BÀI 1. GIỚI HẠN
CỦA DÃY SỐ
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Giới hạn 0 của dãy số
Ta nói dãy số $\left( {{u}_{n}}
\right)$ có giới hạn 0 khi $n$ dần tới dương vô cực, nếu $\left|
{{u}_{n}} \right|$ nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào
đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0$ hay ${{u}_{n}}\to
0$ khi $n\to +\infty $. Ta còn viết là $\lim {{u}_{n}}=0.$
Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ta nói dãy số $\left( {{u}_{n}}
\right)$ có giới hạn hữu hạn là số $a$ (hay ${{u}_{n}}$ dần tới $a$)
khi $n$ dần tới dương vô cực, nếu $\lim \left( {{u}_{n}}-a \right)=0$. Khi đó,
ta viết $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a$ hay $\lim
{{u}_{n}}=a$ hay ${{u}_{n}}\to a$ khi $n\to +\infty $.
1. Một vài giới hạn hữu hạn cơ bản
a) $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{n}=0$;
$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{{{n}^{k}}}=0\,\,(k\in
{{\mathbb{Z}}^{+}})$; $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{a}{{{n}^{k}}}=0\,\,(k\in
{{\mathbb{Z}}^{+}})$;
b) $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\,\,(\left| q
\right|<1)$;
c) $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c$ (với $c$ là hằng số).
Quy ước: Ta hay viết $\lim {{u}_{n}}=a$ thay cho $\underset{n\to
+\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a$.
2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số
a) Nếu $\lim {{u}_{n}}=a$ và $\lim
{{v}_{n}}=b$ thì:
$\lim
({{u}_{n}}+{{v}_{n}})=a+b$;
$\lim
({{u}_{n}}-{{v}_{n}})=a-b$;
$\lim
({{u}_{n}}.{{v}_{n}})=a.b$;
$\lim \dfrac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\dfrac{a}{b}$
(nếu $b \ne 0$).
b) Nếu ${{u}_{n}}\ge
0,\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $\lim {{u}_{n}}=a$ thì $a\ge 0$ và $\lim
\sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}$.
c) (Định lí kẹp) Nếu $\left| {{u}_{n}} \right|\le
{{v}_{n}},\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $\lim {{v}_{n}}=0$ thì $\lim
{{u}_{n}}=0$.
d) Nếu $\lim {{u}_{n}}=a$ thì $\lim
\left| {{u}_{n}} \right|=\left| a \right|$.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn $({{u}_{n}})$
có công bội $q$ với $\left| q \right|<1$ được gọi
là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là: $S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+\ldots
=\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}.$
II. Giới hạn vô cực
- Ta nói dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ có giới hạn là $+\infty $ khi $n\to +\infty $ nếu ${{u}_{n}}$
lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim ${{u}_{n}}=+\infty
$ hay ${{u}_{n}}\to +\infty $ khi $n\to +\infty $.
- Ta nói dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ có giới hạn là $-\infty $ khi $n\to +\infty $ nếu $\lim
\left( -{{u}_{n}} \right)=+\infty $, kí hiệu $\lim {{u}_{n}}=-\infty $ hay ${{u}_{n}}\to
-\infty $ khi $n\to +\infty $.
Chú ý: Ta có các kết quả sau:
a) $\lim {{u}_{n}}=+\infty $ khi
và chi khi $\lim \left( -{{u}_{n}} \right)=-\infty $;
b) Nếu $\lim {{u}_{n}}=+\infty $
hoặc $\lim {{u}_{n}}=-\infty $ thì $\lim \dfrac{1}{{{u}_{n}}}=0$;
c) Nếu $\lim {{u}_{n}}=0$ và ${{u}_{n}}>0$
với mọi $n$ thì $\lim \dfrac{1}{{{u}_{n}}}=+\infty $.
1. Một vài giới hạn vô cực cơ bản
a) $\lim
{{n}^{k}}=+\infty \,\,(k\in {{\mathbb{Z}}^{+}})$;
b) $\lim
{{q}^{n}}=+\infty \,\,(q>1)$;
c) $\lim \sqrt{n}=+\infty
$.
2. Định lí
Một số phương pháp tìm giới
hạn của dãy số:
Khi tính giới hạn có một trong
các dạng vô định: $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty }{\infty }$, $\infty - \infty $, $0.\infty $ thì phải tìm cách khử
dạng vô định.
Rút nhân tử chung có bậc cao nhất ở tử và mẫu.
Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức:
$\left( A-B \right)\left( A+B
\right)={{A}^{2}}-{{B}^{2}}$
$\left( A-B \right)\left(
{{A}^{2}}+AB+{{B}^{2}} \right)={{A}^{3}}-{{B}^{3}}$
$\left( A+B \right)\left( {{A}^{2}}-AB+{{B}^{2}} \right)={{A}^{3}}+{{B}^{3}}$
Dùng Định
lí kẹp: Nếu $\left|
{{u}_{n}} \right|\le {{v}_{n}},\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ và $\lim
{{v}_{n}}=0$ thì $\lim {{u}_{n}}=0$.
Nhớ nhanh:
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng $0$.
- Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của
giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
- Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là $+\infty
$ hoặc $-\infty $ tùy vào dấu của tử và mẫu.
DẠNG 1: ($\dfrac{\infty
}{\infty }$ hoặc $\infty -\infty $) RÚT NHÂN TỬ n MŨ
DẠNG 2: ($\dfrac{\infty
}{\infty }$ hoặc $\infty -\infty $) NHÂN LIÊN HỢP (khi rút nhân tử mà ra dạng
vô định (thường là $0.\infty $ thì ta nhân liên hợp)
DẠNG 3: ĐỊNH LÍ KẸP
DẠNG 4: TỔNG CỦA CẤP SỐ
NHÂN LÙI VÔ HẠN
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Tìm
các giới hạn sau:
a) $\lim \dfrac{n+1}{{{n}^{2}}-2}$.
b) $\lim \dfrac{n\left( n+1
\right)}{{{\left( n+4 \right)}^{3}}}$.
c) $\lim \dfrac{3{{n}^{2}}-2n+5}{2{{n}^{2}}+5n-3}$.
d)
$\lim \dfrac{{{n}^{5}}+{{n}^{4}}-n-2}{4{{n}^{3}}+6{{n}^{2}}+9}$.
e)
$\lim \dfrac{\sqrt[3]{{{n}^{6}}-7{{n}^{3}}-5n+8}}{n+12}$.
f)
$\lim \dfrac{\sqrt[3]{{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+2}}{\sqrt{{{n}^{2}}-4n+5}}$.
Lời giải
a) $\lim \dfrac{n+1}{{{n}^{2}}-2}$ $=\lim \dfrac{{{n}^{2}}\left(
\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)}{{{n}^{2}}\left( 1-\dfrac{2}{{{n}^{2}}}
\right)}$ $=\lim \dfrac{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}{1-\dfrac{2}{{{n}^{2}}}}=0$.
b) $\lim \dfrac{n\left( n+1 \right)}{{{\left( n+4
\right)}^{3}}}$ $=\lim \dfrac{{{n}^{2}}+n}{{{\left[ n\left( 1+\dfrac{4}{n}
\right) \right]}^{3}}}$ $=\lim \dfrac{{{n}^{3}}\left( \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}
\right)}{{{n}^{3}}{{\left( 1+\dfrac{4}{n} \right)}^{3}}}$ $=\lim \dfrac{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}{{{\left(
1+\dfrac{4}{n} \right)}^{3}}}=0$.
c) $\lim \dfrac{3{{n}^{2}}-2n+5}{2{{n}^{2}}+5n-3}$ $=\lim \dfrac{{{n}^{2}}\left(
3-\dfrac{2}{n}+\dfrac{5}{{{n}^{2}}} \right)}{{{n}^{2}}\left( 2+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{{{n}^{2}}}
\right)}$ $=\lim \dfrac{3-\dfrac{2}{n}+\dfrac{5}{{{n}^{2}}}}{2+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{{{n}^{2}}}}$
$=\dfrac{3}{2}$.
d) $\lim \dfrac{{{n}^{5}}+{{n}^{4}}-n-2}{4{{n}^{3}}+6{{n}^{2}}+9}$
$=\lim \dfrac{{{n}^{5}}\left( 1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{{{n}^{4}}}-\dfrac{2}{{{n}^{5}}}
\right)}{{{n}^{3}}\left( 4+\dfrac{6}{n}+\dfrac{9}{{{n}^{3}}} \right)}$ $=\lim
\left[ {{n}^{2}}.\dfrac{1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{{{n}^{4}}}-\dfrac{2}{{{n}^{5}}}}{4+\dfrac{6}{n}+\dfrac{9}{{{n}^{3}}}}
\right]=+\infty $ (vì $\lim {{n}^{2}}=+\infty $ và $\lim \dfrac{1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{{{n}^{4}}}-\dfrac{2}{{{n}^{5}}}}{4+\dfrac{6}{n}+\dfrac{9}{{{n}^{3}}}}=\dfrac{1}{4}>0$).
