BÀI 3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Từ đây,
khi không nói gì thêm, chỉ xét các góc lượng giác mà tại đó các giá trị lượng
giác được đề cập có nghĩa.
1. Công thức cộng
$\sin
\left( \alpha +\beta \right)=\sin \alpha
\cos \beta +\cos \alpha \sin \beta $;
$\sin
\left( \alpha -\beta \right)=\sin \alpha
\cos \beta -\cos \alpha \sin \beta $;
$\cos
\left( \alpha +\beta \right)=\cos \alpha
\cos \beta -\sin \alpha \sin \beta $;
$\cos
\left( \alpha -\beta \right)=\cos \alpha
\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta $;
$\tan
\left( \alpha +\beta \right)=\dfrac{\tan
\alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$;
$\tan
\left( \alpha -\beta \right)=\dfrac{\tan
\alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$.
2. Công thức nhân đôi
$\sin
2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha $;
$\cos
2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha $;
$\cos
2\alpha =1-2{{\sin }^{2}}\alpha $;
$\cos
2\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1$;
$\text{tan2}\alpha
\text{=}\dfrac{\text{2tan}\alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }$;
$\cot
2\alpha \,\,=\,\,\dfrac{{{\cot }^{2}}\alpha -1}{2\cot \alpha }$.
3. Công thức hạ bậc
${{\cos
}^{2}}\alpha =\dfrac{1+\cos 2\alpha }{2}$;
${{\sin
}^{2}}\alpha =\dfrac{1-\cos 2\alpha }{2}$;
${{\tan
}^{2}}\alpha =\dfrac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$.
4. Công thức nhân ba
$\cos
3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha $;
$\sin
3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha $;
$\tan
3\alpha \,=\,\,\dfrac{3\tan \alpha -{{\tan }^{3}}\alpha }{1-3{{\tan
}^{2}}\alpha }\,$.
5. Công thức biến đổi tích thành
tổng
$\cos
\alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( \alpha +\beta \right)+\cos \left( \alpha -\beta \right) \right]$;
$\sin
\alpha \sin \beta =-\dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( \alpha +\beta \right)-\cos \left( \alpha -\beta \right) \right]$;
$\sin
\alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left[ \sin \left( \alpha +\beta \right)+\sin \left( \alpha -\beta \right) \right]$.
6. Công thức biến đổi tổng thành
tích
$\cos
\alpha +\cos \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}$;
$\cos
\alpha -\cos \beta =-2\sin \dfrac{\alpha +\beta }{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta
}{2}$;
$\sin
\alpha +\sin \beta =2\sin \dfrac{\alpha +\beta }{2}\cos \dfrac{\alpha -\beta
}{2}$;
$\sin
\alpha -\sin \beta =2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta
}{2}$.
7. Công thức khác
$\sin
\alpha +\cos \alpha \,\,=\,\,\sqrt{2}.\sin \left( \alpha +\dfrac{\pi }{4}
\right)$$=\sqrt{2}.\cos \left( \alpha -\dfrac{\pi }{4} \right)$;
$\sin
\alpha -\cos \alpha =\sqrt{2}\sin \left( \alpha -\dfrac{\pi }{4} \right)$$=-\,\sqrt{2}\cos
\left( \alpha +\dfrac{\pi }{4} \right)$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Tính:
a) ${\sin \dfrac{\pi}{12}}$.
b) ${\tan \dfrac{\pi}{12}}$.
Lời giải
Ta có:
a) $\sin \left( \dfrac{\pi }{12}
\right)=\sin \left( \dfrac{\pi }{3}-\dfrac{\pi }{4} \right)$$=\sin \left( \dfrac{\pi
}{3} \right)\cdot \cos \left( \dfrac{\pi }{4} \right)-\cos \left( \dfrac{\pi
}{3} \right)\cdot \sin \left( \dfrac{\pi }{4} \right)$$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot
\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
b) $\tan \left( \dfrac{\pi }{12}
\right)=\tan \left( \dfrac{\pi }{3}-\dfrac{\pi }{4} \right)$$=\dfrac{\tan \dfrac{\pi
}{3}-\tan \dfrac{\pi }{4}}{1+\tan \dfrac{\pi }{3}\tan \dfrac{\pi }{4}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$.
Câu
2. Tính:
a) ${\cos \dfrac{\pi}{8}}$.
b) ${\tan \dfrac{\pi}{8}}$.
Lời giải
a) Ta có: ${\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos
\dfrac{\pi}{4}=2 \cdot \cos ^2 \dfrac{\pi}{8}-1}$. Suy ra ${\cos ^2 \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}$.
Vì ${0<\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}}$
nên ${\cos \dfrac{\pi}{8}>0}$. Suy ra ${\cos \dfrac{\pi}{8}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}}$.
b) Ta có: ${\tan ^2 \dfrac{\pi}{8}+1=\dfrac{1}{\cos
^2 \dfrac{\pi}{8}}}$. Suy ra ${\tan ^2 \dfrac{\pi}{8}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}$.
