BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Đường
thẳng song song với mặt phẳng
Cho đường
thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$. Khi đó có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:
Trường
hợp 1: $a$ và $(P)$
có từ hai điểm chung phân biệt trở lên, suy ra mọi điểm thuộc $a$ đều thuộc $(P)$,
ta nói $a$ nằm trong $(P)$, kí hiệu $a\subset (P)$.
Trường
hợp 2: $a$ và $(P)$
có một điểm chung duy nhất $A$, ta nói $a$ cắt $(P)$ tại $A$, kí hiệu $a\cap
(P)=A$.
Trường
hợp 3: $a$ và $(P)$
không có điểm chung nào, ta nói $a$ song song với $(P)$, kí hiệu $a\parallel
(P)$.
Định
nghĩa: Đường thẳng
$a$ song song với mặt phẳng $(P)$ nếu chúng không có điểm chung.
2. Điều
kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Định
lí 1
Nếu đường
thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và song song với một đường thẳng $b$
nào đó nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.
$\left\{
\begin{align} & a\not\subset \left( P \right) \\ & a\parallel b\subset
\left( P \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow a\parallel \left( P \right)$
3.
Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song
Định
lí 2
Cho đường
thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$, cắt $(P)$
theo giao tuyến $b$ thì $a$ song song với $b$.
$\left\{ \begin{align} &
a\parallel \left( P \right) \\ & a\subset \left( Q \right) \\ & \left(
P \right)\cap \left( Q \right)=b \\ \end{align} \right.\Rightarrow a\parallel b$
Hệ quả
1
Cho đường
thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu qua điểm $M$ thuộc $(P)$ ta vẽ đường
thẳng $b$ song song với $a$ thì $b$ phải nằm trong $(P)$.
$\left\{ \begin{align} &
a\parallel \left( P \right) \\ & M\in \left( P \right)\cap b \\ &
b\parallel a \\ \end{align} \right.\Rightarrow b\subset \left( P \right)$
Hệ quả
2
Nếu hai
mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
$\left\{ \begin{align} &
a\parallel \left( P \right) \\ & a\parallel \left( Q \right) \\ &
\left( P \right)\cap \left( Q \right)=b \\ \end{align} \right.\Rightarrow
b\parallel a$
Định
lí 3
Nếu $a$
và $b$ là hai đường thẳng chéo nhau thì qua $a$, có một và chỉ một mặt phẳng
song song với $b$.
Dạng
toán. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Dạng
toán. Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng
Ngoài 2
cách xác định giao tuyến ở bài trước thì ở bài này ta còn có thể sử dụng Hệ
quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì
giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Dạng
toán. Thiết diện đi qua một điểm và song song với một đường thẳng
Ta thường
áp dụng Định lí 2: Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu
mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$, cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $a$ song song với $b$.
BÀI TẬP
TỰ LUẬN
Câu 1. Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M,N$
lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$; $G,G'$ lần lượt là trọng tâm các tam
giác $SAB$ và $SBC$.
a) Chứng
minh $MN\parallel \left( SAC \right)$.
b) Chứng
minh $G{G}'\parallel \left( SAC \right)$.
Lời giải
a)
Ta có $\left\{ \begin{align} & MN\parallel AC \\ & AC\subset \left( SAC
\right) \\ & MN\not\subset \left( SAC \right) \\ \end{align}
\right.\Rightarrow MN\parallel \left( SAC \right)$.
b)
Gọi $K$ là trung điểm của $SB$ suy ra $G$, ${G}'$ thuộc mặt phẳng $\left( KAC
\right)$.
Ta
có: $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $\dfrac{KG}{KA}=\dfrac{1}{3}$ và ${G}'$
là trọng tâm tam giác $SBC$ nên $\dfrac{K{G}'}{KC}=\dfrac{1}{3}$;
Khi
đó $\dfrac{KG}{KA}=\dfrac{K{G}'}{KC}$, suy ra $G{G}'\parallel AC$.
$\left\{ \begin{align} & G{G}'\parallel AC \\ &
AC\subset \left( SAC \right) \\ & G{G}'\not\subset \left( SAC \right) \\ \end{align}
\right.\Rightarrow G{G}'\parallel \left( SAC \right)$.