e) $\lim \dfrac{\sqrt[3]{{{n}^{6}}-7{{n}^{3}}-5n+8}}{n+12}$
$=\lim \dfrac{\sqrt[3]{{{n}^{6}}\left( 1-\dfrac{7}{{{n}^{3}}}-\dfrac{5}{{{n}^{5}}}+\dfrac{8}{{{n}^{6}}}
\right)}}{n\left( 1+\dfrac{12}{n} \right)}$ $=\lim \dfrac{{{n}^{2}}.\sqrt[3]{1-\dfrac{7}{{{n}^{3}}}-\dfrac{5}{{{n}^{5}}}+\dfrac{8}{{{n}^{6}}}}}{n\left(
1+\dfrac{12}{n} \right)}$ $=\lim \left( n.\dfrac{\sqrt[3]{1-\dfrac{7}{{{n}^{3}}}-\dfrac{5}{{{n}^{5}}}+\dfrac{8}{{{n}^{6}}}}}{1+\dfrac{12}{n}}
\right)=+\infty $ (vì $\lim n=+\infty $ và $\lim \dfrac{\sqrt[3]{1-\dfrac{7}{{{n}^{3}}}-\dfrac{5}{{{n}^{5}}}+\dfrac{8}{{{n}^{6}}}}}{1+\dfrac{12}{n}}=1>0$).
f) $\lim \dfrac{\sqrt[3]{{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+2}}{\sqrt{{{n}^{2}}-4n+5}}$
$=\lim \dfrac{n.\sqrt[3]{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{{{n}^{3}}}}}{n.\sqrt{1-\dfrac{4}{n}+\dfrac{5}{{{n}^{2}}}}}$
$=\lim \dfrac{\sqrt[3]{1+\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{{{n}^{3}}}}}{\sqrt{1-\dfrac{4}{n}+\dfrac{5}{{{n}^{2}}}}}=1$.
Câu 2. Tìm
các giới hạn sau:
a) $\lim \dfrac{{{3}^{n}}-{{4}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{3}^{n}}+{{4}^{n}}-{{5}^{n}}}$.
b) $\lim \dfrac{{{4}^{n+1}}+{{6}^{n+2}}}{{{5}^{n}}+{{8}^{n}}}$.
Lời giải
a) $\lim \dfrac{{{3}^{n}}-{{4}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{3}^{n}}+{{4}^{n}}-{{5}^{n}}}$
$=\lim \dfrac{{{5}^{n}}\left( \dfrac{{{3}^{n}}}{{{5}^{n}}}-\dfrac{{{4}^{n}}}{{{5}^{n}}}+1
\right)}{{{5}^{n}}\left( \dfrac{{{3}^{n}}}{{{5}^{n}}}+\dfrac{{{4}^{n}}}{{{5}^{n}}}-1
\right)}$ $=\lim \dfrac{{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{n}}-{{\left( \dfrac{4}{5}
\right)}^{n}}+1}{{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{n}}+{{\left( \dfrac{4}{5}
\right)}^{n}}-1}$ $=-1$.
b) $\lim \dfrac{{{4}^{n+1}}+{{6}^{n+2}}}{{{5}^{n}}+{{8}^{n}}}$
$=\lim \dfrac{{{4.4}^{n}}+{{36.6}^{n}}}{{{5}^{n}}+{{8}^{n}}}$ $=\lim \dfrac{{{8}^{n}}\left(
4.\dfrac{{{4}^{n}}}{{{8}^{n}}}+36.\dfrac{{{6}^{n}}}{{{8}^{n}}} \right)}{{{8}^{n}}\left(
\dfrac{{{5}^{n}}}{{{8}^{n}}}+1 \right)}$ $=\lim \dfrac{4.{{\left( \dfrac{4}{8}
\right)}^{n}}+36.{{\left( \dfrac{6}{8} \right)}^{n}}}{{{\left( \dfrac{5}{8}
\right)}^{n}}+1}=0$.
Câu 3. Tìm các
giới hạn sau:
a) $\lim \left( \sqrt{4{{n}^{2}}+5n}-2n \right)$.
b) $\lim \left( \sqrt{2n+1}-\sqrt{n} \right)$.
c) $\lim \left( 3n-\sqrt{9{{n}^{2}}+1} \right)$.
d) $\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}+2n+3}-n \right)$.
