BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1.
Phương trình tương đương
Hai
phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Ví dụ.
Phương trình ${{x}^{2}}-4=0$
tương đương với phương trình nào sau đây?
a) $2{{x}^{2}}=8$;
b) ${{x}^{2}}-4+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}$.
Giải
a) Hai
phương trình ${{x}^{2}}-4=0$ và $2{{x}^{2}}=8$ có cùng tập nghiệm $\{-2;2\}$
nên hai phương trình này tương đương.
b) Ta có
$x=2$ là một nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-4=0$, nhưng không là nghiệm của
phương trình ${{x}^{2}}-4+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{x-2}$. Do đó hai phương
trình này không tương đương với nhau.
Chú
ý:
a) Để giải
phương trình, ta thường biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương
đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi
tương đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng sau:
- Cộng
hoặc trừ hai vế của phương trình với cùng một số hoặc cùng một biểu thức mà không
làm thay đổi điều kiện của phương trình.
- Nhân
hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức
luôn có giá trị khác 0 mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.
b) Để chỉ
sự tương đương của các phương trình, người ta dùng kí hiệu "$\Leftrightarrow
$".
2.
Phương trình $\sin x=m$
- Nếu $\left|
m \right|>1$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\left|
m \right|\le 1$ thì phương trình có nghiệm:
$\sin
x=m\Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha $$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\alpha +k2\pi \text{ } \\ & x=\pi -\alpha +k2\pi \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$,
với $\alpha
$ là góc thuộc $\left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]$ thỏa $\sin
\alpha =m$ (góc $\alpha $ này còn gọi là $\arcsin m$).
Chú
ý:
$\sin
u=\sin v\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& u=v+k2\pi \,\,\, \\ &
u=\pi -v+k2\pi \\ \end{align}
\right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
$\sin
x=\sin a{}^\circ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=a{}^\circ +k360{}^\circ \\ & x=180{}^\circ -a{}^\circ
+k360{}^\circ \\ \end{align}
\right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
3.
Phương trình $\cos x=m$
- Nếu $\left|
m \right|>1$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\left|
m \right|\le 1$ thì phương trình có nghiệm:
$\cos
x=m\Leftrightarrow \cos x=\cos \alpha $$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\alpha +k2\pi \text{ } \\ & x=-\alpha +k2\pi \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$,
với $\alpha
$ là góc thuộc $\left[ 0;\pi \right]$ thỏa
$\cos \alpha =m$ (góc $\alpha $ này còn gọi là $\arccos m$).
Chú
ý:
$\cos
u=\cos v\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& u=v+k2\pi \,\,\, \\ &
u=-v+k2\pi \\ \end{align}
\right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
$\cos
x=\cos a{}^\circ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=a{}^\circ +k360{}^\circ \\ & x=-a{}^\circ +k360{}^\circ \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
4.
Phương trình $\tan x=m$
Với mọi
số thực $m$ phương trình luôn có nghiệm.
$\tan
x=m\Leftrightarrow \tan x=\tan \alpha $$\Leftrightarrow x=\alpha +k\pi
\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$,
với $\alpha
$ là góc thuộc $\left( -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right)$ sao cho ${\tan
\alpha=m}$ (góc $\alpha $ này còn gọi là $\arctan m$).
Chú
ý:
$\tan u=\tan
v\Leftrightarrow u=v+k\pi $ với $u,\,\,v\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi $ $\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
$\tan
x=\tan a{}^\circ \Leftrightarrow x=a{}^\circ +k180{}^\circ \,\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
5.
Phương trình $\cot x=m$
Với mọi
số thực $m$ phương trình luôn có nghiệm.
$\cot
x=m\Leftrightarrow \cot x=\cot \alpha $$\Leftrightarrow x=\alpha +k\pi
\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$,
với $\alpha
$ là góc thuộc $\left( 0;\pi \right)$
sao cho $\cot \alpha =m$ (góc $\alpha $ này còn gọi là $\text{arccot} \, m$).
Chú
ý:
$\cot
u=\cot v\Leftrightarrow u=v+k\pi $ với $u,\,\,v\ne k\pi $ $\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
$\cot
x=\cot a{}^\circ \Leftrightarrow x=a{}^\circ +k180{}^\circ \,\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Giải
các phương trình sau:
a) ${\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$.
b) $\sin \left(
x+30{}^\circ \right)=\sin \left(
x+60{}^\circ \right)$.
