BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Vị trí tương đối của hai đường
thẳng trong không gian
Hai đường thẳng gọi là song song
nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Chú ý:
a) Hai đường thẳng gọi là chéo
nhau nếu chúng không đồng phẳng.
b) Cho hai đường thẳng song song
$a$ và $b$. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu $\operatorname{mp}(a,b)$.
2. Tính chất cơ bản về hai đường
thẳng song song
Định lí 1
Trong không gian, qua một điểm nằm
ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song vởi đường thẳng
đó.
Định lí 2
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt
nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một
song song.
$\left\{ \begin{align} &
a=\left( P \right)\cap \left( Q \right) \\ & b=\left( Q \right)\cap \left(
R \right) \\ & c=\left( R \right)\cap \left( P \right) \\ \end{align}
\right.\Rightarrow $ $a,\,\,b,\,\,c$ đồng quy hoặc $a\parallel b\parallel c$.
Hệ quả
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần
lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song
song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
$\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} \subset \left( \alpha \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {d_2} \subset \left( \beta \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \\
{d_1}\parallel {d_2}\\
\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
d\parallel {d_1}\parallel {d_2}\\
d \equiv {d_1}\\
d \equiv {d_2}
\end{array} \right.$
Định lí 3
Hai đường thẳng phân biệt cùng
song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Dạng toán: Chứng minh hai đường
thẳng song song
- Tính chất đường trung bình: $M$,
$N$ là trung điểm của $AB$, $AC$. Khi đó $MN\parallel BC,\,\,MN=\dfrac{1}{2}BC$.
- Định lý Ta-lét: $MN\parallel
BC\Leftrightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$.
- Tính chất cạnh đối của hình bình hành: Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $AB\parallel CD,\,\,AB=CD$.
Dạng toán: Tìm giao tuyến của
hai mặt phẳng
Phương
pháp tìm giao tuyến $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Cách
1: Tìm 2 điểm
chung.
Cách 2: Tìm bằng Hệ quả: Nếu hai
mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ lần
lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$, $ABD$. Chứng minh rằng: $IJ\parallel CD$.
Lời
giải
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$.
Do $I,J$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$, $ABD$ nên ta có $\dfrac{MI}{MC}=\dfrac{MJ}{MD}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow IJ\parallel CD$ (Định lí Ta-let).
Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là
hình bình hành. Gọi ${I}$ là trung điểm của ${S D}$. Hai mặt phẳng ${(I A C)}$
và ${(S B C)}$ cắt nhau theo giao tuyến ${C x}$. Chứng minh rằng $Cx\parallel
SB$.
Lời giải
Mặt phẳng ${(SBC)}$ và ${(SAD)}$ cắt nhau theo giao tuyến là
đường thẳng ${{d}}$ đi qua ${{S}}$ và song song với ${{BC}}$ và $AD$. Trong mặt
phẳng ${(SAD)}$, kẻ $AI$ cắt ${{d}}$ tại ${{K}}$.
Khi đó $\left\{ \begin{align} & K\in AI\subset (IAC) \\ &
K\in d\subset (SBC) \\ \end{align} \right.$ nên $K\in (IAC)\cap (SBC)$. Lại có $C\in
(IAC)\cap (SBC)$ nên ${{CK}}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng ${({SBC})}$ và $(IAC)$.
Trong mặt phẳng ${(SADK)}$ ta có $AD\parallel SK$, ${I}$ là
trung điểm của ${{SD}}$ nên ${{AD}={SK}}$. Mà $AD=BC$. Suy ra ${{BC}}$.
Ta có $SK\parallel BC,SK=BC$ nên ${{SBCK}}$ là hình bình
hành.
Suy ra $CK\parallel SB$. Hay $Cx\parallel SB$.
Câu 3. Cho hình chóp ${S . A B C D}$ có
đáy ${A B C D}$ là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ${(S A B)}$ và ${(S C
D)}$.
b) Lấy một điểm ${M}$ trên đoạn $SA$ (${M}$ khác ${S}$ và ${A}$),
mặt phẳng $(MBC)$ cắt ${S D}$ tại ${N}$. Tứ giác ${C B M N}$ là hình gì?
