BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một
điểm
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left( a;b \right)$ và ${{x}_{0}}\in
\left( a;b \right)$.
Hàm số $y=f(x)$
liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ $ \Leftrightarrow $ $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$.
Chú
ý:
Khi hàm
số $y=f(x)$ không liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ thì ta nói $f(x)$ gián đoạn tại
điểm ${{x}_{0}}$ và ${{x}_{0}}$ được gọi là điểm gián đoạn của
hàm số $f(x)$.
Để xét tính liên tục của hàm số $y=f(x)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ ta thực hiện
các bước:
B1: Tính $f({{x}_{0}})$.
B2: Tính $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ (hoặc $\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$
và $\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim
}}\,f(x)$).
B3: So sánh $\underset{x\to
{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ với $f({{x}_{0}})$ và rút ra kết luận.
Hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=1$
Hàm số không liên tục tại ${{x}_{0}}=1$
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn
Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng
$(a;b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$
nếu nó liên tục trên khoảng $(a;b)$ và $\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim
}}\,f(x)=f(a)$ (liên tục phải tại $a$), $\underset{x\to
{{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)$ (liên tục trái tại $b$).
Chú ý: Đồ thị của một
hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền nét” trên khoảng đó.
3.
Tính liên tục của hàm số sơ cấp
- Hàm số
đa thức $y=P(x)$, các hàm số lượng giác $y=\sin x,\,\,y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số
phân thức $y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, hàm số căn thức $y=\sqrt{P(x)}$, các hàm số
lượng giác $y=\tan x$, $y=\cot x$ liên tục trên các khoảng của tập xác định của
chúng.
Trong đó
$P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức.
Nhận
xét: Hàm số thuộc
những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.
Sau đây,
khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính
liên tục của hàm số đó trên những khoảng của tập xác định của nó.
4. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương
Giả sử các hàm số $y=f(x),\,\,y=g(x)$ liên tục tại
điểm ${{x}_{0}}$. Khi đó:
Các hàm số $y=f(x)+g(x)$, $y=f(x)-g(x)$, $y=f(x).g(x)$
liên tục tại ${{x}_{0}}$.
Hàm số $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại ${{x}_{0}}$
nếu $g({{x}_{0}})\ne 0$.
5. Định lý
Nếu $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a).f(b)<0$ thì tồn
tại ít nhất một số $c\in (a,b)$ sao cho $f(c)=0$.
Nói cách khác: Nếu $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$
và $f(a).f(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trong
khoảng $(a;b)$.
Mở rộng: Nếu hàm $y=f(x)$ liên tục trên $\left[ a;b
\right]$ và $f\left( x \right)=0$ vô nghiệm trên $\left[ a;b \right]$ thì hàm
số $y=f(x)$ có dấu không đổi trên $\left[ a;b \right]$.
BÀI TẬP
TỰ LUẬN
Câu 1. Xét
tính liên tục của các hàm số sau tại điểm ${{x}_{0}}$:
a) $f\left( x \right)=\left\{
\begin{align} & \dfrac{{{x}^{2}}-25}{x-5}\,\,khi\,\, x\ne 5 \\ & 9 \,\,khi
\,\,x=5 \\ \end{align} \right.$ tại ${{x}_{0}}=5$.
b) $f\left( x \right)=\left\{
\begin{align} & \dfrac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}\,\,khi\,\, x\ne 2 \\ & 1 \,\,khi\,\,
x=2 \\ \end{align} \right.$ tại ${{x}_{0}}=2$.
c) $f\left( x \right)=\left\{
\begin{align} & \,3x+1\,\,\,\,khi\,\,\,x\le 0 \\ & \dfrac{\sqrt{1+2x}-1}{x}\,\,khi\,\,\,x>0
\\ \end{align} \right.$ tại ${{x}_{0}}=0$.
d) $f\left( x \right)=\left\{
\begin{align} & \dfrac{{{x}^{2}}-4x+3}{x-1}\,\,\text{khi}\,\,x>1 \\ &
x-3\,\,\text{khi}\,\,x\le 1\,\,\, \\ \end{align} \right.$ tại ${{x}_{0}}=1$.
