BÀI 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Đơn vị rađian
Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian.
1 rađian còn viết tắt là 1 rad.
Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.
b) Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian
Cung tròn bán kính $R$ có số đo $\alpha \left( {0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi } \right)$, có số đo ${a^0}\left( {0 \leqslant a \leqslant 360} \right)$ và có độ dài là $l$ thì:
$l = R\alpha = \dfrac{{\pi a}}{{180}}.R$.
Đặc biệt: $1rad = {\left( {\dfrac{{180}}{\pi }} \right)^0},{1^0} = \dfrac{\pi }{{180}}rad$.
2. Góc và cung lượng giác
a) Đường tròn định hướng
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương (cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia $Ou,Ov$ lần lượt cắt đường tròn tại $U$ và $V$. Tia $Om$ cắt đường tròn tại $M$, tia $Om$ chuyển động theo một chiều (âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm $M$ cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.
Tia $Om$ chuyển động theo một chiều từ $Ou$ đến trùng với tia $Ov$ thì ta nói tia $Om$ đã quét được một góc lượng giác tia đầu là $Ou$, tia cuối là $Ov$. Kí hiệu $\left( {Ou,Ov} \right)$.
Điểm $M$ chuyển động theo một từ điểm $U$ đến trùng với điểm $V$ thì ta nói điểm $M$ đã vạch nên một cung lượng giác điểm đầu $U$, điểm cuối $V$. Kí hiệu là.
Tia $Om$ quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia $Om$ quay góc ${360^0}$ (hay $2\pi $), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc ${2.360^0} = {720^0}$ (hay $4\pi $), quay theo chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay góc $ - {90^0}$(hay $ - \dfrac{\pi }{2}$),…
Ta coi số đo của góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ là số đo của cung lượng giác.
3. Đường tròn lượng giác
Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị, định hướng (quy ước chiều dương ngược chiều kim đồng hồ) và trên đó chọn điểm $A$ làm gốc.
Điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho $\left( {OA,OM} \right) = \alpha $ gọi là điểm xác định bởi số $\alpha $ (hay bởi cung $\alpha $, hay bởi góc $\alpha $). Điểm $M$ còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo $\alpha $.
Nhận xét
Ứng với mỗi số thực $\alpha $ có một điểm nằm trên đường tròn lượng (điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực. Các số thực có dạng là $\alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
Biểu diễn góc và cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau
- Góc $\alpha $ và góc $\alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
- Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng $\alpha + \dfrac{{k2\pi }}{m}$ ( với $k$ là số nguyên và $m$ là số nguyên dương) là $m.$ Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho $k$ từ $0$ tới $\left( {m - 1} \right)$ rồi biểu diễn các góc đó.
Ví dụ 1:
a) Đổi số đo của các góc ${72^0}$ ra rađian.
b) Đổi số đo của các góc ${600^0}$ ra rađian.
Lời giải
a) Vì ${1^0} = \dfrac{\pi }{{180}}rad$ nên ${72^0} = 72.\dfrac{\pi }{{180}} = \dfrac{{2\pi }}{5},{600^0} = 600.\dfrac{\pi }{{180}} = \dfrac{{10\pi }}{3},$
$ - {37^0}45'30'' = - {37^0} - {\left( {\dfrac{{45}}{{60}}} \right)^0} - {\left( {\dfrac{{30}}{{60.60}}} \right)^0} = {\left( {\dfrac{{4531}}{{120}}} \right)^0} = \dfrac{{4531}}{{120}}.\dfrac{\pi }{{180}} \approx 0,6587$
b) Vì $1rad = {\left( {\dfrac{{180}}{\pi }} \right)^0}$ nên $\dfrac{{5\pi }}{{18}} = {\left( {\dfrac{{5\pi }}{{18}}.\dfrac{{180}}{\pi }} \right)^0} = {50^o},\dfrac{{3\pi }}{5} = {\left( {\dfrac{{3\pi }}{5}.\dfrac{{180}}{\pi }} \right)^0} = {108^o},$
$ - 4 = - {\left( {4.\dfrac{{180}}{\pi }} \right)^0} = - {\left( {\dfrac{{720}}{\pi }} \right)^0} \approx - {2260^0}48'$.
Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính $36m$. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là
a) $\dfrac{{3\pi }}{4}$.
b) ${51^0}$.
c) $\dfrac{1}{3}$.
Lời giải
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có $l = R\alpha = \dfrac{{\pi a}}{{180}}.R$ nên
a) Ta có $l = R\alpha = 36.\dfrac{{3\pi }}{4} = 27\pi \approx 84,8m$.
b) Ta có $l = \dfrac{{\pi a}}{{180}}.R = \dfrac{{\pi 51}}{{180}}.36 = \dfrac{{51\pi }}{5} \approx 32,04m$.
c) Ta có $l = R\alpha = 36.\dfrac{1}{3} = 12m$.
Ví dụ 3: Tìm số đo $\alpha $ của góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ với $0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi $, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a) $\dfrac{{33\pi }}{4}$.
b) $ - \dfrac{{291983\pi }}{3}$.
c) $30$.
Lời giải
a) Mọi góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ có số đo là $\dfrac{{33\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.
Vì $0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi $ nên $0 \leqslant \dfrac{{33\pi }}{4} + k2\pi \leqslant 2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 0 \leqslant \dfrac{{33}}{4} + k2 \leqslant 2,k \in \mathbb{Z}$
$ \Leftrightarrow - \dfrac{{33}}{8} \leqslant k \leqslant - \dfrac{{25}}{8},k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k = - 4$.
