BÀI 4. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO MỨC ĐỘ PHÂN TÁN CỦA MẪU SỐ LIỆU
1.
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
Sắp xếp
mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: ${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le ...\le
{{x}_{n}}$.
- Khoảng
biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là $R$, là hiệu giữa giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là $R={{x}_{n}}-{{x}_{1}}$.
- Khoảng
tứ phân vị, kí hiệu là ${{\Delta }_{Q}}$, là hiệu giữa ${{Q}_{3}}$ và ${{Q}_{1}}$,
tức là ${{\Delta }_{Q}}={{Q}_{3}}-{{Q}_{1}}$.
Ý
nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:
Khoảng
biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.
Khoảng tứ
phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn
từ ${{Q}_{1}}$ đến ${{Q}_{3}}$ trong mẫu.
Khoảng tứ
phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.
Giá
trị ngoại lệ
Khoảng tứ
phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị
quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Cụ thể, phần tử $x$ trong
mẫu là giá trị ngoại lệ nếu $x>{{Q}_{3}}+1,5{{\Delta }_{Q}}$ hoặc $x<{{Q}_{1}}-1,5{{\Delta
}_{Q}}$.
Sự xuất
hiện của các giá trị ngoại lệ làm cho số trung bình và phạm vi của mẫu thay đổi
lớn. Do đó, khi mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị và
khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung và mức độ phân tán của đa số các phần
tử trong mẫu số liệu.
2.
Phương sai và độ lệch chuẩn
Giả sử
ta có một mẫu số liệu là ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}},\,\,...,\,\,{{x}_{n}}$.
- Phương
sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là ${{S}^{2}}$, được tính bởi công thức:
${{S}^{2}}=\dfrac{1}{n}\left[
{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x}
\right)}^{2}}+...+{{\left( {{x}_{n}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right]$,
Trong đó
$\bar{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.
- Căn bậc
hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là $S$.
Chú
ý: Có thể biến
đổi công thức tính phương sai ở trên thành:
${{S}^{2}}=\dfrac{1}{n}\left(
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2} \right)-{{\bar{x}}^{2}}$.
Trong thống
kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là
${{\hat{s}}^{2}}=\dfrac{1}{n-1}\left[
{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x}
\right)}^{2}}+...+{{\left( {{x}_{n}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right]$.
Ý
nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn
Phương
sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu
đến số trung bình.
Phương
sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu
quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu
càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn). Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng
tần số:
|
Giá
trị |
${{x}_{1}}$ |
${{x}_{2}}$ |
… |
${{x}_{k}}$ |
|
Tần
số |
${{n}_{1}}$ |
${{n}_{2}}$ |
… |
${{n}_{k}}$ |
Khi đó,
công thức tính phương sai trở thành:
${{S}^{2}}=\dfrac{1}{n}\left[
{{n}_{1}}{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{2}}{{\left(
{{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+...+{{n}_{k}}{{\left( {{x}_{k}}-\bar{x}
\right)}^{2}} \right]$,
trong đó
$n={{n}_{1}}+{{n}_{2}}+...+{{n}_{k}}$.
Có thể
biến đổi công thức tính phương sai trên thành:
${{S}^{2}}=\dfrac{1}{n}\left(
{{n}_{1}}x_{1}^{2}+{{n}_{2}}x_{2}^{2}+...+{{n}_{k}}x_{k}^{2}
\right)-{{\bar{x}}^{2}}$.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1. Hãy tính khoảng biến thiên và
khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu: ${10 ; 20 ; 3 ; 1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 4 ; 9}$.
Giải
Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: ${1 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 7 ; 9 ;
10 ; 20}$.
- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: ${R=20-1=19}$.
- Cỡ mẫu là ${n=9}$ là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai
là: ${Q_{2}=4}$.
- Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: ${1 ; 3 ; 3 ; 4}$.
Do đó ${Q_{1}=3}$.
- Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: ${7 ; 9 ; 10 ; 20}$.
Do đó ${Q_{3}=9,5}$.
- Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ${\Delta_{Q}=9,5-3=6,5}$.
- Ta có ${{Q}_{3}}+1,5{{\Delta }_{Q}}=9,5+1,5\cdot
6,5=19,25$ và ${Q_{1}-1,5 \Delta_{Q}=3-1,5 \cdot 6,5=-6,75}$ nên mẫu có một giá
trị ngoại lệ là 20 .
