BÀI 2. HỆ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1.
Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương
trình bậc nhất hai ẩn $x,\,\,y$. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương
trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập
hợp các điểm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có tọa độ là nghiệm của hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương
trình đó.
2.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Để biểu diễn miền nghiệm của hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta thực hiện
như sau:
- Trên cùng
mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.
- Phần giao
của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Chú
ý: Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm
bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác.
3.
Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $F=ax+by$
trên một miền đa giác.
Người ta chứng
minh được rằng $F=ax+by$ đạt GTLN hoặc GTNN tại một trong các đỉnh của đa giác.
Do đó để tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng $F=ax+by$,
trong đó $x,\,\,y$ là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mà miền
nghiệm của hệ đó là một miền đa giác, ta làm như sau:
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất
phương trình (là một miền đa giác).
Bước 2: Xác định toạ độ các đỉnh của đa
giác.
Bước 3: Tính giá trị của biểu thức $F=ax+by$
tại các cặp số $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là toạ độ của các đỉnh của
đa giác và so sánh các giá trị đó. Từ đó, kết luận được giá trị lớn nhất hay
giá trị nhỏ nhất cần tìm.
BÀI
TẬP TỰ LUẬN
Câu
1.
Biểu
diễn miền nghiệm của hệ: ${\left\{\begin{array}{l}2 x-y-3 \leq 0 \\ 2 x-y+2
\leq 0\end{array}\right.}$
Giải
Biểu
diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng ${O x y}$.
Miền
không gạch chéo (kể cả bờ) trong Hình là phần giao của hai miền nghiệm của hai
bất phương trình và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
đã cho.
Câu
2.
Biểu
diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} 3x+y\le 6 \\ x+y\le 4 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ \end{align} \\ \end{array} \right.$
Giải
Biểu
diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng ${O x y}$.
Miền
không gạch chéo (miền tứ giác ${O A B C}$, bao gồm cả các cạnh) trong Hình là
phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất
phương trình đã cho.
Câu 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align} 3x-y\ge -1 \\ 2x+y\le 6 \\ x+3y>3 \\ \end{align} \right.$
Lời giải
- Vẽ các đường thẳng ${{d}_{1}}:3x-y=-1$;
${{d}_{2}}:2x+y=6$; ${{d}_{3}}:x+3y=3$
- Điểm $M\left( 1;1 \right)$ có tọa
độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng
bờ ${{d}_{1}};{{d}_{2}};{{d}_{3}}$ không chứa điểm $M$. Miền không bị tô đậm là
hình tam giác $ABC$ không tính cạnh $AC$ trong hình vẽ dưới là miền nghiệm của
hệ bất phương trình đã cho.
Câu
4.
Bác
Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng
1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu
xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao
nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ
có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.
Giải
Gọi
${x}$ là số hecta đất trồng ngô và ${y}$ là số hecta đất trồng đậu xanh.
Ta
có các điều kiện ràng buộc đối với ${x, y}$ như sau:
-
Hiển nhiên ${x \geq 0, y \geq 0}$.
-
Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên ${x+y \leq 8}$.
- Số
ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên ${20 x+30 y \leq 180}$.
Từ
đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc: ${\left\{\begin{array}{l}x+y
\leq 8 \\ 20 x+30 y \leq 180 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0\end{array}\right.}$
Biểu
diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ ${O x y}$, ta
được miền tứ giác ${O A B C}$ (Hình).
Toạ
độ các đỉnh của tứ giác đó là: ${O(0 ; 0) ; A(0 ; 6)}$; ${B(6 ; 2) ; C(8 ; 0)}$.
Gọi
${F}$ là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu được, ta có: ${F=40 x+50 y}$.
Ta
phải tìm ${x, y}$ thoả mãn hệ bất phương trình sao cho ${F}$ đạt giá trị lớn nhất,
nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ${F=40 x+50 y}$ trên miền tứ giác ${O
A B C}$.
Tính
các giá trị của biểu thức ${F}$ tại các đỉnh của đa giác, ta có:
Tại
${O(0 ; 0): F=40.0+50.0=0}$;
Tại
${A(0 ; 6): F=40.0+50.6=300}$
Tại
${B(6 ; 2): F=40.6+50.2=340}$;
Tại
${C(8 ; 0): F=40.8+50.0=320}$.
${F}$
đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại ${B(6 ; 2)}$.
Vậy
để thu được nhiều tiền nhất, bác Năm cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh.