Câu 2. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và
$ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là $O$ và ${O}'$.
a) Chứng
minh rằng $O{O}'$ song song với các mặt phẳng $\left( ADF \right)$ và $\left(
BCE \right)$.
b) Gọi $M,N$
lần lượt là hai điểm trên các cạnh $AE,BD$ sao cho $AM=\dfrac{1}{3}AE$, $BN=\dfrac{1}{3}BD$.
Chứng minh rằng $MN$ song song với mặt phẳng $\left( CDFE \right)$.
Lời giải
a) Ta có
$O{O}'$ là đường trung bình của tam giác $BFD$ ứng với cạnh $DF$ nên $O{O}'\parallel
DF$, $DF\subset \left( ADF \right)$ và $O{O}'\not\subset \left( ADF \right)$ $\Rightarrow
O{O}'\parallel \left( ADF \right)$.
Tương
tự, $O{O}'$ là đường
trung bình của tam giác $ACE$ ứng với cạnh $CE$ nên $O{O}'\parallel CE$, $CE\subset
\left( BCE \right)$ và $CE\not\subset \left( BCE \right)$ $\Rightarrow
O{O}'\parallel \left( BCE \right)$.
b) Trong
$\left( ABCD \right)$, gọi $I=AN\cap CD$
Do $AB\parallel
CD$ nên $\dfrac{AN}{AI}=\dfrac{BN}{BD}\Rightarrow \dfrac{AN}{AI}=\dfrac{1}{3}$.
Lại có $\dfrac{AM}{AE}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow
\dfrac{AN}{AI}=\dfrac{AM}{AE}$ $\Rightarrow MN\parallel IE$. Mà $I\in
CD\Rightarrow IE\subset \left( CDFE \right)$ và $MN\not\subset \left( CDEF
\right)$ $\Rightarrow MN\parallel \left( CDFE \right)$.
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$
là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left(
SCD \right)$.
Lời giải
Ta
có:
$\left\{ \begin{align} & AB\subset \left( SAB
\right),CD\subset \left( SCD \right) \\ & AB\parallel CD \\ & S\in
\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
\left( SAB \right)\cap \left( SCD \right)=d$ với $S\in d\parallel AB\parallel
CD$.
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là
hình thang với các cạnh đáy là $AB$ và $CD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm
của $AD$ và $BC$, $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$. Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( IJG \right)$.
Lời giải
Ta có: $IJ$ là
đường trung bình của hình thang $ABCD$ $\Rightarrow IJ\parallel AB\parallel CD$.
Ta có $G$ là điểm chung của hai
mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( IJG \right)$.
Khi đó $\left\{ \begin{align} &
AB\subset \left( SAB \right),IJ\subset \left( IJG \right) \\ & AB\parallel
IJ \\ \end{align} \right.$, suy ra giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $\left( SAB
\right)$ và $\left( IJG \right)$ là đường thẳng qua $G$ và song song với $AB$
và $IJ$ (đường thẳng $PQ$).
Câu 5. Cho tứ diện ${ABCD}$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm $AB,AC.$ Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng $\left( DBC \right)$ và $\left( DMN \right).$
Lời giải
${MN}$ là đường
trung bình của tam giác ${ABC}$ nên $MN\parallel BC.$
Ta có $\left\{
\begin{align} & MN\parallel BC \\ & MN\subset \left( DMN
\right),BC\subset \left( BCD \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
\left( DMN \right)\cap \left( BCD \right)=\Delta $ với $\Delta$ đi qua $D,$ $\Delta
\parallel BC\parallel MN$.
Câu 6. Cho tứ diện ${A B C D}$ và điểm ${M}$
thuộc cạnh ${A B}$. Gọi ${(\alpha)}$ là mặt phẳng qua ${M}$, song song với hai
đường thẳng ${B C}$ và ${A D}$. Gọi ${N, P, Q}$ lần lượt là giao điểm của mặt
phẳng ${(\alpha)}$ với các cạnh ${A C, C D}$ và ${D B}$. Chứng minh ${M N P Q}$
là hình bình hành.