Câu 2. Hai cung thủ A,B đã ghi lại kết
quả từng lần bắn của mình ở bảng sau:
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghi
kết quả các lần bắn của từng cung thủ.
Giải
Số trung bình của kết quả các lần bắn của cung thủ ${A}$ là:
$(8+9+10+7+6+10+6+7+9+8):10=8.\text{ }$${}$
Số trung bình của kết quả các lần bắn của cung thủ ${B}$ là:
$(10+6+8+7+9+9+8+7+8+8):10=8.\text{ }$${}$
Phương sai mẫu số liệu của cung thủ ${A}$ là:
$S_{A}^{2}=\dfrac{1}{10}\left(
{{8}^{2}}+{{9}^{2}}+{{10}^{2}}+{{7}^{2}}+{{6}^{2}}+{{10}^{2}}+{{6}^{2}}+{{7}^{2}}+{{9}^{2}}+{{8}^{2}}
\right)-{{8}^{2}}=2.\text{ }$${}$
Độ lệch chuẩn mẫu số liệu của cung thủ ${A}$ là: ${S_{A}=\sqrt{S_{A}^{2}}=\sqrt{2}
\approx 1,41}$.
Phương sai mẫu số liệu của cung thủ ${B}$ là:
$S_{B}^{2}=\dfrac{1}{10}\left(
{{10}^{2}}+{{6}^{2}}+{{8}^{2}}+{{7}^{2}}+{{9}^{2}}+{{9}^{2}}+{{8}^{2}}+{{7}^{2}}+{{8}^{2}}+{{8}^{2}}
\right)-{{8}^{2}}=1,2.$${}$
Độ lệch chuẩn mẫu số liệu của cung thủ ${B}$ là: ${S_{B}=\sqrt{S_{B}^{2}}=\sqrt{1,2}
\approx 1,10}$.
Câu 3. Điều tra một số học sinh về số
cái bánh chưng mà gia đình mỗi bạn tiêu thụ trong dịp Tết Nguyên đán, kết quả
được ghi lại ở bảng sau. Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
|
Số cái bánh chưng |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
15 |
|
Số gia đình |
5 |
7 |
10 |
8 |
5 |
4 |
1 |
Giải
Số trung bình của mẫu số liệu trên là:
$\bar{x}=\dfrac{1}{40}(5.6+7.7+10.8+8.9+5.10+4.11+15)=8,5.\text{
}$${}$
Phương sai của mẫu số liệu trên là:
${{S}^{2}}=\dfrac{1}{40}\left(
{{5.6}^{2}}+{{7.7}^{2}}+{{10.8}^{2}}+{{8.9}^{2}}+{{5.10}^{2}}+{{4.11}^{2}}+{{15}^{2}}
\right)-8,{{5}^{2}}=3,25$${}$
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:
$S=\sqrt{{{S}^{2}}}=\sqrt{3,25}\approx 1,80.$${}$
Câu 4.
Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới.
Người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm (thang điểm 100) kết quả như sau:
|
80 |
65 |
51 |
48 |
45 |
61 |
30 |
35 |
84 |
83 |
60 |
58 |
75 |
|
72 |
68 |
39 |
41 |
54 |
61 |
72 |
75 |
72 |
61 |
58 |
65 |
|
a) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Nhận xét gì về các kết quả nhận được.
b) Tìm khoảng biến thiên, khoảng
tứ phân vị
c) Tìm giá trị bất thường
Lời giải
a) Ta có:
$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\left(
{{n}_{1}}{{x}_{1}}+{{n}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{n}_{k}}{{x}_{k}} \right)=60,2$
Phương sai: $s_{x}^{2}=\dfrac{1}{n}\left[
{{n}_{1}}{{({{x}_{1}}-\overline{x})}^{2}}+{{n}_{2}}{{({{x}_{2}}-\overline{x})}^{2}}+...+{{n}_{k}}{{({{x}_{k}}-\overline{x})}^{2}}
\right]=216,8$
Độ lệch
chuẩn ${{s}_{x}}=\sqrt{s_{x}^{2}}=\sqrt{216,8}=14,724$
Nhận
xét: Mức độ chênh lệch điểm giữa các giá trị là khá lớn
b) Khoảng biến thiên $84-30=54$
Nửa số liệu bên trái là $30,35,39,41,45,,51,54,58,60,61$ gồm
12 giá trị, hai phần tử chính giữa là 48,50 .