Vì ${0<\dfrac{\pi}{8}<\dfrac{\pi}{2}}$
nên ${\tan \dfrac{\pi}{8}>0}$. Suy ra ${\tan \dfrac{\pi}{8}=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}}$
Câu
3. Tính giá trị của biểu thức:
a) ${\sin \dfrac{\pi}{24} \cos \dfrac{5
\pi}{24}}$.
b) ${\sin \dfrac{7 \pi}{8} \sin \dfrac{5
\pi}{8}}$.
Lời giải
a) Ta có: $\sin \dfrac{\pi
}{24}\cos \dfrac{5\pi }{24}$$=\dfrac{1}{2}\left[ \sin \left( \dfrac{\pi }{24}-\dfrac{5\pi
}{24} \right)+\sin \left( \dfrac{\pi }{24}+\dfrac{5\pi }{24} \right]
\right.$$=\dfrac{1}{2}\left[ \sin \left( \dfrac{-\pi }{6} \right)+\sin \left( \dfrac{\pi
}{4} \right) \right]$$=\dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\right)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}$.
b) Ta có: $\sin \dfrac{7\pi
}{8}\sin \dfrac{5\pi }{8}$$=\dfrac{1}{2}\left[ \cos \left( \dfrac{7\pi }{8}-\dfrac{5\pi
}{8} \right)-\cos \left( \dfrac{7\pi }{8}+\dfrac{5\pi }{8} \right) \right]$$=\dfrac{1}{2}\left[
\cos \left( \dfrac{\pi }{4} \right)-\cos \left( \dfrac{3\pi }{2} \right)
\right]$$=\dfrac{1}{2}\cdot \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}-0 \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.
Câu
4. Tính ${\cos \dfrac{7 \pi}{12}+\cos \dfrac{\pi}{12}}$.
Lời giải
Ta có $\cos \dfrac{7\pi
}{12}+\cos \dfrac{\pi }{12}$$=2\cdot \cos \dfrac{\dfrac{7\pi }{12}+\dfrac{\pi
}{12}}{2}\cdot \cos \dfrac{\dfrac{7\pi }{12}-\dfrac{\pi }{12}}{2}$$=2\cdot \cos
\dfrac{\pi }{3}\cdot \cos \dfrac{\pi }{4}$${\cos \dfrac{7 \pi}{12}+\cos \dfrac{\pi}{12}=2
\cdot \cos \dfrac{\dfrac{7 \pi}{12}+\dfrac{\pi}{12}}{2} \cdot \cos \dfrac{\dfrac{7
\pi}{12}-\dfrac{\pi}{12}}{2}=2 \cdot \cos \dfrac{\pi}{3} \cdot \cos \dfrac{\pi}{4}=2
\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$.
Câu
5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
$A=\cos \dfrac{\pi }{7}-\cos \dfrac{2\pi }{7}+\cos \dfrac{3\pi }{7}$.
b)
$B=\cos \dfrac{\pi }{9}+\cos \dfrac{5\pi }{9}+\cos \dfrac{7\pi }{9}$.
Lời
giải
a)$A=\cos
\dfrac{\pi }{7}-\cos \dfrac{2\pi }{7}+\cos \dfrac{3\pi }{7}$
$\Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi
}{7}.A=2\sin \dfrac{\pi }{7}\cos \dfrac{\pi }{7}$$-2\sin \dfrac{\pi }{7}\cos \dfrac{2\pi
}{7}+2\sin \dfrac{\pi }{7}\cos \dfrac{3\pi }{7}$
$\Leftrightarrow 2\sin \dfrac{\pi
}{7}.A=\sin \dfrac{2\pi }{7}-\sin \dfrac{3\pi }{7}$$+\sin \dfrac{\pi }{7}+\sin
\dfrac{4\pi }{7}-\sin \dfrac{2\pi }{7}=\sin \dfrac{\pi }{7}$.
Vậy
$A=\dfrac{1}{2}$.
b)
$B=\cos \dfrac{\pi }{9}+\cos \dfrac{5\pi }{9}+\cos \dfrac{7\pi }{9}$$=\cos \dfrac{\pi
}{9}+2\cos \dfrac{6\pi }{9}\cos \dfrac{\pi }{9}$$=\cos \dfrac{\pi }{9}-\cos \dfrac{\pi
}{9}=0$.
Câu
6. Tính các giá trị lượng giác sau:
a) $\tan \left( \alpha +\dfrac{\pi
}{3} \right)$ khi $\sin \alpha =\dfrac{3}{5},\,\,\dfrac{\pi }{2}<\alpha
<\pi $.
b) $\cos \left( \dfrac{\pi
}{3}-\alpha \right)$ khi $\sin \alpha
=-\dfrac{12}{13},\,\,\dfrac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi $.
c) $\cos \left( a+b \right)\cos
\left( a-b \right)$ khi $\cos a=\dfrac{1}{3},\,\,\cos b=\dfrac{1}{4}$.
Lời
giải
a) Vì $\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\pi $ nên $\cos \alpha <0$.
Ta có: ${{\sin }^{2}}\alpha
+co{{s}^{2}}\alpha =1$.
Suy ra: $cos\alpha
=-\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=-\dfrac{4}{5}$$\Rightarrow \tan \alpha =-\dfrac{3}{4}$.
