BÀI 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1.
Nhị thức bậc nhất
Đa thức
bậc nhất $f\left( x \right)=ax+b$ với $a,\,\,b$ là các hệ số, $a\ne 0$ và $x$
là biến số được gọi là nhị thức bậc nhất.
Cho nhị thức bậc
nhất $f\left( x \right)=ax+b\,\,\,\left( a\ne 0 \right)$.
Khi đó $f\left(
x \right)$ trái dấu với $a$ với mọi $x$ trong khoảng $\left(
-\infty ;-\dfrac{b}{a} \right)$; $f\left( x \right)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x$
thuộc khoảng $\,\,\left( -\dfrac{b}{a};+\infty
\right)$.
Ta có bảng xét dấu: “PHẢI CÙNG – TRÁI
TRÁI”
2. Tam thức bậc hai
Đa thức
bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ với $a,\,\,b,\,\,c$ là các hệ số, $a\ne
0$ và $x$ là biến số được gọi là tam thức bậc hai.
Cho tam
thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\,\,\left( a\ne 0 \right)$.
Khi thay $x$ bằng giá trị ${{x}_{0}}$ vào $f\left( x \right)$, ta được $f\left(
{{x}_{0}} \right)=ax_{0}^{2}+b{{x}_{0}}+c$, gọi là giá trị của tam thức bậc
hai tại ${{x}_{0}}$.
Ÿ
Nếu $f\left( {{x}_{0}} \right)>0$ thì ta nói $f\left( x \right)$ dương tại ${{x}_{0}}$;
Ÿ Nếu
$f\left( {{x}_{0}} \right)<0$ thì ta nói $f\left( x \right)$ âm tại ${{x}_{0}}$;
Ÿ
Nếu $f\left( x \right)$ dương (âm) tại mọi điểm $x$ thuộc một khoảng hoặc một
đoạn thì ta nói $f\left( x \right)$ dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
Cho tam
thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\,\,\left( a\ne 0 \right)$.
Khi đó:
Ÿ Nghiệm
của phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c\,=0$ là nghiệm của $f\left(
x \right)$.
Ÿ Biểu
thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ và ${\Delta }'={{{b}'}^{2}}-ac={{\left( \dfrac{b}{2}
\right)}^{2}}-ac$ lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn
của $f\left( x \right).$
3. Định
lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam
thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\,\,\left( a\ne 0 \right)$.
Ÿ Nếu
$\Delta <0$ (phương trình vô nghiệm) thì $f\left( x \right)$ cùng dấu với $a$
với mọi giá trị $x$.
Ÿ Nếu
$\Delta =0$ (phương trình có nghiệm kép ${{x}_{0}}=-\dfrac{b}{2a}$) thì $f\left(
x \right)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x$ khác ${{x}_{0}}$.
Ÿ Nếu
$\Delta >0$ (phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$) thì $f\left( x \right)$ trái dấu
với $a$ với mọi $x$ trong khoảng $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)$; $f\left(
x \right)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x$ thuộc hai khoảng $\left( -\infty
;{{x}_{1}} \right),\,\,\left( {{x}_{2}};+\infty
\right)$.
“TRONG
TRÁI – NGOÀI CÙNG”
Chú
ý:
a) Để
xét dấu tam thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\,\,\left( a\ne 0
\right)$ ta thực hiện các bước sau:
Bước
1: Tính và xác
định dấu của biệt thức D;
Bước
2: Xác định
nghiệm của $f\left( x \right)$ (nếu có);
Bước
3: Xác định dấu
của hệ số $a$;
Bước
4: Xác định dấu
của $f\left( x \right)$.
b) Khi
xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn ${\Delta }'$
thay cho biệt thức D.
4.
