BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON
1. Nhị thức Newton
${{\left( a+b
\right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+...+C_{n}^{n}{{b}^{n}}$$=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}\,\,\,\left(
* \right)$.
- Số hạng
tổng quát (thứ $k+1$)
trong khai triển là ${{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}$.
-
Trong cùng một số hạng, số mũ của $a$ và $b$ có tổng bằng $n$.
-
Trong khai triển $\left( * \right)$ có $n+1$ số hạng.
- Số
mũ của $a$ giảm dần từ $n$ đến 0, số mũ của $b$ tăng dần từ 0 đến $n$.
- Các
hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
2. Tam giác Pascal
Tam
giác Pascal (đặt
theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623-1662).
3. Hai tính chất cơ bản của số $C_{n}^{k}$
(1) $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$
(2) $C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}$
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Tìm hệ số của
${{x}^{8}}$ trong khai triển ${{\left( 1+\dfrac{1}{x} \right)}^{12}}$.
Lời giải
Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển là:
${{a}_{k}}=C_{12}^{k}{{x}^{12-k}}{{\left( \dfrac{1}{x}
\right)}^{k}}=C_{12}^{k}{{x}^{12-2k}}$$\left( 0\le x\le 12 \right)$
Ta chọn $12-2k=8\Leftrightarrow k=2$.
Vậy số hạng thứ $3$ trong khai triển chứa ${{x}^{8}}$ và có
hệ số là: $C_{12}^{2}=66$.
Câu
2. Tìm số hạng
đứng chính giữa trong khai triển ${{\left( {{x}^{3}}-xy \right)}^{15}}$.
Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển ${{\left( {{x}^{3}}-xy
\right)}^{15}}$ là ${{T}_{k+1}}=C_{15}^{k}{{\left( {{x}^{3}}
\right)}^{15-k}}.{{\left( -xy \right)}^{k}}$
Trong khai triển trên có $n=15$ nên có $16$ số hạng nên số hạng
đứng chính giữa là số hạng thứ $8$ và thứ $9$.
${{T}_{8}}={{T}_{7+1}}=C_{15}^{7}{{\left( {{x}^{3}}
\right)}^{15-7}}.{{\left( -xy \right)}^{7}}$$=-6435{{x}^{31}}{{y}^{7}}$.
${{T}_{9}}={{T}_{8+1}}=C_{15}^{8}{{\left(
{{x}^{3}} \right)}^{15-8}}.{{\left( -xy \right)}^{8}}$$=6435{{x}^{29}}{{y}^{8}}$.
Câu
3. Tìm hệ số của:
a) Số hạng chứa ${{x}^{5}}$
trong khai triển: ${{\left( 2x-1 \right)}^{12}}$.
b) Số hạng chứa ${{x}^{11}}$
trong khai triển: ${{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{x} \right)}^{10}}$.
c) Số hạng chứa ${{x}^{7}}$
trong khai triển: ${{\left( {{x}^{2}}+x \right)}^{14}}$.
d) Số hạng chứa ${{x}^{25}}.{{y}^{10}}$
trong khai triển: ${{\left( {{x}^{3}}+xy \right)}^{15}}$.
Lời giải
a) ${{\left( 2x-1 \right)}^{12}}$$=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}}{{\left(
2x \right)}^{12-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}$$=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}}{{2}^{12-k}}{{\left(
-1 \right)}^{k}}{{x}^{12-k}}$
Tại số hạng chứa ${{x}^{5}}$
thì tương ứng với $12-k=5\Rightarrow k=7$.
Vậy hệ số của ${{x}^{5}}$
là: $C_{12}^{7}{{2}^{5}}{{\left( -1 \right)}^{7}}=-25344$.
b) ${{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{x}
\right)}^{10}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left( {{x}^{2}}
\right)}^{10-k}}{{\left( -\dfrac{1}{x} \right)}^{k}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{x}^{2\left(
10-k \right)-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{\left(
-1 \right)}^{k}}{{x}^{20-3k}}$
Tại số hạng chứa ${{x}^{11}}$
thì tương ứng với $20-3k=11\Rightarrow k=3$.