Vậy $\tan \left( \dfrac{\pi
}{3}+\alpha \right)=\dfrac{\tan \dfrac{\pi
}{3}+\tan \alpha }{1-\tan \dfrac{\pi }{3}\tan \alpha }$$=\dfrac{48-25\sqrt{3}}{11}$.
b) Vì $\dfrac{3\pi
}{2}<\alpha <2\pi $ nên $\cos \alpha >0$.
Ta có: ${{\sin }^{2}}\alpha
+co{{s}^{2}}\alpha =1$.
Suy ra: $\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin
}^{2}}\alpha }=\dfrac{5}{13}$.
Vậy $cos\left( \dfrac{\pi
}{3}-\alpha \right)$$=\cos \dfrac{\pi
}{3}\cos \alpha +\sin \dfrac{\pi }{3}\sin \alpha $$=\dfrac{5-12\sqrt{3}}{26}$.
c) Ta có: $\cos a=\dfrac{1}{3}\Rightarrow
{{\sin }^{2}}a=1-{{\cos }^{2}}a=\dfrac{8}{9};$ $\cos b=\dfrac{1}{4}\Rightarrow
{{\sin }^{2}}b=1-{{\cos }^{2}}b=\dfrac{15}{16}$.
Từ đó: $\cos \left( a+b
\right)\cos \left( a-b \right)$$=\left( \cos a\cos b-\sin a\sin b \right)\left(
\cos a\cos b+\sin a\sin b \right)$
$={{\cos }^{2}}a{{\cos
}^{2}}b-{{\sin }^{2}}a{{\sin }^{2}}b=-\dfrac{119}{144}$.
Câu
7. Tính $\sin 2\alpha $, biết:
a) ${\sin \alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$
và ${0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}}$;
b) ${\sin \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{3}{4}}$
và ${\pi<\alpha<2 \pi}$.
Lời giải
a) ${\cos 2 \alpha=1-2 \sin ^2
\alpha=\dfrac{1}{3}}$.
Do ${0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}}$
nên ${0<2 \alpha<\dfrac{\pi}{2}}$. Suy ra ${\sin 2 \alpha>0}$ nên ${\sin
2 \alpha=\sqrt{1-\cos ^2 2 \alpha}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}}$.
b) ${\cos \alpha=1-2 \sin ^2 \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{-1}{8}}$;
${\cos 2 \alpha=2 \cos ^2 \alpha-1=\dfrac{-31}{32}}$.
Do ${\pi<\alpha<2 \pi}$
nên ${\sin \alpha<0}$. Mà ${\cos \alpha<0}$. Suy ra ${\sin 2
\alpha>0}$.
Khi đó $\sin 2\alpha
=-\sqrt{1-{{\cos }^{2}}2\alpha }=\dfrac{\sqrt{63}}{32}$.
Câu
8. Tính các giá trị lượng giác của góc ${\alpha}$, biết:
a) ${\cos 2 \alpha=\dfrac{2}{5}}$
và ${-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0}$;
b) ${\sin 2 \alpha=-\dfrac{4}{9}}$
và ${\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\dfrac{3 \pi}{4}}$.
Lời giải
a) Do ${-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0}$
nên ${\sin \alpha<0}$ và ${\cos \alpha>0}$.
Ta có: $\dfrac{2}{5}=\cos
2\alpha =2.{{\cos }^{2}}\alpha -1$${\dfrac{2}{5}=\cos 2 \alpha=2 . \cos ^2
\alpha-1=1-2 \sin ^2 \alpha}$.
Suy ra: ${\cos \alpha=\dfrac{\sqrt{70}}{10}}$
và ${\sin \alpha=-\dfrac{\sqrt{30}}{10}}$.
b) Do ${\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\dfrac{3
\pi}{4}}$ nên ${\pi<2 \alpha<\dfrac{3 \pi}{2}}$.
Suy ra: ${\sin \alpha>0, \cos
\alpha<0}$ và ${\cos 2 \alpha<0}$.
Khi đó ${\cos 2
\alpha=\sqrt{1-\sin ^2 2 \alpha}=-\dfrac{\sqrt{65}}{9}}$.
Từ $\cos 2\alpha =2.{{\cos
}^{2}}\alpha -1$, suy ra: ${\cos \alpha \approx-0,69}$ và ${\sin \alpha \approx
0,16}$.
Câu
9. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) $\cos 2\alpha $, $\sin
2\alpha $, $\tan 2\alpha $ khi $\cos \alpha =-\dfrac{5}{13}$, $\pi <\alpha
<\dfrac{3\pi }{2}$.
b) $\sin \alpha $, $\cos \alpha
$ khi $\sin 2\alpha =-\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\dfrac{3\pi
}{2}$.
Lời
giải
a)
$\cos 2\alpha $, $\sin 2\alpha $, $\tan 2\alpha $ khi $\cos \alpha =-\dfrac{5}{13}$,
$\pi <\alpha <\dfrac{3\pi }{2}$.
Ta
có ${{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha $ $=1-{{\left( -\dfrac{5}{13}
\right)}^{2}}=\dfrac{144}{169}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin \alpha =\dfrac{12}{13} \\ & \sin \alpha =-\dfrac{12}{13} \\ \end{align}
\right.$.