Tam thức bậc hai không đổi dấu trên $\mathbb{R}$
Cho tam thức bậc
hai $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\,\,\left( a\ne 0 \right)$. Khi đó:
$f\left(
x \right)>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a>0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.$
$f\left(
x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a>0 \\ & \Delta \le 0 \\ \end{align} \right.$
$f\left(
x \right)<0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a<0 \\ & \Delta <0 \\ \end{align} \right.$
$f\left( x \right)\le
0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a<0
\\ & \Delta \le 0 \\ \end{align}
\right.$
BPT $f\left(
x \right)>0$ vô
nghiệm $\Leftrightarrow f\left( x \right)\le 0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
BPT $f\left(
x \right)\ge 0$ vô
nghiệm $\Leftrightarrow f\left( x \right)<0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
BPT $f\left(
x \right)<0$ vô
nghiệm $\Leftrightarrow f\left( x \right)\ge 0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
BPT $f\left(
x \right)\le 0$ vô
nghiệm $\Leftrightarrow f\left( x \right)>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$
Chú ý: Nếu hệ số $a$ có chứa tham số $m$
ta cần xét thêm trường hợp $a=0$; trong các công thức trên ta có thể dùng biệt
thức thu gọn ${\Delta }'$ thay cho biệt thức D.
5. Một số công thức
về nghiệm của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ (*), kí hiệu $S=-\dfrac{b}{a},\,\,P=\dfrac{c}{a}$, khi đó:
Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $P<0\Leftrightarrow
ac<0$.
Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $\left\{
\begin{matrix} \Delta \ge 0 \\
\begin{align} & P>0 \\ & S>0 \\ \end{align} \\ \end{matrix} \right.$.
Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi $\left\{
\begin{matrix} \Delta \ge 0 \\
\begin{align} & P>0 \\ & S<0 \\ \end{align} \\ \end{matrix} \right.$.
Phương trình (*)
có 2 nghiệm cùng
dấu khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}
& \Delta \ge 0 \\ &
P>0 \\ \end{align} \right.\cdot $
Lưu ý:
- Khi
cần 2 nghiệm phân biệt nhau thì điều kiện $\Delta $ ở các công thức trên không
có dấu bằng “=”;
- Có
thể thay $\Delta $ ở các công thức trên bằng ${\Delta }'$.
6.
Một số hệ thức cơ bản sử dụng định lý Vi-ét:
$\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=\dfrac{S}{P}$
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{S}^{2}}-2P$
${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}
\right)}^{2}}={{S}^{2}}-4P$
$\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=a>0$$\Leftrightarrow
{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow
{{S}^{2}}-4P={{a}^{2}}$
$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{S}^{3}}-3SP$
Nếu biểu thức không đối
xứng thường ta giải hệ $S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{b}{a}\text{ }(1)$, Biểu
thức không đối xứng (2), $P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{c}{a}\text{ }(3)$ bằng
phương pháp cộng ở (1) và (2) được ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ theo m và thế ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$
vào (3) để tìm m.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Xét dấu của các
tam thức bậc hai sau:
a) ${f(x)=-x^{2}+3 x+10}$
b) ${f(x)=4 x^{2}+4 x+1}$
c) ${f(x)=2 x^{2}-2 x+1}$
d) $-{{x}^{2}}+4x+5$
Giải
a) ${f(x)=-x^{2}+3 x+10}$ có ${\Delta=49>0}$, hai nghiệm
phân biệt là ${x_{1}=-2, x_{2}=5}$ và ${a=-1<0}$.
Ta có bảng xét dấu ${f(x)}$ như sau:
Vậy ${f(x)}$ dương trong khoảng ${(-2 ; 5)}$ và âm trong hai
khoảng ${(-\infty ;-2)}$ và ${(5 ;+\infty)}$.
b) ${f(x)=4 x^{2}+4 x+1}$ có ${\Delta=0}$, nghiệm kép là ${x_{0}=-\dfrac{1}{2}}$
và ${a=4>0}$.
Vậy ${f(x)}$ dương với mọi ${x \neq-\dfrac{1}{2}}$.
c) ${f(x)=2 x^{2}-2 x+1}$ có ${\Delta=-4<0}$ và ${a=2>0}$.
Vậy ${f(x)}$ dương với mọi ${x \in \mathbb{R}}$.
d) Ta có $-{{x}^{2}}+4x+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=5 \\ \end{align} \right.$.
Bảng xét dấu
Suy ra $-{{x}^{2}}+4x+5>0\Leftrightarrow x\in \left(
-1\,;\,5 \right)$ và $-{{x}^{2}}+4x+5<0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty
\,;\,1 \right)\cup \left( 5\,;\,+\infty
\right)$.
Câu
2. Xét dấu của
các biểu thức sau
a) ${{x}^{3}}-5x+2$.
b) $x-\dfrac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$.
