BÀI 1. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
1. Hàm số. Tập xác định và tập giá trị của hàm số
Giả sử $x$
và $y$ là hai đại lượng biến thiên và $x$ nhận giá trị thuộc tập số $D$.
Nếu với
mỗi giá trị $x$ thuộc $D$, ta xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng $y$
thuộc tập hợp số thực $\mathbb{R}$ thì ta có một hàm số.
Ta gọi $x$
là biến số và $y$ là hàm số của $x$.
Tập hợp $D$
được gọi là tập xác định của hàm số.
Tập hợp $T$
gồm tất cả các giá trị $y$ (tương ứng với $x$ thuộc $D$) gọi là tập giá
trị của hàm số.
Ta thường
dùng kí hiệu $f\left( x \right)$ để chỉ giá trị $y$ tương ứng với $x$, nên hàm
số còn được viết là $y=f\left( x \right)$.
Một hàm
số có thể được cho bằng bảng, bằng biểu đồ hoặc bằng công thức.
Chú
ý:
a) Khi một
hàm số được cho bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước: Tập
xác định của hàm số $y=f\left( x \right)$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao
cho biểu thức $f\left( x \right)$ có nghĩa.
b) Một
hàm số có thể được cho bởi hai hay nhiều công thức. Chẳng hạn, xét hàm số:
$f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & -3x+5\,\,\,\text{khi}\,\,x\le 1 \\ & 2{{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,\,x>1 \\ \end{align} \right.$
Nghĩa là
với $x\le 1$ thì $f\left( x \right)=-3x+5$; với $x>1$ thì $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}$.
— $\frac{1}{\sqrt{A}}$ xác định $\Leftrightarrow A>0$
— $\frac{1}{A\sqrt{B}}$ xác định $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & A\ne 0 \\ & B>0 \\ \end{align} \right.$
— $\sqrt{A}=B\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & B\ge 0 \\ & A={{B}^{2}} \\ \end{align} \right.$
— $\sqrt{A}=\sqrt{B}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & B\ge 0 \\ & A=B \\ \end{align} \right.$
— $\left| A \right| = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}B \geqslant 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} A = B \hfill \\ A = - B \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
— $\left|
A \right|=\left| B \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & A=B \\ & A=-B \\ \end{align} \right.$
—${{A}^{2}}>B\Leftrightarrow
\left[ \begin{align} & A>\sqrt{B} \\ & A<-\sqrt{B} \\ \end{align} \right.$ với $B\ge 0$
— ${{A}^{2}}<B\Leftrightarrow
-\sqrt{B}<A<\sqrt{B}$ với $B\ge 0$
— $\sqrt A < B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}A \geqslant 0 \hfill \\B \geqslant 0 \hfill \\ A < {B^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
— $\sqrt A > B \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{ \begin{gathered}B < 0 \hfill \\ A \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} B \geqslant 0 \hfill \\ A > {B^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
— $\sqrt{A}>\sqrt{B}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{align} & B\ge 0 \\ & A>B \\ \end{align} \right.$
— $\left|
A \right|<B\Leftrightarrow -B<A<B$
— $\left|
A \right|>B\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& A>B \\ & A<-B \\ \end{align} \right.$
— $\left|
A \right|>\left| B \right|\Leftrightarrow
{{A}^{2}}>{{B}^{2}}\Leftrightarrow \left( A+B \right)\left( A-B \right)>0$
2. Đồ
thị hàm số
Cho hàm
số $y=f\left( x \right)$ có tập xác định $D$.
Trên mặt
phẳng tọa độ $Oxy$, đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số là tập hợp
tất cả các điểm $M\left( x;y \right)$ với $x\in D$ và $y=f\left( x \right)$. Vậy
$\left( C \right)=\left\{ M\left( x;f\left( x \right) \right)|x\in D \right\}$.
Chú
ý:
Điểm $M\left(
{{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ khi và
chỉ khi ${{x}_{M}}\in D$ và ${{y}_{M}}=f\left( {{x}_{M}} \right)$.
3.
Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Với hàm
số $y=f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( a;b \right)$, ta nói:
Hàm số đồng
biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ nếu $\forall
{{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a;b \right):{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow
f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$ .
Hàm số nghịch
biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ nếu $\forall
{{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a;b \right):{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow
f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$ .
Hoặc:
Hàm số đồng
biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ nếu $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in
\left( a;b \right):{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Rightarrow \frac{f\left( {{x}_{1}}
\right)-f\left( {{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}>0$ .