Vì
$\pi <\alpha <\dfrac{3\pi }{2}$ nên ta chọn $\sin \alpha =-\dfrac{12}{13}$.
Khi
đó:
$\cos
2\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1$$=2.{{\left( -\dfrac{5}{13} \right)}^{2}}-1=\dfrac{-119}{169}$;
$\sin
2\alpha =2.\sin \alpha .\cos \alpha $ $=2.\dfrac{-12}{13}.\dfrac{-5}{13}$ $=\dfrac{120}{169}$;
$\tan
2\alpha =\dfrac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=-\dfrac{120}{119}$.
b)
$\sin \alpha $, $\cos \alpha $ khi $\sin 2\alpha =-\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{\pi
}{2}<\alpha <\dfrac{3\pi }{2}$.
Ta
có ${{\cos }^{2}}2\alpha =1-{{\sin }^{2}}2\alpha $ $=1-{{\left( -\dfrac{4}{5}
\right)}^{2}}=\dfrac{9}{25}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2\alpha =\dfrac{3}{5} \\ & \cos 2\alpha =-\dfrac{3}{5} \\ \end{align}
\right.$.
TH1:
Với $\cos 2\alpha =\dfrac{3}{5}$ $\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}\alpha -1=\dfrac{3}{5}$
$\Leftrightarrow $${{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{4}{5}$ $\Leftrightarrow \left[
\begin{align} & \cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
\\ & \cos \alpha =-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
\\ \end{align} \right.$.
Vì
$\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\dfrac{3\pi }{2}$ nên ta chọn $\cos \alpha =-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$;
${{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}$$\Leftrightarrow
\sin \alpha =\pm \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
TH2:
Với $\cos 2\alpha =-\dfrac{3}{5}$ $\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}\alpha -1=-\dfrac{3}{5}$
$\Leftrightarrow $${{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{5}$ $\Leftrightarrow \left[
\begin{align} & \cos \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{5}
\\ & \cos \alpha =-\dfrac{\sqrt{5}}{5}
\\ \end{align} \right.$.
Vì
$\dfrac{\pi }{2}<\alpha <\dfrac{3\pi }{2}$ nên ta chọn $\cos \alpha =-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$;
${{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$$\Leftrightarrow
\sin \alpha =\pm \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Câu
10. Chứng minh
rằng:
a) $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin
\left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)$;
b) $\sin \left( a+b
\right)\sin\left( a-b \right)$$={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos
}^{2}}b-{{\cos }^{2}}a$;
c) $\sin \left( x+\dfrac{\pi
}{4} \right)-\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\cos x$.
Lời
giải
a)
Ta có $\sin x+\cos x$$=\sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos
x \right)$$=\sqrt{2}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x
\right)$
$=\sqrt{2}\left( \cos\dfrac{\pi
}{4}\sin x+\sin \dfrac{\pi }{4}\cos x \right)$$=\sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi
}{4} \right)$.
b)
Cách 1:
$\sin
\left( a+b \right) \sin\left( a-b \right)$
$=\left(
\sin a\cos b+\cos a\sin b \right)\left( \sin a\cos b-\cos a\sin b \right)$
$={{\sin
}^{2}}a{{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a{{\sin }^{2}}b$
$={{\sin
}^{2}}a(1-{{\sin}^{2}}b)-(1-{{\sin}^{2}}a){{\sin }^{2}}b$
$={{\sin
}^{2}}a-{{\sin }^{2}}a{{\sin}^{2}}b-{{\sin }^{2}}b+{{\sin}^{2}}a{{\sin }^{2}}b$
$={{\sin
}^{2}}a-{{\sin }^{2}}b=1-{{\cos }^{2}}a-\left( 1-{{\cos }^{2}}b \right)$
$={{\cos
}^{2}}b-{{\cos }^{2}}a$.
Cách 2:
$\sin \left( a+b
\right) \sin\left( a-b \right)=-\dfrac{1}{2}\left[ \text{cos2}a-\text{cos2}b
\right]$
$=-\dfrac{1}{2}\left[ \left(
2{{\cos }^{2}}a-1 \right)-\left( 2{{\cos }^{2}}b-1 \right) \right]$
$={{\cos
}^{2}}b-{{\cos }^{2}}a$
$=\left(
1-{{\sin }^{2}}b \right)-\left( 1-{{\sin }^{2}}a \right)$
$={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b$.
c)
$\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)-\sin \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right)$
$=\sin x\cos \dfrac{\pi
}{4}+\cos x\sin \dfrac{\pi }{4}$$-\left( \sin x\cos \dfrac{\pi }{4}-\cos x\sin
\dfrac{\pi }{4} \right)$
$=2\cos x\sin \dfrac{\pi }{4}=2\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos
x$$=\sqrt{2}\cos x$.
Câu
11. Rút gọn các
biểu thức sau:
a) ${\sqrt{2} \sin \left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)-\cos
\alpha}$.
b) ${(\cos \alpha+\sin
\alpha)^2-\sin 2 \alpha}$.