Lời giải
a) Ta có $\underset{x\to
5}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-25}{x-5}=\underset{x\to 5}{\mathop{\lim
}}\,\left( x+5 \right)$ $=10\ne 9=f\left( 5 \right)$.
Vậy hàm số không liên tục tại ${{x}_{0}}=5~$.
b) Ta có $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( 1-\sqrt{2x-3} \right)\left( 1+\sqrt{2x-3}
\right)}{\left( 2-x \right)\left( 1+\sqrt{2x-3} \right)}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{4-2x}{\left( 2-x \right)\left( 1+\sqrt{2x-3}
\right)}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2}{\left( 1+\sqrt{2x-3}
\right)}=1=f\left( 2 \right)$.
Vậy hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=2~$.
c) Ta có: $f\left( 0 \right)=\,1$;
$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,f\left( x \right)\,=\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left(
3x+1 \right)\,=\,1$;
$\underset{x\to
{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\,=\,\underset{x\to
{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$ $=\,\underset{x\to
{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2x}{x\left( \sqrt{1+2x}+1 \right)}$ $=\underset{x\to
{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2}{\sqrt{1+2x}+1}=1$.
Do $\underset{x\to
{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$ nên hàm số đã cho liên tục tại ${{x}_{0}}=0$.
d) Ta có: $\underset{x\to
{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-4x+3}{x-1}$ $=\underset{x\to
{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=-2$;
$\underset{x\to
{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-3 \right)=-2$;
$f\left( 1 \right)=-2$.
Do $\underset{x\to
{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$ nên hàm
số đã cho liên tục tại ${{x}_{0}}=1$.
Câu 2. Tìm $m$
để các hàm số sau liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$:
a) $f\left( x \right)=\left\{
\begin{align} & \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{{{x}^{2}}-4}\,\,khi\,\,x\ne 2 \\ &
m \,\,khi \,\,x=2 \\ \end{align} \right.$ tại ${{x}_{0}}=2~$.
b) $f\left( x \right)=\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x} & \text{khi} &
x<0 \\ m+\dfrac{1-x}{1+x} & \text{khi} & x\ge 0 \\\end{array}
\right.$ tại ${{x}_{0}}=0$.
Lời
giải
a) Ta có $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{{{x}^{2}}-4}$
$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-2}{\left( \sqrt{x+2}+2
\right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\left(
\sqrt{x+2}+2 \right)\left( x+2 \right)}=\dfrac{1}{16}$.
Để hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=2$
thì $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f\left( 2 \right)=m\Leftrightarrow
m=\dfrac{1}{16}$.
b) Ta có $f\left( 0 \right)=m+1$
$\underset{x\to
{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( m+\dfrac{1-x}{1+x} \right)=m+1$;
$\underset{x\to
{{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \dfrac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x} \right)=$ $\underset{x\to
{{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-2x}{x\left( \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \right)}$
$=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-2}{\left(
\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \right)}=-1$.
Để hàm số liên tục tại ${{x}_{0}}=0$
thì $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x
\right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 0
\right)$ $\Leftrightarrow m+1=-1\Leftrightarrow m=-2$.
Câu 3. Xét
tính liên tục của các hàm số sau:
a) ${f(x)=\dfrac{x}{x^2-4}}$.
b) ${g(x)=\sqrt{9-x^2}}$.
c) ${h(x)=\cos x+\tan x}$.
Lời giải
a) ${f(x)=\dfrac{x}{x^2-4}}$ là hàm số phân thức có tập xác
định là ${(-\infty;2) \cup (2;+\infty)}$ nên hàm số ${{f}({x})}$ liên tục trên
các khoảng ${(-\infty ; 2)}$ và ${(2 ;+\infty)}$.
b) ${g(x)=\sqrt{9-x^2}}$ là hàm số căn thức có tập xác định
là ${[-3 ; 3]}$ nên hàm số ${{g}({x})}$ liên tục trên khoảng $\left( -3;3
\right)$.
c) ${h(x)=\cos x+\tan x}$ là hàm số lượng giác có tập xác định
là $\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}
\right\}$ nên hàm số ${{h}({x})}$ liên tục trên các khoảng $\left( -\dfrac{\pi
}{2}+k\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k\pi \right)$ với $k\in \mathbb{Z}$.