Vậy hệ số của ${{x}^{11}}$
là: $C_{10}^{3}{{\left( -1 \right)}^{3}}=-120$.
c) ${{\left( {{x}^{2}}+x
\right)}^{14}}={{x}^{14}}{{\left( x+1 \right)}^{14}}$
Không tồn tại số hạng chứa
${{x}^{7}}$. Vậy hệ số của ${{x}^{7}}$ là: $0$.
d) ${{\left( {{x}^{3}}+xy
\right)}^{15}}$$=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{\left( {{x}^{3}}
\right)}^{15-k}}{{\left( xy \right)}^{k}}$$=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{x}^{3\left(
15-k \right)+k}}{{y}^{k}}$$=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}}{{x}^{45-2k}}{{y}^{k}}$
Tại số hạng chứa ${{x}^{25}}.{{y}^{10}}$
thì tương ứng với $\left\{ \begin{align}
& 45-2k=25 \\ & k=0 \\ \end{align}
\right.\Rightarrow k=10$.
Vậy hệ số của ${{x}^{11}}$
là: $C_{15}^{10}=3003$.
Câu
4. a) Tìm hệ số
của ${{x}^{6}}$ trong khai triển của biểu thức: $A={{\left( 2x-1
\right)}^{11}}+{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{7}}$.
b) Tìm hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triển của biểu thức:
$A={{\left( x+1 \right)}^{10}}+{{\left( x-1 \right)}^{5}}$.
Lời giải
a) $A={{\left( 2x-1 \right)}^{11}}+{{\left( {{x}^{2}}+1
\right)}^{7}}$$=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}}{{\left( 2x
\right)}^{11-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}$$+\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}}{{\left(
{{x}^{2}} \right)}^{7-k}}{{.1}^{k}}$
$=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}}.{{\left(
-1 \right)}^{k}}{{.2}^{11-k}}.{{x}^{11-k}}$$+\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}}.{{x}^{14-2k}}$
Ta có hệ số của ${{x}^{6}}$
trong ${{\left( 2x-1 \right)}^{11}}$ thì tương ứng với $11-k=6\Rightarrow k=5$
là ${{\left( -1 \right)}^{5}}{{.2}^{6}}.C_{11}^{5}$.
Ta có hệ số của ${{x}^{6}}$
trong ${{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{7}}$ thì tương ứng với $14-2k=6\Rightarrow
k=4$ là $C_{7}^{4}$.
Vậy hệ số của ${{x}^{6}}$
là: ${{\left( -1 \right)}^{5}}{{.2}^{6}}.C_{11}^{5}+C_{7}^{4}$.
b) $A={{\left( x+1 \right)}^{10}}+{{\left( x-1 \right)}^{5}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}{{x}^{10-k}}{{.1}^{k}}$$+\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}}{{x}^{5-k}}.{{\left(
-1 \right)}^{k}}$
$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}.{{x}^{10-k}}$$+\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}}.{{\left(
-1 \right)}^{k}}.{{x}^{5-k}}$
Ta có hệ số của ${{x}^{3}}$
trong ${{\left( x+1 \right)}^{10}}$ thì tương ứng với $10-k=3\Rightarrow k=7$
là $C_{10}^{7}$.
Ta có hệ số của ${{x}^{3}}$
trong ${{\left( x-1 \right)}^{5}}$ thì tương ứng với $5-k=3\Rightarrow k=2$ là ${{\left(
-1 \right)}^{2}}.C_{5}^{2}=C_{5}^{2}$.
Vậy hệ số của ${{x}^{3}}$
là: $C_{10}^{7}+C_{5}^{2}=130$.
Câu
5. Cho $n$ số
nguyên dương thỏa mãn $5C_{n}^{n-1}=C_{n}^{3}$. Tìm số hạng chứa ${{x}^{5}}$
trong khai triển nhị thức Niu-tơn ${{\left( \dfrac{n{{x}^{2}}}{14}-\dfrac{1}{x}
\right)}^{14}},x\ne 0$.
