BÀI 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số
tuần hoàn
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên
tập $D$.
- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là hàm
số chẵn trên $D$ nếu với mọi $x\in D$ ta có $-x\in D$ và $f(-x)=f(x)$.
- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là hàm
số lẻ trên $D$ nếu với mọi $x\in D$ ta có $-x\in D$ và $f(-x)=-f(x)$.
Chú ý: - Đồ thị của hàm số chẵn nhận
trục tung làm trục đối xứng.
- Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc
tọa độ làm tâm đối xứng.
Hàm số $y=f(x)$ được gọi là hàm
số tuần hoàn nếu tồn tại một số $T$ khác 0 sao cho với mọi $x\in D$ ta
có $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$. Số $T$ dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện
trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn $y=f(x)$.
Chú ý: Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu
kì $T$ được lặp lại trên từng đoạn giá trị của $x$ có độ dài $T$.
2. Hàm số $y=\sin x$
Hàm số sin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số
thực $x$ với số thực $\sin x$, kí hiệu $y=\sin x$.
Hàm số $y=\sin x$:
- Có tập xác định là $D=\mathbb{R}$.
- Có tập giá trị là $T=\left[
-1;1 \right]$.
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
$2\pi $.
- Là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng
qua gốc toạ độ $O$.
- Đồng biến trên các khoảng $\left(
-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k2\pi
\right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( \dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi
}{2}+k2\pi \right)$$(k\in \mathbb{Z})$.
- Đồ thị:
Nhận xét: Với $k\in \mathbb{Z}$, ta có:
$\sin
x=0\Leftrightarrow x=k\pi $;
$\sin
x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $;
$\sin
x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $.
Chú ý: - Vì $y=\sin x$ là hàm số lẻ
nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$, ta có thể vẽ trên đoạn $[0;\pi
]$, sau đó lấy đối xứng qua gốc toạ độ.
- Vì $y=\sin x$ tuần hoàn với
chu kì $2\pi $ nên để vẽ đồ thị của nó ta chỉ cần vẽ trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$, sau
đó lặp lại đồ thị này trên các đoạn có độ dài $2\pi $.
3. Hàm số $y=\cos x$
Hàm số côsin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số
thực $x$ với số thực $\cos x$, kí hiệu $y=\cos x$.
Hàm số $y=\cos x$:
- Có tập xác định là $D=\mathbb{R}$.
- Có tập giá trị là $T=\left[
-1;1 \right]$.
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
$2\pi $.
- Là hàm số chẵn, có đồ thị đối
xứng qua trục tung $Oy$.
- Đồng biến trên các khoảng $(-\pi
+k2\pi ;k2\pi )$ và nghịch biến trên các khoảng $(k2\pi ;\pi +k2\pi )\,\,(k\in
\mathbb{Z})$.
- Đồ thị:
Nhận xét: Với $k\in \mathbb{Z}$, ta có:
$\cos
x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $;
$\cos
x=1\Leftrightarrow x=k2\pi $;
$\cos
x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi $.
Chú ý: - Vì $y=\cos x$ là hàm số chẵn
nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$, ta có thể vẽ trên đoạn $[0;\pi
]$, sau đó lấy đối xứng qua trục tung.
- Vì $y=\cos x$ tuần hoàn với
chu kì $2\pi $ nên để vẽ đồ thị của nó ta chỉ cần vẽ trên đoạn $[-\pi ;\pi ]$, sau
đó lặp lại đồ thị này trên các đoạn có độ dài $2\pi $.
4. Hàm số $y=\tan x$
Hàm số tang được xác định bởi công thức $y=\dfrac{\sin
x}{\cos x}\text{; }\,x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,(k\in \mathbb{Z})\text{,}$ kí
hiệu $\text{ }y=\tan x$.
Hàm số $y=\tan x$:
- Có tập xác định là $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \left. \dfrac{\pi }{2}+k\pi
\right|k\in \mathbb{Z} \right\}$.
- Có tập giá trị là $T=\mathbb{R}$.
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
$\pi $.
- Là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng
qua gốc tọa độ $O$.
- Đồng biến trên các khoảng $\left(
-\dfrac{\pi }{2}+k\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k\pi
\right)\,\,(k\in \mathbb{Z})$.
- Đồ thị:
Nhận xét: Với $k\in \mathbb{Z}$, ta có:
$\tan
x=0\Leftrightarrow x=k\pi $;
$\tan
x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi $;
$\tan
x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi $.
Chú ý: - Vì $y=\tan x$ là hàm số lẻ
nên để vẽ đồ thị của nó trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}
\right)$, ta có thể vẽ trên nửa khoảng $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$, sau
đó lấy đối xứng qua gốc toạ độ $O$.
