BÀI 1. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN
1. Quy
tắc cộng
Giả sử một
công việc có thể được thực hiện theo phương án $A$ hoặc phương án $B$. Phương
án $A$ có $m$ cách thực hiện, phương án $B$ có $n$ cách thực hiện không trùng với
bất kì cách nào của phương án $A$. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo $m+n$
cách.
2.
Quy tắc nhân
Giả sử một
công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có $m$ cách thực hiện
và ứng với mỗi cách đó có $n$ cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó, công việc
có thể thực hiện theo $m.n$ cách.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Lớp ${10
{~A}}$ có $36$ học sinh, lớp ${10 {~B}}$ có $40$ học sinh. Có bao nhiêu cách cử
một học sinh của lớp ${10 {~A}}$ hoặc của lớp ${10 {~B}}$ tham gia một công việc
tình nguyện sắp diễn ra?
Giải
Công việc cử một học sinh có hai phương án thực hiện:
Phương án 1: Cử một học sinh của lớp ${10 {~A}}$, có $36$
cách thực hiện.
Phương án 2: Cử một học sinh của lớp ${10 {~B}}$, có $40$
cách thực hiện.
Ta thấy mỗi cách thực hiện của phương án này không trùng với
bất kì cách nào của phương án kia. Do đó, theo quy tắc cộng, có ${36+40=76}$
cách cử một học sinh thuộc một trong hai lớp tham gia công việc tình nguyện.
Câu
2. Mỗi ngày có $6$
chuyến xe khách, $3$ chuyến tàu hoả và $4$ chuyến máy bay từ thành phố ${A}$ đến
thành phố ${B}$. Mỗi ngày có bao nhiêu cách chọn chuyến để di chuyển từ thành
phố ${A}$ đến thành phố ${B}$ bằng một trong ba loại phương tiện trên?
Giải
Việc di chuyển từ ${A}$ đến ${B}$ có ba phương án thực hiện.
Phương án 1: Di chuyển bằng xe khách, có $6$ cách chọn chuyến.
Phương án 2: Di chuyển bằng tàu hoả, có $3$ cách chọn chuyến.
Phương án 3: Di chuyển bằng máy bay, có $4$ cách chọn chuyến.
Áp dụng quy tắc cộng, ta có số cách chọn chuyến để di chuyển
từ ${A}$ đến ${B}$ là $6+3+4=13$ (cách)
Câu
3. Có ba thị trấn
${A, B, C}$. Có $5$ con đường để đi từ ${A}$ đến ${B}$; có $3$ con đường để đi
từ ${B}$ đến ${C}$. Có bao nhiêu cách chọn một con đường để đi từ ${A}$, qua ${B}$
rồi đến ${C}$ ?
Giải
Việc đi từ ${A}$, qua ${B}$ rồi đến ${C}$ gồm $2$ công đoạn:
Công đoạn thứ nhất: Đi từ ${A}$ đến ${B}$, có $5$ cách chọn
đường đi.
Công đoạn thứ hai: Ứng với mỗi cách chọn đường đi từ ${A}$ đến
${B}$, có $3$ cách chọn đường đi từ ${B}$ tới ${C}$.
Theo quy tắc nhân, có ${5.3=15}$ cách chọn đường để đi từ ${A}$,
qua ${B}$ rồi đến ${C}$.
Câu
4. Một đồng xu
có hai mặt sấp và ngửa (kí hiệu ${S}$ và ${N}$). Tung đồng xu ba lần liên tiếp
và ghi lại kết quả. Tìm số kết quả có thể xảy ra, theo hai cách sau đây:
a) Vẽ sơ đồ hình cây.
b) Sử dụng quy tắc nhân.
Giải
a) Vẽ sơ đồ hình cây như hình:
Từ sơ đồ này, ta thấy có $8$ kết quả có thể xảy ra.
b) Có thể coi việc tung đồng xu ba lần liên tiếp là một công
việc gồm ba công đoạn, mỗi công đoạn tương ứng với một lần tung đồng xu. Mỗi lần
tung có hai kết quả, là ${S}$ hoặc ${N}$. Do đó, theo quy tắc nhân, số kết quả
của việc tung đồng xu ba lần liên tiếp là: $2.2.2=8$ (kết quả).