Lời giải
a) $\lim \left( \sqrt{4{{n}^{2}}+5n}-2n \right)$ $=\lim
\dfrac{4{{n}^{2}}+5n-4{{n}^{2}}}{\sqrt{4{{n}^{2}}+5n}+2n}$ $=\lim \dfrac{5n}{\sqrt{4{{n}^{2}}+5n}+2n}$
$=\lim \dfrac{5}{\sqrt{4+\dfrac{5}{n}}+2}=\dfrac{5}{4}$.
b) $\lim \left( \sqrt{2n+1}-\sqrt{n} \right)$ $=\lim
\dfrac{2n+1-n}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{n}}$ $=\lim \dfrac{n+1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{n}}$
$=\lim \left( \sqrt{n}.\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{2+\dfrac{1}{n}}+1}
\right)=+\infty $.
c) $\lim \left( 3n-\sqrt{9{{n}^{2}}+1} \right)$ $=\lim
\dfrac{9{{n}^{2}}-9{{n}^{2}}-1}{3n+\sqrt{9{{n}^{2}}+1}}$ $=\lim \dfrac{-1}{3n+\sqrt{9{{n}^{2}}+1}}$
$=\lim \left( \dfrac{1}{n}.\dfrac{-1}{3+\sqrt{9+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}} \right)$
$=0.\left( -\dfrac{1}{6} \right)=0$.
d) $\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}+2n+3}-n \right)$ $=\lim \dfrac{{{n}^{2}}+2n+3-{{n}^{2}}}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n+3}+n}$
$=\lim \dfrac{2n+3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n+3}+n}$ $=\lim \dfrac{2+\dfrac{3}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{{{n}^{2}}}}+1}=1$.
Câu 4. Tìm các
giới hạn sau:
a) $\lim \left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}}-n
\right)$.
b) $\lim \left( \sqrt[3]{n+2}-\sqrt[3]{n} \right)$.
Lời giải
a) $\lim \left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}}-n
\right)$ $=\lim \dfrac{{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}-{{n}^{3}}}{\sqrt[3]{{{\left(
{{n}^{3}}-2{{n}^{2}} \right)}^{2}}}+n.\sqrt[3]{{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}}+{{n}^{2}}}$
$=\lim \dfrac{-2{{n}^{2}}}{\sqrt[3]{{{\left( {{n}^{3}}-2{{n}^{2}}
\right)}^{2}}}+n\sqrt[3]{{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}}+{{n}^{2}}}$ $=\lim \dfrac{-2}{\sqrt[3]{{{\left(
1-\dfrac{2}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{1-\dfrac{2}{n}}+1}=-\dfrac{2}{3}$.
b) $\lim \left( \sqrt[3]{n+2}-\sqrt[3]{n} \right)$ $=\lim
\dfrac{n+2-n}{\sqrt[3]{{{\left( n+2
\right)}^{2}}}+\sqrt[3]{n+2}.\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{{{n}^{2}}}}$ $=\lim \dfrac{2}{\sqrt[3]{{{\left(
n+2 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{n+2}.\sqrt[3]{n}+\sqrt[3]{{{n}^{2}}}}=0$.
Câu 5. Tìm
các giới hạn sau:
a) $\lim \dfrac{1+2+\ldots
+n}{{{n}^{2}}}$.
b) $\lim \dfrac{n\sqrt{2+4+\ldots
+2n}}{3{{n}^{2}}+n-2}$.
c) $\lim \dfrac{1+2+\ldots
+n}{{{n}^{2}}+3n}$.
Lời giải
Do
$1+2+\ldots +n=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$ nên:
a)
$\lim \dfrac{1+2+\ldots +n}{{{n}^{2}}}=\lim \dfrac{n\left( n+1
\right)}{2{{n}^{2}}}$ $=\lim \dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{1}{2}$.
b)
$\lim \dfrac{n\sqrt{2+4+\ldots +2n}}{3{{n}^{2}}+n-2}$ $=\lim \dfrac{n\sqrt{n\left(
n+1 \right)}}{3{{n}^{2}}+n-2}$ $=\lim \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}~}{3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{{{n}^{2}}}}=\dfrac{1}{3}$.
c)
$\lim \dfrac{1+2+\ldots +n}{{{n}^{2}}+3n}$ $=\lim \dfrac{n\left( n+1
\right)}{2\left( {{n}^{2}}+3n \right)}$ $=\lim \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{6}{n}}=\dfrac{1}{2}$.
Câu
6. Chứng minh rằng
dãy số sau có giới hạn là $0$:
a) ${{u}_{n}}=\dfrac{\left( -1
\right).\cos n}{{{n}^{4}}}$.
b) $\dfrac{{{\left( -1
\right)}^{n}}{{\sin }^{2}}\left( 2n-1 \right)}{\sqrt[3]{{{n}^{2}}}}$.
c) $\dfrac{1}{n\left( 2n+3
\right)}$.
d) $\dfrac{{{\left( -1
\right)}^{n}}\sin \,n+1}{{{n}^{2}}}$.