- Vì $y=\tan x$ tuần hoàn với
chu kì $\pi $ nên để vẽ đồ thị của nó ta chỉ cần vẽ trên khoảng $\left( -\dfrac{\pi
}{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$, sau đó lặp lại đồ thị này trên các khoảng $\left(
-\dfrac{\pi }{2}+k\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k\pi
\right)\,\,(k\in \mathbb{Z},\,\,k\ne 0)$.
5. Hàm số $y=\cot x$
Hàm số côtang được xác định bởi công thức $y=\dfrac{\cos
x}{\sin x}\text{;}\,\,x\ne k\pi \,\,(k\in \mathbb{Z})\text{,}$ kí hiệu $\text{
}y=\cot x\text{. }$
Hàm số $y=\cot x$:
- Có tập xác định là $D=\mathbb{R}\backslash
\{\left. k\pi \right|k\in \mathbb{Z}\}$.
- Có tập giá trị là $T=\mathbb{R}$.
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì
$\pi $.
- Là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng
qua gốc tọa độ $O$.
- Nghịch biến trên các khoảng $(k\pi
;\pi +k\pi )\,\,(k\in \mathbb{Z})$.
- Đồ thị:
Nhận xét: Với $k\in \mathbb{Z}$, ta có:
$\cot
x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $;
$\cot
x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi $;
$\cot
x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi $.
Chú ý: Vì $y=\cot x$ tuần hoàn với chu
kì $\pi $ nên để vẽ đồ thị của nó ta chỉ cần vẽ trên khoảng $\left( 0;\pi \right)$, sau đó lặp lại đồ thị này trên các
khoảng $(k\pi ;\pi +k\pi )\,\,(k\in \mathbb{Z},\,\,k\ne 0)$.
Dạng
toán: Tập xác định của hàm số lượng giác
$\dfrac{1}{A}$
có điều kiện là $A\ne 0$;
$\sqrt{A}$
có điều kiện là $A\ge 0$;
$\dfrac{1}{\sqrt{A}}$
có điều kiện là $A>0$;
$\tan X$
có điều kiện là $\cos X\ne 0$;
$\cot X$
có điều kiện là $\sin X\ne 0$.
Dạng
toán: Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác
Hàm số $y=\sin
\left( ax+b \right)$ và $y=\cos \left( ax+b \right)$ có chu kì ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\dfrac{2\pi
}{\left| a \right|}$.
Hàm số $y=\tan
\left( ax+b \right)$ và $y=\cot \left( ax+b \right)$ có chu kì ${{T}_{0}}\,\,=\,\,\dfrac{\pi
}{\left| a \right|}$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y=\tan \left( 2x+\dfrac{\pi }{6} \right)$.
b) $y=\cot \left( -2x-\dfrac{\pi }{3} \right)$.
c) $y=\dfrac{2}{\sin 2x}$.
Lời giải
a) Điều kiện xác định: $\cos \left( 2x+\dfrac{\pi }{6}
\right)\ne 0$ $\Leftrightarrow 2x+\dfrac{\pi }{6}\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi $ $\Leftrightarrow
x\ne \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2}, k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2}, k\in \mathbb{Z} \right\}$.
b) Điều kiện xác định: $\sin \left( -2x-\dfrac{\pi }{3} \right)\ne
0$ $\Leftrightarrow -2x-\dfrac{\pi }{3}\ne k\pi $ $\Leftrightarrow x\ne -\dfrac{\pi
}{6}-\dfrac{k\pi }{2}, k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ -\dfrac{\pi }{6}-\dfrac{k\pi }{2}, k\in \mathbb{Z} \right\}$.
c) Điều kiện xác định: $\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow 2x\ne k\pi $
$\Leftrightarrow x\ne \dfrac{k\pi }{2}, k\in \mathbb{Z}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{k\pi }{2}, k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Câu
2. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) $y=\cos \dfrac{3x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$.
b) $y=\sqrt{2-2\sin x}$.
c) $y=\sqrt{\dfrac{1-\text{cos}x}{1+\text{cos}x}}$.
d) $y=\cot \left( \dfrac{\pi }{4}-2x \right)-\dfrac{2}{1-\text{cos}x}$.
Lời giải
a) Hàm số xác định khi: ${{x}^{2}}-1>0\Leftrightarrow
x>1\,\vee \,x<-1$.