Do đó, ${{Q}_{1}}=(48+50):2=49$.
Nửa số liệu bên phải là $61,65,65,68,72,,75,75,80,83,84$ gồm
4 giá tri, hai phần tử chính giữa là 72,72.
Do đó, ${{Q}_{3}}=(72+72):2=72$.
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là ${{\Delta
}_{Q}}=72-49=23$.
c) Không
có giá trị bất thường
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG
ÁN LỰA CHỌN
Câu
1. Theo kết quả thống kê điểm
thi giữa kỳ 2 môn toán khối 11 của một trường THPT, người ta tính được phương
sai của bảng thống kê đó là $s_{x}^{2}=0,573$. Độ lệch chuẩn của bảng thống kê
đó bằng
A. $0,812$.
B. $0,757$.
C. $0,936$.
D. $0,657$.
Lời giải
Ta có công thức tính độ lệch chuẩn là ${{s}_{x}}=\sqrt{s_{x}^{2}}=\sqrt{0,573}\approx
0,757$.
Câu
2. Phương
sai của dãy số $2;3;4;5;6$ là
A. $S_{x}^{2}=4$.
B. $S_{x}^{2}=\sqrt{2}$.
C. $S_{x}^{2}=2$.
D. $S_{x}^{2}=-2$.
Lời giải
Chọn
C
Ta có: $\overline{x}=\dfrac{2+3+4+5+6}{5}=4$.
Suy ra: $S_{x}^{2}=\dfrac{1}{5}\left[ {{\left( 2-4 \right)}^{2}}+{{\left( 3-4
\right)}^{2}}+{{\left( 5-4 \right)}^{2}}+{{\left( 6-4 \right)}^{2}} \right]=2$.
Câu
3. Khoảng
tứ phân vị của dãy số $2;3;4;5;6$ là
A. ${{\Delta }_{Q}}=3$.
B. ${{\Delta }_{Q}}=\sqrt{2}$.
C. ${{\Delta }_{Q}}=2$.
D. ${{\Delta }_{Q}}=-2$.
Lời giải
Chọn
A
${{\Delta
}_{Q}}={{Q}_{3}}-{{Q}_{1}}=\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2}=3$.
Câu 4. Có 100 học
sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20). Kết quả cho trong bảng
sau:
Khi đó độ lệch chuẩn là
A. $1,98$.
B. $3,96$.
C. $15,23$
D. $1,99$.
Lời giải
Chọn
D
Ta có: $\overline{x}=15,23$
Phương
sai của bảng số liệu là: ${{s}^{2}}=3,9571$.
Độ lệch
chuẩn là: $s=\sqrt{{{s}^{2}}}=\sqrt{3,9571}=1,99$.
Câu 5. Sản
lượng lúa (tạ) của $40$ thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày
trong bảng phân bố tần số sau đây:
|
Sản lượng |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
Tần số |
5 |
8 |
11 |
10 |
6 |
Phương sai của mẫu số liệu là:
A. $1,5$
B. $1,24$
C $1,54$
D. $22,1$
Lời
giải
Chọn
C
Ta
có sản lượng trung bình của $40$ thửa ruộng là: $\overline{x}=\dfrac{1}{40}\left(
5.20+8.21+11.22+10.23+6.24 \right)=22,1\,$( tạ)
Phương sai: $s_{x}^{2}=\dfrac{1}{n}\left[
{{n}_{1}}{{({{x}_{1}}-\overline{x})}^{2}}+{{n}_{2}}{{({{x}_{2}}-\overline{x})}^{2}}+...+{{n}_{k}}{{({{x}_{k}}-\overline{x})}^{2}}
\right]=1,54$
Câu
6. Điểm
kiểm tra giữa kỳ 2 của một học sinh lớp 10 như sau: $2,4,6,8,10$. Khoảng biến
thiên của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
A.
6
B.
8
C.
10
D.
40
Lời
giải
Chọn
B
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Mẫu số liệu
dưới đây thống kê thời gian chờ xe bus (đơn vị: phút) của $10$ học sinh ở cùng một
bến:
${\begin{array}{llllllllll}1 & 4 & 5 & 6 & 6
& 8 & 10 & 11 & 12 & 25\end{array}}$
a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu là: $\bar{x}=8,8$
(phút).