Lời
giải
Ta có $\left\{
\begin{align} & BC\parallel (\alpha ) \\ & BC\subset (ABC) \\ &
(\alpha )\cap (ABC)=MN \\ \end{align} \right.$ nên $MN\parallel BC$.
Lại có $\left\{
\begin{align} & BC\parallel (\alpha ) \\ & BC\subset (BCD) \\ &
(\alpha )\cap (BCD)=PQ \\ \end{align} \right.$ nên $PQ\parallel BC$.
Suy ra: $MN\parallel
PQ$ (1)
Hơn nữa:
$\left\{ \begin{align} & AD\parallel (\alpha ) \\ & AD\subset (ACD) \\ &
(\alpha )\cap (ACD)=NP \\ \end{align} \right.$ nên $NP\parallel AD$.
Tương tự:
$\left\{ \begin{align} & AD\parallel (\alpha ) \\ & AD\subset (ABD) \\ &
(\alpha )\cap (ABD)=MQ \\ \end{align} \right.$ nên $MQ\parallel AD$.
Suy ra: $MQ\parallel
NP$ (2)
Từ (1)
và (2) suy ra ${MNPQ}$ là hình bình hành.
Câu 7. Cho tứ diện $ABCD$, lấy điểm $M$
là một điểm thuộc miền trong của tam giác $BCD$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là
mặt phẳng qua $M$ và song song với $AC$ và $BD$. Hãy xác định thiết diện của mặt
phẳng $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $ABCD$. Thiết diện là hình gì?
Lời giải
Ta có $M$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left(
\alpha \right)$ và $\left( BCD \right)$.
Ta
có $\left\{ \begin{align} & BD\parallel \left( \alpha \right) \\ &
BD\subset (BCD) \\ \end{align} \right.$ nên giao tuyến của $\left( \alpha \right)$
và $\left( BCD \right)$ qua $M$ và song song với $BD$, giao tuyến này cắt $BC$
tại $E$ và cắt $CD$ tại $F$.
Lại
có $E$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( ABC
\right)$.
Ta
có $\left\{ \begin{align} & AC\parallel \left( \alpha \right) \\ &
AC\subset (ABC) \\ \end{align} \right.$ nên giao tuyến của $\left( \alpha \right)$
và $\left( ABC \right)$ qua $E$ và song song với $AC$, giao tuyến này cắt $AB$
tại $H$.
Tương
tự, $H$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( ABD
\right)$.
Ta
có $\left\{ \begin{align} & BD\parallel \left( \alpha \right) \\ &
BD\subset (ABD) \\ \end{align} \right.$ nên giao tuyến của $\left( \alpha \right)$
và $\left( ABD \right)$ qua $H$ và song song với $BD$, giao tuyến này cắt $AD$
tại $G$.
$G$
và $F$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left(
ACD \right)$ nên giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( ACD \right)$
là $FG$.
Thiết
diện cần tìm là tứ giác $EFGH$. Thiết diện là hình bình hành vì $EF\parallel
BD\parallel HG$ và $HE\parallel FG\parallel AC$.
Câu 8. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$
là hình chữ nhật tâm $O$, $M$ là trung điểm của $OC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$
qua $M$ song song với $SA$ và $BD$. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt
phẳng $\left( \alpha \right)$.
Lời giải
Ta có:
$\left\{
\begin{align} & M\in \left( \alpha \right)\cap \left( ABCD \right) \\ &
BD\parallel \left( \alpha \right),BD\subset \left( ABCD \right) \\ \end{align}
\right.$
$\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( ABCD
\right)=EF\parallel BD,$ $\left( M\in EF,E\in BC,F\in CD \right)$.
Lại có:
$\left\{ \begin{align} & M\in \left( \alpha \right)\cap
\left( SAC \right) \\ & SA\parallel \left( \alpha \right),SA\subset \left(
SAC \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap
\left( SAC \right)=MN\parallel SA,$ $\left( N\in SC \right)$.
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác $NEF$.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi ${{G}_{1}}$
và ${{G}_{2}}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$. Khẳng định
nào sau đây sai?
A. ${{G}_{1}}{{G}_{2}}\parallel
\left( ABD \right)$.
B. ${{G}_{1}}{{G}_{2}}\parallel
\left( ABC \right)$.
