BÀI 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
1.
Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ
Trục
toạ độ
Trục
tọa độ (gọi
tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O
(gọi là điểm gốc) và một vectơ $\overrightarrow{e}$ có độ dài bằng
1 gọi là vectơ đơn vị của trục.
Ta kí hiệu
trục đó là $\left( O;\overrightarrow{e} \right)$.
Hệ trục
tọa độ
Hệ
trục toạ độ
$\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ gồm hai trục $\left(
O;\overrightarrow{i} \right)$ và $\left( O;\overrightarrow{j} \right)$ vuông
góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.
Trục $\left( O;\overrightarrow{i} \right)$ được gọi là trục hoành
và kí hiệu là $Ox$, trục $\left( O;\overrightarrow{j} \right)$ được gọi là trục
tung và kí hiệu là $Oy$. Các vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{j}$
là các vectơ đơn vị trên $Ox$ và $Oy$. Hệ trục toạ độ $\left(
O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)$ còn được kí hiệu là $Oxy$.
Chú
ý: Mặt phẳng mà
trên đó đã cho một hệ trục toạ độ $Oxy$ được gọi là mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hay
gọi tắt là mặt phẳng $Oxy$.
Tọa độ
của một vectơ
Trong mặt
phẳng $Oxy$, cặp số $\left( x;y \right)$ trong biểu diễn $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$
được gọi là toạ độ của vectơ $\overrightarrow{a}$, kí hiệu $\overrightarrow{a}=\left(
x;y \right)$, $x$ gọi là hoành độ, $y$ gọi là tung độ
của vectơ $\overrightarrow{a}$.
Chú
ý:
+ $\overrightarrow{a}=\left(
x;y \right)\Leftrightarrow
\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$.
+ Nếu
cho $\overrightarrow{a}=\left( x;y \right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(
{x}';{y}' \right)$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & x={x}' \\ & y={y}' \\ \end{align} \right.$.
Tọa độ
của một điểm
Trong mặt
phẳng toạ độ, cho một điểm $M$ tuỳ ý.
Toạ độ của
vectơ $\overrightarrow{OM}$ được gọi là tọa độ của điểm $M$.
Nhận
xét:
+ Nếu $\overrightarrow{OM}=\left(
x;y \right)$ thì cặp số $\left( x;y \right)$ là toạ độ của điểm $M$, kí hiệu $M\left(
x;y \right)$, $x$ gọi là hoành độ, $y$ gọi là tung độ
của điểm $M$.
+ $M\left(
x;y \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\,\vec{i}+y\overrightarrow{j}$.
Chú
ý: Hoành độ của
điểm $M$ còn được kí hiệu là ${{x}_{M}}$, tung độ của điểm $M$ còn được kí hiệu
là ${{y}_{M}}$. Khi đó ta viết $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$.
2. Biểu
thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}}
\right)$, $\overrightarrow{b}=\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}} \right)$ và số thực k. Khi đó:
1) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}};{{a}_{2}}+{{b}_{2}}
\right)$
2) $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(
{{a}_{1}}-{{b}_{1}};{{a}_{2}}-{{b}_{2}} \right)$
3) $k\overrightarrow{a}=\left( k{{a}_{1}};k{{a}_{2}}
\right)$
4) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}$
3. Áp
dụng của tọa độ vectơ
Cho 2 điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),\text{
}B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$. Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(
{{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)$.
Tọa độ trung
điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Cho 2 điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),\text{
}B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$. Tọa độ trung điểm $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ của
đoạn thẳng $AB$ là:
${{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2},\,\,{{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}$.
Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}}
\right),\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right),\,\,C\left(
{{x}_{C}};{{y}_{C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G\left( {{x}_{G}};{{y}_{G}}
\right)$ của tam giác $ABC$ là:
${{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}$, ${{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{2}$.
Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho 2 vectơ $\overrightarrow{a}=\left(
{{a}_{1}};{{a}_{2}} \right)$, $\overrightarrow{b}=\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}}
\right)$ và 2
điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right),\text{ }B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}}
\right)$. Ta có:
$\overrightarrow{a}\bot
\overrightarrow{b}\Leftrightarrow
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow
{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}=0$;
$\overrightarrow{a}$
và $\overrightarrow{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow
{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}=0$;
$\left|
\overrightarrow{a} \right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$;
$AB=\sqrt{{{\left(
{{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$;
$\cos
\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|
\overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}=\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}$
($\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$).
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng ${O x y}$, cho
ba điểm ${A, B, C}$ được biểu diễn như Hình.
a) Hãy biểu thị các vectơ ${\overrightarrow{O A},
\overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}}$ qua hai vectơ ${\vec{i}}$ và ${\vec{j}}$.
b) Tìm tọa độ của các vectơ ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ và
các điểm ${A, B, C}$.
