì $({{u}_{n}})$ không là cấp số nhân.
DẠNG
TOÁN 2: TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN CẤP SỐ NHÂN
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Tần
số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn Organ tạo thành cấp số
nhân.
Biết tần số của hai phím Sol và
Si lần lượt là ${415 {~Hz}}$ và ${466 {~Hz}}$. Tính tần số của phím La (làm
tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Do tần số của ba phím Sol, La,
Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số $3$ phím lần lượt là: ${a, a q, a q^2}$.
Ta có: ${a=415}$ và ${a
q^2=466}$ nên ${q=1,06}$.
Suy ra: ${a q=440}$.
Vậy tần số của phím La là ${440
{~Hz}}$.
Câu 2. Chu
kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni $210$ là $138$ ngày, nghĩa là sau $138$
ngày, khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa. Tính khối lượng còn lại của $20$
gam Poloni $210$ sau:
a) $690$ ngày.
b) $7314$ ngày (khoảng $20$
năm).
Lời giải
a) Sau $690=138.5$ ngày, tức là
sau $5$ chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là: $20.{{\left( \dfrac{1}{2}
\right)}^{4}}=1,25$ (gam).
b) Sau ${7314=138.53}$ ngày, tức
là sau $53$ chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là: ${20
.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{52}=4,44.10^{-15}}$ (gam).
Câu 3. Trong
các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
a) ${u_n=3(-2)^n}$;
b) ${u_n=(-1)^{n+1} \cdot 7^n}$;
c) ${\left\{\begin{array}{l}u_n=1
\\ u_{n+1}=2 u_n+3\end{array}\right.}$.
Lời giải
a) ${u_n=3(-2)^n=(-6) \cdot(-2)^n}$.
Vậy dãy trên là cấp số nhân có
công bội là $-2$.
b) ${u_n=(-1)^{n+1} \cdot 7^n=7
\cdot(-7)^{n-1}}$.
Vậy dãy trên là cấp số nhân có
công bội là $-7$.
c) ${\left\{\begin{array}{c}u_n=1
\\ u_{n+1}=2 u_n+3\end{array}\right.}$.
Dãy trên không phải cấp số nhân.
Câu 4. Tìm giá trị của $a$ để $\dfrac{-1}{5};\text{ }a;\text{ }\dfrac{-\text{1}}{\text{125}}$
theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
Lời giải
Ta có: ${{a}^{2}}=\left( -\dfrac{1}{5}
\right).\left( -\dfrac{1}{125} \right)=\dfrac{1}{625}\Leftrightarrow a=\pm \dfrac{1}{25}$.
Câu 5. Tìm
số hạng đầu và công bội của cấp số nhân ${\left(u_n\right)}$, biết:
a) ${\left\{\begin{array}{l}u_5-u_1=15
\\ u_4-u_2=6\end{array}\right.}$.
b) ${\left\{\begin{array}{l}u_1-u_3+u_5=65
\\ u_1+u_7=325\end{array}\right.}$.
Lời giải
a) $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{5}}-{{u}_{1}}=15 \\ {{u}_{4}}-{{u}_{2}}=6 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}\cdot {{q}^{4}}-{{u}_{1}}=15 \\ {{u}_{1}}\cdot
{{q}^{3}}-{{u}_{1}}\cdot q=6 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix} q=2 \\ {{u}_{1}}=1 \\\end{matrix} \right.$.
b) $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=65
\\ {{u}_{1}}+{{u}_{7}}=325 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{u}_{1}}-{{u}_{1}}\cdot {{q}^{2}}+{{u}_{1}}\cdot {{q}^{4}}=65 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{1}}\cdot
{{q}^{6}}=325 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q=2
\\ {{u}_{1}}=5 \\\end{matrix} \right.$.
Câu
6. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a) ${\left\{ \begin{align} &
{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\ \end{align}
\right.}$.
b) ${\left\{ \begin{align} &
{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=135 \\ & {{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}=40 \\ \end{align}
\right.}$.
c) $\left\{ \begin{align} &
{{u}_{2}}=6 \\ & {{S}_{3}}=43 \\ \end{align} \right.$.