Lời giải
a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}
S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD
\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \begin{align} & AB\subset
\left( SAB \right)\,\,;\,\,CD\subset \left( SCD \right) \\ & AB \parallel CD \\
\end{align} \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow Sx=\left( SAB \right)\cap
\left( SCD \right)$ với $Sx \parallel AB \parallel CD$.
b) Ta có: $\left\{
\begin{matrix} M\in SA\subset \left( SAD \right) \\ M\in \left( MBC
\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow M\in \left(
MBC \right)\cap \left( SAD \right)$.
Khi
đó: $\left\{ \begin{matrix} M\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD
\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \begin{align} & BC\subset \left(
SBC \right)\,\,;\,\,AD\subset \left( SAD \right) \\ & BC \parallel AD \\ \end{align}
\\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow My=\left( MBC \right)\cap \left( SAD
\right)$ với $My \parallel BC \parallel AD$.
Trong
mặt phẳng $(SAD)$,
gọi $N=My\cap SD$, suy ra $N=(MBC)\cap SD$
Khi đó tứ giác ${CBMN}$ là hình thang (do $My\equiv
MN \parallel BC$).
Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là
hình bình hành. Gọi $M,N,P,Q$ là các điểm lần lượt trên $BC,$ $SC,$ $SD,$ $AD$
sao cho $MN$ $\parallel$ $BS,$ $NP$ $\parallel$ $CD,$ $MQ$ $\parallel$ $CD.$
a) Chứng minh: $PQ$ $\parallel$ $SA$.
b) Gọi $K$ là giao điểm của $MN$
và $PQ$. Chứng minh $SK$ $\parallel$ $AD$ $\parallel$ $BC$.
Lời
giải
a) Chứng
minh: $PQ$//$SA$.
Xét tam giác $SCD$, ta có: $NP \parallel CD$
$\Rightarrow \dfrac{DP}{DS}=\dfrac{CN}{CS}$ (1)
Tương tự: $MN \parallel SB\Rightarrow \dfrac{CN}{CS}=\dfrac{CM}{CB}$
(2)
Tương tự: $MQ \parallel CD\Rightarrow \dfrac{CM}{CB}=\dfrac{DQ}{DA}$
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\dfrac{DP}{DS}=\dfrac{DQ}{DA}$.
Vậy $PQ \parallel SA$.
b) Chứng
minh $SK$ $\parallel$ $AD$ $\parallel$ $BC$.
Ta có: $\left\{ \begin{align} &
BC//AD \\ & BC\subset \left( SBC \right),AD\subset \left( SAD \right) \\ &
S\in \left( SBC \right)\cap \left( SAD \right) \\ \end{align} \right.$ nên giao
tuyến của $\left( SBC \right)$ và $\left( SAD \right)$ là đường thẳng $St$ qua $S$
song song $BC$ và $AD$.
Mà $K\in \left( SBC \right)\cap
\left( SAD \right)$ $\Rightarrow K\in St\Rightarrow SK \parallel AD \parallel BC$.
Câu 5. Cho
hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Điểm $M$ thuộc cạnh $SA$, điểm $E$
và $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$.
a)
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SCD
\right)$.
b) Xác định
giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MBC \right)$ và $\left( SAD \right)$.
c)
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( MEF \right)$ và $\left( SAC
\right)$.
Lời giải
a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}
S\in \left( SAB \right)\cap \left( SCD
\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \begin{align} & AB\subset
\left( SAB \right)\,\,;\,\,CD\subset \left( SCD \right) \\ & AB \parallel CD \\
\end{align} \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow Sx=\left( SAB \right)\cap
\left( SCD \right)$ với $Sx \parallel AB \parallel CD$.
b) Ta có: $\left\{
\begin{matrix} M\in SA\subset \left( SAD \right) \\ M\in \left( MBC
\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow M\in \left(
MBC \right)\cap \left( SAD \right)$.