Vậy TXĐ:$\text{D}=\,\left( -\infty \,;-1 \right)\,\cup
\left( 1\,;+\infty \right)$.
b) Hàm số xác định khi: $2-2\sin x\ge 0\Leftrightarrow \sin
x\le 1$: luôn đúng $\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy $D=\mathbb{R}$.
c) $y=\sqrt{\dfrac{1-\text{cos}x}{1+\text{cos}x}}$:
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{align} & \dfrac{1-\text{cos}x}{1+\text{cos}x}\ge
0 \\ & 1+\text{cos}x\ne 0 \\ \end{align}
\right.\,\,\,\left( * \right)$
Ta có: $-1\le
\text{cos}x\le 1,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& 1-\text{cos}x\ge 0 \\ & 1+\text{cos}x\ge 0 \\ \end{align}
\right.,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó: $\left( *
\right)\Leftrightarrow 1+\text{cos}x\ne 0\Leftrightarrow \text{cos}x\ne -1$$\Leftrightarrow
x\ne \pi +k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
Vậy tập xác định của
hàm số: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \pi +k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}
\right\}$.
d) $y=\cot \left( \dfrac{\pi }{4}-2x \right)-\dfrac{2}{1-\text{cos}x}$
ĐKXĐ: $\left\{
\begin{align} & \sin \left( \dfrac{\pi
}{4}-2x \right)\ne 0 \\ & 1-\cos
x\ne 0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \dfrac{\pi }{4}-2x\ne k\pi \\ & \cos x\ne 1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & x\ne \dfrac{\pi
}{8}-k\dfrac{\pi }{2} \\ & x\ne
k2\pi \\ \end{align} \right.$.
Vậy tập xác định của
hàm số: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{\pi }{8}-k\dfrac{\pi
}{2},\,k2\pi ,\,\, k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Câu
3. Tìm chu kì tuần hoàn các hàm số sau:
a) $y=1-\sin 5x$.
b) $y=2{{\cos }^{2}}2x$.
c) $y=\tan \left( -3x+1 \right)$.
d) $y=2-3\cot (2x-1)$.
e) $y=\sin 3x+3\cos 2x$.
Lời giải
a) $T=\dfrac{2\pi
}{5}$.
b) $y=2.\dfrac{1+\cos
4x}{2}=1+\cos 4x\Rightarrow T=\dfrac{\pi }{2}$.
c) $T=\dfrac{\pi
}{\left| -3 \right|}=\dfrac{\pi }{3}$.
d) $T=\dfrac{\pi
}{2}$.
e) Ta có hàm số $y=\sin 3x$ có chu kỳ ${{T}_{1}}=\dfrac{2\pi
}{3}$và hàm số $y=\cos 2x$ có chu kỳ ${{T}_{2}}=\pi $.
Suy ra chu kỳ $T$của hàm số $y=\sin 3x+3\cos 2x$ là bội
chung nhỏ nhất của ${{T}_{1}}=\dfrac{2\pi }{3}$và ${{T}_{2}}=\pi $.
Vậy $T=2\pi $.
Câu
4. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) $y=2\cos 3x$.
b) $y=x+\sin x$.
c) $y=x.\cot x+\cos x$.
d) $y={{x}^{2}}+\tan |x|$.
e) $y=\left| x \right|\sin x$.
f) $y=\dfrac{\tan x-\sin x}{2+\cos x+{{\cot }^{2}}x}$.
Lời giải
a) Tập
xác định $D=\mathbb{R}$.
$\forall x\in D\Rightarrow -x\in
D$
$\forall x\in D$, $f\left(
-x \right)=2\cos \left( -3x \right)$$=2\cos 3x=f\left( x \right)$.
Suy ra hàm số đã cho là hàm số chẵn.
b) Tập
xác định $D=\mathbb{R}$.
$\forall x\in D\Rightarrow -x\in
D$
$\forall x\in D$, $f\left(
-x \right)=-x+\sin \left( -x \right)$$=-\left( x+\sin x \right)=-f\left( x
\right)$.
Suy ra hàm số đã cho là hàm số lẻ.
c) Tập
xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
$\forall x\in D\Rightarrow -x\in
D$
$\forall x\in D$, $f\left(
-x \right)=-x.\cot \left( -x \right)+\cos \left( -x \right)$$=x.\cot x+\cos
x=f\left( x \right)$.
Suy ra hàm số đã cho là hàm số chẵn.
d) Tập
xác định $D=\mathbb{R}$.
$\forall x\in D\Rightarrow -x\in
D$
$\forall x\in D$, $f\left(
-x \right)={{\left( -x \right)}^{2}}+\tan \left| -x \right|$$={{x}^{2}}+\tan
\left| x \right|=f\left( x \right)$.