Câu 5. Một hộ nông dân dự định trồng
đậu và cà trên diện tích 8 ha. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng
trên diện tích mỗi ha, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng trên diện
tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu
về được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá 180.
Lời giải
Gọi diện tích để trồng đậu là :$x$ (ha); diện tích để trồng cà là: $y$ (ha). ( Đk: $0\le x,y\le 8$)
Tổng
số diện tích sử dụng là: $x+y$.
Tổng
số công cần sử dụng là: $20x+30y$
Ta có hệ bất phương trình : $\left\{ \begin{align} 0\le x\le 8 \\0\le y\le 8 \\ x+y\le 8 \\20x+30y\le 180 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{align} 0\le x\le 8 \\ 0\le y\le 8 \\ x+y\le 8 \\2x+3y\le 18 \\ \end{align} \right.$
Vẽ các đường thẳng $\left( {{d}_{1}}
\right):x+y=8,\ \,\left( {{d}_{2}} \right):2\text{x}+3y=18$,$\left( {{d}_{3}}
\right):x=8,\ \,\left( {{d}_{4}} \right):y=8$ ta được miền
nghiệm của hệ bất phương trình là phần
tô đậm như hình vẽ
$\begin{align} A\left( 0;6 \right)=\left( {{d}_{2}} \right)\cap Oy,\,\,\,B\left( 6;2 \right)=\left( {{d}_{1}} \right)\cap \left( {{d}_{2}} \right) \\ C\left( 8;0 \right)=\left( {{d}_{1}} \right)\cap Ox,\,\,D\equiv O\left( 0;0 \right) \\ \end{align}$
Số tiền thu về là: $f\left( x;y
\right)=3x+4y $ (triệu đồng)
|
$M\left( x;y
\right)$ |
$A$ |
$B$ |
$C$ |
$D$ |
|
$f(x,y)=3x+4y$ |
$24$ |
$26$ |
$24$ |
$0$ |
Do đó $f\left(
x;y \right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $B\left( 6;2 \right)$.
Vậy để thu được
nhiều tiền nhất thì cần trồng 6 ha đậu và 2 ha cà.
BÀI
TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{gathered} x + y - 2 \leqslant 0 \hfill \\ 2x - 3y + 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ là
A. $\left( 0;0
\right)$.
B. $\left( 1;1
\right)$.
C. $\left( -1;1
\right)$.
D. $\left( -1;-1
\right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta thay cặp số $\left(
-1;1 \right)$ vào hệ ta thấy không thỏa mãn.
Câu 2. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{gathered} 2x - 5y - 1 > 0 \hfill \\ 2x + y + 5 > 0 \hfill \\ x + y + 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
A. $\left( 0;0
\right)$.
B. $\left( 1;0 \right)$.
C. $\left( 0;-2
\right)$.
D. $\left( 0;2
\right)$.
Lời giải
Chọn C.
Nhận xét: chỉ có điểm $\left(
0;-2 \right)$ thỏa mãn hệ.
Câu
3. Miền tam giác $ABC$ kể cả ba cạnh sau đây là miền
nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ bất phương trình dưới đây?
A. $\left\{ \begin{gathered} y \geqslant 0 \hfill \\ 5x - 4y \geqslant 10 \hfill \\ 5x + 4y \leqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
B. $\left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ 5x - 4y \leqslant 10 \hfill \\ 4x + 5y \leqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
C. $\left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ 4x - 5y \leqslant 10 \hfill \\ 5x + 4y \leqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
D. $\left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ 5x - 4y \leqslant 10 \hfill \\ 4x + 5y \leqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Lời giải
Chọn
D.
Cạnh $AC$ có phương trình $x=0$ và cạnh
$AC$ nằm trong miền nghiệm nên $x\ge 0$ là một bất phương trình của hệ.
Cạnh $AB$ qua hai điểm $\left(
\frac{5}{2};\ 0 \right)$ và $\left( 0;\ 2 \right)$ nên có phương trình: $\frac{x}{\frac{5}{2}}+\frac{y}{2}=1\Leftrightarrow
4x+5y=10$.
Vậy hệ bất phương trình cần tìm là $\left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ 5x - 4y \leqslant 10 \hfill \\ 4x + 5y \leqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Câu
4. Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm
của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D?
A. $\left\{ \begin{align} & y>0 \\ & 3x+2y<6 \\ \end{align} \right.$
B. $\left\{ \begin{align} & y>0 \\ & 3x+2y<-6 \\ \end{align} \right.$
C. $\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & 3x+2y<6 \\ \end{align} \right.$
D. $\left\{ \begin{align} & x>0 \\ & 3x+2y>-6 \\ \end{align} \right.$
Lời giải
Chọn A.