C. $B{{G}_{1}}$, $A{{G}_{2}}$ và $CD$
đồng quy.
D. ${{G}_{1}}{{G}_{2}}\,=\dfrac{2}{3}AB$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $M$
là trung điểm $CD$ $\Rightarrow {{G}_{1}}\in BM,\dfrac{M{{G}_{1}}}{MB}=\dfrac{1}{3}$
và ${{G}_{2}}\in AM,\dfrac{M{{G}_{2}}}{MA}=\dfrac{1}{3}$.
Xét tam
giác $ABM$, ta có $\dfrac{1}{3}=\dfrac{M{{G}_{1}}}{MB}=\dfrac{M{{G}_{2}}}{MA}\Rightarrow
{{G}_{1}}{{G}_{2}}\parallel AB$ (định lí Thales đảo)
$\Rightarrow
\dfrac{{{G}_{1}}{{G}_{2}}}{AB}=\dfrac{M{{G}_{1}}}{MB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow
{{G}_{1}}{{G}_{2}}=\dfrac{1}{3}AB$.
Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$
là hình chữ nhật. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta SAB,\Delta SCD$.
Khi đó $MN$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(SAC)$.
B. $(SBD)$.
C. $(SAB)$.
D. $(ABCD)$.
Lời giải
Chọn D
Gọi $E,F$
lần lượt là trung điểm $AB,CD$.
Do $M,N$
lần lượt là trọng tâm tam giác $SAB,\,SCD$ nên $\dfrac{SM}{SE}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{SN}{SF}$
$\Rightarrow MN\parallel EF$, mà $EF\subset \left( ABCD \right)$ nên $MN\parallel
\left( ABCD \right)$.
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$
là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm $SA$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $OM\parallel
\left( SCD \right)$.
B. $OM\parallel
\left( SBD \right)$.
C. $OM\parallel
\left( SAB \right)$.
D. $OM\parallel
\left( SAD \right)$.
Lời giải
Chọn
A
Ta có: $M$là
trung điểm $SA$; $O$ là trung điểm $AC$ $\Rightarrow OM$ là đường trung bình $\Delta
SAC$.
$\Rightarrow
OM\parallel SC\subset \left( SCD \right)$ và $OM\not\subset \left( SCD \right)$
$\Rightarrow OM\parallel \left( SCD \right)$.
Câu
4. Cho tứ diện $ABCD$, $G$ là trọng tâm $\Delta ABD$ và $M$
là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BM=2MC$. Đường thẳng $MG$ song song với mặt phẳng
A. $\left(
ACD \right).$
B. $\left( ABC \right).$
C. $\left( ABD \right).$
D. $(BCD).$
Lời giải
Chọn A
Gọi $P$ là trung điểm $AD$.
Ta có: $\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BG}{BP}=\dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow
MG\parallel CP$ $\Rightarrow MG\parallel \left( ACD \right).$
Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$
là hình thang với đáy lớn $AD$, $AD=2BC$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao
cho $MD=2MS.$ Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$ $OM$ song song với mặt phẳng
nào sau đây?
A. $\left( SAD \right)$.
B. $\left( SBD \right)$.
C. $\left(
SBC \right)$.
D. $\left( SCD \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $AD\parallel
BC,\,AC\cap BD=O$ $\Rightarrow \dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{DO}{DB}=\dfrac{2}{3}$.
Lại có $\dfrac{DM}{D\text{S}}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{DO}{DB}=\dfrac{DM}{D\text{S}}$ $\Rightarrow OM\parallel SB$,
$SB\subset \left( SBC \right)\,,$ $OM\not\subset \left( SBC \right)$.
Suy ra $OM\parallel
\left( SBC \right)$.
Câu 6. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và
$ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $O$, ${{O}_{1}}$ lần lượt là tâm
của $ABCD$, $ABEF$; $M$ là trung điểm của $CD$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $O{{O}_{1}}$ $\parallel $ $\left(
BEC \right)$.
B. $O{{O}_{1}}$ $\parallel $ $\left(
AFD \right)$.
C. $O{{O}_{1}}$ $\parallel $ $\left(
EFM \right)$.