Suy ra hàm số đã cho là hàm số chẵn.
e) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$
Ta có:
$\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$
$f\left( -x \right)=\left| -x \right|\sin \left( -x \right)$$=-\left|
x \right|\sin x=-f\left( x \right),\forall x\in D$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
f) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ k\dfrac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$
$\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$
$f\left( -x \right)=\dfrac{\tan \left( -x \right)-\sin
\left( -x \right)}{2+\cos \left( -x \right)+{{\cot }^{2}}\left( -x \right)}$$=\dfrac{-\tan
x+\sin x}{2+\cos x+{{\cot }^{2}}x}=-f\left( x \right),\forall x\in D$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Câu
5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:
a) $y=2\sin \left( 3x-\dfrac{\pi }{2} \right)-3$.
b) $y=-5+2{{\cos }^{2}}\left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right)$.
c) $y=2\sqrt{\cos 3x}-1$.
d) $y=\dfrac{{{\sin }^{2}}3x}{2}-3{{\cos }^{2}}3x$.
Lời giải
a) Ta có $-1\le
\sin \left( 3x-\dfrac{\pi }{2} \right)\le 1$
$\Leftrightarrow
-2\le 2\sin \left( 3x-\dfrac{\pi }{2} \right)\le 2$
$\Leftrightarrow
-5\le 2\sin \left( 3x-\dfrac{\pi }{2} \right)-3\le 1$
Suy ra ${{y}_{\max
}}=-1$ khi $\sin \left( 3x-\dfrac{\pi }{2} \right)=1$$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi
}{3}+\dfrac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\min }}=-5$
khi $\sin \left( 3x-\dfrac{\pi }{2} \right)=-1$$\Leftrightarrow x=\dfrac{k2\pi
}{3},k\in \mathbb{Z}$.
b) Ta có $0\le
{{\cos }^{2}}\left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right)\le 1$.
$\Leftrightarrow
0\le 2{{\cos }^{2}}\left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right)\le 2$
$\Leftrightarrow
-5\le 2{{\cos }^{2}}\left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right)-5\le -3$
Suy ra ${{y}_{\min
}}=-5$ khi ${{\cos }^{2}}\left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right)=0$$\Leftrightarrow
\cos \left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right)=0$$\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pi }{12}+\dfrac{k\pi
}{2},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\max }}=-3$
khi ${{\cos }^{2}}\left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right)=1$$\Leftrightarrow \cos
\left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right)=\pm 1$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=\dfrac{2\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.
c) Ta có $0\le
\sqrt{\cos 3x}\le 1$$\Leftrightarrow -1\le 2\sqrt{\cos 3x}-1\le 1$.
Suy ra ${{y}_{\min
}}=-1$ khi $\cos 3x=0$$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{3},k\in
\mathbb{Z}$.
${{y}_{\max }}=1$
khi $\cos 3x=1$$\Leftrightarrow x=\dfrac{k2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
d) Ta có $y=\dfrac{{{\sin
}^{2}}3x-6\left( 1-{{\sin }^{2}}3x \right)}{2}$$=\dfrac{7{{\sin }^{2}}3x-6}{2}$.
Ta có: $0\le
{{\sin }^{2}}3x\le 1$ $\Leftrightarrow -3\le \dfrac{7{{\sin }^{2}}3x-6}{2}\le \dfrac{1}{2}$.
Suy ra ${{y}_{\min
}}=-3$ khi $\sin 3x=0$$\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.
${{y}_{\max }}=\dfrac{1}{2}$
khi ${{\sin }^{2}}3x=1$$\Leftrightarrow \sin 3x=\pm 1$$\Leftrightarrow \left[
\begin{align} & x=\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k2\pi
}{3} \\ & x=-\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k2\pi
}{3} \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.
Câu
6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=4{{\cos
}^{2}}x-4\cos x+3$ với $x\in \left[ \dfrac{\pi }{3};\,\dfrac{5\pi }{6} \right]$.
Lời giải
Đặt $t=\cos x$. Với $\dfrac{\pi }{3}\le x\le \dfrac{5\pi
}{6}$ ta có $\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\le t\le \dfrac{1}{2}$.
Khi đó ta có $y=f\left( t \right)=4{{t}^{2}}-4t+3$, $\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\le
t\le \dfrac{1}{2}$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \dfrac{\pi
}{3};\,\dfrac{5\pi }{6} \right]$ là $6+2\sqrt{3}$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $\left[ \dfrac{\pi
}{3};\,\dfrac{5\pi }{6} \right]$ là $2$.
Câu
7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=\dfrac{\sin x+\cos x-1}{\sin
x-\cos x+3}$.
Lời giải
Dễ thấy $\sin x-\cos x+3\ne
0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đã cho có TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: $y\left( \sin x-\cos x+3
\right)=\sin x+\cos x-1$$\Leftrightarrow \left( y-1 \right)\sin x-\left( y+1
\right)\cos x=-3y-1$ $\left( * \right)$.
