BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
2.
Phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai
- Bình phương hai vế để đưa về phương trình
hệ quả không chứa căn. Tìm nghiệm phương trình hệ quả rồi thử nghiệm lại.
- Đặt điều kiện (*) để hai vế không âm sau
đó bình phương để mất căn. Giải phương trình hệ quả rồi thử lại điều kiện (*).
a) Phương trình dạng $\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}=\sqrt{d{{x}^{2}}+ex+f}$
Để giải phương trình $\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}=\sqrt{d{{x}^{2}}+ex+f}$,
ta làm như sau:
Bước
1: Bình phương
hai vế của phương trình để được phương trình ${a x^{2}+b x+c=d x^{2}+e x+f}$.
Bước
2: Giải phương
trình nhận được ở Bước 1.
Bước
3: Thử lại xem
các giá trị ${x}$ tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không
và kết luận nghiệm.
b)
Phương trình dạng $\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}=dx+e$
Để giải
phương trình ${\sqrt{a x^{2}+b x+c}=d x+e}$, ta làm như sau:
Bước
1: Bình phương
hai vế của phương trình để được phương trình ${a x^{2}+b x+c=(d x+e)^{2}}$.
Bước
2: Giải phương
trình nhận được ở Bước 1.
Bước
3: Thử lại xem
các giá trị ${x}$ tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không
và kết luận nghiệm.
Hoặc áp
dụng công thức sau:
$\sqrt{A}=B\Leftrightarrow \left\{
\begin{align}& B\ge 0 \\& A={{B}^{2}} \\ \end{align} \right.$
$\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow \left\{
\begin{align}& A\ge 0\,\,(\text{hay}\,\,B\ge 0) \\& A=B \\ \end{align}
\right.$
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Giải
phương trình ${\sqrt{2 x^{2}-6 x-8}=\sqrt{x^{2}-5 x-2}}$.
Giải
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
$2{{x}^{2}}-6x-8={{x}^{2}}-5x-2$$\Rightarrow
{{x}^{2}}-x-6=0$$\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=-2 \\& x=3 \\ \end{align}
\right.\text{ }$
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta
thấy chỉ có ${x=-2}$ thoả mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ${x=-2}$.
Câu 2. Giải
phương trình ${\sqrt{3 x^{2}+5 x-13}=x+1}$.
Giải
Binh phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
$3{{x}^{2}}+5x-13={{(x+1)}^{2}}$$\Rightarrow
3{{x}^{2}}+5x-13={{x}^{2}}+2x+1$$\Rightarrow 2{{x}^{2}}+3x-14=0$$\Rightarrow
\left[ \begin{align}& x=-\dfrac{7}{2} \\& x=2 \\ \end{align} \right.$
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta
thấy chỉ có ${x=2}$ thoả mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là ${x=2}$.
Câu 3. Giải các phương trình sau
a) ${{x}^{2}}+\sqrt{{{x}^{2}}+11}=31$.
b) $\left(
x+5 \right)\left( 2-x \right)=3\sqrt{{{x}^{2}}+3x}$.
Lời
giải
a) Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+11},\,\,t\ge
0$ thì phương trình có dạng
${{t}^{2}}+t-42=0\Leftrightarrow
\left[ \begin{align}& t=-7\,\,\,\,(l) \\& t=6\,\,\,\,\,\,\,(n) \\ \end{align}
\right.$
Với $t=6$ ta có $\sqrt{{{x}^{2}}+11}=6\Leftrightarrow
{{x}^{2}}+11=36\Leftrightarrow x=\pm 5$.
Vậy phương trình đã cho
có nghiệm là $x=\pm 5$.
b) Phương trình tương đương với ${{x}^{2}}+3x+3\sqrt{{{x}^{2}}+3x}-10=0$.