Lời giải
$5C_{n}^{n-1}=C_{n}^{3}$$\Leftrightarrow
5n=\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}$$\Leftrightarrow \left( n-1
\right)\left( n-2 \right)=30\Rightarrow n=7$ (do $n>0$)
Gọi $a$ là hệ số của ${{x}^{5}}$ ta có: $C_{7}^{7-k}{{\left(
\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)}^{7-k}}.{{\left( -\dfrac{1}{x}
\right)}^{k}}=a{{x}^{5}}$$\Leftrightarrow {{\left( -1
\right)}^{k}}.C_{7}^{7-k}.{{\left( \dfrac{1}{2}
\right)}^{7-k}}.{{x}^{14-3k}}=a{{x}^{5}}$
$\Rightarrow
14-3k=5\Leftrightarrow k=3$ và $-C_{7}^{7-k}.{{\left( \dfrac{1}{2}
\right)}^{7-k}}=a\Rightarrow a=\dfrac{-35}{16}$.
Vậy số hạng chứa ${{x}^{5}}$ là $\dfrac{-35}{16}.{{x}^{5}}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Viết khai
triển theo công thức nhị thức Niu-tơn ${{\left( x-y \right)}^{5}}$.
A. ${{x}^{5}}-5{{x}^{4}}y+10{{x}^{3}}{{y}^{2}}-10{{x}^{2}}{{y}^{3}}+5x{{y}^{4}}-{{y}^{5}}$.
B. ${{x}^{5}}-5{{x}^{4}}y-10{{x}^{3}}{{y}^{2}}-10{{x}^{2}}{{y}^{3}}-5x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$.
C. ${{x}^{5}}+5{{x}^{4}}y+10{{x}^{3}}{{y}^{2}}+10{{x}^{2}}{{y}^{3}}+5x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$.
D. ${{x}^{5}}+5{{x}^{4}}y-10{{x}^{3}}{{y}^{2}}+10{{x}^{2}}{{y}^{3}}-5x{{y}^{4}}+{{y}^{5}}$.
Lời giải
Ta
có: ${{\left( x-y \right)}^{5}}={{\left[ x+\left( -y \right) \right]}^{5}}$$=C_{5}^{0}{{x}^{5}}+C_{5}^{1}{{x}^{4}}{{\left(
-y \right)}^{1}}+C_{5}^{2}{{x}^{3}}{{\left( -y \right)}^{2}}$$+C_{5}^{3}{{x}^{2}}{{\left(
-y \right)}^{3}}+C_{5}^{4}{{x}^{1}}{{\left( -y \right)}^{4}}+C_{5}^{5}{{\left(
-y \right)}^{5}}$
Hay ${{\left( x-y \right)}^{5}}$$={{x}^{5}}-5{{x}^{4}}y+10{{x}^{3}}{{y}^{2}}$$-10{{x}^{2}}{{y}^{3}}+5x{{y}^{4}}-{{y}^{5}}$.
Câu
2. Từ khai triển
biểu thức ${{\left( x+1 \right)}^{10}}$ thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức
là
A. $1023$.
B. $512$.
C. $1024$.
D. $2048$.
Lời giải
Chọn C
Xét khai triển $f(x)={{\left(
x+1 \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}}.{{x}^{k}}$.
Gọi $S$ là tổng các hệ số trong
khai triển thì ta có $S=f(1)={{\left( 1+1 \right)}^{10}}={{2}^{10}}=1024$.