Khi
đó: $\left\{ \begin{matrix} M\in \left( MBC \right)\cap \left( SAD
\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \begin{align} & BC\subset \left(
SBC \right)\,\,;\,\,AD\subset \left( SAD \right) \\ & BC \parallel AD \\ \end{align}
\\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow My=\left( MBC \right)\cap \left( SAD
\right)$ với $My \parallel BC \parallel AD$.
c)
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M\in SA\subset \left( SAC \right) \\ M\in \left(
MEF \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow M\in
\left( MEF \right)\cap \left( SAC \right)$.
Xét
tam giác $ABC$ có $EF$ là đường trung bình nên $EF \parallel AC$.
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} M\in
\left( MEF \right)\cap \left( SAC \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \begin{align}
& EF\subset \left( MEF \right)\,\,;\,\,AC\subset \left( SAC \right) \\ &
EF \parallel AC \\ \end{align} \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow Mt=\left( MEF
\right)\cap \left( SAC \right)$ với $Mt \parallel EF \parallel AC$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Trong
không gian, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu một mặt phẳng cắt một
trong hai đường thẳng song song thì mặt phẳng đó sẽ cắt đường thẳng
còn lại.
B. Hai mặt phẳng lần lượt đi
qua hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo một giao tuyến song song
với một trong hai đường thẳng đó.
C. Nếu một đường thẳng cắt
một trong hai đường thẳng song song thì đường thẳng đó sẽ cắt đường
thẳng còn lại.
D. Hai mặt phẳng có một điểm
chung thì cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm chung đó.
Lời giải
Chọn A
Câu 2. Cho
hình hộp $ABCD.EFGH$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $BG$ và
$HD$ chéo nhau.
B. $BF$ và
$AD$ chéo nhau.
C. $AB$
song song với $HG$.
D. $CG$ cắt
$HE$.
Lời giải
Chọn D
Do $CG$
và $HE$ không cùng nằm trong một mặt phẳng nên hai đường thẳng này chéo nhau.
Câu 3. Cho tứ diện $ABCD$, gọi $I$ và $J$ lần lượt là trọng tâm
của tam giác $ABD$ và $ABC$. Đường thẳng $IJ$ song song với
đường nào?
A. $AB$.
B. $CD$.
C. $BC$.
D. $AD$.
Lời giải
Chọn B
Gọi $N\,,\,M$ lần lượt là trung
điểm của $BC,\ BD.$
Suy ra $MN$ là đường trung bình
của tam giác $BCD$ $\Rightarrow MN\parallel CD\,\,\,\left( 1 \right)$.
$J\,;\,\,I$ lần lượt là trọng
tâm các tam giác $ABC$ và $ABD$ $\Rightarrow \dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AJ}{AN}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow IJ\parallel MN\,\,\,\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left(
2 \right)$ suy ra: $IJ\parallel CD.$
Câu 4. Cho
tứ diện $ABCD$. Gọi $M,\,\,N$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $AB$;
$P\,,\,\,Q$ là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng $CD$. Xác định vị trí
tương đối của $MQ$ và $NP$.
A. $MQ$ cắt $NP$.
B. $MQ\parallel
NP$.
C. $MQ\equiv
NP$.
D. $MQ,\,\,NP$
chéo nhau.
Lời giải
Chọn D
Xét mặt phẳng $\left( ABP
\right).$
Ta có: $M,N$ thuộc $AB$ $\Rightarrow
M,N$ thuộc mặt phẳng $\left( ABP \right).$
Mặt khác: $CD\cap \left( ABP
\right)=P.$
Mà $Q\in CD\Rightarrow Q\notin
\left( ABP \right)$ $\Rightarrow M,N,P,Q$ không đồng phẳng $\Rightarrow \,\,MQ$
và $NP$ chéo nhau.
Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AB,\,\,AD$ lần
lượt lấy các điểm $M\,,\,\,N$ sao cho $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{1}{3}$.
Gọi $P\,,\,\,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $CD\,,\,\,CB$. Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A. Tứ
giác$MNPQ$ là một hình thang.
B. Tứ
giác $MNPQ$ là hình bình hành.
C. Bốn
điểm $M\,,\,N\,,\,P\,,\,Q$ không đồng phẳng.
D. Tứ
giác $MNPQ$ không có các cặp cạnh đối nào song song.
Lời giải
Chọn A
Xét
tam giác $ABD$ có $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow
MN\parallel BD$ (Định lý Talet).