Hàm số
nghịch biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ nếu $\forall
{{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( a;b \right):{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Rightarrow
\frac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}}
\right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}<0$ .
 |
 |
|
Hàm số đồng biến |
Hàm số nghịch biến |
Nhận
xét:
Khi hàm
số đồng biến (tăng) trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì đồ thị của nó
có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm)
trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái
sang phải.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu
1. Tìm tập xác định của các hàm số
a) $y=\frac{3x-1}{-2x+2}$.
b) $y=\frac{2x-1}{(2x+1)\left( x-3 \right)}$.
c) $y=\frac{1}{{{x}^{2}}+4x+5}$.
d) $y=\frac{2x+1}{{{x}^{3}}-3x+2}$.
Lời
giải
a) Hàm số xác định khi $-2x+2\ne
0\Leftrightarrow x\ne 1$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ 1 \right\}$.
b) Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{gathered}2x + 1 \ne 0 \hfill \\x - 3 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne \frac{{ - 1}}{2} \hfill \\x \ne 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ -\frac{1}{2};3 \right\}$.
c)
Ta có ${{x}^{2}}+4x+5={{\left( x+2 \right)}^{2}}+1>0$ với mọi $x\in
\mathbb{R}$.
Vậy
tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.
d)
Hàm số xác định khi ${{x}^{3}}-3x+2\ne 0\Leftrightarrow \left( x-1
\right)\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\ne 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {x - 1} \right) \ne 0 \hfill \\ \left( {{x^2} + x - 2} \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 1 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x \ne 1 \hfill \\ x \ne - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 1 \hfill \\ x \ne - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ -2;1 \right\}$.
Câu 2. Tìm
tập xác định của các hàm số sau :
a) $y=\frac{2}{(x+2)\sqrt{x+1}}$.
b) $y=\frac{x}{1-{{x}^{2}}}-\sqrt{-x}$.
c) $y=\frac{x-3\sqrt{2-x}}{\sqrt{x+2}}$.
d)$y=\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}}{(x-2)(x-3)}$.
e) $y=\sqrt{1-x}+\frac{1}{x\sqrt{1+x}}$.
Lời
giải
a)
Hàm số xác định
khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+2\ne 0 \\ x+1>0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ne -2 \\ x>-1 \\\end{array}\Leftrightarrow
x>-1 \right. \right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left(
1;+\infty \right)$.
b)
Hàm số xác định
khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1-{{x}^{2}}\ne 0 \\ -x\geqslant 0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ne \pm 1 \\ x \leqslant 0 \\\end{array}\Leftrightarrow
-1\ne x \leqslant 0 \right. \right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left(
-\infty ;0 \right]\backslash \left\{ -1 \right\}$.
c)
Hàm số xác định
khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2-x \geqslant 0 \\ x+2>0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x \leqslant 2 \\ x>-2 \\\end{array}\Leftrightarrow
-2<x \leqslant 2 \right. \right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left(
-2\,;\,2 \right]$.
d)
Hàm số xác định
khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-1 \geqslant 0 \\ 4-x \geqslant 0 \\ x-2\ne 0 \\ x-3\ne 0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x \geqslant 1 \\ x \leqslant 4 \\ x\ne 2 \\ x\ne 3 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1 \leqslant x \leqslant 4 \\ x\ne 2 \\ x\ne 3 \\\end{array} \right.
\right. \right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=[1\,;\,4]\backslash
\{2\,;\,3\}$.
e)
Hàm số xác định
khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1-x \geqslant 0 \\ x\ne 0 \\ 1+x>0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x \leqslant 1 \\ x\ne 0 \\ x>-1 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} -1<x \leqslant 1 \\ x\ne 0 \\\end{array} \right.
\right. \right.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D=(-1;1]\backslash
\{0\}$.
Câu 3. Tìm $m$ để các hàm số sau đây xác định với mọi $x$ thuộc khoảng $\left( 0;\,+\infty
\right)$.
a) $y=\sqrt{x-m}+\sqrt{2x-m-1}$.
b) $y=\sqrt{2x-3m+4}+\frac{x-m}{x+m-1}$.
Lời
giải
a)
Hàm số xác định
khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-m \geqslant 0 \\ 2x-m-1 \geqslant 0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x \geqslant m \\ x \geqslant \frac{m+1}{2} \\\end{array} \right.