Giải
a) Ta có: ${\overrightarrow{O A}=\vec{i}+3 \vec{j},
\overrightarrow{O B}=3 \vec{i}+0 \vec{j}, \overrightarrow{O C}=-2
\vec{i}-\vec{j}}$.
b) Từ kết quả trên, suy ra: $\vec{a}=\overrightarrow{OA}=(1;3),$$\vec{b}=\overrightarrow{OB}=(3;0),$${\vec{a}=\overrightarrow{O
A}=(1 ; 3), \vec{b}=\overrightarrow{O B}=(3 ; 0), \vec{c}=\overrightarrow{O
C}=(-2 ;-1)}$.
Do đó ${A(1 ; 3), B(3 ; 0), C(-2 ;-1)}$.
Ví dụ 2. Cho hai vectơ ${\vec{a}=(1 ; 5),
\vec{b}=(4 ;-2)}$.
a) Tìm tọa độ của các vectơ ${\vec{a}+\vec{b},
\vec{a}-\vec{b}, 3 \vec{a},-5 \vec{b}}$.
b) Tính các tích vô hướng $\vec{a}.\vec{b},(3\vec{a}).(-\vec{b})$.
Giải
a) Ta có:
$\vec{a}+\vec{b}=(1+4;5+(-2))=(5;3);$$\vec{a}-\vec{b}=(1-4;5-(-2))=(-3;7);$$3\vec{a}=(3.1;3.5)=(3;15);$$-5\vec{b}=(-5\cdot
4;-5.(-2))=(-20;10)$.${}$
b) Ta có: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 4+5\cdot
(-2)=4-10=-63;$$\vec{a}=(3;15)\text{ ;}-\vec{b}=(-4;2)$.
Suy ra $(3\vec{a})\cdot (-\vec{b})=3\cdot (-4)+15\cdot
2$$=-12+30=18$.
Ví dụ 3. Cho ${M(1 ; 2), N(-3 ; 4), P(5 ;
0)}$. Tìm toạ độ của các vectơ ${\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{P M},
\overrightarrow{N P}}$.
Giải
Ta có:
$\overrightarrow{MN}=\left(
{{x}_{N}}-{{x}_{M}};{{y}_{N}}-{{y}_{M}} \right)$$=(-3-1;4-2)=(-4;2)$;
$\overrightarrow{PM}=\left(
{{x}_{M}}-{{x}_{P}};{{y}_{M}}-{{y}_{P}} \right)$$=(1-5;2-0)=(-4;2)$;
$\overrightarrow{NP}=\left( {{x}_{P}}-{{x}_{N}};{{y}_{P}}-{{y}_{N}}
\right)$$=(5+3;0-4)=(8;-4)$.
Ví dụ 4. Cho tam giác ${M N P}$ có toạ độ
các đỉnh là ${M(2 ; 2), N(6 ; 3)}$ và ${P(5 ; 5)}$.
a) Tìm toạ độ trung điểm ${E}$ của cạnh ${M N}$.
b) Tìm toạ độ trọng tâm ${G}$ của tam giác ${M N P}$.
Giải
a) Ta có: ${{x}_{E}}=\dfrac{{{x}_{M}}+{{x}_{N}}}{2}=\dfrac{2+6}{2}=4,$${x_{E}=\dfrac{x_{M}+x_{N}}{2}=\dfrac{2+6}{2}=4,
y_{B}=\dfrac{y_{M}+y_{N}}{2}=\dfrac{2+3}{2}=\dfrac{5}{2}}$. Vậy ${E\left(4 ; \dfrac{5}{2}\right)}$.
b) Ta có: ${{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{M}}+{{x}_{N}}+{{x}_{P}}}{3}=\dfrac{2+6+5}{3}=\dfrac{13}{3},$${x_{G}=\dfrac{x_{M}+x_{N}+x_{P}}{3}=\dfrac{2+6+5}{3}=\dfrac{13}{3},
y_{G}=\dfrac{y_{M}+y_{N}+y_{P}}{3}=\dfrac{2+3+5}{3}=\dfrac{10}{3}}$.
Vậy ${G\left(\dfrac{13}{3} ; \dfrac{10}{3}\right)}$.
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng ${O x y}$, cho
tam giác ${A B C}$ có toạ độ các đỉnh là ${A(1 ; 1), B(5 ; 2)}$ và ${C(4 ; 4)}$.
a) Tìm toạ độ điểm ${H}$ là chân đường cao của tam giác ${A
B C}$ kẻ từ ${A}$.
b) Giải tam giác ${A B C}$.
Giải
a) Xét điểm ${H(x ; y)}$, ta có: ${\overrightarrow{A H}=(x-1
; y-1), \overrightarrow{B H}=(x-5 ; y-2), \overrightarrow{B C}=(-1 ; 2)}$.