D. $M{{O}_{1}}$ cắt $\left( BEC
\right)$.
Lời giải
Chọn D
Xét tam
giác $ACE$ có $O,{{O}_{1}}$ lần lượt là trung điểm của $AC,AE$.
Suy ra $O{{O}_{1}}$
là đường trung bình trong tam giác $ACE$ $\Rightarrow \,\,O{{O}_{1}}$ $\parallel
$ $EC$.
Tương tự,
$O{{O}_{1}}$ là đường trung bình của tam giác $BFD$ nên $O{{O}_{1}}$ $\parallel
$ $FD$.
Vậy $O{{O}_{1}}$
$\parallel $ $\left( BEC \right)$, $O{{O}_{1}}$ $\parallel $ $\left( AFD
\right)$ và $O{{O}_{1}}$ $\parallel $ $\left( EFC \right)$.
Câu 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}.$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M$ và song song với $SC$, $BD$. Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A. $\left(
P \right)$ cắt hình chóp theo
thiết diện là một ngũ giác.
B. $\left(
P \right)$ cắt hình chóp theo
thiết diện là một tam giác.
C. $\left( P \right)$ cắt hình chóp
theo thiết diện là một tứ giác.
D. $\left(
P \right)$ không cắt hình
chóp.
Lời giải
Chọn A
Do $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}$
nên 3 điểm $M,A,B$ thẳng hàng hay $M\in AB$.
Ta có $M\in
(P)\cap (ABCD)$.
$\left\{
\begin{align} & BD\parallel (P) \\ & BD\subset (ABCD) \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow (P)\cap (ABCD)=Mx\parallel BD$, $Mx$ cắt $CD$ tại $N$, cắt
$BC$ tại $K$.
$\left\{
\begin{align} & SC\parallel (P) \\ & SC\subset (SBC) \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow (P)\cap (SBC)=Ky\parallel SC$, $Ky$ cắt $SB$ tại $Q$.
$\left\{
\begin{align} & SC\parallel (P) \\ & SC\subset (SCD) \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow (P)\cap (SCD)=Nz\parallel SC$, $Nz$ cắt $SD$ tại $P$.
$\left\{
\begin{align} & SC\parallel (P) \\ & SC\subset (SAC) \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow (P)\cap (SAC)=It\parallel SC$, $It$ cắt $SA$ tại $R$.
Thiết diện
là ngũ giác $KNPRQ$.
Câu
8. Cho tứ diện $ABCD$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AC$ ($M$ khác $A$,
$M$ khác $C$). Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ song song với $AB$
và $AD$. Thiết diện của $\left( \alpha \right)$ với tứ diện $ABCD$ là hình gì?
A. Hình vuông.
B. Hình chữ
nhật.
C. Hình tam
giác.
D. Hình bình
hành.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\left\{ \begin{align} & AB\parallel \left(
\alpha \right) \\ & AB\subset \left( ABC \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
\left( \alpha \right)\cap \left( ABC \right)=MN$ với $MN\parallel AB$ và $N\in
BC$.
Ta có $\left\{ \begin{align} & AD\parallel \left(
\alpha \right) \\ & AD\subset \left( ADC \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow
\left( \alpha \right)\cap \left( ADC \right)=MP$ với $MP\parallel AD$ và $P\in
CD$.
Lại có $\left(
\alpha \right)\cap \left( BCD \right)=NP$.
Do đó thiết diện của $\left( \alpha \right)$
với tứ diện $ABCD$ là tam giác $MNP$ .
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Cho mặt phẳng ${(P)}$ và hai đường
thẳng song song ${a}$ và ${b}$.
a)
Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng ${a}$ mà không chứa đường thẳng ${b}$.
b) Nếu mặt phẳng ${(P)}$ song song
với đường thẳng ${a}$ thì mặt phẳng ${(P)}$ cũng song song với đường thẳng ${b}$.
c) Nếu mặt phẳng ${(P)}$ cắt đường
thẳng ${a}$ thì mặt phẳng ${(P)}$ cũng cắt đường thẳng ${b}$.
d) Nếu mặt phẳng ${(P)}$ chứa đường
thẳng ${a}$ thì mặt phẳng ${(P)}$ cũng chứa đường thẳng ${b}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Sai
a) Đúng.
b) Nếu mặt phẳng ${(P)}$ song song với
đường thẳng ${a}$ thì mặt phẳng ${(P)}$ có thể song song hoặc chứa đường thẳng ${b}$.
c) Đúng.
d) Sai vì có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng ${a}$ mà không chứa đường
thẳng ${b}$.