Câu 4. Tại
một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của ${x}$
(kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x)=\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} 4,5x & \text{ khi }0<x\le 400 \\ 4x+k &
\text{ khi }x>400 \\\end{array}\text{ } \right.$ ($k$ là một hằng số).
a) Với ${k=0}$, xét tính liên tục
của hàm số ${P(x)}$ trên ${(0 ;+\infty)}$.
b) Với giá trị nào của ${k}$ thì
hàm số ${P(x)}$ liên tục trên ${(0 ;+\infty)}$?
Lời giải
a) Với ${k=0}$. Xét:
$\underset{x\to {{400}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,P(x)=\underset{x\to {{400}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,4,5x$ $=4,5.400=1800$;
$\underset{x\to {{400}^{+}}}{\mathop{\lim
}}\,P(x)=\underset{x\to {{400}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,4x$ $=4.400=1600$.
Suy ra không tồn tại ${\lim _{x \rightarrow 400} P(x)}$ nên
hàm số ${{P}({x})}$ không liên tục tại ${x_0=400}$.
Vậy hàm số ${{P}({x})}$ không liên tục trên ${(0 ;+\infty)}$.
b) Để hàm số ${{P}({x})}$ liên tục trên ${(0 ;+\infty)}$ thì
hàm số phải liên tục tại ${x_0=400}$ hay ${\lim _{x \rightarrow 400}
P(x)=P(400)}$
Ta có:
$\underset{x\to {{400}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,P(x)=\underset{x\to {{400}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,4,5x$ $=4,5.400=1800$;
$\underset{x\to {{400}^{+}}}{\mathop{\lim
}}\,P(x)=\underset{x\to {{400}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(4x+k)$ $=4.400+k=1600+k$.
Để tồn tại ${\lim _{x \rightarrow 400} P(x)}$ thì ${1800=1600+{k}}$.
Suy ra ${{k}=200}$.
Câu 5. Một
hãng taxi đưa ra giá cước ${T(x)}$ (đồng) khi đi quãng đường ${x({~km})}$ cho
loại xe $4$ chỗ như sau:
$T(x)=\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} 10000 & \text{ khi }0<x\le 0,7 \\ 10000+(x-0,7).14000
& \text{ khi }0,7<x\le 20 \\ 280200+(x-20).12000 & \text{ khi
}x>20. \\\end{array} \right.$
Xét tính liên tục của hàm số ${T(x)}$.
Lời giải
${T(x)=10000}$ với ${0<x \leq 0,7}$ là hàm số đa thức nên
nó liên tục trên ${(0 ; 0,7)}$.
$T(x)=10000+(x-0,7).14000$ với ${0,7<x \leq 20}$ là hàm
đa thức nên nó liên tục trên ${(0,7 ; 20)}$.
${T(x)=280200+(x-20) .12000}$ với ${x>20}$ là hàm đa thức
nên nó liên tục trên ${(20 ;+\infty)}$.
Ta có:
$\underset{x\to 0,{{7}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,T(x)=\underset{x\to 0,{{7}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,10000=10000$;
$\underset{x\to 0,{{7}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,T(x)$ $=\underset{x\to
0,{{7}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,[10000+(x-0,7).14000]$ $=10000$.
Suy ra ${\lim _{x \rightarrow 0,7} T(x)=T(0,7)}$. Hàm số ${T(x)}$
liên tục tại $0,7$.
$\underset{x\to {{20}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,T(x)$ $=\underset{x\to
{{20}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,[10000+(x-0,7).14000]$ $=280200$;
$\underset{x\to {{20}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,T(x)$ $=\underset{x\to
{{20}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,[280200+(x-20).12000]$ $=280200$.
Suy ra ${\lim _{x \rightarrow 20} T(x)=T(20)}$. Hàm số ${T(x)}$
liên tục tại $20$.