${H(x ; y)}$ là chân đường cao của tam giác ${A B C}$ kẻ từ ${A}$,
nên ta có:
- $\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{BC}$$\Leftrightarrow
(x-1)\cdot (-1)+(y-1)\cdot 2=0$${\overrightarrow{A H} \perp \overrightarrow{B
C} \Leftrightarrow(x-1) \cdot(-1)+(y-1) \cdot 2=0 \Leftrightarrow-x+2 y-1=0}$
(1)
- Hai vectơ ${\overrightarrow{B H}, \overrightarrow{B C}}$ cùng
phương $\Leftrightarrow (x-5).2-(y-2)\cdot (-1)=0$${\Leftrightarrow(x-5)
.2-(y-2) \cdot(-1)=0 \Leftrightarrow 2 x+y-12=0}$ (2)
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình:
$\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} -x+2y-1=0 \\
2x+y-12=0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\dfrac{23}{5} \\
y=\dfrac{14}{5}. \\\end{array}
\right. \right.$${}$
Vậy ${H\left(\dfrac{23}{5} ; \dfrac{14}{5}\right)}$.
b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(4;1),\overrightarrow{BC}=(-1;2),$${\overrightarrow{A
B}=(4 ; 1), \overrightarrow{B C}=(-1 ; 2), \overrightarrow{A C}=(3 ; 3)}$.
Suy ra: $AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{{4}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{17},$${A
B=|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{4^{2}+1^{2}}=\sqrt{17}, B C=|\overrightarrow{B
C}|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}}$, $AC=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{3}^{2}}}=3\sqrt{2}$.
$\cos A=\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$$=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot
\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}$$=\dfrac{4\cdot 3+1\cdot 3}{\sqrt{17}\cdot
3\sqrt{2}}\approx 0,857$$\Rightarrow \widehat{A}\approx 30{}^\circ 57'.$
$\cos B=\cos (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$$=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot
\overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC}$$=\dfrac{(-4)\cdot (-1)+(-1)\cdot
2}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{5}}\approx 0,217$$\Rightarrow \widehat{B}\approx
77{}^\circ 28'.$
$\widehat{C}=180{}^\circ -\widehat{A}-\widehat{B}$$\approx
180{}^\circ -30{}^\circ 57'-77{}^\circ 28'$$=71{}^\circ 35'.$
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Viết tọa độ
của các vectơ sau: $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j};\,\overrightarrow{b}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j};$$\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{i};\,\overrightarrow{d}=-2\overrightarrow{j}$.
Lời
giải
Ta
có $\overrightarrow{a}=\left( 2;3 \right);\,\overrightarrow{b}=\left( \dfrac{1}{3};-5
\right);\overrightarrow{c}=\left( 3;0 \right);\overrightarrow{d}=\left( 0;-2
\right)$.
Câu
2. Viết dưới dạng
$\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ khi biết tọa độ của
vectơ $\overrightarrow{u}$ là: $\overrightarrow{u}=\,\left( 2;\,-3
\right);\overrightarrow{u}=\,\left( -1;\,4
\right);$$\overrightarrow{u}=\,\left( 2;\,0 \right);\overrightarrow{u}=\,\left(
0;\,-1 \right).$
Lời
giải
Ta có: $\overrightarrow{u}=\left( 2;-3 \right)\Rightarrow
\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j};$$\,\overrightarrow{u}=\left(
-1;4 \right)\Rightarrow
\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j};$$\overrightarrow{u}=\left(
2;0 \right)\Rightarrow
\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}\,;$$\,\overrightarrow{u}=\left(
0;-1 \right)\Rightarrow
\overrightarrow{u}=0\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$.
Câu
3. Cho $\overrightarrow{a}=\,\left(
1;\,-2 \right),\,\overrightarrow{b}=\,\left( 0;\,3 \right)$, tìm tọa độ của các vectơ sau: $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,\,;\,\,\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\,\,;\,\,\overrightarrow{z}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}.$
Lời
giải
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(
1+0;-2+3 \right)=\left( 1;1
\right),$$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$=\left(
1-0;-2-3 \right)=\left( 1;-5 \right),$
$\overrightarrow{z}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$$=\left(
3.1+3.0;2.\left( -2 \right)-3.3 \right)=\left( 2;-13 \right).$
Câu
4. Cho $\overrightarrow{a}=\,\left(
2;\,0 \right);\,\,\,\overrightarrow{b}=\,\left( -1;\,\dfrac{1}{2}
\right);\,\,\overrightarrow{c}=\,\left( 4;\,-6 \right)$.