Để tồn tại
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho thì phương trình $\left(
* \right)$ phải có nghiệm
$\Leftrightarrow {{\left( y-1
\right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}\ge {{\left( -3y-1 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow
7{{y}^{2}}+6y-1\le 0\Leftrightarrow -1\le y\le \dfrac{1}{7}$.
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min
}}\,y=-1$ và $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,y=\dfrac{1}{7}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Tập xác định
của hàm số $y=\tan 2x$ là
A. $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
B. $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
C. $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
D. $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ k\dfrac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định của hàm số: $\cos 2x\ne 0\Leftrightarrow
2x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi $$\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi
}{2},\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Câu
2. Tập xác định
của hàm số $y=\cot 2x-\tan x$ là:
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{
\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
B. $\mathbb{R}\backslash \left\{
k\pi ,k\in \mathbb{Z}\, \right\}$.
C. $\mathbb{R}\backslash \left\{
\dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
D. $\mathbb{R}\backslash \left\{
k\dfrac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Lời giải
Chọn D
Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{align} & \sin 2x\ne 0 \\ & \cos x\ne 0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & x\ne k\dfrac{\pi
}{2} \\ & x\ne \dfrac{\pi
}{2}+k\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
x\ne k\dfrac{\pi }{2}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$
Câu 3. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=\tan \left( 2x-\dfrac{\pi
}{4} \right)$.
A. $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{3\pi }{8}+\dfrac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
B. $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{3\pi }{4}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
C. $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{3\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
D. $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{\pi }{2}+k\pi
,\,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Lời
giải
Chọn
A
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\text{cos}\left(
2x-\dfrac{\pi }{4} \right)\ne 0$ $\Leftrightarrow 2x-\dfrac{\pi }{4}\ne \dfrac{\pi
}{2}+k\pi $.
Suy ra $x\ne \dfrac{3\pi }{8}+\dfrac{k\pi
}{2}$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{3\pi }{8}+\dfrac{k\pi }{2},\, k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Câu
4. Tập xác định
của hàm số $y=\dfrac{\cot x}{\cos x-1}$ là
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{
k\dfrac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.
B. $\mathbb{R}\backslash \left\{
\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
C. $\mathbb{R}\backslash \left\{
k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
D. $\mathbb{R}\backslash \left\{
k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác định của hàm số là $\left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos x\ne 1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & x\ne
k\pi \\ & x\ne k2\pi \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x\ne
k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash \left\{
k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Câu 5. Chu kỳ của hàm số $y=3\sin \dfrac{x}{2}$ là
số nào sau đây?
A. $0$.
B. $2\pi
$.
C. $4\pi
$.
D. $\pi
$.
Lời giải
Chọn C
Chu kì của hàm số là $T=\dfrac{2\pi }{\left| \dfrac{1}{2}
\right|}=4\pi $.
Câu 6. Tìm chu kì $T$
của hàm số $y=-\dfrac{1}{2}\sin \left( 100\pi x+50\pi \right).$
A. $T=\dfrac{1}{50}$.
B. $T=\dfrac{1}{100}$.
C. $T=\dfrac{\pi
}{50}$.
D. $T=200{{\pi
}^{2}}$.
Lời
giải
Chọn A
Hàm số $y=-\dfrac{1}{2}\sin \left(
100\pi x+50\pi \right)$ tuần hoàn với
chu kì $T=\dfrac{2\pi }{100\pi }=\dfrac{1}{50}$.
Câu
7. Hàm số $y=\sin
x$ đồng biến trên mỗi khoảng nào dưới đây.
A. $\left( -\dfrac{\pi
}{2}+k2\pi ;\dfrac{\pi }{2}+k2\pi
\right)$,
$k\in \mathbb{Z}$.
B. $\left( \dfrac{\pi
}{2}+k2\pi ;\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi
\right)$,
$k\in \mathbb{Z}$.
C. $\left( -\pi
+k2\pi ;k2\pi \right)$, $k\in
\mathbb{Z}$.
D. $\left(
k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$, $k\in
\mathbb{Z}$.
Lời giải
Chọn A
Hàm số $y=\sin x$
đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\dfrac{\pi }{2}+k2\pi ;\dfrac{\pi
}{2}+k2\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.
Câu
8. Giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3\sin 2x-5$ lần lượt là:
A. $3\,$; $-5$.
B. $-2$; $-8$.
C. $2$; $-5$.
D. $8$; $2$.
Lời giải
Ta có $-1\le \sin 2x\le 1$ $\Leftrightarrow -8\le 3\sin
2x-5\le -2$ $\Leftrightarrow -8\le y\le -2$.