Vậy hàm số ${T(x)}$ liên tục trên ${(0 ;+\infty)}$.
Câu
6. Chứng minh rằng
các phương trình luôn có nghiệm:
a) ${{x}^{4}}-3x+1=0$.
b) ${{x}^{5}}-10{{x}^{3}}+100=0$.
Lời
giải
a) Hàm số $f\left( x
\right)={{x}^{4}}-3x+1$ liên tục với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
Ta có $f\left( 0
\right)=1;f\left( 1 \right)=-1$ $\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1
\right)<0$ $\Rightarrow \exists {{x}_{0}}\in \left( 0;1 \right)$ thỏa $f\left(
{{x}_{0}} \right)=0$.
Như vậy phương trình $f\left( x
\right)=0$ tồn tại ít nhất $1$ nghiệm nằm trong khoảng $\left( 0;1 \right)$.
Vậy phương trình đã cho luôn có
nghiệm.
b) Hàm số $f\left( x
\right)={{x}^{5}}-10{{x}^{3}}+100$ liên tục với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
Ta có $f\left( 0
\right)=100;f\left( -10 \right)=-89900$ $\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left(
10 \right)<0$ $\Rightarrow \exists {{x}_{0}}\in \left( -10;0 \right)$ thỏa $f\left(
{{x}_{0}} \right)=0$.
Vậy phương trình $f\left( x
\right)=0$ có ít nhất $1$ nghiệm nằm trong khoảng $\left( -10;0 \right)$.
Vậy phương trình đã cho luôn có
nghiệm.
Câu
7. Chứng minh rằng
phương trình $4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-x-3=0$ có ít nhất $2$ nghiệm trong khoảng $\left(
-1;1 \right)$.
Lời
giải
Đặt $f\left( x \right)=4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-x-3$.
Hàm số $f\left( x
\right)=4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-x-3$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên
$\left[ -1;0 \right]$, $\left[ 0;1 \right]$.
Ta có $f\left( -1 \right)=4\,$, $f\left(
0 \right)=-3$, $f\left( 1 \right)=2$.
Vì $f\left( -1 \right).\,f\left(
0 \right)<0\,$ nên phương trình có ít nhất $1$ nghiệm thuộc khoảng $\left(
-1;0 \right)$.
Vì $f\left( 0 \right).\,f\left(
1 \right)<0\,$ nên phương trình có ít nhất $1$ nghiệm thuộc khoảng $\left(
0;1 \right)$.
Mà $\left( -1;0 \right)$ và $\left(
0;1 \right)$ là
hai khoảng phân biệt.
Vậy phương trình $4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-x-3=0$
có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left( -1;1 \right)$.
Câu
8. Cho $3$ số $a$,
$b$, $c$ thỏa
mãn $12a+15b+20c=0$. Chứng minh phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm
thuộc $\left[ 0;\dfrac{4}{5} \right]$.
Lời
giải
Xét hàm
số $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$.
Hàm số $f\left( x
\right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có $f\left( \dfrac{4}{5}
\right)=\dfrac{16}{25}a+\dfrac{4}{5}b+c$ nên $\dfrac{75}{4}f\left( \dfrac{4}{5}
\right)=12a+15b+\dfrac{75}{4}c$.
$f\left( 0 \right)=c$ nên $\dfrac{5}{4}f\left( 0 \right)=\dfrac{5}{4}c$.
Do đó $\dfrac{75}{4}f\left( \dfrac{4}{5}
\right)+\dfrac{5}{4}f\left( 0 \right)$ $=12a+15b+20c=0$.
Suy ra $f\left( \dfrac{4}{5}
\right)$, $f\left( 0 \right)$ trái dấu hoặc cả hai đều bằng $0$.
Vậy phương trình $a{{x}^{2}}+bx+c=0$
luôn có nghiệm thuộc $\left[ 0;\dfrac{4}{5} \right]$.
Câu
9. Chứng minh rằng
phương trình sau luôn có nghiệm:
$a\left( x-b \right)\left( x-c
\right)+b\left( x-c \right)\left( x-a \right)$ $+c\left( x-a \right)\left( x-b
\right)=0$ (với $a, b, c$ là các số dương).