Lời giải
a) Vì ${\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin
\dfrac{\pi}{3}}$ nên ta có phương trình ${\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$. Do đó
phương trình có các nghiệm là: $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sin
x=\sin \dfrac{\pi }{3}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ & x=\pi -\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi
}{3}+k2\pi \\ & x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
b) $\sin \left(
x+30{}^\circ \right)=\sin \left(
x+60{}^\circ \right)$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x+30{}^\circ
=x+60{}^\circ +k.360{}^\circ \\ & x+30{}^\circ =180{}^\circ -x-60{}^\circ
+k.360{}^\circ \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow x=45{}^\circ +k.180{}^\circ ,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
Câu 2. Giải
các phương trình sau:
a) ${\cos x=-3}$;
b) $\cos x=\cos 15{}^\circ $;
c) ${\cos \left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos
\dfrac{3 \pi}{12}}$.
Lời giải
a) Với mọi ${x \in \mathbb{R}}$
ta có ${-1 \leq \cos x \leq 1}$. Vậy phương trình ${\cos x=-3}$ vô nghiệm.
b) $\cos x=\cos 15{}^\circ
$$\Leftrightarrow x=15{}^\circ +k360{}^\circ $ hoặc $x=-15{}^\circ
+k360{}^\circ ,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
c) ${\cos \left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos
\dfrac{3 \pi}{12}}$$\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi }{12}=\dfrac{3\pi }{12}+k2\pi
$ hoặc $x+\dfrac{\pi }{12}=\dfrac{-3\pi }{12}+k2\pi ,\,\,k\in
\mathbb{Z}$$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi $ hoặc $x=-\dfrac{\pi
}{3}+k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
Câu 3. Giải
các phương trình sau:
a) ${\tan x=0}$;
b) $\tan \left( 30{}^\circ -3x
\right)=\tan 75{}^\circ $.
Lời giải
a) ${\tan x=0}$$\Leftrightarrow
x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$
b) $\tan \left( 30{}^\circ -3x
\right)=\tan 75{}^\circ $$\Leftrightarrow 30{}^\circ -3x=75{}^\circ
+k180{}^\circ $ $\Leftrightarrow x=-15{}^\circ -k60{}^\circ
,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
Câu 4. Giải
các phương trình sau:
a) ${\cot x=1}$;
b) $\cot \left(
3x+30{}^\circ \right)=\cot 75{}^\circ $.
Lời giải
a) ${\cot x=1}$$\Leftrightarrow
x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
b) $\cot \left(
3x+30{}^\circ \right)=\cos 75{}^\circ
$$\Leftrightarrow 3x+30{}^\circ =75{}^\circ +k180{}^\circ ,\,\,k\in
\mathbb{Z}$$\Leftrightarrow x=15{}^\circ +k60{}^\circ ,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
Câu 5. Giải
các phương trình lượng giác sau:
a) ${\sin 2 x=\dfrac{1}{2}}$;
b) ${\sin \left(x-\dfrac{\pi}{7}\right)=\sin
\dfrac{2 \pi}{7}}$;
c) ${\sin 4 x-\cos \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=0}$.
Lời giải
a) $\sin 2x=\dfrac{1}{2}$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & 2x=\dfrac{\pi
}{6}+k2\pi \\ & 2x=\pi -\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi
}{12}+k\pi \\ & x=\dfrac{5\pi }{12}+k\pi \\ \end{align} \right.$ $\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
b) ${\sin \left(x-\dfrac{\pi}{7}\right)=\sin
\dfrac{2 \pi}{7}}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\dfrac{\pi }{7}=\dfrac{2\pi
}{7}+k2\pi \\ & x-\dfrac{\pi }{7}=\pi -\dfrac{2\pi
}{7}+k2\pi \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=\dfrac{3\pi }{7}+k2\pi \\
& x=\dfrac{6\pi }{7}+k2\pi \\ \end{align} \right.$ $\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
c) ${\sin 4 x-\cos \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=0}$ $\Leftrightarrow
\sin 4x=\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-x-\dfrac{\pi }{6} \right)$$\Leftrightarrow
\sin 4x=\sin \left( \dfrac{\pi }{3}-x \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x=\dfrac{\pi }{3}-x+k2\pi \\ & 4x=\pi -\dfrac{\pi }{3}+x+k2\pi \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi
}{15}+k\dfrac{2\pi }{5} \\ & \,x=\dfrac{2\pi
}{9}+x+k\dfrac{2\pi }{3} \\ \end{align} \right.$ $\left( k\in \mathbb{Z}
\right)$.