Lời giải
a) $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} = 51\\
{u_2} + {u_6} = 102
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\
{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51{\rm{ }}\left( * \right)\\
{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102{\rm{ }}\left( {**} \right)
\end{array} \right.$
Lấy ${\dfrac{\left( **
\right)}{\left( * \right)}\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}}
\right)}{{{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)}=\dfrac{102}{51}}$ ${\Leftrightarrow
q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{51}{1+{{q}^{4}}}=\dfrac{51}{17}=3.}$
Vậy CSN có công bội ${q=2}$ và số
hạng đầu ${{{u}_{1}}=3}$.
b) $\left\{ \begin{align} &
{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=135 \\ & {{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}=40 \\ \end{align}
\right.$ ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} &
{{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}=135 \\ &
{{u}_{1}}.{{q}^{3}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}+{{u}_{1}}{{q}^{5}}=40 \\ \end{align}
\right.}$ ${\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}\left(
1+q+{{q}^{2}} \right)=135\text{ }\left( * \right) \\ &
{{u}_{1}}{{q}^{3}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=40\text{ }\left( ** \right) \\ \end{align}
\right.}$.
Lấy ${\dfrac{\left( **
\right)}{\left( * \right)}\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}{{q}^{3}}\left(
1+q+{{q}^{2}} \right)}{{{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}=\dfrac{40}{135}}$
${\Leftrightarrow {{q}^{3}}=\dfrac{8}{27}\Leftrightarrow q=\dfrac{2}{3}}$ ${\Rightarrow
{{u}_{1}}=\dfrac{135}{1+q+{{q}^{2}}}=\dfrac{1215}{19}.}$
Vậy CSN có công bội ${q=\dfrac{2}{3}}$và
số hạng đầu tiên ${{{u}_{1}}=\dfrac{1215}{19}}$.
c) $\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = 6\\
{S_3} = 43
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q = 6\\
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 43
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q = 6\\
{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 43
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q = 6{\rm{ }}\left( * \right)\\
{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 43{\rm{ }}\left( {**} \right)
\end{array} \right.$
Lấy ${\dfrac{\left( * \right)}{\left(
** \right)}\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}q}{{{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}}
\right)}=\dfrac{6}{43}}$ ${\Leftrightarrow 43q=6\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}$ ${\Leftrightarrow
6{{q}^{2}}-37q+6=0}$ ${\Leftrightarrow q=6\text{ }\vee \text{ }q=\dfrac{1}{6}}$.
Với ${q=6\Rightarrow
{{u}_{1}}=1}$. Với ${q=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{u}_{1}}=36.}$
Vậy CSN có ${\left\{ \begin{align}
& q=6 \\ & {{u}_{1}}=1 \\ \end{align} \right.}$ hoặc ${\left\{ \begin{align}
& q=\dfrac{1}{6} \\ & {{u}_{1}}=36 \\ \end{align} \right.}$.
Câu
7. Cho CSN ${\left(
{{u}_{n}} \right)}$ có các số hạng thỏa: ${\left\{ \begin{align} &
{{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\ \end{align}
\right.}$.
a) Tìm số hạng đầu và công bội của
CSN.
b) Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu
tiên bằng $3069$?
c) Số $12288$ là số hạng thứ mấy?
Lời giải
a) Ta có $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=51 \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{6}}=102 \\ \end{align}
\right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} &
{{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=51 \\ & {{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{5}}=102 \\ \end{align}
\right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}(1 + {q^4}) = 51{\rm{ }} \,(*)\\
{u_1}q(1 + {q^4}) = 102{\rm{ }} \,(**)
\end{array} \right.$
Lấy
$\dfrac{(**)}{(*)}\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}q(1+{{q}^{4}})}{{{u}_{1}}(1+{{q}^{4}})}=\dfrac{102}{51}$
${\dfrac{(**)}{(*)}\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}q(1+{{q}^{4}})}{{{u}_{1}}(1+{{q}^{4}})}=\dfrac{102}{51}\Leftrightarrow
q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=3}$.
b) Ta có ${{S}_{n}}=3069\Leftrightarrow
{{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=3069$ $\Leftrightarrow 3.\dfrac{1-{{2}^{n}}}{1-2}=3069$
${{{S}_{n}}=3069\Leftrightarrow {{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=3069\Leftrightarrow
3.\dfrac{1-{{2}^{n}}}{1-2}=3069\Leftrightarrow {{2}^{n}}=1024\Rightarrow n=10}$.