a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\,\overrightarrow{c}.$
b) Tìm 2 số m, n sao cho $m\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-n\,\overrightarrow{c}\,=\,\overrightarrow{0}.$
c) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{c}$
theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}.$
Lời
giải
a) $\overrightarrow{d}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}$$=\left(
2.2-3.\left( -1 \right)+5.4;\,2.0-3.\dfrac{1}{2}+5.\left( 6 \right)
\right)$$=\left( 27;-\dfrac{63}{2} \right)$
b) Ta có: $m\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow
m.2\overrightarrow{i}+\left( -\overrightarrow{i}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{j}
\right)-n\left( 4\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}
\right)=\overrightarrow{0}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
2m - 1 - 4n = 0 \hfill \\
\frac{1}{2} + 6n = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m = \frac{1}{3} \hfill \\
n = - \frac{1}{{12}} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
c) Giả sử: $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}\,\,\left(
x;y\in \,\mathbb{R} \right)$ ta có: $\left\{ \begin{gathered}
4 = x.2 + y\left( { - 1} \right) \hfill \\
- 6 = x.0 + y.\frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = 8 \hfill \\
y = - 12 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $\overrightarrow{c}=8\overrightarrow{a}-12\overrightarrow{b}$.
Câu 5. Tính góc giữa hai véc-tơ và $\overrightarrow{a}$
và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau:
a) $\overrightarrow{a}=\left(
1;-2 \right)$, $\overrightarrow{b}=\left( -2;-6 \right)$.
b) $\overrightarrow{a}=\left(
-3;4 \right)$, $\overrightarrow{b}=\left( 4;3 \right)$.
c) $\overrightarrow{a}=\left(
2;5 \right)$, $\overrightarrow{b}=\left( 3;-7 \right)$.
Lời
giải
a) Ta có $\cos \left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|
\overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}$$=\dfrac{1.\left(
-2 \right)+\left( -2 \right).\left( -6 \right)}{\sqrt{1+4}.\sqrt{4+36}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Vậy
$\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=45{}^\circ $.
b)
Ta có $\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|
\overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}$$=\dfrac{\left(
-3 \right).4+4.3}{\sqrt{9+16}.\sqrt{16+9}}=\dfrac{0}{25}=0$.
Vậy
$\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=90{}^\circ $.
c)
Ta có $\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|
\overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}$$=\dfrac{2.3+5.\left(
-7 \right)}{\sqrt{4+25}.\sqrt{9+49}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Vậy
$\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=135{}^\circ $.
Câu
6. Cho ba điểm $A\left(
1;\,-2 \right)$,$B\left( 0;\,4 \right)$,$C\left( 3;\,2 \right)$.
a) Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$.
b) Tìm tọa độ trung điểm $I$ của
đoạn thẳng $AB.$
c) Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.
d) Tìm tọa độ điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{BN}-4\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}$.
Lời giải
a) $\overrightarrow{AB}=\left(
-1;\,6 \right)$,$\overrightarrow{AC}=\left( 2;\,4 \right)$,$\overrightarrow{BC}=\left(
3;\,-2 \right)$.
b) $I$
là trung điểm của $AB$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{I}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\dfrac{1}{2}
\\ & {{y}_{I}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=1
\\ \end{align} \right.$$\Rightarrow I\left( \dfrac{1}{2};\,1 \right)$.
c)
Ta có: $\overrightarrow{CM}=\left( {{x}_{M}}-3;{{y}_{M}}-2 \right)$, $2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=2\left(
-1;\,6 \right)-3\left( 2;\,4 \right)$$=\left( -8;\,0 \right)$
$\Rightarrow
\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} &
{{x}_{M}}-3=-8 \\ & {{y}_{M}}-2=0 \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{M}}=-5 \\ & {{y}_{M}}=2 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow
M\left( -5;\,2 \right)$.
d) $\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{BN}-4\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow
\left( {{x}_{N}}-1;\,{{y}_{N}}+2 \right)+2\left( {{x}_{N}};{{y}_{N}}-4 \right)$$-4\left(
{{x}_{N}}-3;\,{{y}_{N}}-2 \right)=\left( 0;\,0 \right)$
$\Leftrightarrow
\left( -{{x}_{N}}+11;\,-{{y}_{N}}+2 \right)=\left( 0;\,0 \right)$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & {{x}_{N}}=11
\\ & {{y}_{N}}=2 \\ \end{align}
\right.$$\Rightarrow N\left( 11;\,2 \right)$.
Câu
7. Cho ba điểm $A\left(
1;\,-2 \right)$, $B\left( 2;\,3 \right)$, $C\left( -1;\,-2 \right)$.
a) Tìm tọa độ điểm $D$
đối xứng với $A$ qua $C$.
b) Tìm tọa độ điểm $E$
là đỉnh thứ tư của hình bình hành có $3$ đỉnh là $A,B,C$.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$
của tam giác $ABC$.