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt
là $-2;\,-8$.
Câu
9. Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đồ thị hàm số $y=\cos \dfrac{x}{2}?$
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
Ta thấy$-1\le \cos
\dfrac{x}{2}\le 1$ nên ta loại B.
Tiếp theo ta có hàm số $y=\cos \dfrac{x}{2}$ có chu kì tuần hoàn là $T=\dfrac{2\pi
}{\dfrac{1}{2}}=4\pi .$
Với $x=0$ thì $y=\cos \dfrac{x}{2}=\cos 0=1$ nên loại C.
Với $x=\dfrac{\pi }{2}$ thì $y=\cos \dfrac{x}{2}=\cos \dfrac{\pi }{4}\ne 1$
nên loại A.
Câu 10. Hàm số nào
sau đây có chu kì khác $2\pi $?
A. $y={{\cos
}^{3}}x$.
B. $y=\sin
\,\dfrac{x}{2}\cos \dfrac{\,x}{2}$.
C. $y={{\sin
}^{2}}\left( x+2 \right)$.
D. $y={{\cos
}^{2}}\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)$.
Lời
giải
Chọn C
Xét A: Hàm số $y={{\cos }^{3}}x=\dfrac{1}{4}\left( \cos 3x+3\cos
x \right)$ có chu kì là $2\pi .$
Xét B: Hàm số $y=\sin \,\dfrac{x}{2}\cos \dfrac{\,x}{2}=\dfrac{1}{2}\sin
x$ có chu kì là $2\pi .$
Xét C: Hàm số $y={{\sin }^{2}}\left( x+2 \right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos
\left( 2x+4 \right)$ có chu kì là $\pi .$
Xét D: Hàm số $y={{\cos }^{2}}\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos
\left( x+2 \right)$ có chu kì là $2\pi .$
Câu
11. Tìm chu kì
của hàm số $f\left( x \right)=\sin \dfrac{x}{2}+2\cos \dfrac{3x}{2}$.
A. $5\pi $.
B. $\dfrac{\pi }{2}$.
C. $4\pi $.
D. $2\pi $.
Lời giải
Chọn C
Chu kỳ của $\sin \dfrac{x}{2}$ là ${{T}_{1}}=\dfrac{2\pi }{\left| \dfrac{1}{2}
\right|}=4\pi $ và chu kỳ của $\cos \dfrac{3x}{2}$ là ${{T}_{2}}=\dfrac{2\pi }{\left| \dfrac{3}{2} \right|}=\dfrac{4\pi }{3}$
Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì ${{T}_{1}}$và ${{T}_{2}}$
vừa tìm được ở trên.
Chu kì của hàm ban đầu $T=4\pi $.
Câu 12. Trong các
hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. $y=\sin 2x$.
B. $y=x\cos x$.
C. $y=\cos x.\cot x$.
D. $y=\dfrac{\tan
x}{\sin x}$.
Lời
giải
Chọn D
Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{\tan
x}{\sin x}.$
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\dfrac{\pi
}{2},k\in \mathbb{Z} \right\}.$ Do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D.$
Ta có $f\left( -x \right)=\dfrac{\tan
\left( -\,x \right)}{\sin \left( -\,x \right)}$$=\dfrac{-\tan x}{-\sin x}=\dfrac{\tan
x}{\sin x}=f\left( x \right)$.
Suy ra $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.
Câu
13. Hằng ngày,
mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h\left( m \right)$ của
mực nước trong kênh tính theo thời gian $t\left( h \right)$được cho bởi công thức
$h=3\cos \left( \dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi }{3} \right)+12$. Khi nào mực nước
của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
A. $t=22\left( h \right)$.
B. $t=15\left( h \right)$.
C. $t=14\left( h \right)$.
D. $t=10\left( h \right)$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $-1\le \cos \left( \dfrac{\pi }{6}t+\dfrac{\pi }{3}
\right)\le 1$$\Leftrightarrow 9\le h\le 15$. Do đó mực nước cao nhất của kênh
là $15m$ đạt được khi $\cos \left( \dfrac{\pi }{6}t+\dfrac{\pi }{3} \right)=1$$\Leftrightarrow
\dfrac{\pi }{6}t+\dfrac{\pi }{3}=k2\pi $$\Leftrightarrow t=-2+12k$.
Vì $t>0$$\Leftrightarrow -2+12k>0$$\Leftrightarrow
k>\dfrac{1}{6}$.
Chọn số $k$ nguyên dương nhỏ nhất thoả $k>\dfrac{1}{6}$
là $k=1\Rightarrow t=10$.