Câu 3. Trong
khai triển ${{\left( 1-2x \right)}^{20}}$$={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\,...\,+{{a}_{20}}{{x}^{20}}.$
Giá trị của ${{a}_{0}}-{{a}_{1}}+{{a}_{2}}$ bằng
A. $801$.
B. $800$.
C. $1$.
D. $721$.
Lời giải
Chọn A
Ta có ${{\left( 1-2x
\right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}}{{\left( -2
\right)}^{k}}{{x}^{k}},$ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $\Rightarrow
{{a}_{0}}=C_{20}^{0},$ ${{a}_{1}}=-2.C_{20}^{1},$ ${{a}_{2}}={{\left( -2
\right)}^{2}}C_{20}^{2}=4C_{20}^{2}.$
Vậy ${{a}_{0}}-{{a}_{1}}+{{a}_{2}}$$=C_{20}^{0}+2C_{20}^{1}+4C_{20}^{2}=801.$
Câu
4. Số hạng độc
lập với $x$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{3}}-\dfrac{2}{x} \right)}^{8}}$ là
A. $1792$.
B. $792$.
C. $972$.
D. $1972$.
Lời giải
Chọn A
Ta có số hạng thứ $k+1$ trong
khai triển là ${{T}_{k+1}}=C_{8}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{8-k}}.{{\left(
-\dfrac{2}{x} \right)}^{k}}$$=C_{8}^{k}{{x}^{24-4k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}$.
Do tìm số hạng độc lập với $x$
suy ra $24-4k=0\Leftrightarrow k=6$ $\Rightarrow {{T}_{7}}=C_{8}^{6}.{{\left(
-2 \right)}^{6}}=1792$.
Câu
5. Hệ số của số
hạng chứa ${{x}^{7}}$ trong
khai triển nhị thức ${{\left( x-\dfrac{2}{x\sqrt{x}} \right)}^{12}}$ là:
A. $376$.
B. $-264$.
C. $264$.
D. $260$.
Lời giải
Chọn C
Số hạng tổng quát của khai triển
${{\left( x-\dfrac{2}{x\sqrt{x}} \right)}^{12}}$ (với $x>0$) là
${{T}_{k+1}}=C_{12}^{k}.{{x}^{12-k}}.{{\left(
-\dfrac{2}{x\sqrt{x}} \right)}^{k}}$$={{\left( -2
\right)}^{k}}.C_{12}^{k}.{{x}^{12-k}}.{{x}^{-\dfrac{3k}{2}}}$$={{\left( -2
\right)}^{k}}.C_{12}^{k}.{{x}^{12-\dfrac{5k}{2}}}$.
Số
hạng trên chứa ${{x}^{7}}$ suy ra $12-\dfrac{5k}{2}=7\Leftrightarrow k=2$.
Vậy
hệ số của số hạng chứa ${{x}^{7}}$ trong khai triển trên là $={{\left( -2
\right)}^{2}}.C_{12}^{2}=264$.
Câu
6. Hệ số của số
hạng chứa ${{x}^{6}}$ trong khai triển Newton ${{\left( x-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}
\right)}^{15}}$ là
A. $-3640$.
B. $3640$.
C. $455$.
D. $-1863680$.
Lời giải
Chọn A
${{\left( x-\dfrac{2}{{{x}^{2}}}
\right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{x}^{15-k}}{{\left( -\dfrac{2}{{{x}^{2}}}
\right)}^{k}}}$$=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{x}^{15-k}}{{\left( -2
\right)}^{k}}{{\left( {{x}^{-2}} \right)}^{k}}}$$=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left(
-2 \right)}^{k}}{{x}^{15-3k}}}$
Số hạng tổng quát của khái triển
${{T}_{k+1}}=C_{15}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}{{x}^{15-3k}}$.
Số của số hạng chứa ${{x}^{6}}$:
$15-3k=6\Leftrightarrow k=3$. Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{6}}$: $C_{15}^{k}{{\left(
-2 \right)}^{k}}=C_{15}^{3}{{\left( -2 \right)}^{3}}=-3640$.
Câu
7. Biết hệ số của
số hạng chứa ${{x}^{2}}$ trong khai triển ${{\left( 1+4x \right)}^{n}}$ là $3040$.
Số tự nhiên $n$ bằng bao nhiêu?
A. $28$.
B. $26$.
C. $24$.
D. $20$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${{\left( 1+4x
\right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{\left( 4x \right)}^{k}}}$$=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{4}^{k}}{{x}^{k}}}$.
Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{2}}$
là: $C_{n}^{2}{{4}^{2}}$.
Giả thiết suy ra $C_{n}^{2}{{4}^{2}}=3040\Leftrightarrow
C_{n}^{2}=190$$\Leftrightarrow \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}=190$$\Leftrightarrow
{{n}^{2}}-n-380=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=20\,\,\,\,\,\,\left( n \right) \\ & n=-19\,\,\,\left( l \right) \\ \end{align}
\right.$.
Câu 8. Cho biết hệ số của ${{x}^{2}}$ trong
khai triển ${{\left( 1+2x \right)}^{n}}$ bằng $180$. Tìm $n$.
A. $n=12$.
B. $n=14$.
C. $n=8$.
D. $n=10$.
Lời giải
Ta có ${{\left( 1+2x \right)}^{n}}$$=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}.2x+C_{n}^{2}.{{\left(
2x \right)}^{2}}+...+C_{n}^{n}{{\left( 2x \right)}^{n}}$.
Hệ số của ${{x}^{2}}$ bằng $180\Leftrightarrow
4.C_{n}^{2}=180$$\Leftrightarrow 4\dfrac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}=180$$\Leftrightarrow
n\left( n-1 \right)=90$
$\Leftrightarrow
{{n}^{2}}-n-90=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=-9\,\,\,\left( l \right) \\ & n=10\,\,\,\left( n \right) \\ \end{align}
\right.$.
Vậy $n=10$.
Câu
9. Cho $n$ là số
nguyên dương thỏa mãn $5C_{n}^{1}-C_{n}^{2}=5$. Tìm hệ số $a$ của ${{x}^{4}}$
trong khai triển của biểu thức ${{\left( 2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}$.
A. $a=11520$.
B. $a=256$.
C. $a=45$.
D. $a=3360$.
Lời giải
Điều kiện $n\in
\mathbb{N}$, $n\ge 2$.
Ta có $5C_{n}^{1}-C_{n}^{2}=5\Rightarrow
5n-\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}=5$$\Leftrightarrow
{{n}^{2}}-11n+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=1 \\ & n=10 \\ \end{align} \right.$.
Do $n\ge 2\Rightarrow
n=10$.
Xét khai triển: ${{\left(
2x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{10}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left(
2x \right)}^{10-k}}.{{\left( \dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{k}}}$$=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{2}^{10-k}}{{x}^{10-3k}}}$.
Hệ số $a$ của ${{x}^{4}}$
trong khai triển tương ứng với $10-3k=4\Leftrightarrow k=2$.
Vậy hệ số cần tìm là $a=C_{10}^{2}{{.2}^{8}}=11520$.
Câu
10. Tìm hệ số của
số hạng chứa ${{x}^{8}}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${{\left( \dfrac{n}{2x}+\dfrac{x}{2}
\right)}^{2n}},\left( x\ne 0 \right),$biết số nguyên dương $n$ thỏa mãn $C_{n}^{3}+A_{n}^{2}=50.$
A. $\dfrac{97}{12}$.
B. $\dfrac{29}{51}$.
C. $\dfrac{297}{512}$.
D. $\dfrac{279}{215}$.
Lời giải
Điều kiện $n\in \mathbb{N},n\ge
3.$
$C_{n}^{3}+A_{n}^{2}=50$$\Leftrightarrow
\dfrac{n!}{3!\left( n-3 \right)!}+\dfrac{n!}{\left( n-2 \right)!}=50$$\Leftrightarrow
n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)+6n\left( n-1 \right)-300=0$$\Leftrightarrow
{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}-4n-300=0$$\Leftrightarrow n=6$.
Ta
có nhị thức ${{\left( \dfrac{3}{x}+\dfrac{x}{2} \right)}^{12}}$.