Lời
giải
a) $D$ đối xứng với $A$ qua $C$
hay $C$ là trung điểm của $AD$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{D}}=2{{x}_{C}}-{{x}_{A}}=-3 \\ & {{y}_{D}}=2{{y}_{C}}-{{y}_{A}}=-2 \\ \end{align}
\right.$$\Rightarrow D\left( -3;\,-2 \right)$.
b) $ABCE$ là hình bình hành $\Rightarrow
\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow \left(
{{x}_{E}}-1;\,{{y}_{E}}+2 \right)=\left( -3;\,-5 \right)$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} &
{{x}_{E}}-1=-3 \\ & {{y}_{E}}+2=-5 \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{E}}=-2 \\ &
{{y}_{E}}=-7 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow E\left( -2;\,-7 \right)$.
c) $G$ là trọng tâm
tam giác $ABC$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\dfrac{2}{3}
\\ & {{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=-\dfrac{1}{3}
\\ \end{align} \right.$$\Rightarrow G\left( \dfrac{2}{3};\,-\dfrac{1}{3}
\right)$.
Câu
8. Cho ba điểm $A\left(
-1;\,1 \right)$,$B\left( 2;\,1 \right)$,$C\left( -1;\,-3 \right)$.
a) Chứng minh $ABC$ là một tam
giác.
b) Tính chu vi tam giác $ABC$.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của
tam giác $ABC$.
d) Xác định điểm $D$
sao cho tứ giác $ABCD$
là hình bình hành.
e) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Ox$
sao cho $M$
cách đều $A,B$.
f) Tìm điểm $N$ thuộc trục $Oy$
sao cho $N$cách đều
$B,C$.
Lời
giải
a) Ta có: $\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AB}=\left( 3;0 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( 0;-4
\right) \\ \end{align} \right.$. Do $\overrightarrow{AB},\,\,\overrightarrow{AC}$
không cùng phương nên $A,B,C$ không thẳng hàng. Vậy $ABC$ là một tam giác.
Do $C$ không thuộc $d$ nên ba điểm
$A,\,\,B,\,\,C$ không thẳng hàng, tức là tam giác tồn tại.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 3;0 \right)$, $\overrightarrow{BC}=\left(
-3;\,-4 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( 0;-4 \right)$
$\Rightarrow
AB=3;$$\,BC=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5;\,$$\,AC=4$$\Rightarrow
{{P}_{ABC}}=3+5+4=12$.
c) Tọa độ trọng tâm $G$:$\left\{ \begin{align} & {{x}_{G}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=0
\\ & {{y}_{G}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=-\dfrac{1}{3}
\\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow G\left( 0;\,-\dfrac{1}{3} \right)$.
d) Gọi $D\left( x;\,\,y \right)$,
$ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & -1-x=3 \\ & -3-y=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & x=-4 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow
D\left( -4;\,-3 \right)$.
e) Phương trình trung trực của
đoạn thẳng $AB$ là $x=\dfrac{1}{2}$. $M$ là giao của trung trực này với trục $Ox$
hay $M\left( \dfrac{1}{2};\,0 \right)$.
f) Gọi $N\left( 0;\,\,x \right)$$\Rightarrow
\left\{ \begin{align} &
C{{N}^{2}}=1+{{\left( x+3 \right)}^{2}} \\ & B{{N}^{2}}={{2}^{2}}+{{\left( 1-x
\right)}^{2}} \\ \end{align} \right.$.
$N$ cách đều $B$ và $C$ khi $C{{N}^{2}}=B{{N}^{2}}$$\Leftrightarrow
1+{{\left( x+3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}+{{\left( 1-x \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow
{{x}^{2}}+6x+10={{x}^{2}}-2x+5$$\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{8}$$\Rightarrow
N\left( 0;\,\,-\dfrac{5}{8} \right)$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}$
và $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-7\overrightarrow{j}.$ Tính tích vô
hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$
A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-30$.
B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3$.
C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=30$.
D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=43$.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow{a}=\left( 4;6
\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left( 3;-7 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=4.3+6.\left(
-7 \right)=-30$.
Câu
2. Trong mp ${Oxy}$
cho ${A\left( 4;6 \right)}$, ${B\left( 1;4 \right)}$, $C\left( 7;\dfrac{3}{2}
\right)$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $\overrightarrow{AB}=\left( -3;-2
\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( 3;-\dfrac{9}{2} \right)$.
B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$.
C. $\left| \overrightarrow{AB}
\right|=\sqrt{13}$.
D. $\left| \overrightarrow{BC} \right|=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( 6;-\dfrac{5}{2} \right)$ suy ra $BC=\sqrt[{}]{{{6}^{2}}+{{\left(
\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{13}{2}$.
Câu 3. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}=\left( 1;-2
\right),\,\,\overrightarrow{b}=\left( -2;-6 \right)$. Khi đó góc giữa chúng là
A. $45{}^\circ
$.
B. $\text{60}{}^\circ
$.
C. $\text{30}{}^\circ
$.