\right.\,\,\,\left( * \right)$
+)
Nếu $m > \frac{m+1}{2}\Leftrightarrow
m>1$ thì $(*)\Leftrightarrow x \geqslant m$.
Khi đó tập xác định của hàm số
là $D=\left[ m;\,+\infty \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow
(0;+\infty )\subset [m;+\infty )\Leftrightarrow m0:$ không thỏa mãn $m\ge 1$.
+)
Nếu $m\le
\frac{m+1}{2}\Leftrightarrow m\le 1\text{ th }\!\!\grave{\mathrm{i}}\!\!\text{ }(*)\Leftrightarrow
x\frac{m+1}{2}$.
Khi đó tập xác định của hàm số
là $D=\left[ m;\,+\infty \right)$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow
(0;+\infty )\subset [\frac{m+1}{2};+\infty )\Leftrightarrow
\frac{m+1}{2}0\Leftrightarrow m\le -1:$ thỏa mãn điều kiện $m\le 1$.
Vậy $m\le 1$ thỏa mãn yêu cầu
bài toán.
b) Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-3m+4 \geqslant 0 \\ x+m-1\ne 0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x \geqslant \frac{3m-4}{2} \\ x\ne 1-m \\\end{array}
\right. \right.$
Do đó để hàm số xác định với mọi
$x$ thuộc khoảng $\left( 0;\,+\infty \right)$, ta phải có
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\frac{3m-4}{2} \leqslant 0 \\ 1-m \leqslant 0 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{*{35}{l}} m \leqslant \frac{4}{3} \\ m \geqslant 1 \\\end{array}\Leftrightarrow
1 \leqslant m \leqslant \frac{4}{3} \right. \right.$
Vậy $1\le m\le \frac{4}{3}$ thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
Câu
4. Tìm $m$ để các hàm số sau: $y=\frac{1}{\sqrt{x-m}}+\sqrt{-x+2m+6}$
xác định trên $\left( -1;\,0 \right)$.
Lời
giải
Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-m>0 \\ -x+2m+6\,\ge \,0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x>m \\ x\,\,\le \,2m+6 \\\end{array}\Leftrightarrow
m<x\le 2m+6 \right. \right.$
Do để hàm số xác định trên $\left(
-1;\,0 \right)$, ta phải có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m-1 \\ 2m+6\ge 0 \\\end{array}\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m-1 \\ m\ge -3 \\\end{array}\Leftrightarrow -3\le
m-1 \right. \right.$.
Vậy $-3\le m\le -1$ thỏa mãn yêu
cầu bài toán.
Câu
5. Khảo sát sự biến thiên và lập bảng biến thiên của các hàm số
sau:
a) $y=-2x+3\text{ }$ trên $\mathbb{R}$.
b) $y=-2{{x}^{2}}+4x+1$ trên khoảng
$\left( 3;+\infty \right)$.
c) $y=\sqrt{2x-7\text{ }}$ trên khoảng
$\left( \frac{7}{2};+\infty \right)$.
Lời giải
a) Với mọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in
\mathbb{R}$ và ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$.
Ta
có $f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=\left( -2{{x}_{1}}+3
\right)-\left( -2{{x}_{2}}+3 \right)=-2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$.
Suy
ra $\frac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}}
\right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=\frac{-2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=-2<0$.
Vậy
hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
b) Ta có $f\left(
{{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=\left( -2x_{1}^{2}+4{{x}_{1}}+1
\right)-\left( 2x_{2}^{2}+4{{x}_{2}}+1 \right)$
$=-2\left(
x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right)+4\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=-2\left(
{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2 \right)$.
Với
mọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 3;+\infty \right)$ và ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}>3 \\ {{x}_{2}}>3 \\\end{array}\Rightarrow
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}>6 \right.$.
Do
đó $\frac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}}
\right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=\frac{-2\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left(
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2
\right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=-2({{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2)<0$.
Vậy
hàm số nghịch biến trên $\left( 3;+\infty \right)$.
c) Với mọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in
\left( \frac{7}{2};+\infty \right)$ và ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$.
Ta
có $f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}}
\right)=\sqrt{2{{x}_{1}}-7}-\sqrt{2{{x}_{2}}-7}=\frac{2\left(
{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{\sqrt{2{{x}_{1}}-7}+\sqrt{2{{x}_{2}}-7}}$.
Suy
ra $\frac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}}
\right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2{{x}_{1}}-7}+\sqrt{2{{x}_{2}}-7}}>0$.
Vậy
hàm số nghịch biến trên $\left( \frac{7}{2};+\infty \right)$.