Lời giải.
a) Ta có ${{x}^{3}}-5x+2=\left( x-2 \right)\left(
{{x}^{2}}+2x-1 \right)$.
$x-2=0\Leftrightarrow x=2$; ${{x}^{2}}+2x-1=0\Leftrightarrow
x=-1\pm \sqrt{2}$.
Bảng xét dấu
Suy ra ${{x}^{3}}-5x+2>0$$\Leftrightarrow x\in \left(
-1-\sqrt{2}\,;\,-1+\sqrt{2} \right)\cup \left( 2\,;\,+\infty \right)$;
${{x}^{3}}-5x+2<0$$\Leftrightarrow x\in \left( -\infty
\,;\,-1-\sqrt{2} \right)\cup \left( -1+\sqrt{2}\,;\,2 \right)$.
b) Ta có $x-\dfrac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$$=\dfrac{-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$$=\dfrac{\left(
x-1 \right)\left( -{{x}^{2}}+x+6 \right)}{-{{x}^{2}}+3x+4}$.
$x-1=0\Leftrightarrow x=1$; $-{{x}^{2}}+x+6=0\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=-2 \\ & x=3 \\ \end{align} \right.$; $-{{x}^{2}}+3x+4=0\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.$.
Bảng xét dấu
Suy ra $x-\dfrac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}<0$$\Leftrightarrow
x\in \left( -\infty \,;\,-2 \right)\cup \left( -1\,;\,1 \right)\cup \left(
3\,;\,4 \right)$.
$x-\dfrac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}>0$$\Leftrightarrow
x\in \left( -2\,;\,-1 \right)\cup \left( 1\,;\,3 \right)\cup \left(
4\,;\,+\infty \right)$.
Câu
3. Cho phương
trình $m{{x}^{2}}-(4m+1)x+4m+2=0\,\,(1)$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để
a) Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm.
c) Phương trình (1) có 2 nghiệm ${x_1, x_2}$ thỏa ${x_1<1<x_2}$.
Lời giải
Để phương trình có 2 nghiệm (1) phải là phương trình bậc 2 .
Do đó ${m \neq 0}$.
Đặt ${f(x)=m x^2-(4 m+1) x+4 m+2}$.
$\Delta ={{b}^{2}}-4ac$${\Delta=b^2-4 a c=(4 m+1)^2-4 m(4 m+2)=1>0}$.
Do đó (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ${x_1, x_2}$.
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
$f\left( 0 \right).m<0\Leftrightarrow \left( 4m+2
\right)m<0$$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<m<0$ (xét dấu)
Vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu nhau thì ${-\dfrac{1}{4}<m<0}$.
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi ${\left\{\begin{array}{l}f(0)
\cdot m>0 \\ \dfrac{x_1+x_2}{2}<0\end{array}
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(4 m+2) \cdot m>0 \\
S<0\end{array}\right.\right.}$
Với $(4m+2).m>0\Leftrightarrow \left[
\begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & m>0 \\ & m<-\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \\ \end{array} \right.$ (xét dấu).
Với $S<0\Leftrightarrow \dfrac{4m+1}{m}<0\Leftrightarrow
-\dfrac{1}{4}<m<0$ (xét dấu)
Suy ra không tồn tại giá trị ${m}$ để phương trình (1) có 2
nghiệm âm.
c) Phương trình có 2 nghiệm ${x_1, x_2}$ thỏa ${x_1<1<x_2}$
khi và chỉ khi
$f(1)\cdot m<0\Leftrightarrow (m+1).m<0\Leftrightarrow
-1<m<0$ (xét dấu)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Cho hàm số $y=f\left(
x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ.
Đặt $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$, tìm dấu của $a$ và $\Delta $.
A. $a>0$, $\Delta
>0$.
B. $a<0$, $\Delta
>0$.
C. $a>0$, $\Delta =0$.
D. $a<0$, $\Delta =0$.
Lời giải
Chọn
A.
Đồ
thị hàm số là một parabol quay lên nên $a>0$
và đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại hai điểm phân biệt nên $\Delta >0$.
Câu 2. Cho tam thức bậc hai $f\left( x
\right)=-{{x}^{2}}-4x+5$. Tìm tất cả giá trị của $x$ để $f\left( x \right)\ge
0$.