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+3x},\,\,\,t\ge
0$ thì phương trình có dạng
${{t}^{2}}+3t-10=0\Leftrightarrow
\left[ \begin{align}& t=-5\,\,\,\left( l \right) \\&
t=2\,\,\,\,\,\left( n \right) \\ \end{align} \right.$
Với $t=2$ ta có $\sqrt{{{x}^{2}}+3x}=2\Leftrightarrow
{{x}^{2}}+3x-4=0\Leftrightarrow x=-4$ hoặc $x=1$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
là $x=1,\,x=-4$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Tập nghiệm $S$ của phương trình $\sqrt{2x-3}=x-3$ là
A. $S=\varnothing $.
B. $S=\left\{ 2 \right\}$.
C. $S=\left\{ 6;2 \right\}$.
D. $S=\left\{ 6 \right\}$.
Lời
giải
Chọn D
$\sqrt{2x-3}=x-3$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align}& x-3>0 \\& 2x-3={{\left( x-3 \right)}^{2}} \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x>3 \\&
2x-3={{x}^{2}}-6x+9 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{
\begin{align}& x>3 \\& {{x}^{2}}-8x+12=0 \\ \end{align} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 3 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 6 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 6.$
Câu
2. Số nghiệm của
phương trình $\sqrt{3x-2}=x$ là
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $0$.
Lời
giải
Chọn A
Ta có $\sqrt{3x-2}=x$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align}& x\ge 0 \\& 3x-2={{x}^{2}} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align}& x\ge 0 \\& {{x}^{2}}-3x+2=0 \\ \end{align} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant 0 \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy phương trình đã cho
có $2$ nghiệm.
Câu 3. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{x-2}\left(
{{x}^{2}}-3x+2 \right)=0$ là
A. $S=\varnothing .$
B. $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 1
}\!\!\}\!\!\text{ }\text{.}$
C. $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 2
}\!\!\}\!\!\text{ }\text{.}$
D. $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{
1;2 }\!\!\}\!\!\text{ }\text{.}$
Lời
giải
Chọn C
Ta có $\sqrt{x-2}\left(
{{x}^{2}}-3x+2 \right)=0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x - 2 \geqslant 0 \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
\sqrt {x - 2} = 0 \hfill \\
{x^2} - 3x + 2 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant 2 \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 2$.
Vậy tập nghiệm của phương trình
là $S=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 2 }\!\!\}\!\!\text{ }\text{.}$
Câu
4. Số nghiệm của
phương trình $\left( x-2 \right)\sqrt{2x+7}={{x}^{2}}-4$ bằng:
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $0$.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: $2x+7\ge 0\Leftrightarrow
x\ge -\dfrac{7}{2}$.
$\left( x-2
\right)\sqrt{2x+7}={{x}^{2}}-4$$\Leftrightarrow \left( x-2
\right)\sqrt{2x+7}=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$
$\Leftrightarrow \left( x-2
\right)\left[ \sqrt{2x+7}-\left( x+2 \right) \right]=0$ $\Leftrightarrow \left[
\begin{align}& x-2=0 \\& \sqrt{2x+7}=x+2 \\ \end{align} \right.$.
$x-2=0\Leftrightarrow x=2$ ( thỏa
mãn ).
$\sqrt{2x+7}=x+2$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x+2\ge 0 \\& 2x+7={{\left( x+2 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge -2 \\& {{x}^{2}}+2x-3=0 \\ \end{align} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant - 2 \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
x = 1 \hfill \\
x = - 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm $\left[
\begin{align}& x=2 \\& x=1 \\ \end{align} \right.$.
Câu
5. Tập nghiệm của
phương trình $\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}+5=2x$ là
A. $S=\left\{ 2;\dfrac{14}{5}
\right\}.$
B. $S=\left\{ 2;4 \right\}.$
C. $S=\left\{ \dfrac{14}{5}
\right\}.$
D. $S=\left\{ 2 \right\}$.
Lời
giải
Chọn C
$\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}+5=2x$$\Leftrightarrow
\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}=2x-5$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} &
2x-5\ge 0 \\& -{{x}^{2}}+4x-3={{\left( 2x-5 \right)}^{2}} \\ \end{align}
\right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge \dfrac{5}{2} \\&
5{{x}^{2}}-24x+28=0 \\ \end{align} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant \frac{5}{2} \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = \frac{{14}}{5} \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow x = \frac{{14}}{5}$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho phương
trình $\sqrt{2{{x}^{2}}+x+3}=-x-5\,\,\left( * \right)$.