Câu 6. Giải
các phương trình lượng giác sau:
a) ${\cos \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$;
b) ${\cos 4 x=\cos \dfrac{5
\pi}{12}}$;
c) ${\cos ^2 x=1}$.
Lời giải
a) $\cos \left( x+\dfrac{\pi
}{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi
}{6}+k2\pi \\ & x+\dfrac{\pi }{3}=-\dfrac{\pi
}{6}+k2\pi \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\
& x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.$ $\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
b) ${\cos 4 x=\dfrac{5
\pi}{12}}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& 4x=\dfrac{5\pi }{12}+k2\pi \\
& 4x=-\dfrac{5\pi }{12}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{5\pi
}{48}+k\dfrac{\pi }{2} \\ & \,x=-\dfrac{5\pi
}{48}+k\dfrac{\pi }{2} \\ \end{align} \right.$ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
c) ${\cos ^2
x=1}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& \cos x=1 \\ & \cos x=-1
\\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi
\\ & x=\pi +k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
x=k\pi $ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Câu 7. Giải
các phương trình lượng giác sau:
a) $\tan x=\tan 55{}^\circ $;
b) ${\tan \left(2 x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0}$.
Lời giải
a) $\tan x=\tan 55{}^\circ
$$\Leftrightarrow x=55{}^\circ +k.180{}^\circ ,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
b) ${\tan \left(2 x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0}$$\Leftrightarrow
2x+\dfrac{\pi }{4}=k\pi $$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{8}+k\dfrac{\pi
}{2},\,\,k\in \mathbb{Z}$.
Câu 8. Giải
các phương trình lượng giác sau:
a) ${\cot \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{\pi}{4}\right)=-1}$;
b) ${\cot 3 x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$.
Lời giải
a) $\cot \left( \dfrac{1}{2}x+\dfrac{\pi
}{4} \right)=-1$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{3\pi
}{4}+k\pi \Leftrightarrow x=\pi +k2\pi $ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
b) $\cot 3x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$\Leftrightarrow
3x=\dfrac{2\pi }{3}+k\pi $$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\pi }{9}+k\dfrac{\pi }{3}$
$\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Câu 9. a) Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left( -\dfrac{\pi
}{4};2\pi \right)$ của phương trình $\sin \left( \dfrac{\pi
}{6}+2x \right)=-1$.
b) Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left[
-\pi ;\pi \right]$ của phương trình $\cot
\left( -x+\dfrac{3\pi }{4} \right)=0$.
Lời giải
a) $\sin \left( \dfrac{\pi }{6}+2x
\right)=-1$$\Leftrightarrow \dfrac{\pi }{6}+2x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi
$$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{3}+k\pi $.
$-\dfrac{\pi }{4}<-\dfrac{\pi }{3}+k\pi <2\pi
$$\Rightarrow k=1;2\Rightarrow x=\dfrac{2\pi }{3};\dfrac{5\pi }{3}$.
b) $\cot \left( -x+\dfrac{3\pi
}{4} \right)=0$$\Leftrightarrow -x+\dfrac{3\pi }{4}=\dfrac{\pi }{2}+k\pi
$$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}-k\pi $.
$x\in \left[ -\pi ;\pi \right]$$\Rightarrow k=0;1\Rightarrow x=\dfrac{\pi
}{4};-\dfrac{3\pi }{4}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Phương trình $\sin
\left( x-\dfrac{\pi }{3} \right)=1$ có nghiệm là
A. $x=\dfrac{\pi
}{3}+k2\pi $
$\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
B. $x=\dfrac{5\pi
}{6}+k\pi $
$\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
C. $x=\dfrac{5\pi
}{6}+k2\pi $
$\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
D. $x=\dfrac{\pi
}{3}+2\pi $
$\left( k\in \mathbb{Z}
\right)$.