Vậy tổng của $10$ số hạng đầu
tiên bằng $3069$.
c) Ta có ${{u}_{k}}=12288\Leftrightarrow
{{u}_{1}}.{{q}^{k-1}}=12288$ $\Leftrightarrow {{3.2}^{k-1}}=12288$ ${\Leftrightarrow
{{2}^{k-1}}=4096={{2}^{12}}}$
${\Rightarrow
k-1=12\Leftrightarrow k=13}$. Vậy số $12288$ là số hạng thứ $13$.
Câu 8. a)
Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân. Tìm số đo của bốn góc đó
biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất.
b) Viết sáu số xen giữa các số ${-2}$
và $256$ để được cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì số hạng thứ $15$
là bao nhiêu?
Lời giải
a) Gọi số đo $4$ góc lần lượt
là: ${{u}_{1}};{{u}_{1}}.q;{{u}_{1}}.{{q}^{2}};{{u}_{1}}.{{q}^{3}}$.
Ta có: ${{u}_{1}}.{{q}^{3}}=8{{u}_{1}}\Leftrightarrow
q=2$.
Khi đó: ${{u}_{1}}+2{{u}_{1}}+4{{u}_{1}}+8{{u}_{1}}=360{}^\circ
$ $\Leftrightarrow {{u}_{1}}=24{}^\circ $.
Vậy số đo các góc là: $24{}^\circ
;48{}^\circ ;96{}^\circ ;192{}^\circ $.
b) Ta có: ${{u}_{1}}=-2;{{u}_{8}}=256={{u}_{1}}.{{q}^{7}}$.
Suy ra ${q=-2}$.
Vậy ${{u}_{15}}=(-2).{{(-2)}^{14}}=-32768$.
Câu 9. Ba
số ${\dfrac{2}{b-a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{2}{b-c}}$ theo thứ tự lập thành cấp số
cộng. Chứng minh rằng ba số ${a, b, c}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Lời giải
Vì ba số ${\dfrac{2}{b-a}, \dfrac{1}{b},
\dfrac{2}{b-c}}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:
$\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{b-a}+d$
$\Leftrightarrow b-a=2b+db(b-a)$ $\Leftrightarrow (bd-1)a=(bd+1)b$ $\Leftrightarrow
\dfrac{bd+1}{bd-1}=\dfrac{a}{b}$;
$\dfrac{2}{b-c}=\dfrac{1}{b}+d$
$\Leftrightarrow 2b=b-c+qb(b-c)$ $\Leftrightarrow (1+bd)c=b(bd-1)$ $\Leftrightarrow
\dfrac{bd+1}{bd-1}=\dfrac{b}{c}$.
Suy ra: ${\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}}$.
Gọi ${b=a . q}$.
Ta có $\dfrac{a}{aq}=\dfrac{aq}{c}$
$\Leftrightarrow c=a{{q}^{2}}\Leftrightarrow c=bq$.
Vậy $a,b,c$ lần lượt là cấp số
nhân có công bội là $~q$.
Câu 10. Tính
các tổng sau:
a) ${S_n=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\ldots+\dfrac{1}{3^n}}$.
b) ${{S}_{n}}=9+99+999+\ldots
+99\ldots 9$ (số hạng cuối có $n$ chữ số $9$).