Dựa vào
hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):y=0$ và đường
thẳng $\left( {{d}_{2}} \right):3x+2y=6.$
Miền
nghiệm gồm phần $y$ nhận giá trị dương.
Lại có $\left(
0\,\,;\,\,0 \right)$ thỏa mãn bất phương trình $3x+2y<6.$
Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của biết thức $F=y-x$ trên miền xác định bởi hệ $\left\{ \begin{matrix} 2x+y\le 2 \\ x-y\le 2 \\ 5x+y\ge -4 \\ \end{matrix} \right.$
A. $\text{min }F=-3$
khi $x=1,y=-2$.
B. $\text{min}\,F=0$
khi $x=0,y=0$.
C. $\text{min }F=-2$
khi $x=\frac{4}{3},y=-\frac{2}{3}$.
D. $\text{min }F=8$
khi $x=-2,y=6$.
Lời giải
Chọn C.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x+y\le 2 \\ x-y\le 2 \\ 5x+y\ge -4 \\ \end{matrix} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Giá trị nhỏ nhất của biết
thức $F=y-x$ chỉ đạt được tại các điểm
$A\left( -2;6
\right),C\left( \frac{4}{3};-\frac{2}{3} \right),\,B\left(
\frac{-1}{3};\frac{-7}{3} \right)$.
Ta có: $F\left( A
\right)=8;\,F\left( B \right)=-2;\,F\left( C \right)=-2$.
Vậy $\text{min }F=-2$ khi
$x=\frac{4}{3},y=-\frac{2}{3}$.
Câu 6. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left( x;y \right)=x-2y $ với điều kiện $\left\{ \begin{matrix} 0\le y\le 5 \\ x\ge 0 \\ x+y-2\ge 0 \\ x-y-2\le 0 \\ \end{matrix} \right.$ là
A. $-10$.
B. $12$.
C. $-8$.
D. $-6$.
Lời giải
Chọn A.
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix} 0\le y\le 5 \\ x\ge 0 \\ x+y-2\ge 0 \\ x-y-2\le 0 \\ \end{matrix} \right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Nhận thấy biết thức $F=y-x$
chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm $A,B,C$ hoặc $D$.
Ta có: $F\left( A
\right)=7-2.5=-3;\,F\left( B \right)=-2.5=-10$.
$F\left( C
\right)=-2.2=-4,F\left( D \right)=2-2.0=2$.
Vậy $\text{min }F=-10$
khi $x=0,y=5$.
Câu
1. Cho hệ bất phương trình ${\left\{\begin{array}{c}x+7 y>4
\\ x<5 \\ -x-y \geq-3\end{array}\right.}$ . Khi đó:
a) ${(-1 ;-1)}$ không là một nghiệm của hệ bất phương trình.
b) ${(-2 ; 5)}$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.
c) $(3;-1)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.
d) $(-1;2)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) Thay ${(-1 ;-1)}$ vào hệ bất phương trình ${\left\{\begin{array}{c}x+7
y>4 \\ x<5 \\ -x-y \geq-3\end{array}\right.}$ ta được:
$\left\{ \begin{matrix} -1+7(-1)>4 \\ -1<5
\\ -(-1)-(-1)\ge -3 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -8>4
\\ -1<5\text{ (vô lí)} \\ 2\ge -3
\\ \end{array} \right. \right.$ Vậy ${(-1 ;-1)}$ không là một nghiệm của
hệ bất phương trình.
b) Thay ${(-2 ; 5)}$ vào hệ bất phương trình ${\left\{\begin{array}{c}x+7
y>4 \\ x<5 \\ -x-y \geq-3\end{array}\right.}$ ta được:
${\left\{\begin{array}{c}-2+7.5>4 \\ -2<5 \\ -(-2)-5
\geq-3\end{array}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}33>4 \\ -2<5 \\ -3
\geq-3\end{array}\right.\right.}$ (đúng). Vậy ${(-2 ; 5)}$ là một nghiệm của hệ
bất phương trình.
c) $(3;-1)$ không là một nghiệm của hệ bất phương trình.
d) $(-1;2)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình.