Lời
giải
Chọn C
$\sin \left( x-\dfrac{\pi }{3} \right)=1$$\Leftrightarrow
x-\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $$\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pi
}{6}+k2\pi $ $\left( k\in \mathbb{Z}
\right)$.
Câu 2. Nghiệm của phương trình $\cos
\left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ là:
A. $\left[ \begin{align}
& x=k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
B. $\left[ \begin{align}
& x=k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
C. $\left[ \begin{align}
& x=k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
D. $\left[ \begin{align}
& x=k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Phương trình $\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\Leftrightarrow
\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\cos \left( \dfrac{\pi }{4}
\right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.\,\,\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
Câu 3. Nghiệm của phương trình $\tan 3x=\tan x$
là
A. $x=\dfrac{k\pi
}{2},\,\,k\in \mathbb{Z}.$
B. $x=k\pi
,\,\,k\in \mathbb{Z}.$
C. $x=k2\pi
,\,\,k\in \mathbb{Z}.$
D. $x=\dfrac{k\pi
}{6},\,\,k\in \mathbb{Z}.$
Lời giải
ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\ \cos x \ne 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$ $\left(* \right)$
Ta có $\tan 3x=\tan x$$\Leftrightarrow 3x=x+k\pi $$\Leftrightarrow
x=\dfrac{k\pi }{2},\,\,k\in \mathbb{Z}$.
Kết hợp điều kiện $\left( *
\right)$ suy ra $x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$.
Câu 4. Phương trình lượng giác $3\cot
\,x-\sqrt{3}=0$ có nghiệm là:
A. $\text{x}=\dfrac{\pi
}{3}+k2\pi $.
B. Vô nghiệm.
C. $x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi $.
D. $\text{x}=\dfrac{\pi
}{3}+k\pi $.
Lời giải
Chọn D
Ta có $3\cot x-\sqrt{3}=0\Leftrightarrow \cot x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$\Leftrightarrow
\cot x=\cot \left( \dfrac{\pi }{3} \right)$$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi
}{3}+k\pi $ $\left( k\in \mathbb{Z} \right).$
Câu 5. Cho phương trình $\sin \left(
2x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\sin \left( x+\dfrac{3\pi }{4} \right)$. Tính tổng
các nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\pi
\right)$ của phương trình trên.
A. $\dfrac{7\pi }{2}$.
B. $\pi $.
C. $\dfrac{3\pi }{2}$.
D. $\dfrac{\pi }{4}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\sin \left( 2x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\sin \left(
x+\dfrac{3\pi }{4} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x-\dfrac{\pi }{4}=x+\dfrac{3\pi
}{4}+k2\pi \\ & 2x-\dfrac{\pi }{4}=\pi -x-\dfrac{3\pi
}{4}+k2\pi \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=\pi +k2\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{6}+k\dfrac{2\pi }{3} \\ \end{align}
\right.$ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
Xét $x=\pi +k2\pi $$\left( k\in \mathbb{Z} \right)$:
Do $0<x<\pi $$\Leftrightarrow 0<\pi +k2\pi <\pi
$$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<k<0$. Vì $k\in \mathbb{Z}$ nên không có
giá trị $k$.
Xét $x=\dfrac{\pi }{6}+k\dfrac{2\pi }{3}$$\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$:
Do $0<x<\pi $$\Leftrightarrow 0<\dfrac{\pi }{6}+k\dfrac{2\pi
}{3}<\pi $$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}<k<\dfrac{5}{4}$. Vì $k\in
\mathbb{Z}$ nên có hai giá trị $k$ là: $k=0;k=1$.
Với $k=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{6}$; với $k=1\Rightarrow
x=\dfrac{5\pi }{6}$.
Do đó trên khoảng $\left( 0;\pi \right)$ phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\dfrac{\pi
}{6}$ và $x=\dfrac{5\pi }{6}$.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng $\left(
0;\pi \right)$ là: $\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{5\pi
}{6}=\pi $.
Câu 6. Số nghiệm của phương trình $2\sin
x-\sqrt{3}=0$ trên đoạn đoạn $\left[ 0;2\pi
\right]$.