Số
hạng tổng quát $C_{12}^{k}{{\left( \dfrac{3}{x} \right)}^{12-k}}.{{\left( \dfrac{x}{2}
\right)}^{k}}$$=\dfrac{C_{12}^{k}{{.3}^{12-k}}}{{{2}^{k}}}.{{x}^{2k-12}}$
Cho
$2k-12=8\Rightarrow k=10.$
Hệ
số cần tìm là $\dfrac{C_{12}^{10}{{.3}^{2}}}{{{2}^{10}}}=\dfrac{297}{512}.$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Khai triển ${(x+2
y)^3+(2 x-y)^3}$.
a) Hệ số của của ${x^3}$ là $9$.
b) Hệ số của của ${{y}^{3}}$ là $7$.
c) Hệ số của ${{x}^{2}}y$ là $6$.
d) Tổng các hệ số của số hạng mà lũy thừa của ${x}$ lớn hơn
lũy thừa của ${y}$ bằng $-3$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
a) Ta có: ${{(x+2y)}^{3}}+{{(2x-y)}^{3}}$${(x+2 y)^3+(2
x-y)^3=C_3^0 x^3+C_3^1 x^2(2 y)+C_3^2 x(2 y)^2+C_3^3(2 y)^3}$$+C_{3}^{0}{{(2x)}^{3}}+C_{3}^{1}{{(2x)}^{2}}(-y)$${+C_3^0(2
x)^3+C_3^1(2 x)^2(-y)+C_3^2(2 x)(-y)^2+C_3^3(-y)^3}$$={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}y+12x{{y}^{2}}+8{{y}^{3}}$$+8{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}y+6x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}$${=x^3+6
x^2 y+12 x y^2+8 y^3+8 x^3-12 x^2 y+6 x y^2-y^3=9 x^3-6 x^2 y+18 x y^2+7 y^3}$.
b) Có hai số hạng mà lũy thừa của ${x}$ lớn hơn lũy thừa của
${y}$ là ${9 x^3-6 x^2 y}$. Tổng hệ số của chúng: ${9+(-6)=3}$.
Câu
2. Khai triển ${P=(x-\sqrt{3})^5}$.
a) Hệ số của ${x^4}$ trong khai triển là $5\sqrt{3}$.
b) Hệ số của ${{x}^{2}}$ trong khai triển là $-30\sqrt{3}$.
c) Hệ số của ${{x}^{3}}$ trong khai triển là $30$.
d) Hệ số của $x$ trong khai triển là $45$.
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Ta có: $P={{(x-\sqrt{3})}^{5}}$$=C_{5}^{0}{{x}^{5}}+C_{5}^{1}{{x}^{4}}(-\sqrt{3})$$+C_{5}^{2}{{x}^{3}}{{(-\sqrt{3})}^{2}}+C_{5}^{3}{{x}^{2}}{{(-\sqrt{3})}^{3}}$$+C_{5}^{4}x{{(-\sqrt{3})}^{4}}+C_{5}^{5}{{(-\sqrt{3})}^{5}}$$={{x}^{5}}-5\sqrt{3}{{x}^{4}}+30{{x}^{3}}$$-30\sqrt{3}{{x}^{2}}+45x-9\sqrt{3}$.
Câu
3. Khai triển ${Q=(x
y-1)^5}$.
a) Số hạng có chứa ${x^2 y^2}$ là ${-10 x^2 y^2}$
b) Hệ số của ${{x}^{4}}{{y}^{4}}$ trong khai triển là $-5$.
c) Hệ số của ${{x}^{3}}{{y}^{3}}$ trong khai triển là $10$.
d) Hệ số của $xy$ trong khai triển là $-10$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Ta có: $Q=(xy-1)$${Q=(x y-1)^5=C_5^0(x y)^5+C_5^1(x
y)^4(-1)+C_5^2(x y)^3(-1)^2}$$+C_{5}^{3}{{(xy)}^{2}}{{(-1)}^{3}}+C_{5}^{4}(xy){{(-1)}^{4}}+C_{5}^{5}{{(-1)}^{5}}$$={{x}^{5}}{{y}^{5}}-5{{x}^{4}}{{y}^{4}}+10{{x}^{3}}{{y}^{3}}-10{{x}^{2}}{{y}^{2}}+5xy-1.$
Số hạng có chứa ${x^2 y^2}$ trong khai triển là ${-10 x^2
y^2}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Tìm hệ số của
số hạng chứa ${x^{3}}$ trong khai triển của đa thức ${x(2 x+1)^{4}+(x+2)^{5}}$.