Câu
5. Từ năm chữ số
${0,1,2,3,4}$, có thể lập được bao nhiêu
a) Số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau?
b) Số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau?
Giải
Kí hiệu số cần lập là ${\overline{a b c}}$, với ${a, b, c}$
là ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số đã cho.
a) Có $4$ cách lựa chọn chữ số ${a}$ từ bốn chữ số khác $0$
đã cho.
Ứng với mỗi cách chọn đó, có $4$ cách chọn chữ số ${b}$ từ bốn
chữ số còn lại.
Ứng với mỗi cách chọn đó, có $3$ cách chọn chữ số ${c}$ từ
ba chữ số còn lại.
Từ đó, áp dụng quy tắc nhân, có ${4 \cdot 4 \cdot 3=48}$ số
tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số đã cho.
b) Để số ${\overline{a b c}}$ là số chẵn, chữ số ${c}$ phải
là chữ số chẵn. Ta xét hai trường hợp sau đây.
- Trường hợp 1: ${c=0}$. Khi đó, có $4$ cách chọn chữ số ${a}$
từ bốn chữ số còn lại, và ứng với mỗi cách chọn đó, có $3$ cách chọn chữ số ${b}$
từ ba chữ số còn lại. Do đó, theo quy tắc nhân, trường hợp này có ${4 \cdot
3=12}$ số thoả mãn yêu cầu.
- Trường hợp 2: ${c=2}$ hoặc ${c=4}$. Khi đó, có hai cách chọn
chữ số ${c}$ từ hai chữ số $2$ hoặc $4$. Ứng với mỗi cách chọn đó, có $3$ cách
chọn chữ số ${a}$ từ ba chữ số khác $0$ còn lại, và ứng với mỗi cách chọn đó,
có $3$ cách chọn chữ số ${b}$ từ các chữ số còn lại. Do đó, theo quy tắc nhân,
trường hợp này có ${2.3 .3=18}$ số thoả mãn yêu cầu.
Trong hai trường hợp trên, mỗi số lập được theo trường hợp
này đều khác với các số lập được của trường hợp kia. Theo quy tắc cộng, có ${12+18=30}$
số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số đã cho.
Câu
6. Một cửa hàng
có $10$ bó hoa ly, $14$ bó hoa huệ, $6$ bó hoa lan. Một bạn muốn mua một bó hoa
tại cửa hàng này. Hỏi bạn đó có bao nhiêu sự lựa chọn?
Lời giải.
Bạn đó mua hoa ly có: $10$ sự lựa
chọn.
Bạn đó mua hoa huệ có: $14$ sự lựa
chọn.
Bạn đó mua hoa lan có: $6$ sự lựa
chọn.
Vậy bạn đó có tất cả: $10+14+6=30$
sự lựa chọn để mua một bó hoa.
Câu
7. Cho các số tự
nhiên: $1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7,\text{
}8,\text{ }9.$
a) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có $5$ chữ số khác nhau?
Lời giải.
a) Gọi số tự nhiên cần lập là $\overline{abcde},(a\ne 0)$.
$a$ có $9$ cách chọn.
$b$ có $9$ cách chọn.
$c$ có $9$ cách chọn.
$d$ có $9$ cách chọn.
$e$ có $9$ cách chọn.
Số các số tự nhiên có $5$ chữ số được thành lập từ các số
trên là $9.9.9.9.9={{9}^{5}}$ cách.
b) Gọi số tự nhiên cần lập là $\overline{abcde},(a\ne 0)$.
$a$ có $9$ cách chọn.
$b$ có $8$ cách chọn.
$c$ có $7$ cách chọn.
$d$ có $6$ cách chọn.
$e$ có $9$ cách chọn.
Số các số tự nhiên có $5$ chữ số được thành lập từ các số
trên là $9.8.7.6.5=15120$ cách.
c) Gọi số tự nhiên cần lập là $\overline{abcde},(a\ne 0)$.