A. 3.
B. 1.
C. 4.
D. 2.
Lời giải
Chọn D
$2\sin x-\sqrt{3}=0$ $\Leftrightarrow \sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow
\sin x=\sin \left( \dfrac{\pi }{3} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ & x=\pi -\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi
}{3}+k2\pi \\ & x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\left( k\in
\mathbb{Z} \right)$.
Xét $x=\dfrac{\pi }{3}+k2\pi $ $\left( k\in \mathbb{Z}
\right)$:
$0\le x\le 2\pi $ $\Leftrightarrow 0\le \dfrac{\pi }{3}+k2\pi
\le 2\pi $ $\Leftrightarrow -\dfrac{\pi }{3}\le k2\pi \le \dfrac{5\pi }{3}$ $\Leftrightarrow
-\dfrac{1}{6}\le k\le \dfrac{5}{6}$ $\Rightarrow k=0$. Suy ra $x=\dfrac{\pi
}{3}\in \left[ 0;2\pi \right]$.
Xét $x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi $ $\left( k\in \mathbb{Z}
\right)$:
$0\le x\le 2\pi \Leftrightarrow 0\le \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi
\le 2\pi $$\Leftrightarrow -\dfrac{2\pi }{3}\le k2\pi \le \dfrac{4\pi
}{3}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{3}\le k\le \dfrac{2}{3}$$\Rightarrow k=0$. Suy
ra $x=\dfrac{2\pi }{3}\in \left[ 0;2\pi
\right]$.
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn $\left[
0;2\pi \right]$.
Câu 7. Biết các nghiệm của phương trình
$\cos 2x=-\dfrac{1}{2}$ có dạng $x=\dfrac{\pi }{m}+k\pi $và $x=-\dfrac{\pi
}{n}+k\pi $,$k\in \mathbb{Z}$ (với $m,n$ là các số nguyên dương). Khi đó $m+n$ bằng
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Chọn D
$\cos 2x=-\dfrac{1}{2}$$\Leftrightarrow \cos 2x=\cos \dfrac{2\pi
}{3}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& 2x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\
& 2x=-\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi
}{3}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right.\left( k\in \mathbb{Z}
\right)$
$m+n=3+3=6$.
Câu 8. Nghiệm lớn nhất của phương trình
$2\cos 2x-1=0$ trong đoạn $\left[ 0;\pi
\right]$ là:
A. $x=\pi $.
B. $x=\dfrac{11\pi }{12}$.
C. $x=\dfrac{2\pi }{3}$.
D. $x=\dfrac{5\pi }{6}$.
Lời giải
Chọn D
Phương trình $2\cos
2x-1=0$$\Leftrightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \left[
\begin{align} & 2x=\dfrac{\pi
}{3}+k2\pi \\ & 2x=-\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi
}{6}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ \end{align} \right.$ $\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
$x\in \left[ 0;\pi \right]$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 0\le \dfrac{\pi }{6}+k\pi \le \pi \\ & 0\le -\dfrac{\pi }{6}+k\pi \le \pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & \dfrac{-1}{6}\le
k\le \dfrac{5}{6} \\ & \dfrac{1}{6}\le
k\le \dfrac{7}{6} \\ \end{align} \right.$ mà $k\in \mathbb{Z}$ suy ra $\left[
\begin{align} & k=0 \\ & k=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi
}{6} \\ & x=\dfrac{5\pi }{6} \\ \end{align}
\right.$.
Vậy nghiệm lớn nhất của phương
trình $2\cos 2x-1=0$ trong đoạn $\left[ 0;\pi
\right]$ là $x=\dfrac{5\pi }{6}$.