Trả lời: $64$
Lời giải
Ta có: ${x(2 x+1)^4+(x+2)^5}$
$=x\left( 16{{x}^{4}}+32{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}+8x+1 \right)$$+\left(
{{x}^{5}}+10{{x}^{4}}+40{{x}^{3}}+80{{x}^{2}}+80x+32 \right)$
$=16{{x}^{5}}+32{{x}^{4}}+24{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+x$$+{{x}^{5}}+10{{x}^{4}}+40{{x}^{3}}+80{{x}^{2}}+80x+32$
$=17{{x}^{5}}+42{{x}^{4}}+64{{x}^{3}}+88{{x}^{2}}+81x+32.$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^3}$ trong khai triển của đa
thức ${x(2 x+1)^4+(x+2)^5}$ là $64$.
Câu
2. Tìm hệ số của
${x^{10}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left(1+x+x^2+x^3\right)^5}$.
Trả lời: $101$
Lời giải
Ta có: ${{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{5}}$$={{\left[
(1+x)+{{x}^{2}}(1+x) \right]}^{5}}$$={{\left[ (1+x).\left( 1+{{x}^{2}} \right)
\right]}^{5}}$$={{(1+x)}^{5}}.{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{5}}$.
Xét khai triển ${{(1+x)}^{5}}.{{\left( 1+{{x}^{2}}
\right)}^{5}}$$=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}}{{x}^{k}}.\sum\limits_{l=0}^{5}{C_{5}^{l}}{{x}^{2l}}$$=\sum\limits_{k=0}^{5}{\left(
C_{5}^{k}\cdot \sum\limits_{l=0}^{5}{C_{5}^{l}}\cdot {{x}^{k+2l}} \right)}$.
Số hạng chứa ${x^{10}}$ tương ứng với ${k, l}$ thỏa mãn ${k+2
l=10 \Leftrightarrow k=10-2 l}$.
Kết hợp với điều kiện, ta có hệ:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=10-2l
\\ 0\le k\le 5,k\in
\mathbb{N} \\ 0\le l\le 5,l\in \mathbb{N} \\ \end{array} \right.$$\Leftrightarrow
(k,l)\in \{(0;5),(2;4),(4;3)\}$.
Vậy hệ số của ${x^{10}}$ bằng tổng các ${C_5^k \cdot C_5^l}$
thỏa mãn $C_{5}^{0}\cdot C_{5}^{5}+C_{5}^{2}\cdot C_{5}^{4}+C_{5}^{4}\cdot
C_{5}^{3}=101.$
Câu
4. Tìm hệ số của
số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển ${\left(2 x+\dfrac{1}{2 x}\right)^9}$.
Trả lời: $1152$
Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển có dạng:
$C_{9}^{k}{{(2x)}^{9-k}}\cdot {{\left( \dfrac{1}{2x}
\right)}^{k}}$$=C_{9}^{k}\cdot {{2}^{9-k}}\cdot {{x}^{9-k}}\cdot \dfrac{1}{{{2}^{k}}{{x}^{k}}}$${C_9^k(2
x)^{9-k} \cdot\left(\dfrac{1}{2 x}\right)^k=C_9^k \cdot 2^{9-k} \cdot x^{9-k}
\cdot \dfrac{1}{2^k x^k}=C_9^k \cdot 2^{9-k} \cdot \dfrac{1}{2^k} x^{9-2 k} }$
Số hạng chứa ${x^5}$ tương ứng với: ${9-2 k=5
\Leftrightarrow k=2}$.
Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^5}$ là: $C_{9}^{2}\cdot {{2}^{9-2}}\cdot
\dfrac{1}{{{2}^{2}}}=1152$.