Câu 2. Cho hình chóp ${S . A B C D}$ có
đáy ${A B C D}$ là hình bình hành tâm ${O}$. Gọi ${M, N}$ lần lượt là trung điểm
các cạnh ${A B}$ và ${C D}$, ${P}$ là trung điểm cạnh ${S A}$.
a) $MN\parallel
(SBC)$.
b) $MN\parallel
(SAD)$.
c) ${S
B}$ cắt mặt phẳng ${(M N P)}$.
d) $SC$ cắt
mặt phẳng ${(M N P)}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Sai
a) Vì ${M
N}$ là đường trung bình của hình bình hành ${A B C D}$ nên $MN\parallel BC$, mà
$BC\subset (SBC)$ $\Rightarrow MN\parallel (SBC)$.
b) Tương
tự: $MN\parallel AD,AD\subset (SAD)$ $\Rightarrow MN\parallel (SAD)$.
c) Ta có
${M P}$ là đường trung bình của tam giác ${S A B}$ nên $SB\parallel MP$, mà ${M
P \subset(M N P)}$ nên $SB\parallel (MNP)$.
d) Tương
tự: ${O P}$ là đường trung bình của tam giác ${S A C}$ nên $SC\parallel OP$, mà
${O P \subset(M N P)}$ nên $SC\parallel (MNP)$.
Câu 3. Cho hình chóp ${S . A B C D}$ có
đáy ${A B C D}$ là hình bình hành, điểm ${M}$ trên cạnh ${A D}$. Một mặt phẳng ${(\alpha)}$
qua ${M}$ và song song với hai đường thẳng ${C D, S A}$; cắt ${B C, S C}$ và ${S
D}$ lần lượt tại ${N, P, Q}$.
a) Giao tuyến của ${(\alpha)}$
với $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua ${M}$ và song song với $AD$.
b) Giao
tuyến của ${(\alpha)}$ với $(SAD)$ là đường thẳng đi qua ${M}$ và song song với
$SA$.
c) Tứ
giác ${M N P Q}$ là hình thang có hai đáy là ${M N}$ và ${P Q}$.
b) Gọi ${I=M
Q \cap N P}$. Khi đó $I$ thuộc đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$.
Lời giải
a)
Sai
b)
Đúng
c)
Đúng
d)
Sai
a) Ta có
$\left\{ \begin{align} & CD\parallel (\alpha ) \\ & CD\subset (ABCD) \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow (\alpha )\cap (ABCD)=MN\parallel CD$ (1)
b) Ta có
$\left\{ \begin{align} & SA\parallel (\alpha ) \\ & SA\subset (SAD) \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow (\alpha )\cap (SAD)=MQ\parallel SA$.
c) Ta có
$\left\{ \begin{align} & CD\parallel (\alpha ) \\ & CD\subset (SCD) \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow (\alpha )\cap (SCD)=PQ\parallel CD$ (2)
Từ (1)
và (2) suy ra tứ giác ${M N P Q}$ là hình thang có hai đáy là ${M N}$ và ${P
Q}$.
d) Ta có
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} I\in NP\subset (SBC) \\ I\in MQ\subset (SAD) \\\end{array}
\right.$ $\Rightarrow I\in (SAD)\cap (SBC)$.
Lại có $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} S\in (SAD)\cap (SBC) \\ AD\subset (SAD),BC\subset (SBC)
\\ AD\parallel BC \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=Sx$ với $Sx\parallel
AD\parallel BC$.
Khi đó ${I
\in S x}$.