$e$ có $4$ cách chọn.
$d$ có $8$ cách chọn.
$c$ có $7$ cách chọn.
$b$ có $6$ cách chọn.
$a$ có $5$ cách chọn.
Số các số tự nhiên chẵn có $5$ chữ số khác nhau là $4.8.7.6.5=6720$
cách.
Câu
8. Cho các số tự
nhiên sau: $1,\text{ }2,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7,\text{ }9$.
a) Hỏi lập được bao số lẻ có $3$ chữ số khác nhau?
b) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau
chia hết cho $5$?
c) Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số mà có mặt chữ
số $2$?
Lời giải.
a) Gọi số cần lập là $\overline{abc},(a\ne 0)$.
Vì số cần lập là số lẻ nên $c$ có thể là $1;5;7;9\Rightarrow
c$ có $4$ cách chọn.
Vì khác $a;\text{ }b;\text{ }c$ nhau nên $b$ có $5$ cách chọn
và $a$ có $4$ cách chọn.
Vậy số số lẻ có $3$ chữ số khác nhau được thành lập từ các số
trên là $4.5.4=80$ số.
b) Gọi số cần lập là $\overline{abc},(a\ne 0)$.
Vì số cần lập là số chia hết cho $5$ nên $c$ có thể là có $1$
cách chọn.
Vì $a;\text{ }b;\text{ }c$ khác nhau nên $b$ có $5$ cách chọn
và $a$ có $4$ cách chọn.
Vậy số các số có $3$ chữ số khác nhau được thành lập từ các
số trên là $5.4=20$ số.
c) Các số tự nhiên có $3$ chữ số mà có mặt chữ số $2$
TH1: Các số tự nhiên có $3$ chữ số chỉ có mặt $1$ chữ số $2$
Số
$2$: có $3$ vị trí đặt, $5$ số còn lại mỗi số có $2$ vị trí đặt
Có
$3.5.5$ số có $3$ chữ số có mặt $1$ chữ số $2$
TH2: Các số tự nhiên có $3$ chữ số chỉ có mặt $2$ chữ số $2$
Số
$2$: có $3$ vị trí đặt, $5$ số còn lại mỗi số có $1$ vị trí đặt
Có
$3.5$ số có 3 chữ số có mặt $2$ chữ số $2$
TH3: Các số tự nhiên có $3$ chữ số chỉ có mặt $3$ chữ số $2$,
suy ra có $1$ số: $222$. Vậy số số tự nhiên có $3$ chữ số mà có mặt chữ số $2$
thành lập từ các số đã cho là: $3.5.5+3.5+1=91$ số.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Trên bàn có $8$
cây bút chì khác nhau, $6$ cây bút bi khác nhau và $10$ cuốn tập khác nhau. Một
học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi
hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là:
A.
$480.$
B.
$24.$
C.
$48.$
D.
$60.$
Lời giải.
Chọn B
Nếu chọn một cây bút chì thì sẽ có $8$ cách.
Nếu chọn một cây bút bi thì sẽ có $6$ cách.
Nếu chọn một cuốn tập thì sẽ có $10$ cách.
Theo quy tắc cộng, ta có $8+6+10=24$ cách chọn.
Câu
2. Trong một hộp
chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ $1$ đến $6$ và ba quả cầu đen được đánh
số $7,\text{ }8,\text{ }9.$ Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
A.
$27.$
B.
$9.$
C.
$6.$
D.
$3.$
Lời giải.
Chọn B
Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên
mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.
Nếu chọn một quả trắng có $6$ cách.
Nếu chọn một quả đen có $3$ cách.
Theo quy tắc cộng, ta có $6+3=9$ cách chọn.
Câu
3. Giả sử từ tỉnh
$A$ đến tỉnh $B$ có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc
máy bay. Mỗi ngày có $10$ chuyến ô tô, $5$ chuyến tàu hỏa, $3$ chuyến tàu thủy
và $2$ chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh $A$ đến tỉnh $B$?