Lời
giải
a) Ta có $\left| {{u}_{n}}
\right|=\left| \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}.\cos n}{{{n}^{4}}} \right|\le \dfrac{1}{{{n}^{4}}}$.
Mà $\lim \dfrac{1}{{{n}^{4}}}=0$ nên $\lim {{u}_{n}}=0$.
b) Ta có $\left| \dfrac{{{\left(
-1 \right)}^{n}}{{\sin }^{2}}\left( 2n-1 \right)}{\sqrt[3]{{{n}^{2}}}}
\right|\le \dfrac{1}{\sqrt[3]{{{n}^{2}}}}$. Mà $\lim \dfrac{1}{\sqrt[3]{{{n}^{2}}}}=0$
nên $\lim \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{\sin }^{2}}\left( 2n-1
\right)}{\sqrt[3]{{{n}^{2}}}}=0$.
c) Ta có $\left| \dfrac{1}{n\left(
2n+3 \right)} \right|=\left| \dfrac{1}{2{{n}^{2}}+3n} \right|\le \dfrac{1}{{{n}^{2}}}$.
Mà $\lim \dfrac{1}{{{n}^{2}}}=0$ nên $\lim \dfrac{1}{n\left( 2{{n}^{2}}+3
\right)}=0$.
d) Ta có $\left| \dfrac{{{\left(
-1 \right)}^{n}}\sin n+1}{{{n}^{2}}} \right|\le \dfrac{2}{{{n}^{2}}}$. Mà $\lim
\dfrac{2}{{{n}^{2}}}=0$ nên $\lim \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}\sin
\,n+1}{n}=0$.
Câu 7. Tính
tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a) ${-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\ldots+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n+\ldots}$;
b) ${\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{64}+\ldots+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n+\ldots}$.
Lời giải
a) Cấp số nhân lùi vô hạn với ${{u}_{1}}=-\dfrac{1}{2},\,\,q=-\dfrac{1}{2}$.
$S=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\ldots +{{\left(
-\dfrac{1}{2} \right)}^{n}}+\ldots $ $=\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{\dfrac{-1}{2}}{1-\left(
\dfrac{-1}{2} \right)}=\dfrac{-1}{3}$.
b) Cấp số nhân lùi vô hạn với ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{4},\,\,q=\dfrac{1}{4}$.
$S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{64}+\ldots +{{\left(
\dfrac{1}{4} \right)}^{n}}+\ldots $ $=\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{3}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. $\lim \dfrac{2{{n}^{2}}-3}{{{n}^{6}}+5{{n}^{5}}}$ bằng
A. $2$.
B. $0$.
C. $\dfrac{-3}{5}$.
D. $-3$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\lim \dfrac{2{{n}^{2}}-3}{{{n}^{6}}+5{{n}^{5}}}$ $=\lim
\dfrac{\dfrac{2}{{{n}^{4}}}-\dfrac{3}{{{n}^{6}}}}{1+\dfrac{5}{n}}$ $=0$.
Câu 2. $\lim \dfrac{n-2}{3n+1}$ bằng
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $-\dfrac{1}{3}$.
C. $-2$.
D. $1$.
Lời
giải
Chọn A
Ta có $\lim \dfrac{n-2}{3n+1}=\lim \dfrac{n\left(
1-\dfrac{2}{n} \right)}{n\left( 3+\dfrac{1}{n} \right)}=\lim \dfrac{1-\dfrac{2}{n}}{3+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1}{3}$.
Câu 3. Tìm $\lim \dfrac{8{{n}^{5}}-2{{n}^{3}}+1}{4{{n}^{5}}+2{{n}^{2}}+1}$.
A. $2$.
B. $8$.
C. $1$.
D. $4$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\lim
\dfrac{8{{n}^{5}}-2{{n}^{3}}+1}{4{{n}^{5}}+2{{n}^{2}}+1}$ $=\lim \dfrac{{{n}^{5}}\left(
8-\dfrac{2}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{5}}} \right)}{{{n}^{5}}\left( 4+\dfrac{2}{{{n}^{3}}}+\dfrac{1}{{{n}^{5}}}
\right)}$=$\lim \dfrac{8-\dfrac{2}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{5}}}}{4+\dfrac{2}{{{n}^{3}}}+\dfrac{1}{{{n}^{5}}}}=\dfrac{8}{4}=2$.