Lời giải
a) $\sqrt{2}\sin \left( \alpha
+\dfrac{\pi }{4} \right)-\cos \alpha =\sin x$.
b) ${{(\cos \alpha +\sin \alpha
)}^{2}}-\sin 2\alpha $$={{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\alpha +2\sin \alpha
.\cos \alpha $$-2\sin \alpha .\cos \alpha =1$
Câu
12. Chứng minh
các hệ thức sau:
a) ${{\sin }^{4}}x+{{\cos
}^{4}}x=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\cos 4x$.
b) ${{\sin }^{6}}x+{{\cos
}^{6}}x=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}\cos 4x$.
c) $\sin x.{{\cos }^{3}}x-\cos
x.{{\sin }^{3}}x=\dfrac{1}{4}\sin 4x$.
Lời
giải
a)
${{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x$$={{\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x
\right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x$$=1-\dfrac{1}{2}.{{\sin }^{2}}2x$
$=1-\dfrac{1}{2}.{{\sin }^{2}}2x$$=1-\dfrac{1}{2}.\left(
\dfrac{1-\cos 4x}{2} \right)$$=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\cos 4x$.
b)
${{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x$$=\left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x
\right)\left( {{\sin }^{4}}x-{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{4}}x
\right)$
$={{\left(
{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x$
$=1-\dfrac{3}{4}{{\sin
}^{2}}2x$$=1-\dfrac{3}{8}\left( 1-\cos 4x \right)$$=\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}\cos
4x$.
c)
$\sin x.{{\cos }^{3}}x-\cos x.{{\sin }^{3}}x$$=\sin x\cos x.({{\cos
}^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)$$=\dfrac{1}{2}\sin 2x\cos 2x=\dfrac{1}{4}\sin 4x$.
Câu
13. Biến đổi
thành tổng các biểu thức:
a)
$2\sin (a+b)\cos (a-b)$.
b)
$2\cos (a+b)\cos (a-b)$.
c)
$4\sin 3x\sin 2x\cos x$.
d)
$4\sin \dfrac{13x}{2}\cos x\cos \dfrac{x}{2}$.
Lời giải
a)
$2\sin (a+b)\cos (a-b)$$=\sin 2a+\sin 2b$.
b)
$2\cos (a+b)\cos (a-b)$$=\cos 2a+\cos 2b$.
c)
$4\sin 3x\sin 2x\cos x$$=2\sin 3x(\sin 3x+\sin x)$$=2{{\sin }^{2}}3x+2\sin
3x\sin x$$=2{{\sin }^{2}}3x-\cos 4x+\cos x$
d)
$4\sin \dfrac{13x}{2}\cos x\cos \dfrac{x}{2}$$=2\sin \dfrac{13x}{2}\left( \cos
\dfrac{3x}{2}+\cos \dfrac{x}{2} \right)$$=2\sin \dfrac{13x}{2}\cos \dfrac{3x}{2}+2\sin
\dfrac{13x}{2}\cos \dfrac{x}{2}$
$=\sin
8x+\sin 5x+\sin 7x+\sin 6x$.
Câu
14. Biến đổi
thành tích các biểu thức:
a)
$A=\sin 2x+\sin 4x+\sin 6x$.
b)
$B=\sin 5x+\sin 6x+\sin 7x+\sin 8x$.
Lời
giải
a)
$A=\sin 2x+\sin 6x+\sin 4x$ $=2\sin 4x\cos 2x+\sin 4x$$=\sin 4x(2\cos 2x+1)$
$=2\sin 4x\left( \cos 2x+\cos \dfrac{\pi
}{3} \right)$$=4\sin 4x\cos \left( x+\dfrac{\pi }{6} \right)\cos \left( x-\dfrac{\pi
}{6} \right).$
b)
$B=\sin 5x+\sin 8x+\sin 6x+\sin 7x$$=2\sin \dfrac{13x}{2}\left( \cos \dfrac{3x}{2}+\cos
\dfrac{x}{2} \right)$$=4\sin \dfrac{13x}{2}\cos x\cos \dfrac{x}{2}.$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Biểu thức $\sin x\cos y-\cos x\sin y$ bằng
A. $\cos \left( x-y \right)$.
B. $\cos \left( x+y \right)$.
C. $\sin \left( x-y \right)$.
D. $\sin \left( y-x \right)$.
Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức cộng: $\sin \left(
x-y \right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$.
Câu 2. Rút gọn biểu thức: $\sin \left( a-17{}^\circ \right).\cos \left( a+13{}^\circ \right)$$-\sin \left( a+13{}^\circ \right).\cos \left( a-17{}^\circ \right)$, ta được:
A. $\sin 2a.$
B. $\cos 2a.$
C. $-\dfrac{1}{2}.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
Lời giải
Chọn
C
Ta có: $\sin \left(
a-17{}^\circ \right).\cos \left(
a+13{}^\circ \right)$$-\sin \left(
a+13{}^\circ \right).\cos \left(
a-17{}^\circ \right)$$=\sin \left[ \left(
a-17{}^\circ \right)-\left(
a+13{}^\circ \right) \right]$
$=\sin \left(
-30{}^\circ \right)=-\dfrac{1}{2}.$
Câu 3. Cho $\tan \alpha =2$. Tính $\tan \left(
\alpha -\dfrac{\pi }{4} \right)$.