A.
$20.$
B.
$300.$
C.
$18.$
D.
$15.$
Lời giải.
Chọn A
Nếu đi bằng ô tô có $10$ cách.
Nếu đi bằng tàu hỏa có $5$ cách.
Nếu đi bằng tàu thủy có $3$ cách.
ếu đi bằng máy bay có $2$ cách.
Theo quy tắc cộng, ta có $10+5+3+2=20$ cách chọn.
Câu
4. Có $3$ kiểu
mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và $4$ kiểu dây (kim loại, da, vải và
nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
A.
$4$.
B.
$7$.
C.
$12$.
D.
$16$.
Lời giải.
Chọn C
Để chọn một chiếc đồng hồ, ta có:
Có $3$ cách chọn mặt.
Có $4$ cách chọn dây.
Vậy theo quy tắc nhân ta có $3\times 4=12$ cách.
Câu
5. Một người có
$4$ cái quần, $6$ cái áo, $3$ chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiêu
cách chọn bộ “quần-áo-cà vạt” khác nhau?
A.
$13$.
B.
$72$.
C.
$12$.
D.
$30$.
Lời giải.
Chọn B
Để chọn một bộ “quần-áo-cà vạt”, ta có:
Có $4$ cách chọn quần.
Có $6$ cách chọn áo.
Có $3$ cách chọn cà vạt.
Vậy theo quy tắc nhân ta có $4\times 6\times 3=72$ cách.
Câu
6. Một bó hoa
có $5$ hoa hồng trắng, $6$ hoa hồng đỏ và $7$ hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn
lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu.
A.
$240.$
B.
$210.$
C.
$18.$
D.
$120.$
Lời giải.
Chọn B
Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông
hoa hồng trắng- một bông hoa hồng đỏ- hoa hồng vàng), ta có:
Có $5$ cách chọn hoa hồng trắng.
Có $6$ cách chọn hoa hồng đỏ.
Có $7$ cách chọn hoa hồng vàng.
Vậy theo quy tắc nhân ta có $5\times 6\times 7=210$ cách.
Câu
7. Trong một
trường THPT, khối $11$ có $280$ học sinh nam và $325$ học sinh nữ. Nhà trường cần
chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh
thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
A.
$910000.$
B.
$91000.$
C.
$910.$
D.
$625.$
Lời giải.
Chọn B
Để chọn một nam và một nữ đi dự trại hè, ta có:
Có $280$ cách chọn học sinh nam.
Có $325$ cách chọn học sinh nữ.
Vậy theo quy tắc nhân ta có $280\times 325=91000$ cách.
Câu
8. Cho các số $1,5,6,7$
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số với các chữ số khác nhau:
A.
$12$.
B.
$24$.
C.
$64$.
D.
$256$.
Lời giải
Chọn
B
Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là: $\overline{abcd},\text{
}a\ne 0$, khi đó:
$a$ có $4$ cách chọn
$b$ có $3$ cách chọn
$c$ có $2$ cách chọn
$d$ có $1$ cách chọn
Vậy có: $4.3.2.1=24$ số.
Câu
9. Từ các chữ số
$1,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7$ có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có $4$
chữ số (không nhất thiết phải khác nhau)?
A.
$324.$
B.
$256.$
C.
$248.$
D.
$124.$
Lời giải.
Chọn B
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ với $\left( a,b,c,d
\right)\in A=\left\{ 1,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }7 \right\}.$
Vì số cần tìm có $4$ chữ số không nhất thiết khác nhau nên:
$a$ được chọn từ tập $A$ (có $4$ phần tử) nên có $4$ cách chọn.
$b$ được chọn từ tập $A$ (có $4$ phần tử) nên có $4$ cách chọn.
$c$ được chọn từ tập $A$ (có $4$ phần tử) nên có $4$ cách chọn.
$d$ được chọn từ tập $A$ (có $4$ phần tử) nên có $4$ cách chọn.
Như vậy, ta có $4\times 4\times 4\times 4=256$ số cần tìm.