Xét
tam giác $BCD$ có $PQ$ là đường trung bình của tam giác $\Rightarrow
PQ\parallel BD$.
Vậy
$PQ\parallel MN$ $\Rightarrow MNPQ$ là hình thang.
Câu 6.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt
các cạnh $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$, $Q$. Gọi $I$ là
giao điểm của $MQ$ và $NP$. Câu nào sau đây đúng?
A. $SI \parallel AB$.
B. $SI \parallel AC$.
C. $SI \parallel AD$.
D. $SI \parallel BD$.
Lời giải
Chọn C
Ta có:$SI=\left( SBC \right)\cap
\left( SAD \right)$.
Do $\left\{ \begin{matrix} SI=\left(
SAD \right)\cap \left( SBC \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \begin{align}
& AD\subset \left( SAD \right)\,;\,\,BC\subset \left( SBC \right) \\ &
AD\parallel BC \\ \end{align} \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow SI\parallel
BC\parallel AD$.
Câu 7. Cho
hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang đáy lớn là $CD$. Gọi $M$ là trung điểm
của cạnh $SA$, $N$ là giao điểm của cạnh $SB$ và mặt phẳng $\left( MCD \right)$.
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. $MN$ và $SD$
cắt nhau.
B. $MN\,\parallel
\,CD$.
C. $MN$ và
$SC$ cắt nhau.
D. $MN$ và
$CD$ chéo nhau.
Lời giải
Chọn B
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MN=\left(
MCD \right)\cap \left( SAB \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \begin{align} &
CD\subset \left( MCD \right)\,\,;\,\,AB\subset \left( SAB \right) \\ &
CD\parallel AB \\ \end{align} \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow MN\parallel
CD\parallel AB$.
Câu 8. Cho
hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của
hai mặt phẳng $\left( SAD \right)$ và $\left( SBC \right)$. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. $d$
qua $S$ và song song với $BC$.
B. $d$
qua $S$ và song song với $DC$.
C. $d$
qua $S$ và song song với $AB$.
D. $d$
qua $S$ và song song với $BD$.
Lời giải
Chọn A
Ta
có $\left\{ \begin{align} & S\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right) \\
& AD\subset \left( SAD \right),BC\subset \left( SBC \right) \\ &
AD\parallel BC \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left( SAD \right)\cap
\left( SBC \right)=d$ $\equiv Sx\parallel AD\parallel BC$.
Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I$ là trung điểm $SA.$ Thiết diện của
hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( IBC \right)$ là:
A. Tam giác $IBC.$
B. Hình thang $IBCJ$ ($J$ là trung điểm $SD$).
C. Hình thang $IGBC$ ($G$ là trung điểm $SB$).
D. Tứ giác $IBCD.$
Lời giải
Chọn B
Ta
có $\left\{ \begin{align} & I\in \left( IBC \right)\cap \left( SAD \right) \\
& BC\subset \left( IBC \right),AD\subset \left( SAD \right) \\ &
BC\parallel AD \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \left( IBC \right)\cap
\left( SAD \right)=Ix\parallel BC\parallel AD$.
Trong mặt phẳng $\left( SAD \right):$ $Ix\parallel
AD,$ gọi $Ix\cap SD=J$ $\Rightarrow IJ\parallel BC$.
Vậy
thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $\left( IBC \right)$ là hình
thang $IBCJ.$
Câu 10. Cho
tứ diện $ABCD$. Gọi $K,\,L$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. $N$ là điểm thuộc đoạn $CD$ sao cho $CN=2ND$.
Gọi $P$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(KLN)$. Tính tỉ số $\dfrac{PA}{PD}$.
A. $\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{2}{3}$.
C. $\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{3}{2}$.
D. $\dfrac{PA}{PD}=2$.
Lời giải
Chọn D
Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $LN\cap
BD=I$.
Trong mặt phẳng $(ABD)$, gọi $KI\cap
AD=P$.
Suy ra $(KLN)\cap AD=P$.
Ba mặt phẳng $(ABC),(ACD),(KLNP)$
lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến $AC,PN,KL$ nên 3 giao tuyến này song song
hoặc đồng quy, mà $KL \parallel AC$ nên 3 giao tuyến này song song.