A.
$-\dfrac{1}{3}$.
B.
$1$.
C.
$\dfrac{2}{3}$.
D.
$\dfrac{1}{3}$.
Lời
giải
Chọn
D
Ta có $\tan \left( \alpha -\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\tan
\alpha -\tan \dfrac{\pi }{4}}{1+\tan \alpha \tan \dfrac{\pi }{4}}$$=\dfrac{2-1}{1+2}=\dfrac{1}{3}$.
Câu
4. Cho
$\cos x=\dfrac{4}{5},\text{ }x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};0 \right)$. Giá trị của
$\sin 2x$ là
A. $\dfrac{24}{25}$.
B. $-\dfrac{24}{25}$.
C. $-\dfrac{1}{5}$.
D. $\dfrac{1}{5}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${{\sin }^{2}}x=1-{{\cos }^{2}}x=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$$\Rightarrow
\sin x=-\dfrac{3}{5}$ vì $x\in \left( -\dfrac{\pi }{2};0 \right)\Rightarrow
\sin x<0$.
Vậy $\sin 2x=2\sin x.\cos
x$$=2.\dfrac{4}{5}.\left( -\dfrac{3}{5} \right)=-\dfrac{24}{25}$.
Câu 5. Cho $\sin x=\dfrac{3}{5}$ với $\dfrac{\pi
}{2}<x<\pi $ khi đó $\tan \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)$ bằng.
A.
$\dfrac{2}{7}$.
B.
$\dfrac{-1}{7}$.
C. $\dfrac{-2}{7}$.
D. $\dfrac{1}{7}$.
Lời giải
Chọn D
Từ ${{\sin
}^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1$$\Rightarrow \cos x=\pm \sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}$$=\pm
\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\pm \dfrac{4}{5}$.
Vì $\dfrac{\pi
}{2}<x<\pi $ nên $\cos x=-\dfrac{4}{5}$ do đó $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{3}{4}$.
Ta
có: $\tan \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\tan
x+\tan \dfrac{\pi }{4}}{1-\tan x.\tan \dfrac{\pi }{4}}$$=\dfrac{-\dfrac{3}{4}+1}{1+\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{7}$.
Câu 6. Biểu
thức $A={{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{3}+x \right)$$+{{\cos
}^{2}}\left( \dfrac{\pi }{3}-x \right)$ không phụ thuộc $x$ và bằng:
A. $\dfrac{3}{4}.$
B. $\dfrac{4}{3}.$
C. $\dfrac{3}{2}.$
D. $\dfrac{2}{3}.$
Lời giải
Chọn
C
Ta
có:
$A={{\cos
}^{2}}x+{{\cos }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{3}+x \right)+{{\cos }^{2}}{{\left( \dfrac{\pi
}{3}-x \right)}^{2}}$
$={{\cos }^{2}}x+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos
x-\dfrac{1}{2}\sin x \right)}^{2}}$$+\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\dfrac{1}{2}\sin
x \right)$
$=\dfrac{3}{2}$.
Câu 7. Cho $\sin 2\alpha =\dfrac{3}{4}.$ Tính giá trị biểu thức $A=\tan
\alpha +\cot \alpha $.
A. $A=\dfrac{4}{3}$.
B. $A=\dfrac{2}{3}$.
C. $A=\dfrac{8}{3}$.
D. $A=\dfrac{16}{3}$.
Lời giải
Chọn C
$A=\tan \alpha +\cot \alpha $$=\dfrac{\sin
\alpha }{\cos \alpha }+\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{{{\sin
}^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }$$=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\sin
2\alpha }=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}}=\dfrac{8}{3}$.
Câu 8. Cho biết $c\text{os}\alpha =-\dfrac{2}{3}$. Giá trị của biểu
thức $P=\dfrac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }$ bằng
bao nhiêu?
A. $P=\dfrac{19}{13}.$
B. $P=\dfrac{25}{13}.$
C. $P=-\dfrac{25}{13}.$
D. $P=-\dfrac{19}{13}.$
Lời giải
Chọn A
Ta
có: $\cos \alpha =-\dfrac{2}{3}$$\Rightarrow {{\tan }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{{{\cos
}^{2}}\alpha }-1$$=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{-2}{3} \right)}^{2}}}-1=\dfrac{5}{4}$.
$P=\dfrac{\cot \alpha +3\tan
\alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }$$=\dfrac{\dfrac{1}{\tan \alpha }+3\tan
\alpha }{\dfrac{2}{\tan \alpha }+\tan \alpha }=\dfrac{\dfrac{1+3{{\tan
}^{2}}\alpha }{\tan \alpha }}{\dfrac{2+{{\tan }^{2}}\alpha }{\tan \alpha }}$$=\dfrac{1+3{{\tan
}^{2}}\alpha }{2+{{\tan }^{2}}\alpha }=\dfrac{1+3.\dfrac{5}{4}}{2+\dfrac{5}{4}}=\dfrac{19}{13}$.
Câu 9. Cho $\cos 2\alpha =\dfrac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $P=\cos
\alpha .\cos 3\alpha $.