BÀI TẬP TRẮC
NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN
Câu 1. Tập
xác định của hàm số $y=\frac{x-3}{2x-2}$ là
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1
\right\}$.
B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 3
\right\}$.
C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2
\right\}$.
D. $\left( 1;+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định : $2x-2\ne
0\Leftrightarrow x\ne 1$
Nên tập xác định của hàm số là : $D=\mathbb{R}\backslash
\left\{ 1 \right\}$.
Câu
2. Tập xác định của hàm số $y=\frac{5}{{{x}^{2}}-1}$ là
A. $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1
\right\}$.
B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;1
\right\}$.
C. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 1
\right\}$.
D. $\mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho xác định khi ${{x}^{2}}-1\ne
0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ne 1 \\ & x\ne -1 \\ \end{align} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;1
\right\}$.
Câu 3. Tập
xác định $D$ của hàm số $y=\sqrt{3x-1}$ là
A. $D=\left(
0;+\infty \right)$.
B. $D=\left[
0;+\infty \right)$.
C. $D=\left[
\frac{1}{3};+\infty \right)$.
D. $D=\left(
\frac{1}{3};+\infty \right)$.
Lời giải
Chọn C
Hàm số $y=\sqrt{3x-1}$
xác định $\Leftrightarrow 3x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{3}$.
Vậy: $D=\left[
\frac{1}{3};+\infty \right)$.
Câu
4. Tập xác định
$D$ của hàm số $y=\sqrt{x+2}+4\sqrt{3-x}$ là
A. $D=\left(
-2;3 \right).$
B. $D=\left[
-3;+\infty \right).$
C. $D=\left(
-\infty ;3 \right].$
D. $D=\left[
-2;3 \right].$
Lời giải
Chọn D
Để hàm số
$y=\sqrt{x+2}+4\sqrt{3-x}$ xác định thì $\left\{ \begin{gathered}
x + 2 \geqslant 0 \hfill \\
3 - x \geqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \geqslant - 2 \hfill \\
x \leqslant 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow x \in \left[ { - 2;3} \right].$
Câu 5. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=\frac{x+1}{\left(
x-3 \right)\sqrt{2x-1}}$.
A. $D=\left(
-\frac{1}{2};+\infty \right)\backslash
\left\{ 3 \right\}$.
B. $D=\mathbb{R}$.
C. $D=\left(
\frac{1}{2};+\infty \right)\backslash
\left\{ 3 \right\}$.
D. $D=\left[
\frac{1}{2};+\infty \right)\backslash
\left\{ 3 \right\}$.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện
xác định: $\left\{ \begin{gathered}
x - 3 \ne 0 \hfill \\
2x - 1 > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \ne 3 \hfill \\
x > \frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy tập
xác định của hàm số đã cho là: $D=\left( \frac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}$.
Câu
6. Với giá trị
nào của $m$ thì hàm số $y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-2x-3-m}$ xác định trên $\mathbb{R}$.
A. $m\le
-4$.
B. $m<-4$.
C. $m>0$.
D. $m<4$.
Lời giải
Chọn
B
Hàm số $y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-2x-3-m}$
xác định trên $\mathbb{R}$ khi phương trình ${{x}^{2}}-2x-3-m=0$ vô nghiệm, khi
và chỉ khi ${\Delta }'=m+4<0\Leftrightarrow m<-4$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Câu
1. Xét tính
đúng, sai của các khẳng định sau
a) Tập xác định của hàm số ${y=\frac{x^2-2 x+3}{x+7}}$ là ${D=\mathbb{R}
\backslash\{-7\}}$.
b) Tập xác định của hàm số ${y=\sqrt{x-6}}$ là ${D=\mathbb{R}}$.
c) Tập xác định của hàm số ${y=3 x^2}$ là ${D=\mathbb{R}}$.
d) Tập xác định của hàm số ${y=\sqrt{1-x^2}}$ là ${D=[-1 ;
1]}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
a) Hàm số ${y=\frac{x^2-2 x+3}{x+7}}$ xác định khi ${x+7
\neq 0 \Leftrightarrow x \neq-7}$.
Vậy tập xác định của hàm số ${y=\frac{x^2-2 x+3}{x+7}}$ là ${D=\mathbb{R}
\backslash\{-7\}}$.
b) Hàm số ${y=\sqrt{x-6}}$ xác định khi ${x-6 \geq 0
\Leftrightarrow x \geq 6}$.