Suy ra: $\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{NC}{ND}=2$.
Câu 11. Cho
tứ diện $ABCD$, $M$ là điểm thuộc $BC$ sao cho $MC=2MB$. Gọi $N$, $P$ lần lượt
là trung điểm của $BD$ và $AD$. Điểm $Q$ là giao điểm của $AC$ với $\left( MNP
\right)$. Tính $\dfrac{QC}{QA}$.
A. $\dfrac{QC}{QA}=\dfrac{3}{2}$.
B. $\dfrac{QC}{QA}=\dfrac{5}{2}$.
C. $\dfrac{QC}{QA}=2$.
D. $\dfrac{QC}{QA}=\dfrac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn C
Hai mặt phẳng $\left( ABC
\right)$ và $\left( MNP \right)$ có điểm $M$ chung và có $NP \parallel AB$ nên
giao tuyến của $\left( ABC \right)$ và $\left( MNP \right)$ là đường thẳng $MQ
\parallel AB$ $\left( Q\in AC \right)$. Khi đó $\dfrac{QC}{QA}=\dfrac{MC}{MB}=2$.
Câu 12. Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$
là hình thang với đáy lớn ${AB}$ đáy nhỏ ${CD.}$ Gọi $N,M$ lần lượt là trung
điểm của ${SA}$ và ${SB.}$ Gọi ${P}$ là giao điểm của ${SC}$ và $\left( AMD
\right).$ Gọi ${I}$ là giao điểm của $AM$ và ${DP.}$ Hỏi tứ giác ${SABI}$ là
hình gì?
A. Hình bình hành.
B. Hình chữ nhật.
C. Hình vuông.
D. Hình thoi.
Lời giải
Chọn
A
Gọi $E=AD\cap BC,\text{
}P=ME\cap SC$. Suy ra $P=SC\cap \left( AMD \right)$.
Ta có:
${S}$ là điểm chung thứ nhất của
hai mặt phẳng ${\left( SAB \right)}$ và ${\left( SCD \right)}$;
$I=DP\cap AM\Rightarrow I$ là điểm
chung thứ hai của hai mặt phẳng ${\left( SAB \right)}$ và ${\left( SCD
\right).}$
Suy ra ${SI=\left( SAB \right)\cap
\left( SCD \right)}$. Mà $AB\parallel CD\Rightarrow SI\parallel AB\parallel
CD.$
Vì ${MN}$ là đường trung bình của
tam giác ${SAB}$ và cũng là đường trung bình của tam giác ${SAI}$ nên suy ra ${SI=AB}$.
Vậy ${SABI}$ là hình bình hành.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu 1. Cho hình chóp ${S . A B C D}$ có
đáy là hình bình hành. Điểm ${M}$ thuộc cạnh ${S A}$, điểm ${E}$ và ${F}$ lần
lượt là trung điểm của ${A B}$ và ${B C}$.
a) $EF \parallel AC$.
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng ${(S
A B)}$ và ${(S C D)}$ là đường thẳng qua ${S}$ và song song với $AC$.
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng ${(M
B C)}$ và ${(S A D)}$ đường thẳng qua ${M}$ và song song với $BC$.
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng ${(M
E F)}$ và ${(S A C)}$ là đường thẳng qua ${M}$và song song với $AC$.
Lời
giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
a) $EF$ là đường trung bình tam giác $ABC$
nên $EF \parallel AC$.
b) Ta có: ${\left\{\begin{array}{l}S
\in(S A B) \cap(S C D) \\ A B \subset(S A B) ; C D \subset(S C D) . \\ A B \parallel
C D\end{array}\right.}$
Suy ra ${S x=(S A B) \cap(S C
D)}$, với ${S x}$ là đường thẳng qua ${S}$ và ${S x \parallel A B \parallel C D}$.
c) Ta có: $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} M\in SA\subset (SAD) \\ M\in (MBC) \\\end{array}
\right.$ $\Rightarrow M\in (MBC)\cap (SAD)$.