Câu
10. Từ các chữ
số $0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5$ có thể lập được bao
nhiêu số lẻ gồm $4$ chữ số khác nhau?
A.
$154.$
B.
$145.$
C.
$144.$
D.
$155.$
Lời giải.
Chọn C
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ với $\left( a,b,c,d
\right)\in A=\left\{ 0,1,2,3,4,5 \right\}.$
Vì $\overline{abcd}$ là số lẻ $\Rightarrow \,\,d=\left\{
1,3,5 \right\}\Rightarrow \,\,d:$ có $3$ cách chọn.
Khi đó $a:$ có $4$ cách chọn (khác $0$ và $d$), $b:$ có $4$
cách chọn và $c:$ có $3$ cách chọn.
Vậy có tất cả $3\times 4\times 4\times 3=144$ số cần tìm.
Câu
11. Từ các chữ
số $0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }5$ có thể lập được bao
nhiêu số chẵn gồm $4$ chữ số khác nhau?
A.
$156.$
B.
$144.$
C.
$96.$
D.
$134.$
Lời giải.
Chọn A
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ với $\left( a,b,c,d
\right)\in A=\left\{ 0,1,2,3,4,5 \right\}.$
Vì $\overline{abcd}$ là số chẵn $\Rightarrow \,\,d=\left\{
0,2,4 \right\}.$
TH1. Nếu $d=0,$ số cần tìm là $\overline{abc0}.$
Khi đó:
$a$ được chọn từ tập $A\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{
}\left\{ 0 \right\}$ nên có $5$ cách chọn.
$b$ được chọn từ tập $A\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{
}\left\{ 0,\,\,a \right\}$ nên có $4$ cách chọn.
$c$ được chọn từ tập $A\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{
}\left\{ 0,\,\,a,\,\,b \right\}$ nên có $3$ cách chọn.
Như vậy, ta có $5\times 4\times 3=60$ số có dạng $\overline{abc0}.$
TH2. Nếu $d=\left\{ 2,4
\right\}\Rightarrow \,\,d:$ có $2$ cách chọn.
Khi đó $a:$ có $4$ cách chọn (khác $0$ và $d$), $b:$ có $4$
cách chọn và $c:$ có $3$ cách chọn.
Như vậy, ta có $2\times 4\times 4\times 3=96$ số cần tìm như
trên.
Vậy có tất cả $60+96=156$ số cần tìm.
Câu 12. Có $3$ nam và $3$ nữ cần xếp ngồi vào một
hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ?
A. $72$
B. $74$
C. $76$
D. $78$
Lời giải
Chọn A
Có $6$ cách
chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có $3$ cách chọn một người
khác phái ngồi vào chỗ thứ $2$. Lại có $2$ cách chọn một người khác phái ngồi vào
chỗ thứ $3$, có $2$ cách chọn vào chỗ thứ $4$, có $1$ cách chọn vào chỗ thứ $5$,
có $1$ cách chọn vào chỗ thứ $6$.
Vậy có: $6.3.2.2.1.1=72$
cách.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Cho các chữ
số ${0,1,2,3,4,5,6,7,8}$.
a) Có $24$ số có ba chữ số khác nhau,
được tạo thành từ các chữ số $1;2;3;4$
b) Có $40$ số lẻ có ba chữ số khác
nhau, được tạo thành từ các chữ số $0;1;2;3;4;5$
c) Có $144$ số tự nhiên cần lập chia
hết cho $5$, từ các chữ số ${0,1,2,3,4,5,6,7,8}$
d) Có $1170$ số chẵn gồm bốn chữ số
được lập từ các chữ số ${0,1,2,3,4,5,6}$
Lời giải
a) Đúng
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Sai
a) Số cách chọn chữ số hàng trăm là $4$ cách.
Số cách chọn chữ số hàng chục là $3$ cách.
Số cách chọn chữ số hàng đơn vị là $2$ cách.
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có ba chữ số khác nhau
được tạo thành là: $4\cdot 3\cdot 2=24$ (số)
b) Chữ số hàng đơn vị có $3$ cách chọn.