Câu
4. $\lim \dfrac{{{100}^{n+1}}+{{3.99}^{n}}}{{{10}^{2n}}-{{2.98}^{n+1}}}$ bằng
A. $+\infty $.
B. $100$.
C. $\dfrac{1}{100}$.
D. $0$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\lim \dfrac{{{100}^{n+1}}+{{3.99}^{n}}}{{{10}^{2n}}-{{2.98}^{n+1}}}$
$=\lim \dfrac{100+3.{{\left( \dfrac{99}{100} \right)}^{n}}}{1-2.98.{{\left( \dfrac{98}{100}
\right)}^{n}}}=100$.
Câu 5. Tính
giới hạn $\lim \dfrac{{{3.2}^{n+1}}-{{2.3}^{n+1}}}{4+{{3}^{n}}}$.
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $0$.
C. $\dfrac{6}{5}$.
D. $-6$.
Lời giải
Chọn
D
Ta có $\lim \dfrac{{{3.2}^{n+1}}-{{2.3}^{n+1}}}{4+{{3}^{n}}}$
$=\lim \dfrac{6.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{n}}-6}{4.{{\left( \dfrac{1}{3}
\right)}^{n}}+1}=-6$.
Câu
6. Tính giá trị
của $\lim \dfrac{\cos n+\sin n}{{{n}^{2}}+1}.$
A. $1.$
B. $0.$
C. $+\infty .$
D. $-\infty .$
Lời giải
Chọn B
Ta có $0<\left| \dfrac{\cos n+\sin n}{{{n}^{2}}+1}
\right|$ $\le \dfrac{\left| \cos n \right|+\left| \sin n
\right|}{{{n}^{2}}+1}<\dfrac{2}{{{n}^{2}}+1}$ mà $\lim \dfrac{2}{{{n}^{2}}+1}=0$
nên suy ra $\lim \dfrac{\cos n+\sin
n}{{{n}^{2}}+1}=0.$
Câu
7. Dãy số $\left(
{{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=\dfrac{\left( 3n-1 \right){{\left( 3-n
\right)}^{2}}}{{{\left( 4n-5 \right)}^{3}}}$ có giới hạn bằng phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$.
Tính $a.b$.
A. $192$.
B. $68$.
C. $32$.
D. $128$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $\lim \dfrac{\left( 3n-1 \right){{\left( 3-n
\right)}^{2}}}{{{\left( 4n-5 \right)}^{3}}}$ $=\lim \dfrac{\left( 3-\dfrac{1}{n}
\right){{\left( \dfrac{3}{n}-1 \right)}^{2}}}{{{\left( 4-\dfrac{5}{n}
\right)}^{3}}}=\dfrac{3}{64}=\dfrac{a}{b}$. Do đó: $a.b=192$.
Câu
8. Biết $\lim \dfrac{2{{n}^{3}}+{{n}^{2}}-4}{a{{n}^{3}}+2}=\dfrac{1}{2}$
với $a$ là tham số. Khi đó $a-{{a}^{2}}$ bằng
A.
$-12$.
B.
$-2$.
C.
$0$.
D.
$-6$.
Lời giải
Chọn
A
Ta
có $\lim \dfrac{2{{n}^{3}}+{{n}^{2}}-4}{a{{n}^{3}}+2}$ $=\lim \dfrac{{{n}^{3}}\left(
2+\dfrac{1}{n}-\dfrac{4}{{{n}^{3}}} \right)}{{{n}^{3}}\left( a+\dfrac{2}{{{n}^{3}}}
\right)}=\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{2}$.
Suy
ra $a=4$. Khi đó $a-{{a}^{2}}=4-{{4}^{2}}=-12$.
Câu
9. $\lim \dfrac{1+3+5+...+2n+1}{3{{n}^{2}}+4}$ bằng
A. $\dfrac{2}{3}$.
B. $0$.
C. $\dfrac{1}{3}$.
D. $+\infty $.
Lời giải
Chọn C
Ta có $1+3+5+...+\left( 2n+1 \right)$ $=\dfrac{\left( 1+2n+1
\right)\left( n+1 \right)}{2}={{\left( n+1 \right)}^{2}}$.
Khi đó $\lim \dfrac{1+3+5+...+\left(
2n+1 \right)}{3{{n}^{2}}+4}$ $=\lim \dfrac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{3{{n}^{2}}+4}=\lim
\dfrac{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}{3+\dfrac{4}{{{n}^{2}}}}=\dfrac{1}{3}$.