Khi đó: ${\left\{\begin{array}{l}M
\in(M B C) \cap(S A D) \\ B C \subset(M B C) ; A D \subset(S A D) \text {. } \\
B C \parallel A D\end{array}\right.}$
Suy ra $My=(MBC)\cap (SAD)$ với ${M
y=(M B C) \cap(S A D), M y}$ là đường thẳng qua ${M}$ và ${M y \parallel B C \parallel A
D}$.
d) Ta có $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} M\in SA\subset (SAC) \\ M\in (MEF) \\\end{array}
\right.$ $\Rightarrow M\in (MEF)\cap (SAC)$.
Xét tam giác ${A B C}$, ta có ${E
F}$ là đường trung bình ${\Rightarrow E F \parallel A C}$.
Khi đó: ${\left\{\begin{array}{l}M
\in(M E F) \cap(S A C) \\ E F \subset(M E F) ; A C \subset(S A C) \text {. } \\
E F \parallel A C\end{array}\right.}$
Suy ra $Mt=(MEF)\cap (SAC)$ với ${M
t=(M E F) \cap(S A C), M t}$ là đường thẳng qua ${M}$ và ${M t \parallel E F \parallel A C}$.
Câu 2. Cho hình chóp ${S . A B C D}$,
có đáy ${A B C D}$ là một hình bình hành tâm ${O}$. Gọi ${I, K}$ lần lượt là
trung điểm của ${S B}$ và ${S D}$.
a) $SO$ là giao tuyến của ${(S A
C)}$ và ${(S B D)}$.
b) Giao điểm ${{J}}$ của ${S A}$
với ${(C K B)}$ thuộc đường thẳng đi qua $K$ và song song với $DC$.
c) Giao tuyến của ${(O I A)}$ và
${(S C D)}$ là đường thẳng đi qua $C$ và song song với $SD$.
d) $CD \parallel IJ$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
a) Ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
O\in AC\subset (SAC) \\ O\in BD\subset (SBD) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow
O\in (SAB)\cap (SCD)$;
$S\in (SAB)\cap (SCD)$.
Do đó $SO=(SAC)\cap (SBD).$
b) Ta có: $\left\{ \begin{align}
& AD \parallel CB \\ & AD\subset (SAD),BC\subset (SBC) \\ & K\in (KBC)\cap
(SAD) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow Kx=(KBC)\cap (SAD)$ với $Kx \parallel AD \parallel BC$.
Trong ${(S A D)}$ gọi ${J=K x
\cap S A}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} J\in SA \\ J\in
Kx\subset (BKC) \\\end{array} \right.$ $\Rightarrow J=SA\cap (BKC)$.
c) ${O I}$ là đường trung bình của
${\Delta {SBD} \Rightarrow {OI} \parallel {SD}}$.
Ta có: $\left\{ \begin{align} &
OI \parallel SD \\ & OI\subset (OIA),SD\subset (SCD) \\ & C\in (OIA)\cap (SCD) \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow Cy=(OIA)\cap (SCD)$ với $Cy \parallel SD \parallel OI$.
d) Ta có: ${I J \parallel A B}$ (${I
J}$ là đường trung bình của ${\Delta S A B}$) mà ${A B \parallel C D}$ (tứ giác ${A B
C D}$ là hình bình hành) ${\Rightarrow C D \parallel I J}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu 1. Cho
hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình thang với đáy $AB$ và $CD$. Gọi $I$
và $J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$.
Khi $AB=kCD$ thì thiết diện $\left( IJG \right)$ và hình chóp là một hình bình
hành. Tìm $k$.
Lời giải
Trả lời: $3$
Thiết diện là hình thang $MNJI$.
Do $G$ là trọng tâm của tam giác
$SAB$ và $MN\parallel AB$ nên $\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{SG}{SE}=\dfrac{2}{3}$ ($E$
là trung điểm của $AB$)
$\Rightarrow MN=\dfrac{2}{3}AB$.
Lại có $IJ=\dfrac{1}{2}\left(
AB+CD \right)$.
Để $MNJI$ là hình bình hành thì $MN=IJ$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}AB=\dfrac{1}{2}\left( AB+CD \right)\Leftrightarrow
AB=3CD$.