Chữ số hàng trăm có $4$ cách chọn.
Chữ số hàng chục có $4$ cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số lẻ có ba chữ số khác
nhau được tạo thành là: $3\cdot 4\cdot 4=48$ (số)
c) Gọi ${\overline{a b c}}$ là số tự nhiên cần lập. Vì ${\overline{a
b c} \vdots 5}$ nên có $2$ cách chọn ${c}$ (0 và 5).
Chọn ${a}$ có $8$ cách ${(1,2,3,4,5,6,7,8)}$.
Chọn ${b}$ có $9$ cách ${(0,1,2,3,4,5,6,7,8)}$.
Vậy có thể lập được ${2 \cdot 8 \cdot 9=144}$ số thoả mãn đề
bài.
d) Gọi ${\overline{a b c d}}$ là số thoả mãn điều kiện đề
bài.
Chọn ${d}$ có $4$ cách ${(0,2,4,6)}$.
Chọn ${a}$ có $6$ cách ${(1,2,3,4,5,6)}$.
Chọn ${b}$ có $7$ cách ${(0,1,2,3,4,5,6)}$.
Chọn ${c}$ có $7$ cách ${(0,1,2,3,4,5,6)}$.
Vậy có thể lập được ${4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 7=1176}$ số
thoả mãn đề bài.
Câu
2. Có $3$ học
sinh nữ và $4$ học sinh nam cùng xếp theo một hàng ngang.
a) Có $5040$ cách xếp hàng tùy ý $7$ học sinh
b) Có $208$ cách xếp hàng để học sinh cùng giới đứng cạnh
nhau
c) Có $144$ cách xếp hàng để học sinh nam và nữ xếp xen kẽ.
d) Có $700$ cách xếp hàng để học sinh nữ đứng cạnh nhau.
Lời giải
a)
Đúng
b) Sai
c)
Đúng
d)
Sai
a) Xếp một học sinh vào vị trí thứ nhất: có $7$ cách.
Xếp một học sinh vào vị trí thứ hai: có $6$ cách.
Các vị trí tiếp theo lần lượt có số cách tương ứng là ${5,4,3,2,1}$
(cách).
Vậy số cách xếp hàng tùy ý $7$ học sinh trên là: ${7 \times
6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=5040}$.
b) Xếp các em nữ trong một hàng $3$ người, ta có: ${3 \times
2 \times 1=6}$ (cách).
Xếp các em nam trong một hàng $4$ người, ta có: ${4 \times 3
\times 2 \times 1=24}$ (cách).
Số cách hoán đổi vị trí của hai nhóm trên là $2$.
Vậy số cách xếp học sinh thỏa mãn là: ${6 \times 24 \times
2=288}$ (cách).
c) Hàng được xếp phải thỏa mãn: Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam-Nữ-Nam.
Chọn một nam sinh cho vị trí thứ nhất: có $4$ cách.
Chọn một nữ sinh cho vị trí thứ hai: có $3$ cách.
Số cách chọn học sinh cho các vị trí tiếp theo lần lượt là :
${3,2,2,1}$.
Vậy số cách xếp thỏa mãn là: ${4 \times 3 \times 3 \times 2
\times 2 \times 1=144}$ (cách).
d) Gọi ${X}$ là nhóm gồm $3$ học sinh nữ.
Số cách xếp $3$ học sinh trong ${X}$ là: ${3 \times 2 \times
1=6}$ (cách).
Lúc này ta có $5$ phần tử để đưa vào hàng gồm có ${X}$ cùng
với $4$ nam sinh (${X}$ được tính là $1$ phần tử).
Chọn $1$ phần tử cho vị trí thứ nhất: có $5$ (cách).
Số cách chọn phần tử cho các vị trí tiếp theo lần lượt là ${4,3,2,1}$.
Vậy số cách xếp hàng thỏa mãn là: ${6 \times 5 \times 4
\times 3 \times 2 \times 1=720}$ (cách).