Câu
14. Số giờ có
ánh sáng của một thành phố$A$ trong ngày thứ $t$ của năm $2017$ được cho bởi một
hàm số $y=4\sin \left| \dfrac{\pi }{178}\left( t-60 \right) \right|+10$, với $t\in
\mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$. Vào ngày nào trong năm thì thành phố $A$ có nhiều
giờ ánh sáng mặt trời nhất?.
A. $28$ tháng $5$.
B. $29$ tháng $5$.
C. $30$ tháng $5$.
D. $31$ tháng $5$.
Lời giải
Chọn B
Vì $\sin \left| \dfrac{\pi
}{178}\left( t-60 \right) \right|\le 1$ nên $y=4\sin \left| \dfrac{\pi
}{178}\left( t-60 \right)+10 \right|\le 14$
Ngày có ánh nắng mặt
trời chiếu nhiều nhất$\Leftrightarrow y=14\Leftrightarrow \sin \left| \dfrac{\pi
}{178}\left( t-60 \right) \right|=1$$\Leftrightarrow \dfrac{\pi }{178}\left(
t-60 \right)=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $$\Leftrightarrow t=149+356k$.
Mà $0<t\le 365$$\Leftrightarrow
0<149+356k\le 365$$\Leftrightarrow -\dfrac{149}{356}<k\le \dfrac{54}{89}$.
Vì $k\in
\mathbb{Z}$ nên $k=0$.
Với $k=0\Rightarrow
t=149$ tức là rơi vào ngày $29$ tháng $5$ (vì ta đã biết tháng $1$ và $3$ có $31$
ngày, tháng $4$ có
$30$ ngày, riêng đối với năm $2017$ thì không phải năm nhuận nên tháng $2$ có
$28$ ngày
hoặc dựa vào dữ kiện $0<t\le 365$ thì ta biết năm này tháng $2$ chỉ có $28$ ngày).
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Cho hàm số ${f(x)=\tan 2 x-1}$.
a) Giá trị của hàm
số tại $x=\dfrac{\pi }{8}$ bằng 0.
b) Giá trị của hàm số tại $x=\dfrac{\pi
}{3}$ bằng $-\sqrt{3}-1$.
c) Có ba giá trị ${x}$ thuộc ${[0
; \pi]}$ khi hàm số đạt giá trị bằng $-2$.
d) Hàm số đã cho là hàm tuần
hoàn.
Lời
giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) Ta có: $f\left( \dfrac{\pi
}{8} \right)=\tan \left( 2\cdot \dfrac{\pi }{8} \right)-1=1-1=0$.
b) Ta có: $f\left( \dfrac{\pi
}{3} \right)=\tan \left( 2\cdot \dfrac{\pi }{3} \right)-1=-\sqrt{3}-1$.
c) Ta có : $f(x)=-2\Leftrightarrow
\tan 2x-1=-2$${ \Leftrightarrow \tan 2x=-1}$
$\Leftrightarrow 2x=-\dfrac{\pi
}{4}+k\pi $$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{8}+k\dfrac{\pi }{2}(k\in
\mathbb{Z})$.
Vì ${x \in[0 ; \pi]}$ nên ${x
\in\left\{\dfrac{3 \pi}{8} ; \dfrac{7 \pi}{8}\right\}}$ (khi đó ${k=1 ; k=2}$).
d) Tập xác định hàm số là: $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ \dfrac{\pi }{4}+k\dfrac{\pi }{2}\mid \,k\in \mathbb{Z} \right\}$.
Với mọi ${x \in D}$, ta có: ${x \pm \dfrac{\pi}{2} \in D}$ và $f\left( x+\dfrac{\pi }{2} \right)=\tan 2\left( x+\dfrac{\pi }{2} \right)-1$${=\tan(2 x+\pi)-1=\tan 2 x-1=f(x)}$.
Vậy hàm số đã cho là hàm tuần
hoàn.
Câu 2. Cho hàm số $f\left( x
\right)=2+3\cos x$ và $g\left( x \right)=\sin x+\cos x$. Khi đó:
a) Giá trị lớn nhất
của hàm số $f\left( x \right)$ bằng 5.
b) Hàm số $f\left(
x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=\pi +k2\pi \,(k\in \mathbb{Z})$.
c) Giá trị lớn nhất
của hàm số $g\left( x \right)$ bằng $-\sqrt{2}$.
d) Hàm số $g\left(
x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=-\dfrac{3\pi }{4}+k2\pi \,(k\in
\mathbb{Z})$.