Lời
giải
Không mất tính tổng quát ta xét $0<a<b<c$.
Hàm số $f\left( x \right)=a\left(
x-b \right)\left( x-c \right)$ $+b\left( x-c \right)\left( x-a \right)+c\left(
x-a \right)\left( x-b \right)$.
Khi đó ta có: $f\left( a
\right)=a\left( a-b \right)\left( a-c \right)>0$; $f\left( b \right)=b\left(
b-a \right)\left( b-c \right)\le 0$
$\Rightarrow f\left( a
\right)f\left( b \right)\le 0\Rightarrow \exists {{x}_{0}}\in \left[ a;b
\right]:f\left( {{x}_{0}} \right)=0$.
$\Rightarrow $ PT đã cho có nghiệm
thuộc khoảng $\left( a;b \right)$.
$\Rightarrow $ PT luôn có nghiệm.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Cho
hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}\text{
khi }x\ne 2 \\ & 4\text{ khi }x=2 \\ \end{align} \right.$. Chọn mệnh đề
đúng?
A. Hàm số liên tục tại
$x=2$.
B. Hàm số gián đoạn
tại $x=2$.
C. $f\left( 4
\right)=2$.
D. $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=2$.
Lời giải
Chọn
A
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Ta có $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}$
$=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-2 \right)\left(
\sqrt{x+2}+2 \right)}{x-2}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left(
\sqrt{x+2}+2 \right)$ $=4$;
$f\left( 2 \right)=4$;
Do $\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)$ nên hàm số đã cho liên
tục tại $x=2$.
Câu 2. Hàm
số nào sau đây liên tục tại $x=1$:
A. $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x-1}$.
B. $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{{{x}^{2}}-1}$.
C. $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x}$.
D. $f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x-1}$.
Lời giải
Chọn
C
Ta có $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{x}=3=f\left(
1 \right)$, suy ra $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$.
Câu 3. Hàm
số nào dưới đây gián đoạn tại điểm ${{x}_{0}}=-1$.
A. $y=\left( x+1
\right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)$.
B. $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$.
C. $y=\dfrac{x}{x-1}$.
D. $y=\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+1}$.
Lời giải
Chọn
B
Ta có $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$
không xác định tại ${{x}_{0}}=-1$ nên gián đoạn tại ${{x}_{0}}=-1$.
Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào
liên tục trên $\mathbb{R}$?
A. $y={{x}^{3}}-x$.
B. $y=\cot x$.
C. $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$.
D. $y=\sqrt{{{x}^{2}}-1}$.
Lời
giải
Chọn A
Vì $y={{x}^{3}}-x$ là hàm số đa
thức nên nó liên tục trên $\mathbb{R}$.
Câu 5. Để
hàm số $y=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+3x+2\begin{matrix} {} &
\text{khi}\begin{matrix} {} & x\le -1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \\ &
4x+a\begin{matrix} {} & {} & \,\,\text{khi}\begin{matrix} {} &
x>-1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.$ liên tục tại điểm
$x=-1$ thì giá trị của $a$ là
A. $-4$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $-1$.
Lời giải
Chọn B
Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi
và chỉ khi $\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to
-{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=y\left( -1 \right)$
$\Leftrightarrow \underset{x\to
-{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 4x+a \right)$ $=\underset{x\to
-{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=y\left( -1 \right)$
$\Leftrightarrow a-4=0\Leftrightarrow a=4$.
Câu 6. Tìm giá trị
thực của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}\
\ \ \ khi\ x\ne 1 \\ & 3x+m\ \quad \quad \quad \quad \ \ khi\ x=1 \\ \end{align}
\right.$ liên tục tại $x=1$.
A. $m=0$.
B. $m=6$.
C. $m=4$.
D. $m=2$.
Lời giải
Chọn A
Ta
có: $f\left( 1 \right)=m+3$ ;
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim
}}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}$
$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-1 \right)\left(
{{x}^{2}}+2 \right)}{x-1}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+2
\right)=3$.
Để
hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x=1$ thì $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow
3=m+3\Leftrightarrow m=0$.