Vậy tập xác định của hàm số ${y=\sqrt{x-6}}$ là ${D=[6
;+\infty)}$.
c) Tập xác định của hàm số ${y=3 x^2}$ là ${D=\mathbb{R}}$.
d) Hàm số ${y=\sqrt{1-x^2}}$ xác định khi ${1-x^2 \geq 0
\Leftrightarrow-1 \leq x \leq 1}$.
Vậy tập xác định của hàm số ${y=\sqrt{1-x^2}}$ là ${D=[-1 ;
1]}$.
Câu
2. Xét tính
đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số ${f(x)=\frac{3}{x-1}}$ nghịch biến trên khoảng ${(1
;+\infty)}$.
b) Hàm số ${f(x)=x+\frac{1}{x}}$ nghịch biến trên khoảng ${(1
;+\infty)}$.
c) Hàm số ${f(x)=\sqrt{2-x}}$ đồng biến trên khoảng ${(-\infty
; 2)}$.
d) Hàm số ${f(x)=\sqrt{x^2+1}}$ đồng biến trên khoảng ${(0 ;
2)}$.
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Đúng
a) Xét ${T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}$
với mọi ${x_1, x_2 \in(1 ;+\infty), x_1 \neq x_2}$.
Ta có ${f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\frac{3}{x_2-1}-\frac{3}{x_1-1}=\frac{3\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}}$
$\Rightarrow T=\frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left(
{{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=-\frac{3}{\left( {{x}_{2}}-1
\right)\left( {{x}_{1}}-1 \right)}\text{. }$
Ta thấy với ${x_1, x_2 \in(1 ;+\infty)}$ thì ${x_2-1>0,
x_1-1>0 \Rightarrow T=-\frac{3}{\left(x_2-1\right)\left(x_1-1\right)}<0}$.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ${(1 ;+\infty)}$.
b) Xét ${T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}$
với mọi ${x_1, x_2 \in(1 ;+\infty), x_1 \neq x_2}$.
Ta có: ${f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)-\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)=\left(x_2-x_1\right)+\frac{x_1-x_2}{x_1
x_2}=\left(x_2-x_1\right)\left(1-\frac{1}{x_1 x_2}\right)}$.
Suy ra ${T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=1-\frac{1}{x_1
x_2}=\frac{x_1 x_2-1}{x_1 x_2}}$.
Ta thấy với ${x_1, x_2 \in(1 ;+\infty)}$ thì ${x_1 x_2>1
\Rightarrow x_1 x_2-1>0 \Rightarrow T=\frac{x_1 x_2-1}{x_1 x_2}>0}$.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ${(1 ;+\infty)}$.
c) Xét ${T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}$
với mọi ${x_1, x_2 \in(-\infty ; 2), x_1 \neq x_2}$.
Ta có: ${f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\sqrt{2-x_2}-\sqrt{2-x_1}=\frac{\left(2-x_2\right)-\left(2-x_1\right)}{\sqrt{2-x_2}+\sqrt{2-x_1}}=\frac{-\left(x_2-x_1\right)}{\sqrt{2-x_2}+\sqrt{2-x_1}}}$.
Suy ra ${T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{-1}{\sqrt{2-x_2}+\sqrt{2-x_1}}<0}$.
Do vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ${(-\infty ; 2)}$.
d) Xét ${T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}$
với mọi ${x_1, x_2 \in(0 ; 2), x_1 \neq x_2}$.
Ta có: ${f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\sqrt{x_2^2+1}-\sqrt{x_1^2+1}=\frac{\left(x_2^2+1\right)-\left(x_1^2+1\right)}{\sqrt{x_2^2+1}+\sqrt{x_1^2+1}}=\frac{\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+x_1\right)}{\sqrt{x_2^2+1}+\sqrt{x_1^2+1}}}$.
Suy ra: ${T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{x_2+x_1}{\sqrt{x_2^2+1}+\sqrt{x_1^2+1}}}$.
Dễ thấy khi ${x_1, x_2 \in(0 ; 2)}$ thì ${T>0}$. Hàm số đồng
biến trên khoảng ${(0 ; 2)}$.