Lời giải
a) ${S_n=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\ldots+\dfrac{1}{3^n}}$
$\Rightarrow {{S}_{n}}=\dfrac{n\left[ 1-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n}}
\right]}{1-\dfrac{1}{3}}$ $={{S}_{n}}=\dfrac{3n\left[ 1-{{\left( \dfrac{1}{3}
\right)}^{n}} \right]}{2}$.
b) ${{S}_{n}}=9+99+999+\ldots
+999\ldots 9$
${{S}_{n}}=(10-1)+\left(
{{10}^{2}}-1 \right)+\ldots +\left( {{10}^{n}}-1 \right)$
${{S}_{n}}=\left(
10+{{10}^{2}}+\ldots +{{10}^{n}} \right)-n$
${{S}_{n}}=\dfrac{n\left(
1-{{10}^{n}} \right)}{1-10}-n$
${{S}_{n}}=\dfrac{n\left(
{{10}^{n}}-1 \right)}{9}-n$.
Câu 11. Một
loại vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm, cứ mỗi phút số lượng lại
tăng lên gấp đôi số lượng đang có. Từ một vi khuẩn ban đầu, hãy tính tổng số vi
khuẩn có trong ống nghiệm sau $20$ phút.
Lời giải
Tổng số vi khuẩn có trong ống
nghiệm sau $20$ phút là: ${{S}_{20}}=\dfrac{20\cdot \left[ 1-{{2}^{20}}
\right]}{1-2}=20971500$.
Câu 12. Giả
sử một thành phố có dân số năm $2022$ là khoảng $2,1$ triệu người và tốc độ gia
tăng dân số trung bình mỗi năm là ${0,75 \%}$.
a) Dự đoán dân số của thành phố
đó vào năm $2032$.
b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn
giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp
đôi so với năm $2022$?
Lời giải
Dân số của thành phố từ năm $2022$
lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là $1+0,0075=1,0075$
Dân số của thành phố vào năm ${{n}}$
là: ${u_n=2,1.1,0075^{n-2022}}$
a) ${u_{2032}=2,1.1,0075^{2032-2022}=2,26}$
b) ${{u}_{n}}=2.{{u}_{2022}}$ $\Leftrightarrow
1,{{0075}^{n-2022}}=2$ ${\Leftrightarrow n=2115}$.
Vậy đến năm $2115$ dân số thành
phố gấp đôi so với năm $2022$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Trong các
dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. $128;\text{ }-64;\text{
}32;\text{ }-16;\text{ }8;\text{ }...$
B. $\sqrt{2};\text{ }2;\text{
}4;\text{ }4\sqrt{2};\text{ }....$
C. $5;\text{ }6;\text{ }7;\text{
}8;\text{ }...$
D. $15;\text{ }5;\text{
}1;\text{ }\dfrac{1}{5};\text{ }...$
Lời
giải
Chọn
A
Với dãy số $128;\text{
}-64;\text{ }32;\text{ }-16;\text{ }8;\text{ }...$ ta có $\dfrac{{{u}_{2}}}{{{u}_{1}}}=\dfrac{{{u}_{3}}}{{{u}_{2}}}=\dfrac{{{u}_{4}}}{{{u}_{3}}}=-\dfrac{1}{2}$.
Câu 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}}
\right)$ có ${{u}_{1}}=-3$ và $q=\dfrac{2}{3}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${{u}_{5}}=-\dfrac{27}{16}.$
B. ${{u}_{5}}=-\dfrac{16}{27}.$
C. ${{u}_{5}}=\dfrac{16}{27}.$
D. ${{u}_{5}}=\dfrac{27}{16}.$
Lời
giải
Chọn
B
Ta có ${{u}_{5}}={{u}_{1}}{{q}^{4}}=-3.{{\left(
\dfrac{2}{3} \right)}^{4}}$ $=-3.\dfrac{16}{81}=-\dfrac{16}{27}.$
Câu 3. Cho
cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=3$ và $q=-2$. Số $192$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
A. Số hạng thứ $5$.
B. Số hạng thứ $6$.
C. Số hạng thứ $7$.
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Lời giải
Chọn C
$192={{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}=3.{{\left(
-2 \right)}^{n-1}}$ $\Leftrightarrow {{\left( -1 \right)}^{n-1}}{{.2}^{n-1}}=64={{\left(
-1 \right)}^{6}}{{.2}^{6}}$ $\Leftrightarrow n=7$.