Câu 9. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của
phương trình $2\sin \left( 4x-\dfrac{\pi }{3} \right)-1=0.$
A. $x=\dfrac{\pi
}{4}.$
B. $x=\dfrac{7\pi
}{24}.$
C. $x=\dfrac{\pi
}{8}.$
D. $x=\dfrac{\pi
}{12}.$
Lời giải
Ta có $2\sin
\left( 4x-\dfrac{\pi }{3} \right)-1=0$$\Leftrightarrow \sin \left( 4x-\dfrac{\pi
}{3} \right)=\dfrac{1}{2}$$\Leftrightarrow \sin \left( 4x-\dfrac{\pi }{3}
\right)=\sin \dfrac{\pi }{6}$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x-\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi
}{6}+k2\pi \\ & 4x-\dfrac{\pi }{3}=\pi -\dfrac{\pi
}{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & 4x=\dfrac{\pi
}{2}+k2\pi \\ & 4x=\dfrac{7\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{\pi
}{8}+\dfrac{k\pi }{2} \\ & x=\dfrac{7\pi
}{24}+\dfrac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.$ $\left( k\in \mathbb{Z} \right).$
TH1. Với $x=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{k\pi
}{2}>0\Leftrightarrow k>-\dfrac{1}{4}$$\Rightarrow {{k}_{\min
}}=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{8}.$
TH2. Với $x=\dfrac{7\pi }{24}+\dfrac{k\pi
}{2}>0\Leftrightarrow k>-\dfrac{7}{12}$$\Rightarrow {{k}_{\min
}}=0\Rightarrow x=\dfrac{7\pi }{24}.$.
So sánh hai nghiệm ta được $x=\dfrac{\pi
}{8}$ là nghiệm dương nhỏ nhất.
Câu
10. Giải phương
trình $\sin x\sin 7x=\sin 3x\sin 5x$.
A. $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
B. $x=\dfrac{k\pi }{6},k\in
\mathbb{Z}$.
C. $x=\dfrac{k\pi }{4},k\in
\mathbb{Z}$.
D. $x=\dfrac{k\pi }{2},k\in
\mathbb{Z}$.
Lời giải
Ta có: $\sin x\sin 7x=\sin
3x\sin 5x$$\Leftrightarrow \cos 6x-\cos 8x=\cos 2x-\cos 8x$.
$\Leftrightarrow \cos 6x=\cos
2x$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& 6x=2x+k2\pi \\ & 6x=-2x+k2\pi \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & x=\dfrac{k\pi
}{2} \\ & x=\dfrac{k\pi }{4} \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho phương
trình lượng giác ${2 \cos x=\sqrt{3}}$.
a) Phương trình có nghiệm $x=\pm \dfrac{\pi
}{3}+k2\pi \,(k\in \mathbb{Z})$.
b) Trong đoạn ${x \in\left[0 ; \dfrac{5
\pi}{2}\right]}$ phương trình có 4 nghiệm.
c) Tổng các nghiệm của phương trình
trong đoạn ${x \in\left[0 ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]}$ bằng $\dfrac{25\pi }{6}$.
d) Trong đoạn ${x \in\left[0 ; \dfrac{5
\pi}{2}\right]}$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\dfrac{13\pi }{6}$.
Lời giải
a)
Sai
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Đúng
a) Ta có: $2\cos x=\sqrt{3}\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\Leftrightarrow
x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k2\pi \,\,(k\in \mathbb{Z})$.
b) Vì ${x \in\left[0 ; \dfrac{5 \pi}{2}\right]}$ nên ${x
\in\left\{\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{11 \pi}{6} ; \dfrac{13 \pi}{6}\right\}}$.
Vậy nghiệm ${x}$ thoả mãn đề bài là: ${x \in\left\{\dfrac{\pi}{6}
; \dfrac{11 \pi}{6} ; \dfrac{13 \pi}{6}\right\}}$.
c) $\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{11\pi }{6}+\dfrac{13\pi }{6}=\dfrac{25\pi
}{6}$.
d) Nghiệm lớn nhất là $\dfrac{13\pi }{6}$.
Câu
2. Cho phương
trình lượng giác ${2 \sin \left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)+\sqrt{3}=0}$.
a) Phương trình tương đương $\sin
\left( x-\dfrac{\pi }{12} \right)=\sin \left( \dfrac{\pi }{3} \right)$.
b) Phương trình có nghiệm là: $x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\dfrac{7\pi
}{12}+k2\pi \,\,(k\in \mathbb{Z})$.
c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $-\dfrac{\pi
}{4}$.
d) Số nghiệm của phương trình trong
khoảng $\left( -\pi ;\pi \right)$ là hai
nghiệm.