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ${{\Delta }_{Q}}=5$
(phút).
c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s\approx 5,27$ (phút).
d) $25$ là giá trị bất thường của mẫu số liệu.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Sai
c)
Sai
d)
Đúng
a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:
${\bar{x}=\dfrac{1+4+5+6+6+8+10+11+12+25}{10}=8,8}$ (phút).
Mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Trung vị của mẫu số liệu là: ${\dfrac{6+8}{2}=7}$ (phút).
Trung vị của dãy ${1,4,5,6,6}$ là $5$. Trung vị của dãy ${8,10,11,12,25}$
là 11 .
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là: ${Q_{1}=5}$ (phút), ${Q_{2}=7}$
(phút), ${Q_{3}=11}$ (phút).
b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: ${R=25-1=24}$
(phút).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ${\Delta_{Q}=11-5=6}$
(phút).
c) Ta có: ${(1-8,8)^{2}+(4-8,8)^{2}+(5-8,8)^{2}+(6-8,8)^{2}
\cdot 2+(8-8,8)^{2}}$ ${+(10-8,8)^{2}+(11-8,8)^{2}+(12-8,8)^{2}+(25-8,8)^{2}=393,6}$.
Suy ra phương sai của mẫu số liệu là: ${s^{2}=\dfrac{393,6}{10}=39,36}$.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: ${s=\sqrt{39,36} \approx
6,27}$ (phút).
d) Ta có: ${{Q}_{1}}-\dfrac{3}{2}{{\Delta }_{Q}}=5-\dfrac{3}{2}\cdot
6=-4,$ ${Q_{1}-\dfrac{3}{2} \Delta_{Q}=5-\dfrac{3}{2} \cdot 6=-4, Q_{3}+\dfrac{3}{2}
\cdot \Delta_{Q}=11+\dfrac{3}{2} \cdot 6=20}$. Vì ${25>20}$ nên 25 là giá trị
bất thường của mẫu số liệu.
Câu 2. Mẫu số liệu sau ghi rõ chiều cao của $10$ cầu thủ đăng ký khóa học của một học viện bóng đá (đơn vị: cm): $176, 187, 174, 186, 185, 180, 185, 182, 179, 186.$
a) Tứ phân vị thứ hai là
${{Q}_{2}}=183,5$.
b) Tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1=179}$.
c) Khoảng biến thiên là: $R=12$.
d) Khoảng tứ phân vị là: $\Delta Q=8$.
Lời giải
a)
Đúng
b)
Đúng
c)
Sai
d)
Sai
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $174, 176, 179, 180, 182, 185, 185, 186, 186, 187$.
Tứ phân vị thứ hai là trung vị của mẫu: ${Q_2=\dfrac{182+185}{2}=183,5}$.
Xét nửa mẫu bên trái: ${174 \quad 176 \quad 179 \quad 180
\quad 182}$. Tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1=179}$.
Xét nửa mẫu bên phải: ${185 \quad 185 \quad 186 \quad 186
\quad 187}$. Tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_3=186}$
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong mẫu số liệu là: ${x_{\max
}=187, x_{\min }=174}$.
Khoảng biến thiên là: ${R=x_{\max }-x_{\min }=13}$.
Khoảng tứ phân vị là: ${\Delta Q=Q_3-Q_1=7}$.
Câu
3. Kết quả điểm
kiểm tra học kì môn Ngữ văn của các em học sinh tổ 1 và tổ 2 lớp 10D một trường
Trung học phổ thông được cho như sau :
Điểm Ngữ văn tổ 1: $7;\,8;\,7,5;\,7;\,6;\,6,5;\,8;\,7$
Điểm Ngữ văn tổ 2: $6;\,7;\,8;\,6,5;\,8,5;\,7,7;\,8;\,8,5$
a) Điểm trung bình học sinh tổ 1 : $\bar{x}\approx 4,17$.
b) Phương sai học sinh tổ 1 : ${{s}^{2}}\approx 0,49$.
c) Độ lệch chuẩn học sinh tổ 2: $s\approx 0,87$.
d) Tổ 1 học Ngữ văn đồng đều hơn tổ 2 .
Lời giải
a)
Sai
b)
Sai
c)
Đúng
d)
Đúng
Xét bảng điểm Ngữ văn học sinh tổ 1 :
Điểm trung bình: ${\bar{x}=\dfrac{7+8+\ldots+7}{8} \approx
7,125}$.