Câu
4. Xác định $x$
để $3$ số $x-2;\text{ }x+1;\text{ }3-x$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
A. Không có giá trị nào của $x.$
B. $x=\pm 1.$
C. $x=2.$
D. $x=-3.$
Lời
giải
Chọn A
Ba số $x-2;\text{ }x+1;\text{
}3-x$ theo
thứ tự lập thành một cấp số nhân$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 3-x
\right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x+7=0$ (phương
trình vô nghiệm).
Câu
5. Cho cấp số
nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-3$ và $q=-2.$ Tính tổng $10$ số
hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
A. ${{S}_{10}}=-511.$
B. ${{S}_{10}}=-1025.$
C. ${{S}_{10}}=1025.$
D. ${{S}_{10}}=1023.$
Lời
giải
Chọn
D
${{S}_{10}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{10}}}{1-q}$
$=-3.\dfrac{1-{{\left( -2 \right)}^{10}}}{1-\left( -2 \right)}=1023.$
Câu 6. Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}}
\right)$, biết ${{u}_{1}}=12$, $\dfrac{{{u}_{3}}}{{{u}_{8}}}=243$. Tìm ${{u}_{9}}$.
A. ${{u}_{9}}=\dfrac{2}{2187}$.
B. ${{u}_{9}}=\dfrac{4}{6563}$.
C. ${{u}_{9}}=78732$.
D. ${{u}_{9}}=\dfrac{4}{2187}$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $\left(
{{u}_{n}} \right)$.
Ta có ${{u}_{3}}={{u}_{1}}{{q}^{2}}$, ${{u}_{8}}={{u}_{1}}{{q}^{7}}$
$\Rightarrow \dfrac{{{u}_{3}}}{{{u}_{8}}}=\dfrac{1}{{{q}^{5}}}=243$ $\Rightarrow
q=\dfrac{1}{3}$.
Do đó ${{u}_{9}}={{u}_{1}}{{q}^{8}}$ $=12.{{\left(
\dfrac{1}{3} \right)}^{8}}$ $=\dfrac{4}{2187}$.
Câu 7. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp
số nhân có số hạng đầu là $\dfrac{1}{2}$, số hạng thứ tư là $32$ và số hạng cuối
là $2048$?
A. $\dfrac{1365}{2}$.
B. $\dfrac{5416}{2}$.
C. $\dfrac{5461}{2}$.
D. $\dfrac{21845}{2}$.
Lời
giải
Chọn
C
Theo bài ra ta có ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}$,
${{u}_{4}}=32$ và ${{u}_{n}}=2048$.
${{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{3}}$
$\Rightarrow 32=\dfrac{1}{2}.{{q}^{3}}$ $\Rightarrow q=4$
${{u}_{n}}=2048$
$\Rightarrow {{u}_{1}}.\,{{q}^{n-1}}=2048$ $\Rightarrow {{4}^{n-1}}={{4}^{6}}$
$\Rightarrow n=7$
Khi đó ${{S}_{7}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left(
1-{{q}^{7}} \right)}{1-q}$ $=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left( 1-{{4}^{7}}
\right)}{1-4}=\dfrac{5461}{2}$.
Câu
8. Số đo bốn
góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân và góc cuối gấp $9$ lần
góc thứ hai. Tìm số đo của góc thứ nhất.
A. $10{}^\circ $.
B. $9{}^\circ $.
C. $8{}^\circ $.
D. $12{}^\circ $.
Lời giải
Chọn B
Gọi $A, B, C, D$ theo thứ tự
đó là số đo các góc của tứ giác lập thành CSN với công bội $q$.
Ta đặt $B=Aq, C=A{{q}^{2}}, D=A{{q}^{3}}$
Theo đề bài ta có: $D=9B \Leftrightarrow
A{{q}^{3}}=9Aq$ $\Leftrightarrow {{q}^{2}}=9 \Leftrightarrow q=\pm 3$
Với $q=-3 \Rightarrow
B=-3A<0$ nên loại.