a) Bình phương 2 vế của phương trình
ta được ${{x}^{2}}-9x-22=0$.
b) Phương trình $\sqrt{2{{x}^{2}}+x+3}=-x-5$
và phương trình ${{x}^{2}}-9x-22=0$ có chung tập nghiệm.
c) $x=11;x=-2$ là nghiệm của phương
trình (*).
d) Tập nghiệm của phương trình (*) là
$S=\varnothing $.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Sai
d)
Đúng
$\sqrt{2{{x}^{2}}+x+3}+x+5=0$$\Leftrightarrow
\sqrt{2{{x}^{2}}+x+3}=-x-5$.
Bình phương hai vế của phương trình, ta được:
$2{{x}^{2}}+x+3={{x}^{2}}+10x+25$$\Rightarrow
{{x}^{2}}-9x-22=0$$\Rightarrow x=11$ hoặc $x=-2$
Thay lần lượt $x=11;x=-2$ vào phương trình đã cho, ta thấy
hai giá trị này đều không thỏa mãn. Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\varnothing $.
Câu
2. Cho phương
trình $\sqrt{{{x}^{2}}-4x-5}=\sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1}$ (*).
a) Bình phương hai vế của phương
trình (*), ta được ${{x}^{2}}-7x+6=0$.
b) $x=-1$ là nghiệm của phương trình
(*).
c) Tổng các nghiệm của phương trình
(*) bằng $-1$.
d) Phương trình (*) có 1 nghiệm phân
biệt.
Lời giải
a)
Sai
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Sai
$\sqrt{{{x}^{2}}-4x-5}-\sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1}=0$$\Leftrightarrow
\sqrt{{{x}^{2}}-4x-5}=\sqrt{2{{x}^{2}}+3x+1}$.
Bình phương hai vế của phương trình, ta được: ${{x}^{2}}-4x-5=2{{x}^{2}}+3x+1$$\Rightarrow
{{x}^{2}}+7x+6=0$${x^2-4 x-5=2 x^2+3 x+1 \Rightarrow x^2+7 x+6=0 \Rightarrow
x=-1}$ hoặc ${x=-6}$.
Thay lần lượt ${x=-1 ; x=-6}$ vào phương trình đã cho, ta thấy
hai giá trị này đều thoả mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ${S=\{-1 ;-6\}}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho tam giác
${A B C}$ vuông tại ${A}$ có ${B C=6 {~cm}}$. Điểm ${D}$ nằm trên tia ${A B}$
sao cho ${D B=3 {~cm}, D C=8 {~cm}}$ (xem hình vẽ). Đặt ${A C=x}$. Tính diện
tích tam giác ${B C D}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời: $7,65$
Lời giải
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ${A B C}$ vuông tại ${A}$,
ta được: ${A C^2+A B^2=B C^2}$.
Suy ra $AB=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}$${A B=\sqrt{B C^2-A
C^2}=\sqrt{6^2-x^2}=\sqrt{36-x^2}({~cm})}$.
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ${A C D}$ vuông tại ${A}$,
ta được: ${A C^2+A D^2=C D^2}$.
Suy ra $AD=\sqrt{C{{D}^{2}}-A{{C}^{2}}}$${A D=\sqrt{C D^2-A
C^2}=\sqrt{8^2-x^2}=\sqrt{64-x^2}({~cm})}$.
Mà ${A B+B D=A D}$ nên ${\sqrt{36-x^2}+3=\sqrt{64-x^2}}$
(1).
Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:
$36-{{x}^{2}}+6\sqrt{36-{{x}^{2}}}+9=64-{{x}^{2}}$$\Rightarrow
\sqrt{36-{{x}^{2}}}=\dfrac{19}{6}$${36-x^2+6 \sqrt{36-x^2}+9=64-x^2 \Rightarrow
\sqrt{36-x^2}=\dfrac{19}{6} \Rightarrow x^2=\dfrac{935}{36} \Rightarrow x
\approx 5,1 .}$
Diện tích của tam giác ${B C D}$ là: $\dfrac{1}{2}.5,1.3=7,65\left(
~c{{m}^{2}} \right)$.
Câu
2. Một chú thỏ
ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí ${A}$, cách cửa hang của mình tại vị trí ${B}$
là ${370 {~m}}$ để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí ${C}$ cách vị trí ${A
120 {~m}}$ $120~m$ để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước
ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí ${C}$ như mọi ngày mà chạy đến vị trí ${D}$
để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời
gian chú thỏ chạy từ vị trí ${A}$ đến vị trí ${D}$ rồi về hang là 30 giây
(không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn ${A D}$ chú thỏ chạy với vận tốc là ${13
{~m} / {s}}$, trên đoạn ${B D}$ chú thỏ chạy với vận tốc là ${15 {~m} / {s}}$.
Tính khoảng cách giữa hai vị trí ${C}$ và ${D}$.
Trả lời: $50$
Lời giải
Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn ${A D}$ là ${x(0<x<30)}$
(giây), khi đó thời gian chú thỏ chạy trên đoạn ${B D}$ là ${30-x}$ (giây). Do
đó, quãng đường ${A D}$ và ${B D}$ lần lượt là $13x\,(~m)$ và $15(30-x)\,(m)$.
Độ dài quãng đường ${B C}$ là: $\sqrt{{{370}^{2}}-{{120}^{2}}}=350\,(~m)$.
Tam giác ${A C D}$ vuông tại ${C}$ nên ${C D=\sqrt{(13
x)^2-120^2}({~m})}$.
Mặt khác, $CD=BC-BD=350-15(30-x)\,(m)$.
Do đó, ta có: ${\sqrt{(13 x)^2-120^2}=350-15(30-x)}$.
Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện ${0<x<30}$,
ta nhận ${x=10}$ (giây).
Vậy khoảng cách giữa vị trí ${C}$ và vị trí ${D}$ là: $350-15.(30-10)=50\,(~m)$.
Câu
3. Một ngọn hải
đăng đặt tại vị trí ${A}$ cách bờ biển một khoảng cách ${A B=6 {~km}}$. Trên bờ
biển có một cái kho ở vị trí ${C}$ cách ${B}$ một khoảng là ${15 {~km}}$. Để nhận
lương thực và các nhu yếu phẩm mỗi tháng người canh hải đăng phải đi xuống máy
từ ${A}$ đến bến tàu ${M}$ trên bờ biển với vận tốc ${10 {~km} / {h}}$ rồi đi
xe gắn máy đến ${C}$ với vận tốc ${30 {~km} / {h}}$ (xem hình vẽ).
Tính tổng quãng đường người đó phải đi biết rằng thời gian
đi từ ${A}$ đến ${C}$ là 1h14 phút.
Trả lời: $17$
Lời giải
Ta có ${1 {~h} 14}$ phút ${=\dfrac{37}{30}({~h})}$. Gọi $AM=x(~km)$
$(x>6)$. Suy ra thời gian đi từ ${A}$ đến ${M}$ là ${\dfrac{x}{10}({~h})}$.
Khi đó ${B M=\sqrt{x^2-36}}$ và ${C M=15-\sqrt{x^2-36}}$.
Thời gian đi từ ${M}$ đến ${C}$ là ${\dfrac{15-\sqrt{x^2-36}}{30}}$.
Theo giả thiết ta có phương trình: ${\dfrac{x}{10}+\dfrac{15-\sqrt{x^2-36}}{30}=\dfrac{37}{30}}$.
Giải phương trình ta được ${x=10({~km})}$
Do đó tổng quãng đường phải đi là $AM+MC$$=10+\left(
15-\sqrt{{{10}^{2}}-36} \right)=17\,(~km)$.