D. $\text{135}{}^\circ
$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $\overrightarrow{a}=\left( 1;-2 \right),\,\,\overrightarrow{b}=\left(
-2;-6 \right)$, suy ra $\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b}
\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}$$=\dfrac{10}{\sqrt{5}.\sqrt{40}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$\Rightarrow
\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)=\text{45}{}^\circ $.
Câu 4. Cho tam giác ${ABC}$ có ${A\left(
1;2 \right)}$, ${B\left( -1;1 \right)}$, ${C\left( 5;-1 \right)}$.Tính ${\cos
A}$.
A. $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
B. $\dfrac{-1}{\sqrt{5}}$.
C. $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
D. $\dfrac{-2}{\sqrt{5}}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-1 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(
4;-3 \right)$.
Suy ra $\cos A=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC}$$=\dfrac{\left(
-2 \right).4+\left( -1 \right).\left( -3 \right)}{\sqrt{{{\left( -2
\right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -3
\right)}^{2}}}}$$=\dfrac{-5}{\sqrt{5}\sqrt{25}}=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$.
Câu 5. Cho tam giác ${ABC}$ có ${A\left(
1;2 \right)}$, ${B\left( -1;1 \right)}$, ${C\left( 5;-1 \right)}$. Tính ${\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}$.
A. $7$.
B. $5$.
C. $-7$.
D. $-5$.
Lời giải
Chọn D
Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left( -2 \right).4+\left(
-1 \right).\left( -3 \right)=-5$.
Câu
6. Trong mặt phẳng
tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A\left( 1;2 \right)$ và $B\left( -3;1 \right).$ Tìm
tọa độ điểm $C$ thuộc trục tung sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$
A. $C\left( 0;6 \right)$.
B. $C\left( 5;0 \right)$.
C. $C\left( 3;1 \right)$.
D. $C\left( 0;-6 \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $C\in Oy$ nên $C\left( 0;c
\right)$ và $\left\{ \begin{align} &
\overrightarrow{AB}=\left( -4;-1 \right) \\ & \overrightarrow{AC}=\left( -1;c-2
\right) \\ \end{align} \right..$
Tam giác $ABC$ vuông tại$A$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow
\left( -4 \right).\left( -1 \right)+\left( -1 \right)\left( c-2
\right)=0\Leftrightarrow c=6.$
Vậy $C\left( 0;6 \right)$.
Câu
7. Trong hệ
trục tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $M\left( 1;1 \right)$, $N\left( 4;-1
\right)$. Tính độ dài véctơ $\overrightarrow{MN}$.
A. $\left| \overrightarrow{MN}
\right|=\sqrt{13}$.
B. $\left| \overrightarrow{MN}
\right|=5$.
C. $\left| \overrightarrow{MN}
\right|=\sqrt{29}$.
D. $\left| \overrightarrow{MN}
\right|=3$.
Lời giải
Chọn A
$\overrightarrow{MN}=\left(
3;-2 \right)$$\Rightarrow \left| \overrightarrow{MN}
\right|=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\sqrt{13}$.
Câu
8. Trong mặt phẳng
$Oxy$, cho $A\left( m-1;2 \right);B\left( 2;5-2m \right);C\left( m-3;4 \right)$.
Tìm $m$ để $A,B,C$ thẳng hàng.
A. $m=3$.
B. $m=2$.
C. $m=-2$.
D. $m=1$.
Lời giải
Chọn B
$A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow
\dfrac{3-m}{m-5}=\dfrac{3-2m}{2m-1}$$\Leftrightarrow \left( 3-m \right)\left(
2m-1 \right)=\left( 3-2m \right)\left( m-5 \right)\Leftrightarrow m=2$.
Câu
9. Cho hai vec
tơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ sao cho $\left|
\overrightarrow{a} \right|$$=\sqrt{2}$, $\left| \overrightarrow{b} \right|=2$
và hai véc tơ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{y}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$
vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.
A. $120{}^\circ $.
B. $60{}^\circ $.
C. $90{}^\circ $.
D. $30{}^\circ $.
Lời giải
Chọn C
Vì hai véc tơ $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$,
$\overrightarrow{y}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau
nên
$\left(
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right).\left( 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}
\right)=0$$\Leftrightarrow
2{{\overrightarrow{a}}^{2}}-{{\overrightarrow{b}}^{2}}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$$\Leftrightarrow
2.{{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}-{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}+\left|
\overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.\cos \left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=0$
$\Leftrightarrow
2.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}-{{2}^{2}}+\sqrt{2}.2.\cos \left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=0$$\Leftrightarrow \cos \left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=0\Leftrightarrow \left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=90{}^\circ $.
Câu
10. Trong mặt
phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\Delta ABC$ có $A\left( -3;3 \right),B\left( 1;4
\right),C\left( 2;-5 \right)$. Tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{CM}$
là:
A. $M\left( \dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}
\right)$.
B. $M\left( -\dfrac{1}{6};-\dfrac{5}{6}
\right)$.