Câu 2. Cho hai hình vuông ${ABCD}$ và ${CDIS}$
không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng ${4.}$ Biết tam giác ${SAC}$ cân tại ${S,\text{
}SB=8.}$ Thiết diện của mặt phẳng ${\left( ACI \right)}$ và hình chóp ${S.ABCD}$
có diện tích bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng
phần chục)
Lời giải
Trả
lời: $11,3$
Gọi $O=SD\cap CI$, ${O=SD\cap
CI;\ N=AC\cap BD.}$
${\Rightarrow O,N}$ lần lượt là
trung điểm của $DS,DB$
${DS,DB\Rightarrow ON=\dfrac{1}{2}SB=4.}$
Thiết diện của ${mp\left( ACI
\right)}$ và hình chóp ${S.ABCD}$ là tam giác ${\Delta OCA.}$
Tam giác ${\Delta SAC}$ cân tại $S$
$\Rightarrow SC=SA$
${S\Rightarrow SC=SA\Rightarrow
\Delta SDC=\Delta SDA}$
${\Rightarrow CO=AO}$ (cùng là
đường trung tuyến của 2 đỉnh tương ứng)
${\Rightarrow \Delta OCA}$ cân tại
${O}$.
Khi đó ${{S}_{\Delta OCA}}=\dfrac{1}{2}ON.AC$
${\Rightarrow {{S}_{\Delta OCA}}=\dfrac{1}{2}ON.AC=\dfrac{1}{2}.4.4\sqrt{2}=8\sqrt{2}.}$
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy
là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$
và $G$ là trọng tâm tam giác $SBD$. Mặt phẳng $\left( MNG \right)$ cắt $SC$
tại điểm $H$. Tính tỉ số $\dfrac{SH}{SC}$.
Lời giải
Trả
lời: $0,4$
Trong
mặt phẳng $\left( ABCD \right)$, gọi $E=MN\cap AC$.
Trong
mặt phẳng $\left( SAC \right)$, gọi $H=EG\cap SC$.
Ta
có: $\left\{ \begin{align} & H\in EG\subset \left( MNG \right) \\ &
H\in SC \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow H=SC\cap \left( MNG \right)$.
Gọi
$I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $SG$ và $SH$.
Ta
có $\left\{ \begin{align} & IJ\ \parallel \ HG \\ & IA\ \parallel \ GE \\
\end{align} \right.$ $\Rightarrow A,I,J$ thẳng hàng.
Xét
$\Delta ACJ$ có $EH\ \parallel \ AJ$ $\Rightarrow \dfrac{CH}{HJ}=\dfrac{CE}{EA}=3$
$\Rightarrow CH=3HJ$.
Lại
có $SH=2HJ$ nên $SC=5HJ$.
Vậy
$\dfrac{SH}{SC}=\dfrac{2}{5}$.
Câu 4. Gọi ${G}$ là trọng
tâm tứ diện ${ABCD.}$ Gọi ${{A}'}$ là trọng tâm của tam giác ${BCD\,.}$ Tính tỉ
số ${\dfrac{GA}{G{A}'}.}$
Lời giải
Trả
lời: $3$
Gọi ${E}$ là trọng tâm của tam
giác ${ACD,\,\,\,M}$ là trung điểm của ${CD\,.}$
Nối ${BE}$ cắt ${A{A}'}$ tại ${G}$
suy ra ${G}$ là trọng tâm tứ diện.
Xét tam giác ${MAB,}$ có ${\dfrac{ME}{MA}=\dfrac{M{A}'}{MB}=\dfrac{1}{3}}$
suy ra ${{A}'E}$ $\parallel$ ${AB\,\,\Rightarrow \,\,\dfrac{{A}'E}{AB}=\dfrac{1}{3}\,.}$
Khi đó, theo định lí Ta-let suy
ra $\dfrac{{A}'E}{AB}=\dfrac{{A}'G}{AG}=\dfrac{1}{3}$ ${\dfrac{{A}'E}{AB}=\dfrac{{A}'G}{AG}=\dfrac{1}{3}\,\,\Rightarrow
\,\,\dfrac{GA}{G{A}'}=3\,.}$