Câu 7. Biết
hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} a{{x}^{2}}+bx-5 &
\text{khi} & x\le 1 \\ 2ax-3b & \text{khi} & x>1 \\\end{matrix}
\right.$ liên tục tại $x=1$. Tính giá trị của biểu thức $P=a-4b$.
A. $P=-4$.
B. $P=-5$.
C. $P=5$.
D. $P=4$.
Lời giải
Chọn
B
Ta có: $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left(
a{{x}^{2}}+bx-5 \right)$ $=a+b-5=f\left( 1 \right)$;
$\underset{x\to
{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2ax-3b \right)=2a-3b$.
Do hàm số liên tục tại $x=1$ nên
$a+b-5=2a-3b \Rightarrow a-4b=-5$.
Câu 8. Có
bao nhiêu số tự nhiên $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} &
\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x-1}khi\,\,x\ne 1 \\ & {{m}^{2}}+m-1khi\,\,x=1 \\ \end{align}
\right.$ liên tục tại điểm $x=1$?
A. $0$.
B. $3$.
C. $2$.
D. $1$.
Lời giải
Chọn D
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x-1}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left(
x-1 \right)\left( x-2 \right)}{x-1}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim
}}\,\left( x-2 \right)=-1$.
Để hàm số $f\left( x \right)$
liên tục tại điểm $x=1$ thì $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x
\right)=f\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-1=-1$ $\Leftrightarrow
{{m}^{2}}+m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 (TM) \\ & m=-1 (L)
\\ \end{align} \right.$.
Câu 9. Tìm
$a$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\,\,\,\,\text{khi
}x\ne 2 \\ & 2x+a\,\,\,\,\text{khi}\,x=2 \\ \end{align} \right.$ liên tục tại
$x=2$?
A. $\dfrac{15}{4}$.
B. $-\dfrac{15}{4}$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $1$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $f\left(
2 \right)=4+a$.
Ta
tính được $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+2-4}{\left( x-2 \right)\left( \sqrt{x+2}+2
\right)}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+2}=\dfrac{1}{4}$.
Hàm số
đã cho liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $f\left( 2 \right)=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ $\Leftrightarrow 4+a=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow
a=-\dfrac{15}{4}$.
Vậy
hàm số liên tục tại $x=2$ khi $a=-\dfrac{15}{4}$.
Câu 10. Cho hàm số $f\left(
x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{\sqrt{x+2}-2}\,\,\,khi\text{
}\,\,x>2 \\ & {{m}^{2}}x-4m+6\,\,\,\,khi\,\,\,x\le 2 \\ \end{align}
\right.$, $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để hàm số đã cho liên tục
tại $x=2$?
A. $3$.
B. $0$.
C. $2$.
D. $1$
Lời giải
Chọn D
Ta có:
$\underset{x\to
{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{\sqrt{x+2}-2}$
$=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x-2 \right)\left(
x-1 \right)\left( \sqrt{x+2}+2 \right)}{x-2}$ $=\underset{x\to
{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+2}+2 \right)=4$;
$\underset{x\to
{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,\left( {{m}^{2}}x-4m+6 \right)=2{{m}^{2}}-4m+6$;
$f(2)=2{{m}^{2}}-4m+6$.
Để hàm số liên tục tại $x=2$ thì $\underset{x\to
{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,f(x)=f(2)$ $\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+6=4$ $\Leftrightarrow
2{{m}^{2}}-4m+2=0$ $\Leftrightarrow m=1$.
Vậy có một giá trị của $m$ thỏa mãn hàm số đã cho liên tục
tại $x=2$.
Câu 11. Cho
hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{\sqrt{3{{x}^{2}}+2x-1}-2}{{{x}^{2}}-1},\
x\ne 1 \\ & 4-m\ \quad \quad \quad \quad \quad x=1 \\ \end{align} \right.$.
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${{x}_{0}}=1$ khi
A. $m=3$.
B. $m=-3$.
C. $m=7$.
D. $m=-7$.
Lời giải
Chọn A
Ta
có $f\left( 1 \right)=4-m$.