Với $q=3$ ta có $A+B+C+D=360{}^\circ
$ $\Leftrightarrow A+3A+9A+27A=360{}^\circ $ $\Leftrightarrow A=9{}^\circ $.
Câu
9. Cho cấp số
nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{align} &
{{u}_{20}}=8{{u}_{17}} \\ & {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=272 \\ \end{align} \right..$
Chọn khẳng định đúng:
A. $q=2.$
B. $q=-4.$
C. $q=4.$
D. $q=-2.$
Lời
giải
Chọn
A
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} {u_{20}} = 8{u_{17}}\\ {u_1} + {u_5} = 272 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}{q^{19}} = 8{u_1}{q^{16}}\\ {u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 272 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {q^3} = 8\\ {u_1} = \dfrac{{272}}{{1 + {q^4}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} q = 2\\ {u_1} = 16 \end{array} \right.$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho cấp số
nhân ${\left(u_n\right)}$ với công bội ${q<0}$ và ${u_2=4, u_4=9}$.
a) Số hạng đầu ${u_1=-\dfrac{8}{3}}$.
b) Số hạng ${{u}_{5}}=\dfrac{27}{2}$.
c) $-\dfrac{2187}{32}$ là số hạng thứ
$8$.
d) Cấp số nhân có công bội ${q=-\dfrac{3}{2}}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Sai
d)
Đúng
a) Ta có: ${{u}_{2}}={{u}_{1}}q=4,{{u}_{4}}={{u}_{1}}{{q}^{3}}=9$
$\Rightarrow \dfrac{{{u}_{4}}}{{{u}_{2}}}=\dfrac{{{u}_{1}}{{q}^{3}}}{{{u}_{1}}q}
\Rightarrow \dfrac{9}{4}={{q}^{2}}$ $\Rightarrow q=-\dfrac{3}{2}\,\,(q<0)$.
Thay ${q=-\dfrac{3}{2}}$ vào ${u_2}$, ta được: ${u_1\left(-\dfrac{3}{2}\right)=4
\Rightarrow u_1=-\dfrac{8}{3}}$.
Vậy cấp số nhân đã cho có số hạng đầu ${u_1=-\dfrac{8}{3}}$
và công bội ${q=-\dfrac{3}{2}}$.
b) Khi đó ${{u}_{n}}=-\dfrac{8}{3}.{{\left( -\dfrac{3}{2}
\right)}^{n-1}}$
Vậy ${{u}_{5}}=-\dfrac{27}{2}$
c) $-\dfrac{2187}{32}\ne -\dfrac{8}{3}.{{\left( -\dfrac{3}{2}
\right)}^{7}}$ nên không phải là số hạng thứ 8.
d) Công bội ${q=-\dfrac{3}{2}}$.
Câu
2. Cho cấp số
nhân ${\left(u_n\right)}$ thoả mãn ${\left\{\begin{array}{l}u_4+u_6=-540 \\
u_3+u_5=180\end{array}\right.}$.
a) Số hạng ${{u}_{1}}=2$.
b) Gọi $q$ là công bội của cấp số
nhân, thì ba số $q;1;3$ tạo thành một cấp số cộng.
c) Số $-486$ là số hạng thứ $5$ của cấp
số nhân.
d) Tổng của $21$ số hạng đầu cấp số
nhân đã cho bằng $5230176602$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
a) Gọi ${q}$ là công bội và ${S_{21}}$ là tổng của $21$ số hạng
đầu của cấp số nhân ${\left(u_n\right)}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540
\\ {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{*{35}{l}} \left( {{u}_{3}}+{{u}_{5}} \right)q=-540 \\ {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180
\\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 180q=-540
\\ {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{*{35}{l}} q=-3 \\ {{u}_{1}}{{(-3)}^{2}}+{{u}_{1}}{{(-3)}^{4}}=180
\\\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} q=-3 \\ {{u}_{1}}(9+81)=180
\\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} q=-3 \\
{{u}_{1}}=2 \\\end{array} \right.$.