Lời giải
a)
Sai
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Đúng
a) Ta có: $2\sin \left( x-\dfrac{\pi }{12}
\right)+\sqrt{3}=0$$\Leftrightarrow \sin \left( x-\dfrac{\pi }{12} \right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$${2
\sin \left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)+\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow \sin \left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\Leftrightarrow \sin \left(x-\dfrac{\pi}{12}\right)=\sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}$
b) Giải tiếp: $\sin \left( x-\dfrac{\pi }{12} \right)=\sin
\left( -\dfrac{\pi }{3} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x-\dfrac{\pi }{12}=-\dfrac{\pi
}{3}+k2\pi \\ x-\dfrac{\pi }{12}=\pi -(-\dfrac{\pi
}{3})+k2\pi \\\end{array} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=-\dfrac{\pi
}{4}+k2\pi \\ x=\dfrac{17\pi }{12}+k2\pi \\\end{array} \right.$$(k\in \mathbb{Z})$.
Vậy phương trình có nghiệm là: $x=-\dfrac{\pi }{4}+k2\pi
,\,\,x=\dfrac{17\pi }{12}+k2\pi \,(k\in \mathbb{Z})$.
c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $-\dfrac{\pi
}{4}$.
d) Số nghiệm của phương trình trong
khoảng $\left( -\pi ;\pi \right)$ là hai
nghiệm.
Câu
3. Một vật dao
động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình ${x=1,5 \cos \left(\dfrac{t
\pi}{4}\right)}$; trong đó ${t}$ là thời gian được tính bằng giây và quãng đường
${h=|x|}$ được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối
với vị trí cân bằng.
a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là ${h=1,5 {~m}}$.
b) Trong $10$ giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị
trí cân bằng nhất.
c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì $\cos \left( \dfrac{t\pi
}{4} \right)=0$.
d) Trong khoảng từ $0$ đến $20$ giây thì vật đi qua vị trí
cân bằng $4$ lần.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Sai
Ta có ${h=|x|=\left|1,5 \cos \left(\dfrac{t
\pi}{4}\right)\right| \leq 1,5}$.
a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là ${h=1,5 {~m}}$.
Khi đó $\cos \left( \dfrac{t\pi }{4} \right)=\pm 1$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{t\pi
}{4}=k2\pi \\ \dfrac{t\pi }{4}=\pi +k2\pi \\\end{array} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{*{35}{l}}
t=8k \\ t=4+8k
\\\end{array} \right.$ $(k\in \mathbb{Z})$.
b) Vậy trong $10$ giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng
nhất tại các thời điểm ${t=0, t=4, t=8}$ (giây).
c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì $x=0\Leftrightarrow 1,5\cos
\left( \dfrac{t\pi }{4} \right)=0$${x=0 \Leftrightarrow 1,5 \cos \left(\dfrac{t
\pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow \cos \left(\dfrac{t
\pi}{4}\right)=0}$$\Leftrightarrow \dfrac{t\pi }{4}=\dfrac{\pi }{2}+k\pi
$$\Rightarrow t=2+4k\,(k\in \mathbb{Z})$.
d) Vậy trong khoảng từ $0$ đến $20$ giây thì vật ở vị trí
cân bằng tại các thời điểm ${t=2, t=6, t=10, t=14, t=18}$ (giây); tức là có $5$
lần vật qua vị trí cân bằng.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Một vật ${M}$
được gắn vào đầu lò xo và dao động quanh vị trí cân bằng ${I}$, biết rằng ${O}$
là hình chiếu vuông góc của ${I}$ trên trục ${O x}$, toạ độ điểm ${M}$ trên ${O
x}$ tại thời điểm ${{t}}$ (giây) là đại lượng ${s}$ (đơn vị: ${{cm}}$) được
tính bởi công thức ${s=8,6 \sin \left(8 t+\dfrac{\pi}{2}\right)}$.
a) Tìm khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng tại thời điểm ${t=3}$
giây.
b) Thời điểm sớm nhất để ${s=4,3 {~cm}}$ là bao nhiêu giây?
(Các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Trả lời: a) $3,65$ b) $0,13$
Lời giải
a) Khi ${t=3}$ thì ${s=8,6 \sin \left(8.3+\dfrac{\pi}{2}\right)
\approx 3,65({~cm})}$.