Câu
10. $\lim {{\left( 2-3n \right)}^{4}}{{\left( n+1 \right)}^{3}}$ bằng
A. $-\infty $.
B. $+\infty $.
C. $81$.
D. $2$.
Lời giải
Chọn B
Ta
có $\lim {{\left( 2-3n \right)}^{4}}{{\left( n+1 \right)}^{3}}$ $=\lim \left[
{{n}^{7}}{{\left( \dfrac{2}{n}-3 \right)}^{4}}{{\left( 1+\dfrac{1}{n}
\right)}^{3}} \right]=+\infty $
(do
$\lim {{n}^{7}}=+\infty $ và $\lim \left[ {{\left( \dfrac{2}{n}-3
\right)}^{4}}{{\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)}^{3}} \right]={{3}^{4}}>0$).
Câu 11.
$\lim \dfrac{\sqrt{4{{n}^{2}}+1}-\sqrt{n+2}}{2n-3}$ bằng
A. $\dfrac{3}{2}$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $+\infty
$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $\lim \dfrac{\sqrt{4{{n}^{2}}+1}-\sqrt{n+2}}{2n-3}$ $=\lim
\dfrac{\sqrt{4+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}-\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{{{n}^{2}}}}}{2-\dfrac{3}{n}}$
$=\dfrac{2-0}{2}$ $=1$.
Câu
12. Cho $I=\underset{{}}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{\sqrt{4{{n}^{2}}+5}+n}{4n-\sqrt{{{n}^{2}}+1}}$. Khi đó giá trị của $I$
là:
A. $I=1$.
B. $I=\dfrac{5}{3}$.
C. $I=-1$.
D. $I=\dfrac{3}{4}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $I=\underset{{}}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{\sqrt{4{{n}^{2}}+5}+n}{4n-\sqrt{{{n}^{2}}+1}}$ $=\underset{{}}{\mathop{\lim
}}\,\dfrac{\sqrt{4+\dfrac{5}{{{n}^{2}}}}+1}{4-\sqrt{1+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}}$ $=1$.
Câu
13. $\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}-3n+1}-n \right)$ bằng
A. $-3$.
B. $+\infty $.
C. $0$.
D. $-\dfrac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Ta
có $\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}-3n+1}-n \right)$ $=\lim \dfrac{-3n+1}{\sqrt{{{n}^{2}}-3n+1}+n}$
$=\lim \dfrac{-3+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}+1}=-\dfrac{3}{2}$.
Câu
14. Tính $\lim
\left( n-\sqrt{{{n}^{2}}-4n} \right)$.
A. $3$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $4$.
Lời giải
Chọn C
Ta
có $\lim \left( n-\sqrt{{{n}^{2}}-4n} \right)$ $=\lim \dfrac{\left(
n-\sqrt{{{n}^{2}}-4n} \right)\left( n+\sqrt{{{n}^{2}}-4n}
\right)}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-4n}}$
$=\lim
\dfrac{4n}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-4n}}$ $=\lim \dfrac{4}{1+\sqrt{1-\dfrac{4}{n}}}=2$.
Câu
15. Số thập
phân vô hạn tuần hoàn $3,15555...=3,1\left( 5 \right)$ viết dưới dạng hữu tỉ là
A. $\dfrac{63}{20}$.
B. $\dfrac{142}{45}$.
C. $\dfrac{1}{18}$.
D. $\dfrac{7}{2}$.
Lời giải
Chọn B
Ta
có $3,15555...=3,1\left( 5 \right)$ $=3,1+5\left( \dfrac{1}{{{10}^{2}}}+\dfrac{1}{{{10}^{3}}}+...
\right)$ $=3,1+5.\dfrac{\dfrac{1}{{{10}^{2}}}}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{142}{45}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Các mệnh đề
sau đúng hay sai:
a) $\lim {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{n}}=0$.
b) $\lim \dfrac{1}{{{(\sqrt{2})}^{n}}}=-\infty $.
c) $\lim \dfrac{1}{{{n}^{3}}}=0$.
d) $\lim 4=0$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
a) $\lim {{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{n}}=0\,$ $\left(
\text{do}\,\dfrac{2}{3}<1 \right)$
b) $\lim \dfrac{1}{{{(\sqrt{2})}^{n}}}=\lim {{\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\right)}^{n}}=0$ do $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,<1$.
c) ${\lim \dfrac{1}{n^3}=0}$.
d) ${\lim 4=4}$.