A. $P=\dfrac{7}{18}$.
B. $P=\dfrac{7}{9}$.
C. $P=\dfrac{5}{9}$.
D. $\dfrac{5}{18}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $P=\cos \alpha .\cos
3\alpha $$=\dfrac{1}{2}\left( \cos 2\alpha +\cos 4\alpha \right)$$=\dfrac{1}{2}\left( 2{{\cos
}^{2}}2\alpha +\cos 2\alpha -1 \right)$$=\dfrac{1}{2}\left[ 2{{\left( \dfrac{2}{3}
\right)}^{2}}+\dfrac{2}{3}-1 \right]=\dfrac{5}{18}$.
Câu 10. Cho biểu thức $A={{\sin }^{2}}\left( a+b \right){{\sin
}^{2}}a{{\sin }^{2}}b.$ Hãy chọn kết quả đúng:
A. $A=2\cos a.\sin b.\sin \left(
a+b \right).$
B. $A=2\sin a.\cos b.\cos \left(
a+b \right).$
C. $A=2\cos a.\cos b.\cos \left(
a+b \right).$
D. $A=2\sin a.\sin b.\cos \left(
a+b \right).$
Lời giải
Chọn
D
Ta
có: $A={{\sin }^{2}}\left( a+b \right){{\sin }^{2}}a{{\sin }^{2}}b$$={{\sin
}^{2}}\left( a+b \right)-\dfrac{1-\cos 2a}{2}-\dfrac{1-\cos 2b}{2}$
$={{\sin }^{2}}\left( a+b
\right)-1+\dfrac{1}{2}\left( \cos 2a+\cos 2b \right)$$=-{{\cos }^{2}}\left( a+b
\right)+\cos \left( a+b \right)\cos \left( a-b \right)$
$=\cos \left( a+b \right)\left[
\cos \left( a-b \right)-\cos \left( a+b \right) \right]$$=2\sin a\sin b\cos
\left( a+b \right).$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Biết
${\sin a=\dfrac{8}{17}, \tan b=\dfrac{5}{12}}$ và ${a}$, ${b}$ là các góc nhọn.
a)
$\tan a=\dfrac{8}{15}$.
b)
$\sin (a-b)=\dfrac{21}{221}$.
c)
$\cos (a+b)=\dfrac{14}{22}$.
d)
$\tan (a+b)=\dfrac{17}{14}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Vì ${a, b}$ là các góc nhọn nên ${\cos a>0, \cos b>0}$.
Ta có: $\cos a=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}a}=\dfrac{15}{17}$${\cos
a=\sqrt{1-\sin ^2 a}=\dfrac{15}{17} \Rightarrow \tan a=\dfrac{\sin a}{\cos a}=\dfrac{8}{15}}$;
$\cos b=\sqrt{\dfrac{1}{1+{{\tan }^{2}}b}}=\dfrac{12}{13}$$\Rightarrow
\sin b=\cos b\tan b=\dfrac{5}{13}\text{.}$
Khi đó:
$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$${=\dfrac{8}{17} \cdot \dfrac{12}{13}-\dfrac{15}{17} \cdot \dfrac{5}{13}=\dfrac{21}{221}}$.
$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$${=\dfrac{15}{17} \cdot \dfrac{12}{13}-\dfrac{8}{17} \cdot \dfrac{5}{13}=\dfrac{140}{221}}$.
$\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$${=\dfrac{\dfrac{8}{15}+\dfrac{5}{12}}{1-\dfrac{8}{15}\cdot \dfrac{5}{12}}=\dfrac{171}{140}.}$
Câu 2. Biết
$\cos 2\alpha =\dfrac{5}{9},0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ $.
a) ${\sin \alpha=\dfrac{\sqrt{28}}{9}}$.
b) ${\cos \alpha=\dfrac{\sqrt{53}}{9}}$.
c) $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{371}}{53}$.
d) $\cot \alpha =\dfrac{\sqrt{371}}{14}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
Ta có: ${{\sin }^{2}}\alpha =\dfrac{1-\cos 2\alpha }{2}=\dfrac{1-{{\left( \dfrac{5}{9} \right)}^{2}}}{2}=\dfrac{28}{81}$${\Rightarrow \sin \alpha= \pm \dfrac{\sqrt{28}}{9}}$.
Vì $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ $ nên ${\sin
\alpha=\dfrac{\sqrt{28}}{9}}$.
${{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\left( \dfrac{\sqrt{28}}{9}
\right)}^{2}}=\dfrac{53}{81}$${\Rightarrow \cos \alpha= \pm \dfrac{\sqrt{53}}{81}}$.
Vì $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ $ nên ${\cos
\alpha=\dfrac{\sqrt{53}}{9}}$.
$\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{2\sqrt{371}}{53}$.
$\cot \alpha =\dfrac{1}{\tan \alpha }=\dfrac{\sqrt{371}}{14}$.