Vậy vật cách vị trí cân bằng một khoảng xấp xỉ ${3,65
{~cm}}$.
b) Khi ${s=4,3}$ thì ${8,6 \sin \left(8 t+\dfrac{\pi}{2}\right)=4,3
\Rightarrow \sin \left(8 t+\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{1}{2}}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 8t+\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{\pi
}{6}+k2\pi \\ 8t+\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{5\pi
}{6}+k2\pi \\\end{array}
\right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} t=-\dfrac{\pi }{24}+k\dfrac{\pi }{4} \\
t=\dfrac{\pi }{24}+k\dfrac{\pi }{4}
\\\end{array} \right.$$(k\in \mathbb{Z})$.
Nghiệm dương nhỏ nhất là $t\approx 0,13~s$.
Câu
2. Trong môn cầu
lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối
phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.
Trong mặt phẳng toạ độ ${O x y}$, chọn điểm có tọa độ ${\left(O
; y_0\right)}$ là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời
khỏi mặt vợt là: ${y=\dfrac{-g \cdot x^2}{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos ^2
\alpha}+\tan (\alpha) \cdot x+y_0}$; trong đó:
- g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là ${9,8 {~m}
/ {s}^2}$ );
- ${\alpha}$ là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);
- ${v_0}$ là vận tốc ban đầu của cầu;
- ${y_0}$ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.
Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu
lông là một parabol.
Một người chơi cầu lông đang đứng khoảng cách từ vị trí người
này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa) là ${6,68 {~m}}$. Quan sát hình
bên dưới, hỏi người chơi đã phát cầu góc khoảng bao nhiêu độ so với mặt đất
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)? (biết góc lớn hơn $45{}^\circ $, cầu
rời mặt vợt ở độ cao ${0,7 {~m}}$ so với mặt đất và vận tốc xuất phát của cầu
là ${8 {~m} / {s}}$, bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm
trong mặt phẳng phẳng đứng).
Trả lời: $54$
Lời giải
Với ${{g}=9,8 {~m} / {s}^2}$, vận tốc ban đầu ${v_0=8 {~m} /
{s}}$, phương trình quỹ đạo của cầu:
${y=\dfrac{-g \cdot x^2}{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos ^2
\alpha}+\tan (\alpha) \cdot x+y_0
}$
Khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất
(tầm bay xa) là ${6,68 {~m}}$; nghĩa là ${x=6,68 {~m}}$.
Ta có $\dfrac{-9,8\cdot {{(6,68)}^{2}}}{128\cdot {{\cos
}^{2}}\alpha }+\tan (\alpha )\cdot (6,68)+0,7=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{-9,8\cdot {{(6,68)}^{2}}}{128}\left(
1+{{\tan }^{2}}\alpha \right)$$+\tan
(\alpha )\cdot (6,68)+0,7=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \tan \alpha \approx 1,378 \\
\tan \alpha \approx 0,576 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{*{35}{l}} \alpha
\approx 54{}^\circ \\ \alpha \approx 30{}^\circ \\\end{array} \right. \right.$.
Do góc lớn hơn $45{}^\circ $ nên người chơi đã phát cầu một
góc $54{}^\circ $ so với mặt đất.
Câu
3. Một vệ tinh
bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo hình Elip (như hình vẽ):
Độ cao ${h}$ (tính bằng kilômet) của vệ tinh so với bề mặt
Trái Đất được xác định bởi công thức ${h=550+450 \cdot \cos \dfrac{\pi}{50} t}$.
Trong đó ${t}$ là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo.
Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất ${250
{~km}}$. Trong khoảng 60 phút đầu tiên kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo, hãy
tìm thời điểm để có thể thực hiện thí nghiệm đó?
Trả lời: $36,6$
Lời giải
Ta có phương trình: $550+450.\cos \dfrac{\pi
}{50}t=250$$\Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{50}t=-\dfrac{2}{3}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{\pi }{50}t\approx 2,3+k2\pi \\ \dfrac{\pi
}{50}t\approx -2,3+k2\pi \\\end{array} \right.$$\Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{*{35}{l}} t\approx
36,6+k100 \\ t\approx -36,6+k100 \\\end{array} \right.$$\left( k\in \mathbb{Z}
\right)$.
Vậy trong khoảng 60 phút đầu tiên kể từ lúc vệ tinh bay vào
quỹ đạo, tại thời điểm $t\approx 36,6$ (phút) thì ta có thể thực hiện thí nghiệm
đó.