Câu
2. Tính các giới
hạn sau:
a) $\lim {{(\sqrt{3})}^{n}}=-\infty $.
b) $\lim {{\pi }^{n}}=0$.
c) $\lim \left( {{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-4 \right)=+\infty $.
d) $\lim \left( -{{n}^{4}}+5{{n}^{3}}-4n \right)=-\infty $.
Lời giải
a) Sai
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
a) $\lim {{(\sqrt{3})}^{n}}=+\infty $ do $\sqrt{3}>1$.
b) $\lim {{\pi }^{n}}=+\infty $ do $\pi >1$.
c) $\lim \left( {{n}^{3}}+2{{n}^{2}}-4 \right)$ $=\lim
\left[ {{n}^{3}}.\left( 1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{4}{{{n}^{3}}} \right)
\right]=+\infty $ (vì $\lim {{n}^{3}}=+\infty $ và $\lim \left( 1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{4}{{{n}^{3}}}
\right)=1>0$).
d) $\lim \left( -{{n}^{4}}+5{{n}^{3}}-4n \right)$ $=\lim
\left[ {{n}^{4}}.\left( -1+\dfrac{5}{n}-\dfrac{4}{{{n}^{3}}} \right)
\right]=-\infty $ (vì $\lim {{n}^{4}}=+\infty $ và $\lim \left( -1+\dfrac{5}{n}-\dfrac{4}{{{n}^{3}}}
\right)=-1<0$).
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Tìm giới hạn
sau: ${\lim n \sqrt{\dfrac{9 n^2}{4 n^4-n^2}}}$.
Trả lời: $1,5$
Lời giải
Ta có: $\lim \left( n\sqrt{\dfrac{9{{n}^{2}}}{4{{n}^{4}}-{{n}^{2}}}}
\right)$ $=\lim \left( \dfrac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}}\sqrt{\dfrac{9}{4-\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}}
\right)$ ${=\lim
\sqrt{\dfrac{9}{4-\dfrac{1}{n^2}}}=\dfrac{3}{2}}$.
Câu
2. Tìm giới hạn
sau: ${\lim \left(\sqrt{n^2+2 n-2}-n\right)}$.
Trả lời: $1$
Lời giải
Ta có $\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}+2n-2}-n \right)$ $=\lim \dfrac{{{n}^{2}}+2n-2-{{n}^{2}}}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n-2}+n}$
${\lim \dfrac{2 n-2}{n \sqrt{1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+n}}$ $=\lim \dfrac{n\left(
2-\dfrac{2}{n} \right)}{n\left( \sqrt{1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{{{n}^{2}}}}+1
\right)}$ $=\lim \dfrac{2-\dfrac{2}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{{{n}^{2}}}}+1}=\dfrac{2}{\sqrt{1}+1}=1$.
Câu
3. Tìm tổng của
cấp số nhân lùi vô hạn sau: ${S=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\ldots}$
Trả lời: $0,67$
Lời giải
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1=1}$,
công bội $q=-\dfrac{1}{2}$.
$S=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\ldots +{{\left(
-\dfrac{1}{2} \right)}^{n}}+\ldots $ $=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$.
Câu
4. Tìm giới hạn
sau: ${\lim \dfrac{3^{n+1}-4^n}{4^{n-1}+3}}$.
Trả lời: $-4$
Lời giải
$\lim \dfrac{{{3}^{n+1}}-{{4}^{n}}}{{{4}^{n-1}}+3}=\lim \dfrac{{{3.3}^{n}}-{{4}^{n}}}{\dfrac{1}{4}{{.4}^{n}}+3}$
$=\lim \dfrac{{{4}^{n}}\left[ 3{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{n}}-1
\right]}{{{4}^{n}}\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{{{4}^{n}}} \right)}$ $=\lim \dfrac{3{{\left(
\dfrac{3}{4} \right)}^{n}}-1}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{{{4}^{n}}}}$ ${=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{4}}=-4}$.
Câu
5. Tìm giới hạn
sau: ${\lim \left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+2}\right)}$.
Trả lời: $0,5$
Lời giải
Ta có $\lim \left(
\sqrt{{{n}^{2}}+n}-\sqrt{{{n}^{2}}+2} \right)$ $=\lim \dfrac{{{n}^{2}}+n-{{n}^{2}}-2}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}+\sqrt{{{n}^{2}}+2}}$
$=\lim \dfrac{n-2}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}+\sqrt{{{n}^{2}}+2}}$ $=\lim \dfrac{n\left(
1-\dfrac{2}{n} \right)}{n\left( \sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{{{n}^{2}}}}
\right)}$ $=\lim \dfrac{1-\dfrac{2}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{{{n}^{2}}}}}=\dfrac{1}{2}$.