A. $x\in \left( -\infty ;\,-1
\right]\cup \left[ 5;\,+\infty \right)$.
B. $x\in \left[ -1;\,5 \right]$.
C. $x\in \left[ -5;\,1 \right]$.
D. $x\in \left( -5;\,1 \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow
$ $-{{x}^{2}}-4x+5=0$$\Leftrightarrow $$x=1$, $x=-5$.
Mà hệ số $a=-1<0$ nên $f\left(
x \right)\ge 0$$\Leftrightarrow $ $x\in \left[ -5;\,1 \right]$.
Câu 3. Biểu
thức $\left( 3{{x}^{2}}-10x+3 \right)\left( 4x-5 \right)$ âm khi và chỉ khi
A. $x\in \left( -\,\infty ;\dfrac{5}{4}
\right).$
B. $x\in \left( -\,\infty ;\dfrac{1}{3}
\right)\cup \left( \dfrac{5}{4};3 \right).$
C. $x\in \left( \dfrac{1}{3};\dfrac{5}{4}
\right)\cup \left( 3;+\,\infty \right).$
D. $x\in \left( \dfrac{1}{3};3
\right).$
Lời giải
Chọn
B.
Đặt
$f\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}-10x+3 \right)\left( 4x-5 \right)$
Phương
trình $3{{x}^{2}}-10x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=3
\\ x=\dfrac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$ và $4x-5=0\Leftrightarrow
x=\dfrac{5}{4}.$
Lập
bảng xét dấu
Dựa
vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right)<0\Leftrightarrow x\in \left(
-\,\infty ;\dfrac{1}{3} \right)\cup \left( \dfrac{5}{4};3 \right).$
Câu 4. Biểu
thức $\left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\left(
{{x}^{2}}+5x+9 \right)$ âm khi
A. $x\in \left( 1;2 \right)$.
B. $x\in \left( -3;-2 \right)\cup
\left( 1;2 \right)$.
C. $x\ge 4.$
D. $x\in \left( -\infty ;-3
\right)\cup \left( -2;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Đặt
$f\left( x \right)=\left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+2x-3
\right)\left( {{x}^{2}}+5x+9 \right)$
Phương
trình $4-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right..$
Phương
trình ${{x}^{2}}+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-\,3 \\ \end{align} \right..$
Ta
có ${{x}^{2}}+5x+9={{\left( x+\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{11}{4}>0$$\Rightarrow
{{x}^{2}}+5x+9=0\Leftrightarrow x\in \varnothing $.
Lập
bảng xét dấu:
Dựa
vào bảng xét dấu ta thấy $\left( 4-{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+2x-3
\right)\left( {{x}^{2}}+5x+9 \right)<0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x<-\,3 \\ & -2<x<1 \\ & x>2 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow
x\in \left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( -2;1 \right)\cup \left(
2;+\infty \right).$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Xét tính
đúng, sai của các khẳng định sau:
a) ${f(x)=x^{2}-7 x+6}$ có $f\left(
x \right)>0$với mọi $x\in (-\infty ;1)\cup (6;+\infty )$
b) ${f(x)=36 x^{2}+12 x+1}$ có $f\left(
x \right)<0$với mọi $x\in (-\infty ;1)\cup (6;+\infty )$
c) ${f(x)=5 x^{2}-x+4}$ có $f\left(
x \right)>0$với mọi $x\in (-\infty ;+\infty )$
d) ${f(x)=-3 x^{2}+x+4}$có$f\left(
x \right)>0$với mọi $x\in (-\infty ;-1)\cup (\dfrac{4}{3};+\infty )$
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Sai
a) Ta có: ${x^{2}-7 x+6=0
\Leftrightarrow x=1}$ hoặc ${x=6}$
Bảng xét dấu:
b) Ta có: ${36 x^{2}+12 x+1=0
\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{6}}$.
Bảng xét dấu:
c) Ta có: ${5 x^{2}-x+4=0}$ vô
nghiệm.
Bảng xét dấu:
d) Ta có: ${-3 x^{2}+x+4=0
\Leftrightarrow x=-1}$ hoặc ${x=\dfrac{4}{3}}$.