Lời
giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) Với mọi ${x \in \mathbb{R}}$,
ta có: $-1\le \cos x\le 1$$\Leftrightarrow -3\le 3\cos x\le 3$$\Leftrightarrow
-1\le 2+3\cos x\le 5$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số
bằng 5, khi đó $\cos x=1$$\Leftrightarrow x=k2\pi \,(k\in \mathbb{Z})$.
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng
$-1$, khi đó $\cos x=-1$$\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi \,(k\in \mathbb{Z})$.
c) Ta có: ${\sin x+\cos
x=\sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}$.
Với mọi ${x \in \mathbb{R}}$, ta
có: $-1\le \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\le 1$${-1 \leq \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)
\leq 1 \Leftrightarrow-\sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)
\leq \sqrt{2}}$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số
bằng ${\sqrt{2}}$, khi đó ${\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1}$$\Leftrightarrow
x+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi
}{4}+k2\pi \,(k\in \mathbb{Z})$
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng
${-\sqrt{2}}$, khi đó ${\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-1}$$\Leftrightarrow
x+\dfrac{\pi }{4}=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $$\Leftrightarrow x=-\dfrac{3\pi
}{4}+k2\pi \,(k\in \mathbb{Z})$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu 1. Tập giá trị của hàm số ${y=5+4
\sin 2 x \cos 2 x}$ là $T=[a;b]$. Tính $a+b$.
Trả lời: $10$
Lời giải
${y=5+4 \sin 2 x \cos 2 x}$.
Hàm số có tập xác định ${D=\mathbb{R}}$.
Ta có ${y=5+4 \sin 2 x \cos 2
x=5+2 \sin 4 x}$.
Khi đó $-1\le \sin 4x\le 1$$\Leftrightarrow
-2\le 2\sin 4x\le 2$$\Leftrightarrow 3\le 5+2\sin 4x\le 7$${ \Leftrightarrow 3 \leq y \leq 7}$.
Vậy giá trị của hàm số là ${T=[3
; 7]}$.
Suy ra $a+b=10$.
Câu 2. Tìm tập giá trị của hàm số ${y=\sin
x}$ trên đoạn ${\left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{2 \pi}{3}\right]}$ ta được $T=\left[
a;b \right]$. Tính $2a+b$.
Trả lời: $-0,7$
Lời giải
${y=\sin x}$ trên đoạn ${\left[-\dfrac{\pi}{3}
; \dfrac{2 \pi}{3}\right]}$.
Ta có đồ thị của hàm số ${y=\sin
x}$ trên ${\mathbb{R}}$ như sau:
Dựa vào đồ thị trên, ta có bảng
biến thiên của hàm số ${y=\sin x}$ xét trên đoạn ${\left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{2
\pi}{3}\right]}$ là:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
tập giá trị của hàm số là ${T=\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2} ; 1\right]}$.
Suy ra $2a+b=-\sqrt{3}+1\approx
-0,7$.
Câu 3. Số giờ có ánh sáng của thành phố
${T}$ ở vĩ độ $40{}^\circ $ bắc trong ngày thứ $t$ của một năm không nhuận được
cho bởi hàm số $d(t)=3.\sin \left[ \dfrac{\pi }{182}(t-80) \right]+12$ với ${{t}
\in \mathbb{Z}}$ và ${0<{t} \leq 365}$. Bạn An muốn đi tham quan thành phố ${{T}}$
nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời, vậy bạn An nên chọn đi vào ngày thứ bao
nhiêu trong năm để thành phố ${{T}}$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Trả lời: $353$
Lời giải
Do $\sin \left[ \dfrac{\pi
}{182}(t-80) \right]\ge -1$ nên $3\sin \left[ \dfrac{\pi }{182}(t-80)
\right]\ge -3$.
Suy ra $3\sin \left[ \dfrac{\pi
}{182}(t-80) \right]+12\ge 9$, tức là $d(t)\ge 9$.
Vậy thành phố ${{T}}$ có ít giờ
có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:
$\sin \left[ \dfrac{\pi
}{182}(t-80) \right]=-1$${\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{182}(t-80)=-\dfrac{\pi}{2}+k 2 \pi}$$\Leftrightarrow
t-80=182\left( -\dfrac{1}{2}+2k \right)$$\Leftrightarrow t=364k-11,\,\,k\in
\mathbb{Z}$.
Mặt khác: $0\le 364k-11\le 365$$\Leftrightarrow
\dfrac{11}{364}\le k\le \dfrac{376}{364}\Leftrightarrow k=1$ (do ${k \in
\mathbb{Z})}$
Suy ra $t=364-11=353$.
Vậy thành phố ${{T}}$ có ít giờ
ánh sáng Mặt Trời nhất là $9$ giờ khi ${t=353}$, tức là vào ngày thứ $353$
trong năm.