Câu
3. Một túi có $20$
viên bi khác nhau trong đó có $7$ bi đỏ, $8$ bi xanh và $5$ bi vàng.
a) Số cách chọn ba bi khác màu là $280$ (cách).
b) Số cách chọn hai viên khác màu bi đỏ và bi xanh là $56$
(cách).
c) Số cách chọn hai viên khác màu bi đỏ và bi vàng là $40$
(cách).
d) Số cách chọn hai bi khác màu là $96$ (cách).
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
a) Việc chọn ba viên bi khác màu phải tiến hành ba giai đoạn
liên tiếp:
Giai đoạn 1: Chọn một viên bi đỏ: có $7$
cách.
Giai đoạn 2: Chọn một viên bi xanh: có $8$
cách.
Giai đoạn 3: Chọn một viên bi vàng: có $5$
cách.
Số cách chọn ba bi khác màu là ${7 \times 8 \times 5=280}$
(cách).
b) Trường hợp 1: Hai viên khác màu là bi đỏ và bi
xanh.
Giai đoạn 1: Chọn một viên bi đỏ: có $7$
cách.
Giai đoạn 2: Chọn một viên bi xanh: có $8$ cách.
Số cách chọn trường hợp này là ${7 \times 8=56}$ (cách).
Trường hợp 2: Hai viên khác màu là bi đỏ và
bi vàng.
Tương tự trường hợp 1, ta có: ${7 \times 5=35}$ (cách).
Trường hợp 3: Hai viên khác màu là bi xanh và
bi vàng.
Tương tự trường hợp 1, ta có: ${8 \times 5=40}$ (cách).
Vậy số cách chọn hai bi khác màu là: ${56+35+40=131}$
(cách).
Câu
4. Trên giá
sách có $5$ quyển sách Tiếng Anh khác nhau, $6$ quyển sách Toán khác nhau và $8$
quyển sách Tiếng Việt khác nhau.
a) Số cách chọn ra một quyển sách từ số sách đã cho là: $19$
(cách).
b) Số cách chọn ba quyển sách khác môn là: $240$ (cách).
c) Số cách chọn hai quyển gồm Tiếng Anh và Toán là: $11$
(cách).
d) Số cách chọn hai quyển sách khác môn là: $118$ (cách).
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) Số cách chọn ra một quyển sách từ số sách đã cho: ${5+6+8=19}$
(cách).
b) Giai đoạn 1: Chọn một quyển sách Tiếng Anh: có $5$
(cách).
Giai đoạn 2: Chọn một quyển sách Toán: có $6$
(cách).
Giai đoạn 3: Chọn một quyển sách Tiếng Việt:
có $8$ (cách).
Số cách chọn ba quyển sách khác môn là: ${5 \times 6 \times
8=240}$ (cách).
c) Trường hợp 1: Chọn được hai quyển gồm Tiếng Anh và
Toán.
Số cách chọn là ${5 \times 6=30}$ (cách).
Trường hợp 2: Chọn được hai quyển gồm Tiếng
Anh và Tiếng Việt.
Số cách chọn là ${5 \times 8=40}$ (cách).
Trường hợp 3: Chọn được hai quyển gồm Toán và
Tiếng Việt.
Số cách chọn là ${6 \times 8=48}$ (cách).
Số cách chọn hai quyển sách khác môn là: ${30+40+48=118}$
(cách).
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Có bao nhiêu
số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số ${0,1,2,3,4,5,6}$?
Trả lời: $420$
Lời giải
Trường hợp 1: ${d=0}$. Chọn ${d}$ có $1$
cách.
Chọn ${a}$ có $6$ cách (khác $d$).
Chọn ${b}$ có $5$ cách (khác ${a, d)}$.
Chọn ${c}$ có $4$ cách (khác ${a, b, d}$).
Vậy trường hợp 1 có ${1.6 \cdot 5 \cdot 4=120}$ số thoả mãn
đề bài.
Trường hợp 2: ${d \neq 0}$. Chọn ${d}$ có $3$
cách ${(2,4,6)}$.