Bảng xét dấu:
Câu 2. Cho
biểu thức ${f(x)=(3 x-1)\left(3 x^{2}-4 x+1\right)}$. Khi đó:
a) $f\left( x
\right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=-\dfrac{1}{3} \\ &
x=1. \\ \end{align} \right.$
b) Với ${x \in\left(-\infty ; \dfrac{1}{3}\right)
\cup\left(\dfrac{1}{3} ; 1\right)}$ thì ${f(x)<0}$.
c) Với $x\in \left( 1;+\infty \right)$ thì ${f(x)<0}$.
d) Bảng xét dấu của biểu thức là:
Lời giải
a)
Sai
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Đúng
Biểu thức $f\left( x
\right)=\left( 3x-1 \right)\left( 3{{x}^{2}}-4x+1 \right)=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x - 1 = 0 \hfill \\ 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{3} \hfill \\ x = 1. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu, với ${x
\in\left(-\infty ; \dfrac{1}{3}\right) \cup\left(\dfrac{1}{3} ; 1\right)}$ thì ${f(x)<0}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Tìm ${m}$
sao cho: ${-x^{2}+2(m+1) x-m^{2}+m<0}$ với mọi ${x \in \mathbb{R}}$, ta được
$m<a$. Tìm $a$
Trả lời: $-0,3$
Lời giải
Xét tam thức bậc hai ${f(x)=-x^2+2(m+1) x-m^2+m}$ có:
$\Delta '={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( -1
\right).\left( -{{m}^{2}}+m \right)=3m+1$ và $a=-1<0$.
Để $f\left( x \right)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $\Delta
'=3m+1<0$ suy ra $m<\dfrac{-1}{3}$
Câu
2. Tìm ${m}$
sao cho: ${x^{2}+m x+3 m \geq 0}$ với mọi ${x \in \mathbb{R}}$, ta được $m\in
[a;b]$. Tính ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
Trả lời: $144$
Lời giải
Xét tam thức bậc hai ${f(x)=x^2+m x+3 m}$ có:
$\Delta ={{m}^{2}}-4.1.3m={{m}^{2}}-12m$ và ${a=1>0}$.
Để ${f(x) \geq 0}$ với mọi ${x \in \mathbb{R}}$ thì ${\Delta=m^2-12
m \leq 0}$ suy ra ${m \in[0 ; 12]}$; ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=144$
Câu
3. Tìm $x$ để $A=\left(
{{x}^{2}}-3x+2 \right)\left( -{{x}^{2}}+5x-6 \right)$ không âm, ta được $x\in
[a;b]$. Tính $a+b$.
Trả lời: $4$
Lời giải
Tam thức bậc hai ${f(x)=x^2-3 x+2}$ có ${\Delta=1>0,
a=1>0}$ và có hai nghiệm ${x_1=1 ; x_2=2}$.
Tam thức bậc hai ${g(x)=-x^2+5 x-6}$ có ${\Delta=1>0,
a=-1<0}$ và có hai nghiệm ${x_1=2 ; x_2=3}$
Ta có bảng xét dấu sau:
Suy ra $f(x).g(x)\ge 0$ khi ${x \in[1 ; 3]}$; $a+b=4$.
Câu
4. Tìm ${m}$ để
phương trình ${x^{2}-(m+1) x+3 m-5=0}$ có hai nghiệm phân biệt, ta được $m\in
(-\infty ;a)\cup (b;+\infty )$. Tính $a+b$
Trả lời: $10$
Lời giải
Ta có: $\Delta ={{[-(m+1)]}^{2}}-4.1.(3m-5)$$={{m}^{2}}-10m+21$.
Để phương trình ${x^2-(m+1) x+3 m-5=0}$ có hai nghiệm phân
biệt thì ${\Delta>0}$
hay ${m^2-10 m+21>0}$.
Tam thức bậc hai ${m^2-10 m+21}$ có ${a=1>0}$ và có hai
nghiệm ${m_1=3, m_2=7}$.
Do đó, ${m^2-10 m+21>0}$ khi ${m \in(-\infty ; 3) \cup(7
;+\infty)}$.
Vậy phương trình ${x^2-(m+1) x+3 m-5=0}$ có hai nghiệm phân
biệt khi ${m \in(-\infty ; 3) \cup(7 ;+\infty)}$.
Khi đó $a+b=10$.