Câu 3. Cho $\cos a=\dfrac{1}{3}$, $\cos
b=\dfrac{1}{4}$.
a) ${{\sin}^{2}}a=\dfrac{8}{9}$.
b) ${{\sin}^{2}}a>{{\sin
}^{2}}b$.
c) ${{\sin}^{2}}a+{{\sin
}^{2}}b>1$.
d) $\cos \left( a+b
\right).\cos \left( a-b \right)=\dfrac{11}{14}$.
Lời
giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Ta có ${{\sin}^{2}}a=1-{{\cos
}^{2}}a=\dfrac{8}{9}$; ${{\sin}^{2}}b=1-{{\cos }^{2}}b=\dfrac{15}{16}$.
Ta có $\cos \left( a+b \right).\cos
\left( a-b \right)$
$=\left( \cos a\cos b-\sin a\sin
b \right)\left( \cos a\cos b+\sin a\sin b \right)$
$={{\cos }^{2}}a.{{\cos
}^{2}}b-{{\sin }^{2}}a.{{\sin }^{2}}b$
$=\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{16}-{{\sin
}^{2}}a.{{\sin }^{2}}b$ (3)
Suy ra $\cos \left( a+b
\right).\cos \left( a-b \right)$$=\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{16}-\dfrac{8}{9}.\dfrac{15}{16}=-\dfrac{119}{144}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho ${\sin
x=\dfrac{1}{5}, \dfrac{\pi}{2}<x<\pi}$. Tính ${\cot 2 x}$ có dạng $-\dfrac{a\sqrt{6}}{b}$
với $a,\,\,b\in \mathbb{Z}$ và $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tính $a+b$
Trả lời:
$143$
Lời giải
Do $\dfrac{\pi }{2}<x<\pi \Rightarrow \cos x<0$.
$\sin x=\dfrac{1}{5}\Rightarrow \cos x=-\sqrt{1-{{\sin }^{2}}x}=-\dfrac{2\sqrt{6}}{5}.$
$\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x=1-2\cdot \dfrac{1}{25}=\dfrac{23}{25}$.
$\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$$=2\cdot \dfrac{1}{5}\cdot
\left( -\dfrac{2\sqrt{6}}{5} \right)=-\dfrac{4\sqrt{6}}{5}$.
$\cot 2x=\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{\dfrac{23}{25}}{-\dfrac{4\sqrt{6}}{5}}=-\dfrac{23\sqrt{6}}{120}$.
$a+b=143$.
Câu
2. Cho hai góc
nhọn ${a}$ và ${b}$ với ${\tan a=\dfrac{1}{7}}$ và ${\tan b=\dfrac{3}{4}}$.
Tính ${a+b}$ (đơn vị độ).
Trả lời: $45$
Lời giải
Ta có: $\tan (a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan
b}$${=\dfrac{\dfrac{1}{7}+\dfrac{3}{4}}{1-\dfrac{1}{7}
\cdot \dfrac{3}{4}}=1}$, suy ra $a+b=45{}^\circ $.
Câu
3. Cho ${\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{3}}$.
Tính giá trị của biểu thức sau: ${A=(\cos \alpha+\cos \beta)^2+(\sin
\alpha+\sin \beta)^2}$.
Trả lời: $3$
Lời giải
$A={{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\beta +2\cos \alpha
\cos \beta $$+{{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta +2\sin \alpha \sin \beta
$
$=2+2\cos \alpha \cos \beta +2\sin \alpha \sin \beta $$=2+2\cos
(\alpha -\beta )=2+2\cos \dfrac{\pi }{3}=3$.
Câu
4. Từ một vị
trí ${A}$, người ta buộc hai sợi cáp ${A B}$ và ${A C}$ đến một cái trụ cao ${15
{~m}}$, được dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí ${D}$. Biết ${C D=9
{~m}}$ và ${A D=12 {~m}}$. Tìm góc nhọn ${\alpha=\widehat{B A C}}$ tạo bởi hai
sợi dây cáp đó, đồng thời tính gần đúng ${\alpha}$ (làm tròn đến hàng phần chục,
đơn vị độ).
Trả lời: $14,5$
Lời giải
Ta có:
$\tan \alpha =\tan (\widehat{BAD}-\widehat{CAD})$$=\dfrac{\tan
\widehat{BAD}-\tan \widehat{CAD}}{1+\tan \widehat{BAD}\tan \widehat{CAD}}$$=\dfrac{\dfrac{15}{12}-\dfrac{9}{12}}{1+\dfrac{15}{12}\cdot
\dfrac{9}{12}}=\dfrac{8}{31}.$
Vậy $\alpha \approx 14,5{}^\circ $.
Câu
5. Cho ${\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{3}}$
và ${\cos \alpha \neq \cos \beta}$. Tính ${\dfrac{\sin \alpha-\sin \beta}{\cos
\alpha-\cos \beta}}$.
Trả lời: $-1,7$
Lời giải
$\dfrac{\sin \alpha -\sin \beta }{\cos \alpha -\cos \beta
}$$=\dfrac{2\cos \dfrac{\alpha +\beta }{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta
}{2}}{-2\sin \dfrac{\alpha +\beta }{2}\sin \dfrac{\alpha -\beta }{2}}$${=-\cot
\dfrac{\alpha+\beta}{2}=-\cot \dfrac{\pi}{6}=-\sqrt{3}}$.