Chọn ${a}$ có $5$ cách (khác 0 và ${d}$ ).
Chọn ${b}$ có $5$ cách (khác ${a, d)}$.
Chọn ${c}$ có $4$ cách (khác ${a, b, d}$ ).
Vậy trường hợp 2 có ${3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4=300}$ số thoả
mãn đề bài.
Như vậy có ${120+300=420}$ số thoả mãn đề bài.
Câu
2. Một người
gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì kết quả nhận được luôn là sấp hoặc
ngửa. Hỏi nếu người đó gieo $10$ lần thì có bao nhiêu khả năng xảy ra?
Trả lời: $1024$
Lời giải
Với mỗi đồng xu được gieo, ta có $2$ khả năng có thể xảy ra
(sấp hoặc ngửa). Áp dụng quy tắc nhân, ta có số khả năng xảy ra khi gieo một đồng
xu hai mặt $10$ lần là ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2
\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=1024}$ (khả năng).
Câu
3. Từ các chữ số
${0,1,2,3,4,5}$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt
và chia hết cho $5$?
Trả lời: $108$
Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm: ${\overline{a b c d}}$.
Trường hợp 1: ${d=0}$, có $1$ cách chọn ${d}$.
Chọn ${a}$ khác $0$: có $5$ cách. Mỗi chữ số ${b, c}$ lần lượt
có $4, 3$ cách chọn.
Vậy số các số tự nhiên trong trường hợp này là ${1.5 .4
.3=60}$ (số).
Trường hợp 2: ${d=5}$, có $1$ cách chọn ${d}$.
Chọn ${a}$ khác ${d}$ và khác $0$: có $4$ cách. Mỗi chữ số ${b,
c}$ lần lượt có $4, 3$ cách chọn. Vậy số các số tự nhiên trong trường hợp này
là ${1.4 .4 .3=48}$ (số). Số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài: ${60+48=108}$ (số).
Câu
4. Cho hai đường
thẳng song song $d,d'$. Trên ${d}$ lấy $10$ điểm phân biệt, trên $d'$ lấy $15$
điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ $25$ đỉnh
nói trên?
Trả lời: $1725$
Lời giải
Cách 1:
TH1: Lấy $2$ điểm thuộc $d$, $1$ điểm
thuộc $d'$:
Lấy điểm thứ nhất thuộc ${d}$ có $10$ cách, lấy điểm thứ hai
thuộc ${d}$ có $9$ cách, lấy một điểm thuộc $d'$ có $15$ cách.
Vì sự thay đổi các đỉnh trong tam giác không tạo thành một
tam giác mới nên hai đỉnh lấy trên ${d}$ nếu đổi thứ tự lấy không tạo thành tam
giác mới.
Do đó có ${\dfrac{10 \times 9}{2} \times 15=675}$ tam giác.
TH2: Lấy $2$ điểm thuộc $d'$, $1$ điểm
thuộc ${d}$:
Tương tự có ${\dfrac{15 \times 14}{2} \times 10=1050}$ tam
giác.
Vậy có ${675+1050=1725}$ tam giác.
Cách 2:
Để tạo một tam giác ta cần có $2$ điểm thuộc đường thẳng này
và một điểm thuộc đường thẳng kia và ngược lại, có $2$ trường hợp xảy ra:
TH1: Lấy $2$ điểm thuộc ${d}$ có ${C_{10}^2}$
cách,
Lấy $1$ điểm thuộc $d'$ có ${C_{15}^1}$ cách.
Số tam giác tạo thành là ${C_{10}^2 \cdot C_{15}^1}$ tam
giác.
TH2: Lấy $1$ điểm thuộc ${d}$ có ${C_{10}^1}$
cách,
Lấy $2$ điểm thuộc $d'$ có ${C_{15}^2}$ cách.
Số tam giác tạo thành là ${C_{10}^1 \cdot C_{15}^2}$ tam
giác.
Vậy số tam giác tạo thành là ${C_{10}^2 \cdot C_{15}^1+C_{10}^1 \cdot C_{15}^2=1725}$ tam giác.