Câu
3. Xét tính
đúng, sai của các khẳng định sau
a) Hàm số ${y=\sqrt{3 x+9}}$ có tập xác định là $D=[9;+\infty
)$
b) Hàm số ${y=\frac{1}{\sqrt{5-2 x}}}$ có tập xác định là ${D=\left(-\infty
; \frac{5}{2}\right)}$
c) Hàm số ${y=\sqrt{4-x}+\sqrt{x-2}}$ có tập xác định là ${D=[2
; 4]}$
d) Hàm số ${y=\frac{3}{x-1}+\sqrt{x+1}}$ có tập xác định là ${D=[-1
; 1) \cup(1 ;+\infty)}$
Lời giải
a) Sai
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) ĐKXĐ: ${3 x+9 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq-3}$. Vậy TXĐ
hàm số là $D=[-3;+\infty )$.
b) ĐKXĐ: ${5-2 x>0 \Leftrightarrow x<\frac{5}{2}}$. Vậy
TXĐ hàm số là ${D=\left(-\infty ; \frac{5}{2}\right)}$.
c)ĐKXĐ: ${\left\{\begin{array}{l}4-x \geq 0 \\ x-2 \geq
0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \leq 4 \\ x \geq
2\end{array}\right.\right.}$. Vậy TXĐ hàm số là ${D=[2 ; 4]}$.
d) ĐKXĐ: ${\left\{\begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ x-1 \neq
0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq-1 \\ x \neq
1\end{array}\right.\right.}$. Vậy TXĐ hàm số là ${D=[-1 ; 1) \cup(1 ;+\infty)}$.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU TRẢ LỜI
NGẮN
Câu
1. Cho hàm số ${y=\sqrt{2
x-3 m+4}+\frac{x}{x+m-1}}$ với ${m}$ là tham số. Tìm giá trị ${m}$ để hàm số có
tập xác định là ${[0 ;+\infty)}$.
Trả lời: 1,33
Lời giải
Hàm số xác định ${\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}2
x-3 m+4 \geq 0 \\ x+m-1 \neq 0\end{array}
\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x \geq \frac{3 m-4}{2} \\ x \neq
1-m\end{array}\right.\right.}$.
Trường hợp 1: ${1-m \geq \frac{3 m-4}{2} \Leftrightarrow m
\leq \frac{6}{5}}$, tập xác định hàm số ${D=\left[\frac{3 m-4}{2}
;+\infty\right) \backslash\{1-m\}}$.
Tập xác định này không thể bằng ${[0 ;+\infty)}$ theo đề
bài. Do đó ${m \leq \frac{6}{5}}$ không thỏa mãn.
Trường hợp 2: $1-m<\frac{3m-4}{2}\Leftrightarrow
m>\frac{6}{5}$, tập xác định của hàm số là ${D=\left[\frac{3 m-4}{2}
;+\infty\right)}$.
Do đó, hàm số có tập xác định là ${[0 ;+\infty)
\Leftrightarrow \frac{3 m-4}{2}=0 \Leftrightarrow m=\frac{4}{3}}$ (thỏa mãn).
Vậy ${m=\frac{4}{3}}$ là giá trị cần tìm.
Câu
2. Tìm giá trị
của tham số ${m}$ để: Hàm số ${y=\sqrt{x-m}+\sqrt{2 x-m+1}}$ xác định trên ${(0
;+\infty)}$ khi và chỉ khi $m\le a$. Tìm $a$
Trả lời: $-1$
Lời giải
Hàm số xác định khi ${\left\{\begin{array}{l}x-m \geq 0 \\ 2
x-m-1 \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq m \\ x
\geq \frac{m+1}{2}\end{array}\right.\right.}$
- TH1: Nếu ${m \geq \frac{m+1}{2} \Leftrightarrow m \geq 1}$
thì ${(*) \Leftrightarrow x \geq m}$ suy ra TXĐ của hàm số là ${{D}=[m
;+\infty)}$.
Khi đó, hàm số xác định trên ${(0 ;+\infty)
\Leftrightarrow(0 ;+\infty) \subset[m ;+\infty) \Leftrightarrow m \leq 0}$
(không thỏa)
- TH2: Nếu ${m \leq \frac{m+1}{2} \Leftrightarrow m \leq 1}$
thì ${(*) \Leftrightarrow x \geq \frac{m+1}{2}}$ suy ra TXĐ. ${D=\left[\frac{m+1}{2}
;+\infty\right)}$.
Khi đó, hàm số xác định trên ${(0 ;+\infty)
\Leftrightarrow(0 ;+\infty) \subset\left[\frac{m+1}{2} ;+\infty\right)
\Leftrightarrow \frac{m+1}{2} \leq 0 \Leftrightarrow m \leq-1}$ (thỏa mãn điều
kiện ${m \leq 1}$). Vậy ${m \leq-1}$ là giá trị cần tìm.