C. $M\left( \dfrac{1}{6};-\dfrac{5}{6}
\right)$.
D. $M\left( \dfrac{5}{6};-\dfrac{1}{6}
\right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{CM}$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & 2\left(
-3-{{x}_{M}} \right)-\left( 2-1 \right)=4\left( {{x}_{M}}-2 \right) \\ & 2\left( 3-{{y}_{M}} \right)-\left( 5-4
\right)=4\left( {{y}_{M}}+5 \right) \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & {{x}_{M}}=\dfrac{1}{6}
\\ & {{y}_{M}}=-\dfrac{5}{6} \\ \end{align}
\right.\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{6};-\dfrac{5}{6} \right)$
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Trong mặt phẳng
${O x y}$, cho ${A(2,1), B(0,-3), \overrightarrow{O C}=\vec{j}+3 \vec{i}}$.
a) $C(3;1)$.
b) $\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}=(3;7)$.
c) Tọa điểm ${D}$ sao cho ${\overrightarrow{A D}=(7 ;-9)}$
là ${D(9 ;-8)}$.
d) Tọa điểm ${E}$ sao cho ${\overrightarrow{O
E}=\overrightarrow{O A}-2 \overrightarrow{O B}}$ là ${E(2 ; 7)}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
a) ${\overrightarrow{O C}=\vec{j}+3 \vec{i} \Leftrightarrow
\overrightarrow{O C}=3 \vec{i}+\vec{j} \Leftrightarrow C(3 ; 1)}$
b) Ta có ${\overrightarrow{O A}-2 \overrightarrow{O B}=(2 ;
7)}$.
c) Ta có $\overrightarrow{AD}=(7;-9)\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{D}}-2=7 \\ {{y}_{D}}-1=-9 \\ \end{array} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{D}}=9 \\ {{y}_{D}}=-8
\\\end{array} \right.$. Vậy ${D(9 ;-8)}$.
d) Ta có ${\overrightarrow{O A}-2 \overrightarrow{O B}=(2 ;
7)}$ nên ${\overrightarrow{O E}=(2 ; 7)}$. Vậy ${E(2 ; 7)}$.
Câu
2. Trong mặt phẳng tọa độ ${O x y}$, cho các vectơ ${\vec{a}=(-2
; 3), \vec{b}=(4 ; 1)}$.
a) $\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=12$.
b) $(\vec{a}+\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=4$.
c) Vectơ ${\vec{c}=m \vec{i}+\vec{j}}$ vuông góc với ${\vec{a}}$
khi $m=\dfrac{3}{2}$.
d) Tọa độ vectơ ${\vec{d}}$ sao cho ${\vec{a} . \vec{d}=4,
\vec{b} . \vec{d}=-2}$ bằng $\left( -\dfrac{5}{7};\dfrac{6}{7} \right)$.
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
a) Ta có: ${\vec{a}-\vec{b}=(-6; 2) \Rightarrow \vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=-2(-6)+3.2=18}$.
b) ${\vec{a}+\vec{b}=(2; 4), 2 \vec{a}-\vec{b}=(-8 ; 5) \Rightarrow(\vec{a}+\vec{b})(2
\vec{a}-\vec{b})=2(-8)+4.5=4}$.
c) Ta có: ${\vec{c}=(m ; 1)}$. Vì ${\vec{c} \perp \vec{a}}$
nên ${\vec{a} \cdot \vec{c}=0 \Rightarrow-2 m+3 \cdot 1=0 \Rightarrow m=\dfrac{3}{2}}$.
d) Gọi ${\vec{d}=(x ; y)}$. Ta có: $\left\{
\begin{array}{*{35}{l}} \vec{a}\cdot
\vec{d}=4 \\ \vec{b}\cdot \vec{d}=-2 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -2x+3y=4
\\ 4x+y=-2 \\ \end{array} \right.
\right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=-\dfrac{5}{7} \\
y=\dfrac{6}{7} \\ \end{array}
\right.$. Vậy ${\vec{d}=\left(-\dfrac{5}{7} ; \dfrac{6}{7}\right)}$.
Câu
3. Trong mặt phẳng toạ độ ${O x y}$, cho ${A(-2 ; 5), B(-4
;-2), C(1 ; 5)}$.
a) Ba điểm ${A, B, C}$ không thẳng hàng.
b) ${G\left(-\dfrac{5}{3} ; \dfrac{8}{3}\right)}$ là tọa độ
trọng tâm của tam giác ${A B C}$.
c) Tứ giác ${A B C D}$ là hình bình hành khi đó tọa độ điểm $D$
là $D(3;10)$.
d) $\widehat{ACB}=45{}^\circ $.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
a) Ta có: ${\overrightarrow{A B}=(-2 ;-7), \overrightarrow{A
C}=(3 ; 0)}$.