b) $-3;1;3$ không là CSC.
c) Số $-486=2.{{(-3)}^{5}}$ nên số $-486$ là số hạng thứ $6$.
d) ${{S}_{21}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{21}}
\right)}{1-q}$ $=\dfrac{2\left[ 1-{{(-3)}^{21}} \right]}{1-(-3)}$ ${=\dfrac{1+3^{21}}{2}}$
$=5230176602$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho cấp số
nhân có các số hạng lần lượt là ${\dfrac{1}{4} ; \dfrac{1}{2} ; 1 ; \ldots ;
4096}$. Gọi ${S}$ là tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho. Tính $\dfrac{4S}{151}$.
Trả lời: $217$
Lời giải
Cấp số nhân đã cho có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=\dfrac{1}{4}
\\ q=2 \\\end{array} \right.$, suy ra $4096={{2}^{12}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}=\dfrac{1}{4}\cdot
{{2}^{n-1}}={{2}^{n-3}}$ $\Leftrightarrow n=15$.
Khi đó cấp số nhân đã cho có tất cả $15$ số hạng.
Vậy $S={{S}_{15}}={{u}_{1}}\cdot \dfrac{1-{{q}^{15}}}{1-q}$
$=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1-{{2}^{15}}}{1-2}=\dfrac{32767}{4}$. Khi đó $\dfrac{4S}{151}=217$.
Câu
2. Cho cấp số
nhân ${\left(u_n\right)}$ biết ${u_1=5, u_5=405}$ và tổng ${S_n=u_1+u_2+\ldots
.+u_n=1820}$. Tìm ${n}$.
Trả lời: $6$
Lời giải
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=5 \\ {{u}_{5}}=405
\\\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=5 \\ {{u}_{1}}{{q}^{4}}=405
\\\end{array} \right. \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}=5 \\ {{q}^{4}}=\dfrac{405}{{{u}_{1}}}=81 \\\end{array} \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=5 \\ q=\pm 3 \\\end{array} \right.
\right.$.
Trường hợp 1: ${u_1=5
; q=3}$.
${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots .+{{u}_{n}}=1820$ $\Leftrightarrow
{{u}_{1}}\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=1820$ $\Leftrightarrow \dfrac{1-{{3}^{n}}}{1-3}=\dfrac{1820}{5}$
$\Leftrightarrow {{3}^{n}}=729\Leftrightarrow n=6$.
Trường hợp 2: ${u_1=5
; q=-3}$.
${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots .+{{u}_{n}}=1820$ $\Leftrightarrow
{{u}_{1}}\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=1820$ $\Leftrightarrow \dfrac{1-{{(-3)}^{n}}}{1+3}=\dfrac{1820}{5}$
$\Leftrightarrow {{(-3)}^{n}}=-1455\Leftrightarrow n\in \varnothing $.
Vậy $n=6$.
Câu
3. Viết thêm bốn
số vào giữa hai số $160$ và $5$ để được một cấp số nhân gồm sáu số hạng. Tìm tổng
tất cả các số hạng của cấp số nhân đó.
Trả lời: $315$
Lời giải
Gọi ${\left(u_n\right)}$ là cấp số nhân lập được và ${q}$ là
công bội của cấp số nhân đó.
Cấp số nhân cần lập có dạng: ${160 ; u_2 ; u_3 ; u_4 ; u_5 ;
5}$.
Ta có : $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=160 \\ {{u}_{6}}=5
\\\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=160 \\ {{u}_{1}}{{q}^{5}}=5
\\\end{array} \right. \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{u}_{1}}=160 \\ 160{{q}^{5}}=5 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}=160 \\ q=\dfrac{1}{2} \\\end{array} \right.
\right.$.
Tổng các số hạng của cấp số nhân là: ${{S}_{6}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left(
1-{{q}^{6}} \right)}{1-q}$ ${=\dfrac{160\left[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^6\right]}{\dfrac{1}{2}}=315}$.