Câu 4. Cho hình chóp ${S . A B C D}$
đáy ${A B C D}$ là hình bình hành. Gọi ${I, J}$ lần lượt là trọng tâm của tam
giác ${S A B}$ và ${S C D ; E, F}$ lần lượt là trung điểm của ${A B}$ và ${C
D}$.
a) $\dfrac{S I}{S E}=\dfrac{S
J}{S F}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow I J \parallel E F$ mà $E F \subset(A B C D) \Rightarrow I J \parallel
(A B C D)$.
b) $IJ\parallel
(ABCD)$.
b) ${B
C}$ song song với các mặt phẳng ${(S A D),(S E F)}$ .
d) ${B
C}$ cắt mặt phẳng ${(A I J)}$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Đúng
d)
Sai
a) Do $J$
là trọng tâm của tam giác ${S C D}$ nên $\dfrac{SJ}{SF}=\dfrac{2}{3}$.
b) Do ${I,
J}$ lần lượt là trọng tâm của tam giác ${S A B}$ và ${S C D}$ nên
$\dfrac{SI}{SE}=\dfrac{SJ}{SF}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow IJ\parallel EF$ mà $EF\subset (ABCD)$ $\Rightarrow IJ\parallel
(ABCD)$.
c) Ta có
$BC\parallel AD,AD\subset (SAD)$ $\Rightarrow BC\parallel (SAD)$.
Vì ${E
F}$ là đường trung bình của hình bình hành ${A B C D}$ nên $BC\parallel
EF,EF\subset (SEF)$ $\Rightarrow BC\parallel (SEF)$.
d) Ta
có: $IJ\parallel EF,EF\parallel BC$ $\Rightarrow BC\parallel IJ$ mà $IJ\subset
(AIJ)$ $\Rightarrow BC\parallel (AIJ)$.
BÀI TẬP
TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Cho hình chóp ${S . A B C D}$ có
đáy ${A B C D}$ là hình bình hành. Gọi ${I, K}$ lần lượt là trung điểm của ${B
C}$ và ${C D}$. Gọi ${M}$ là trung điểm của ${S B}$. Gọi ${F}$ là giao điểm của
${D M}$ và ${(S I K)}$. Tính tỉ số ${\dfrac{M F}{M D}}$.
Trả
lời: $1$
Lời
giải
Ta có $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} S\in (SIK)\cap (SBD) \\ BD\subset (SBD),IK\subset (SIK)
\\ BD\|IK \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow (SIK)\cap (SBD)=Sx\parallel
BD\parallel IK$.
Trong mp${(S
B D)}$, gọi $F=Sx\cap DM$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} S\in DM \\
S\in Sx\subset (SIK) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow F=DM\cap (SIK)$.
Ta có ${S
F \| B D \Rightarrow \dfrac{M F}{M D}=\dfrac{M S}{M B}=1}$.
Câu 2. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=6$, $CD=8$.
Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với $AB$, $CD$ để thiết diện thu được
là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến
hàng phần trăm).
Trả
lời: $3,43$
Lời giải
Giả sử một mặt phẳng song song với $AB$ và
$CD$ cắt tứ diện $ABCD$ theo một thiết diện là hình thoi $MNPQ$ như hình vẽ
trên. Khi đó ta có: $\left\{ \begin{align} & MQ\,\parallel \,AB\,\parallel
\,PN \\ & MN\parallel \,CD\,\parallel \,PQ \\ & MQ=PQ \\ \end{align}
\right.$.
Theo định lí Ta-let ta có: $\left\{ \begin{align}
& \dfrac{MQ}{AB}=\dfrac{CQ}{AC} \\ & \dfrac{PQ}{CD}=\dfrac{AQ}{AC} \\ \end{align}
\right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \dfrac{MQ}{6}=\dfrac{AC-AQ}{AC}
\\ & \dfrac{PQ}{8}=\dfrac{AQ}{AC} \\ \end{align} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{MQ}{6}=1-\dfrac{AQ}{AC}$
$\Rightarrow \dfrac{MQ}{6}=1-\dfrac{PQ}{8}$ $\Rightarrow \dfrac{MQ}{6}=1-\dfrac{MQ}{8}$
$\Leftrightarrow \dfrac{7}{24}MQ=1$ $\Leftrightarrow MQ=\dfrac{24}{7}$.
Vậy hình thoi có cạnh bằng $\dfrac{24}{7}$.