$\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{3{{x}^{2}}+2x-1}-2}{\left(
x+1 \right)\left( x-1 \right)}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left(
x-1 \right)\left( 3x+5 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left(
\sqrt{3{{x}^{2}}+2x-1}+2 \right)}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3x+5}{\left(
x+1 \right)\left( \sqrt{3{{x}^{2}}+2x-1}+2 \right)}=1$.
Hàm
số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${{x}_{0}}=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to
1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow
4-m=1\Leftrightarrow m=3$.
Câu 12. Tìm giá trị
của tham số $m$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{{{x}^{2}}+3x+2}{{{x}^{2}}-1}\,\,\,\,\text{khi}\,\,\,\,x\,<\,-1
\\ & mx+2\,\,\,\text{khi}\,\,\,\,x\,\ge \,-1 \\ \end{align} \right.$ liên tục
tại $x=-1$.
A. $m=\dfrac{-3}{2}$.
B. $m=\dfrac{-5}{2}$.
C. $m=\dfrac{3}{2}$.
D. $m=\dfrac{5}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Ta
có:
$f\left( -1 \right)=-m+2$;
$\underset{x\to
{{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-m+2$;
$\underset{x\to {{\left( -1
\right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+3x+2}{{{x}^{2}}-1}$ $=\underset{x\to {{\left( -1
\right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( x+1 \right)\left( x+2
\right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}$ $=\underset{x\to {{\left( -1
\right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{-1}{2}$.
Hàm
số liên tục tại $x=-1$ $\Leftrightarrow f\left( -1 \right)=\underset{x\to
{{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ $\Leftrightarrow
-m+2=\dfrac{-1}{2}\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{2}$.
Câu 13. Tìm
$m$ để hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \dfrac{{{x}^{2}}-16}{x-4}\,\,\,khi\,x>4
\\ & mx+1\,\,\,\,\,\,khi\,x\le 4 \\ \end{align} \right.\,$ liên tục tại điểm
$x=4$.
A. $m=\dfrac{7}{4}$.
B. $m=8$.
C. $m=-\dfrac{7}{4}$.
D. $m=-8$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\underset{x\to
{{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 4 \right)$ $=4m+1$; $\underset{x\to
{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-16}{x-4}$ $=\underset{x\to
{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\,\left( x+4 \right)$ $=8$.
Hàm số liên tục tại điểm $x=4$ $\Leftrightarrow
\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 4 \right)$ $\Leftrightarrow
4m+1=8$ $\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{4}$.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{
\begin{align} & {{x}^{2}}+ax+b\,\,\text{khi}\,\,x<-5\,\, \\ &
x+17\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,-5\le x\le 10 \\ &
ax+b+10\,\,\,\text{khi}\,x>10 \\ \end{align} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
a) $f\left(
-5 \right)=12$; $f\left( 10 \right)=27$.
b)
$a>0$.
c)
$b>0$.
d) $a+b=2$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
a)
Ta có: $f\left( -5 \right)=12$; $f\left( 10 \right)=27$.
b)
c) d) Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x=-5$ và $x=10$.
$\underset{x\to -{{5}^{-}}}{\mathop{\lim
}}\,f\left( x \right)$ $=\underset{x\to -{{5}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left(
{{x}^{2}}+ax+b \right)$ $=-5a+b+25$.
$\underset{x\to
-{{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
-{{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+17 \right)=12$.
$\underset{x\to
{{10}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{10}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+17 \right)=27$.
$\underset{x\to
{{10}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
{{10}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( ax+b+10 \right)$ $=10a+b+10$.
Hàm
số liên tục tại $x=-5$ và $x=10$ khi
$\left\{ \begin{align} &
5a+b+25=12 \\ & 10a+b+10=27 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & -5a+b=-13 \\ & 10a+b=17 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=2 \\ & b=-3 \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow a+b=-1$.
Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{2x+6}{3{{x}^{2}}-27}
& khi & x\ne \pm 3 \\ -\dfrac{1}{9} & khi & x=\pm 3 \\\end{array}
\right.$.
a) Hàm
số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc khoảng $\left( -3;3 \right)$.
b) Hàm
số liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x=-3$.
c) Hàm
số liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x=3$.
d)
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Lời giải
a) Sai
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
a)
Hàm số liên tục trên khoảng $\left( -3;3 \right)$ vì hàm phân thức liên tục trên các khoảng xác định.
b) Ta
có $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2x+6}{3{{x}^{2}}-27}$, vì $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+6 \right)=12\ne 0$ và $\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\left( 3{{x}^{2}}-27 \right)=0$ nên hàm số không có giới hạn
tại $x=3$. Do đó hàm số không liên tục tại $x=3$.
c)
Ta có $\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to
-3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2x+6}{3{{x}^{2}}-27}$ $=\underset{x\to
-3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\left( x+3 \right)}{3\left( x-3 \right)\left( x+3
\right)}$ $=\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2}{3\left( x-3
\right)}=\dfrac{-1}{9}$.
Vì $\underset{x\to
-3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( -3 \right)=-\dfrac{1}{9}$ nên
hàm số liên tục tại $x=-3$. Do đó nó liên tục tại mọi điểm trừ điểm $x=3$.
d) Hàm số
không liên tục trên $\mathbb{R}$ vì nó không liên tục tại $x=3$.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI NGẮN
Câu
1. Tìm ${m}$ để
hàm số sau liên tục tại ${{x}_{0}}=2$: $f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}
& \text{ khi } x\ne 2 \\ m+1 & \text{ khi } x=2 \\\end{matrix} \right.$.
Trả lời: $2$
Lời giải
Ta có: ${f(2)=m+1}$;
$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}$ $=\underset{x\to
2}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim
}}\,(x+1)=3$.
Hàm số liên tục tại ${x_0=2}$ khi và chỉ khi ${\lim _{x
\rightarrow 2} f(x)=f(2) \Leftrightarrow m+1=3 \Leftrightarrow m=2}$.
Câu
2. Cho hàm số ${f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{x^3-5
x+2}{2 x^2-x-6} & \text { khi } x \neq 2 \\ \dfrac{4 m x-1}{3} & \text
{ khi } x=2\end{array}\right.}$. Tìm ${m}$ để hàm số trên liên tục tại ${x_0=2}$.
Trả lời: $0,5$
Lời giải
Ta có: ${f\left(x_0\right)=f(2)=\dfrac{8 m-1}{3}}$;
${\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2} \dfrac{x^3-5
x+2}{2 x^2-x-6}=1}$.
Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0=-2}$ thì ${\lim _{x
\rightarrow 2} f(x)=f(2)}$ $\Leftrightarrow \dfrac{8m-1}{3}=1\Leftrightarrow
m=\dfrac{1}{2}$.
Câu
3. Tìm $m$ để
hàm số liên tục tại ${x=3}$: ${f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}
& \text { khi } x \neq 3 \\ m & \text { khi } x=3\end{array}\right.}$.
Trả lời: $-4$
Lời giải
Ta cần $m=f(3)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ $=\underset{x\to
3}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}$ $=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{(3-x)(\sqrt{x+1}+2)}{x-3}$ ${=-\lim _{x \rightarrow 3}(\sqrt{x+1}+2)=-4}$.
Câu
4. Cho hàm số $f(x)=\left\{
\begin{matrix} \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+4}-2}{{{x}^{2}}}\ \ \ \,\,\text{khi}\
x\ne 0 \\ 2a-\dfrac{5}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,\text{khi}\ x=0 \\\end{matrix}
\right.$. Tìm giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0$.
Trả lời: $0,75$
Lời giải
Ta có
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim
}}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+4}-2}{{{x}^{2}}}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4}-2
\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4}+2 \right)}{{{x}^{2}}\left(
\sqrt{{{x}^{2}}+4}+2 \right)}$ $\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{x}^{2}}+4-4}{{{x}^{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+4}+2)}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}+2}=\dfrac{1}{4}$;
$f(0)=2a-\dfrac{5}{4}$.
Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0\Leftrightarrow
\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)$ $\Leftrightarrow 2a-\dfrac{5}{4}=\dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{4}$.