Câu
2. Cho hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align}
& 3x+2y\ge 9 \\ & x-2y\le 3 \\ &
x+y\le 6 \\ & x\quad \ge 1 \\ \end{align}
\\ \end{array} \right.\left( I \right)$. Khi đó:
a) Miền nghiệm của hệ bất phương
trình là miền tam giác
b) $(3;2)$ là một nghiệm của hệ bất
phương trình
c) $x=1,y=3$ là nghiệm của hệ bất
phương trình (I) sao cho ${F=3 x-y}$ đạt giá trị lớn nhất
d) ${x=1, y=5}$ là nghiệm của hệ
bất phương trình (I) sao cho ${F=3 x-y}$ đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
a)
Sai
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Đúng
a) Miền nghiệm của hệ (I) là miền
tứ giác ${A B C D}$ với ${A(3 ; 0), B(5 ; 1), C(1 ; 5), D(1 ; 3)}$ (Hình).
b) $(3;2)$ là một nghiệm của hệ
bất phương trình
c) Tính giá trị của ${F=3 x-y}$
tại các cặp số ${(x ; y)}$ là toạ độ của các đỉnh tứ giác ${A B C D}$ rồi so
sánh các giá trị đó, ta được ${F}$ đạt giá trị lớn nhất bằng 14 tại ${x=5,
y=1}$
d) ${F}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng
${-2}$ tại ${x=1, y=5}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CÂU TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Nhân
dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng
và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng,
mứt bí, lạp xưởng,... Xí nghiệp đã nhập về ${600 {~kg}}$ bột mì và ${240
{~kg}}$ đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần.
Mỗi chiếc bánh nướng cần ${120 {~g}}$ bột mì, ${60 {~g}}$ đường. Mỗi chiếc bánh
dẻo cần ${160 {~g}}$ bột mì và ${40 {~g}}$ đường. Theo khảo sát thị trường, lượng
bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí
nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng, mỗi
chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng. Xí nghiệp cần sản xuất bao nhiêu chiếc bánh nướng
để đáp ứng nhu cầu thị trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng
mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được lợi nhuận cao nhất.
Trả
lời: 3000
Lời
giải
Gọi
${x, y}$ (chiếc) là số lượng bánh nướng, bánh dẻo mà xí nghiệp cần sản xuất.
Trong đó ${0<x, 0<y}$ với ${x, y \in \mathbb{N}^{*}}$.
Khối
lượng bột mỳ cần dùng là: ${0,12 x+0,16 y({~kg})}$.
Khối
lượng đường cần dùng là: ${0,06 x+0,04 y({~kg})}$.
Ta
có: ${0,12 x+0,16 y \leq 600}$ hay ${3 x+4 y \leq 15000}$;
${0,06
x+0,04 y \leq 240}$ hay ${3 x+2 y \leq 12000}$.
Số tiền lãi thu được là: ${T=8 x+6 y}$ (nghìn đồng). Bài toán đưa về, tìm ${x, y}$ là nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{align} 3x+4y\le 15000 \\ 3x+2y\le 1200 \\ y\le 3x \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ \end{align} \right.\left( I \right) $
Trước
hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$.
Miền
nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OABC$ với $O\left( 0;0
\right),\,A\left( 4000;0 \right),B\left( 3000;1500 \right),\,C\left( 1000;3000
\right)$
Tính
giá trị của ${T}$ tại các cặp số ${(x ; y)}$ là toạ độ các đỉnh trên rồi so
sánh các giá trị đó, ta được ${T}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $33000$ (nghìn đồng)
hay $33$ triệu đồng tại ${x=3000 ; y=1500}$.
Vậy
để đạt được tiền lãi cao nhất, xí nghiệp nên sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và ${1.500}$
chiếc bánh dẻo.
Câu 2. Tìm GTLN của $f\left( x,y \right)=x+2y $ với điều kiện $\left\{ \begin{align} 0\le y\le 4\left( {{d}_{1}} \right) \\ 0\le x\left( {{d}_{2}} \right) \\ x-y-1\le 0\left( {{d}_{3}} \right) \\ x+2y-10\le 0\left( {{d}_{4}} \right) \\ \end{align} \right.$
Trả
lời: $10$
Lời giải
${\{M(x ; y)\}}$ thoả mãn
hệ là miền bên trong đa giác ${{OABCD}}$
Tìm toạ độ $A, B, C, D$ bằng
phương pháp đồ thị hay phương trình hoành độ giao điểm.
Thay toạ độ ${{O}, {A},
{B}, {C}, {D}}$ vào ${f(x ; y)=x+2 y}$ ta có
|
|
0 |
A |
B |
C |
D |
|
${f(x ; y)}$ |
0 |
1 |
10 |
10 |
8 |
Vậy $ \max
(f(x;y))=10.$
