BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là bất phương trình có một trong các dạng:
$ax + by + c < 0,ax + by + c > 0,ax + by + c \leqslant 0,ax + by + c \geqslant 0 $ trong đó $a,b,c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$; $x$ và $y$ là các ẩn số.
Mỗi cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho $ax_0 + by_0 < c$ gọi là một nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0 $,
Nghiệm của các bất phương trình dạng $ax + by > c,ax + by \leqslant c,ax + by \geqslant c $ cũng được định nghĩa tương tự.
Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.
Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
Định lí
Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng $\left( d \right):ax + by + c = 0 $ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ $(d)$) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình $ax + by + c > 0 $ , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ $(d)$) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình $ax + by + c < 0 $.
Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0 $, ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:
Bước 1. Vẽ đường thẳng $\left( d \right):ax + by + c < 0 $.
Bước 2. Xét một điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) $ không nằm trên $(d)$.
Nếu $a{x_0} + b{y_0} + c < 0 $ thì nửa mặt phẳng (không kể bờ $(d)$) chứa điểm $M$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c < 0 $.
Nếu $a{x_0} + b{y_0} + c > 0 $ thì nửa mặt phẳng (không kể bờ $(d)$) không chứa điểm $M$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax + by + c > 0 $.
Chú ý
Đối với các bất phương trình dạng $ax + by + c \leqslant 0 $ hoặc $ax + by + c \geqslant 0 $ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.
2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại.
Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a) $2x - y \geqslant {\text{ }}0.$
b) $\dfrac{{x - 2y}}{2} > \dfrac{{2x + y + 1}}{3}.$
Lời giải
a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\left( d \right):{\text{ 2}}x - y = 0 $. Ta có $\left( d \right)$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm $M\left( {1;0} \right) $. Ta thấy $(1;0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $M\left( {1;0} \right) $ (Miền không được tô màu trên hình vẽ).
b) Ta có $\dfrac{{x - 2y}}{2} > \dfrac{{2x - y + 1}}{3} \Leftrightarrow 3\left( {x - 2y} \right) - 2\left( {2x - y + 1} \right) > 0$
$ \Leftrightarrow - x - 4y - 2 > 0 \Leftrightarrow x + 4y + 2 < 0.$
Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng $\Delta :x + 4y + 2 = 0.$
Xét điểm ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $, thấy $\left( {0;0} \right) $ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ (không kể đường thẳng $\Delta $) và không chứa điểm ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $ (Miền không được tô màu trên hình vẽ).
Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:
a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - 2 \geqslant 0} \\ {x - 3y + 3 \leqslant 0} \end{array}} \right.$
b) $\left\{ \begin{gathered} x + y > 0 \hfill \\ 2x - 3y + 6 > 0 \hfill \\ x - 2y + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Lời giải
a) Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x + y - 2 = 0,\left( {d'} \right):x - 3y + 3 = 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Xét điểm ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $, thấy $\left( {0;0} \right) $ không phải là nghiệm của bất phương trình $x + y - 2 \geqslant 0$ và $x - 3y + 3 \leqslant 0$ do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( {d'} \right)$.
b) Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x + y = 0,\left( {d'} \right):2x - 3y + 6 = 0$ và trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Xét điểm ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $, thấy $\left( {0;0} \right) $ là nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 > 0$ và $x - 2y + 1 \geqslant 0$. Do đó ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x - 3y + 6 > 0$ và $x - 2y + 1 \geqslant 0$.
Xét điểm $M\left( {1;0} \right)$ ta thấy $\left( {1;0} \right)$ là nghiệm của bất phương trình $x + y > 0$ do đó điểm $M\left( {1;0} \right)$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x + y > 0$.
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng.
Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm bất phương trình $\left( {x - y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right) \geqslant 0$.
Lời giải
Ta có $\left( {x - y} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) \geqslant 0$
$ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y \geqslant 0} \\ {x + y \geqslant 0} \end{array}} \right.$ (1) hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y \leqslant 0} \\ {x + y \leqslant 0} \end{array}} \right.$ (2)
Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) và (2).
Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x + y = 0,\left( {d'} \right):x - y = 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Xét điểm $M\left( {1;0} \right)$, ta có $\left( {1;0} \right)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ (1) do đó $M\left( {1;0} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1). Xét điểm $N\left( { - 1;0} \right)$, ta có $\left( { - 1;0} \right)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ (2) do đó $N\left( { - 1;0} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (2).
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left( d \right),\left( {d'} \right)$.
Ví dụ 4: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: $x - 3y \geqslant {\text{ }}0 $.
Lời giải
Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\left( d \right):{\text{ }}x - 3y = 0 $.
Ta thấy $(1;0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $M\left( {1;0} \right) $(Miền không được tô màu trên hình vẽ).
Ví dụ 5: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: $\dfrac{{x - y}}{{ - 2}} < x + y + 1$.
Lời giải
Ta có $\dfrac{{x - y}}{{ - 2}} < x + y + 1 \Leftrightarrow x - y + 2\left( {x + y + 1} \right) > 0$
$ \Leftrightarrow 3x + y + 2 > 0$.
Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng $\Delta :3x + y + 2 = 0$.
Xét điểm ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $, thấy $\left( {0;0} \right) $ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ (không kể đường thẳng $\Delta $) và không chứa điểm ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $ (Miền không được tô màu trên hình vẽ).
Ví dụ 6: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y - 2 < 0} \\ {x - y + 3 \geqslant 0} \end{array}} \right.$.
Lời giải
Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x + y - 2 = 0,\left( {d'} \right):x - y + 3 = 0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Xét điểm ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $, thấy $\left( {0;0} \right) $ là nghiệm của bất phương trình $x + y - 2 < 0$ và $x - y + 3 \geqslant 0$ do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left( {d'} \right)$.
Ví dụ 7: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{gathered} x + y + 2 > 0 \hfill \\ 2x - 3y - 6 \leqslant 0 \hfill \\ x - 2y + 3 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Lời giải
Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x + y + 2 = 0,\left( {d'} \right):2x - 3y - 6 = 0$ và trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Xét điểm ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $, thấy $\left( {0;0} \right) $ là nghiệm của bất phương trình $x + y + 2 > 0$ và $2x - 3y - 6 \leqslant 0$. Do đó ${\text{O}}\left( {0;0} \right) $ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x + y + 2 > 0$ và $2x - 3y - 6 \leqslant 0$.
Xét điểm $M\left( {0;3} \right)$ ta thấy $\left( {0;3} \right)$ là nghiệm của bất phương trình $x - 2y + 3 \leqslant 0$ do đó điểm $M\left( {0;3} \right)$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x - 2y + 3 \leqslant 0$.
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng.