Phương sai: ${s^2=\dfrac{1}{8}\left[\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2+\ldots+\left(x_8-\bar{x}\right)^2\right]
\approx 0,42}$.
Độ lệch chuẩn : ${s=\sqrt{s^2} \approx 0,65}$.
Xét bảng điểm Ngữ văn học sinh tổ 2:
Điểm trung bình: ${\bar{x}=\dfrac{6+7+\ldots+8,5}{8}=7,525}$.
Phương sai: ${s^2=\dfrac{1}{8}\left[\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2+\ldots+\left(x_8-\bar{x}\right)^2\right]
\approx 0,75}$.
Độ lệch chuẩn: ${s=\sqrt{s^2} \approx 0,87}$.
Do độ lệch chuẩn từ điểm số Ngữ văn của tổ 1 nhỏ hơn độ lệch
chuẩn từ điểm số Ngữ văn tổ 2 nên tổ 1 học Ngữ văn đồng đều hơn tổ 2 .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Bảng số liệu
sau thống kê nhiệt độ tại Thành phố Hồ Chí Minh trong một lần đo vào một ngày của
năm 2021:
|
Giờ đo |
${1 {~h}}$ |
${4 {~h}}$ |
${7 {~h}}$ |
${10 {~h}}$ |
${13 {~h}}$ |
${16 {~h}}$ |
${19 {~h}}$ |
${22 {~h}}$ |
|
Nhiệt độ (độ C) |
27 |
26 |
28 |
32 |
34 |
35 |
30 |
28 |
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho (làm tròn kết quả đến
hàng phần trăm).
Trả lời: 3,12
Lời giải
Số trung bình là : ${\bar{x}=\dfrac{27+26+\ldots+30+28}{8}=30\left({
}^0 C\right)}$.
Phương sai : ${s^2=\dfrac{1}{8}\left[\left(x_1-\bar{x}\right)^2+\left(x_2-\bar{x}\right)^2+\ldots+\left(x_8-\bar{x}\right)^2\right]}$
$=\dfrac{1}{8}\left[ {{(27-30)}^{2}}+{{(26-30)}^{2}}+\ldots
+{{(28-30)}^{2}} \right]=9,75.$
Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{{{s}^{2}}}\approx 3,12\left(
{}^\circ C \right)$.
Câu
2. Mẫu số liệu
sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày.
|
7 |
8 |
22 |
20 |
15 |
18 |
19 |
13 |
11 |
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này
Trả lời: 10
Lời giải
Trước hết ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm như
sau
|
7 |
8 |
11 |
13 |
15 |
18 |
19 |
29 |
22 |
Mẫu số liệu này gồm $9$ giá trị nên trung vị là số chính giữa ${Q_2=15}$.
Nửa số liệu bên trái là $7; 8; 11; 13$ gồm $4$ giá trị, hai phần tử
chính giữa là $8; 11$.
Do đó ${Q_1=\dfrac{8+11}{2}=9,5}$.
Nửa số liệu bên phải là $18; 19; 20; 22$ gồm $4$ giá trị, hai phần
tử chính giữa là $19; 20$.
Do đó ${Q_3=\dfrac{19+20}{2}=19,5}$.
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu này là ${\Delta_Q=Q_3-Q_1=10}$.
Câu
3. Hãy tìm giá
trị ngoại lệ của mẫu số liệu:
|
38 |
38 |
24 |
47 |
43 |
70 |
22 |
48 |
48 |
37 |
Trả lời: 70
Lời giải
Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: $22, 24, 35, 37, 38, 38, 43, 47, 48, 48, 70$
Cỡ mẫu là $n=11$, là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai
là: ${Q_2=38}$.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: ${22 ; 24 ; 35 ; 37
; 38}$. Do đó ${Q_1=35}$.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: ${43 ; 47 ; 48 ; 48 ;
70}$. Do đó ${Q_3=48}$.
Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ${\Delta_Q=Q_3-Q_1=48-35=13}$.
Do ${Q_3+1,5 \Delta_Q=48+1,5.13=67,5<70}$ nên $70$ là giá
trị ngoại lệ trong mẫu.
Câu
4. Mẫu số liệu
sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.
Trả lời: 13
Lời giải
Khoảng biến thiên: ${172-159=13}$.