Do ${\dfrac{3}{-2} \neq \dfrac{0}{-7}}$ nên ${\overrightarrow{A
B}, \overrightarrow{A C}}$ không cùng phương. Vì vậy ba điểm ${A, B, C}$ không
thẳng hàng.
b) Do ${G}$ là trọng tâm của tam giác ${A B C}$ nên ${G\left(-\dfrac{5}{3}
; \dfrac{8}{3}\right)}$.
c) Giả sử ${D(x ; y)}$. Ta có: ${\overrightarrow{A B}=(-2
;-7), \overrightarrow{D C}=(1-x ; 5-y)}$.
Tứ giác ${A B C D}$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-2=1-x \\ -7=5-y
\\ \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=3 \\ y=12 \\
\end{array} \right.$.
Vậy ${D(3 ; 12)}$.
d) Ta có: ${AB=\sqrt{(-2)^{2}+(-7)^{2}}=\sqrt{53}, A C=\sqrt{[1-(-2)]^{2}+(5-5)^{2}}=3}$, $BC=\sqrt{{{[1-(-4)]}^{2}}+{{[5-(-2)]}^{2}}}=\sqrt{74}.$
Ta có: ${\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A
C}=(-2) \cdot 3+(-7) \cdot 0=-6}$.
Suy ra ${\cos
\widehat{B A C}=\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})=\dfrac{\overrightarrow{A
B} \cdot \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A
C}|}=\dfrac{-6}{\sqrt{53} \cdot 3}=-\dfrac{2 \sqrt{53}}{53}}$ nên $\widehat{BAC}\approx
106{}^\circ $.
Ta có: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=2.5+7.7=59$.
Suy ra ${\cos \widehat{A B C}=\cos
(\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C})=\dfrac{\overrightarrow{B A} \cdot
\overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{B A}| \cdot|\overrightarrow{B C}|}=\dfrac{59}{\sqrt{53}
\cdot \sqrt{74}}}$ nên $\widehat{ABC}\approx 20{}^\circ $.
Vậy $\widehat{ACB}=180{}^\circ
-(\widehat{BAC}+\widehat{ABC})\approx 180{}^\circ -\left( 106{}^\circ
+20{}^\circ \right)=54{}^\circ $.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Trong mặt phẳng
tọa độ ${O x y}$, cho hai điểm ${M(5 ; 3), N(-3 ; 5)}$. Tìm hoành độ điểm ${P}$
nằm trên trục hoành sao cho ba điểm ${M, N, P}$ thẳng hàng.
Trả lời: $17$
Lời giải
$P$ là điểm nằm trên trục hoành nên ${P(x, 0)}$. Ta có: ${\overrightarrow{M
N}=(-8 ; 2) ; \overrightarrow{M P}=(x-5 ;-3)}$
Ba điểm ${M, N, P}$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{MN}$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-5=k\cdot (-8) \\ -3=k.2
\\\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=17 \\ k=-\dfrac{3}{2} \\\end{array} \right.$.
Vậy ${P(17 ; 0)}$.
Câu
2. Trong mặt phẳng
toạ độ ${O x y}$, cho ${\vec{a}=(m ; 2), \vec{b}=(-3 ; n)}$ và ${\vec{c}=(-2 m
; 7)}$. Tính $4m+n$ biết:${\vec{c}=2 \vec{a}-3 \vec{b}}$.
Trả lời: $-10$
Lời giải
Ta có: ${2 \vec{a}-3 \vec{b}=(2 m+9 ; 4-3 n)}$.
Do đó $\vec{c}=2\vec{a}-3\vec{b}$$\Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix} -2m=2m+9 \\
7=4-3n \\\end{matrix} \right.$$\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m=-\dfrac{9}{4} \\
n=-1 \\\end{array} \right.$$\Rightarrow
m=-\dfrac{9}{4},n=-1.$
Câu
3. Trong mặt phẳng
toạ độ ${O x y}$, cho hai vectơ ${\vec{a}=(3 m ; 4 m-1)}$ và ${\vec{b}=(\sqrt{2}
; \sqrt{2})}$ (với ${m}$ là tham số). Tìm ${m}$ để góc giữa hai vectơ ${\vec{a}}$
và ${\vec{b}}$ bằng $45{}^\circ $.
Trả lời: $0,25$
Lời giải
Ta có: $\cos (\vec{a},\vec{b})=\cos 45{}^\circ $$\Leftrightarrow
\dfrac{3\sqrt{2}m+(4m-1)\sqrt{2}}{\sqrt{{{(3m)}^{2}}+{{(4m-1)}^{2}}}\cdot
\sqrt{2+2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{7m-1}{\sqrt{25{{m}^{2}}-8m+1}}=1$$\Leftrightarrow
7m-1=\sqrt{25{{m}^{2}}-8m+1}$. Giải phương trình ta được ${m=\dfrac{1}{4}}$.