Suy ra $\alpha = \dfrac{{33\pi }}{4} + \left( { - 4} \right).2\pi = \dfrac{\pi }{4}$.
b) Mọi góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ có số đo là $ - \dfrac{{291983\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
Vì $0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi $ nên $0 \leqslant - \dfrac{{291983\pi }}{3} + k2\pi \leqslant 2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 0 \leqslant - \dfrac{{291983}}{3} + k2 \leqslant 2,k \in \mathbb{Z}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{291983}}{6} \leqslant k \leqslant \dfrac{{291989}}{6},k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k = 48664$.
Suy ra $\alpha = - \dfrac{{291983\pi }}{3} + 48664.2\pi = \dfrac{\pi }{3}$.
c) Mọi góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ có số đo là $30 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
Vì $0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi $ nên $0 \leqslant 30 + k2\pi \leqslant 2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 0 \leqslant \dfrac{{15}}{\pi } + k \leqslant 1,k \in \mathbb{Z}$
$ \Leftrightarrow - \dfrac{{15}}{\pi } \leqslant k \leqslant \dfrac{{\pi - 15}}{\pi },k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow k = - 4$.
Suy ra $\alpha = 30 + \left( { - 4} \right).2\pi = 30 - 8\pi \approx 4,867$.
Ví dụ 4: Cho góc lượng giác $\left( {Ou,Ov} \right)$ có số đo $ - \dfrac{\pi }{7}$. Trong các số $ - \dfrac{{29\pi }}{7}; - \dfrac{{22}}{7};\dfrac{{6\pi }}{7};\dfrac{{41\pi }}{7}$, những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
Lời giải
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của $2\pi $, do đó:
Vì $ - \dfrac{{29\pi }}{7} - \left( { - \dfrac{\pi }{7}} \right) = \left( { - 2} \right).2\pi $, $ - \dfrac{{22}}{7} - \left( { - \dfrac{\pi }{7}} \right) = - 3\pi $, $\dfrac{{6\pi }}{7} - \left( { - \dfrac{\pi }{7}} \right) = \pi $ và $\dfrac{{41\pi }}{7} - \left( { - \dfrac{\pi }{7}} \right) = 3.2\pi $ nên các số $ - \dfrac{{29\pi }}{7};\dfrac{{41\pi }}{7}$ là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
Ví dụ 5: Biểu diễn các góc (cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:
a) $\dfrac{\pi }{4}$.
b) $ - \dfrac{{11\pi }}{2}$.
c) ${120^0}$.
d) $ - {765^0}$.
Lời giải
a) Ta có $\dfrac{\pi }{4} = {45^0}$. Khi đó điểm ${M_1}$ là điểm biểu diễn bởi góc có số đo $\dfrac{\pi }{4}$.
b) Ta có $ - \dfrac{{13\pi }}{2} = - \dfrac{\pi }{2} + \left( { - 3} \right).2\pi $ do đó điểm biểu diễn bởi góc $ - \dfrac{{11\pi }}{2}$ trùng với góc $ - \dfrac{\pi }{2}$ và là điểm $B'$.
c) Điểm ${M_2}$ là điểm biểu diễn bởi góc có số đo ${120^0}$.
d) Ta có $ - {765^0} = - {45^0} + \left( { - 2} \right){.360^0}$ do đó điểm biểu diễn bởi góc $ - {765^0}$ trùng với góc $ - {45^0}$. Khi đó điểm ${M_3}$(điểm chính giữa cung nhỏ ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo $ - {765^0}$.
Ví dụ 6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo sau:
a) $\dfrac{\pi }{3}$.
b) $ - \dfrac{{17\pi }}{4}$.
c) $ - {45^0}$.
d) ${765^0}$.
Lời giải
a) Ta có $\dfrac{\pi }{3} = {60^0}$. Khi đó điểm ${M_1}$ là điểm biểu diễn bởi góc có số đo $\dfrac{\pi }{3}$.
b) Ta có $ - \dfrac{{17\pi }}{4} = - \dfrac{\pi }{4} + \left( { - 2} \right).2\pi $ do đó điểm biểu diễn bởi góc $ - \dfrac{{17\pi }}{4}$ trùng với góc $ - \dfrac{\pi }{4}$ và là điểm ${M_2}$.
c) Điểm ${M_2}$ là điểm biểu diễn bởi góc có số đo $ - {45^0}$.
d) Ta có ${765^0} = {45^0} + {2.360^0}$ do đó điểm biểu diễn bởi góc ${765^0}$ trùng với góc ${45^0}$. Khi đó điểm ${M_3}$ (điểm chính giữa cung nhỏ ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo ${765^0}$.
Ví dụ 7: Trên đường tròn lượng giác gốc $A$. Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với $k$ là số nguyên tùy ý).
${x_1} = k\pi $;
${x_2} = \dfrac{\pi }{3} + k\pi $;
${x_3} = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải
Ta có ${x_1} = \dfrac{{k2\pi }}{2}$ do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng ${x_1} = k\pi $ :
Với $k = 0 \Rightarrow {x_1} = 0$ được biểu diễn bởi điểm $A$ ;
$k = 1 \Rightarrow {x_1} = \pi $ được biểu diễn bởi $A'$.
${x_2} = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{2k\pi }}{2}$ do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng ${x_2} = \dfrac{\pi }{3} + k\pi $ :
$k = 0 \Rightarrow {x_2} = \dfrac{\pi }{3}$ được biểu diễn bởi ${M_1}$ ;
$k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{4\pi }}{3}$ được biểu diễn bởi ${M_2}$.
${x_3} = - \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{2}$ do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng ${x_3} = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi $ :
$k = 0 \Rightarrow {x_3} = - \dfrac{\pi }{3}$ được biểu diễn bởi ${M_3}$ ;
$k = 1 \Rightarrow {x_6} = \dfrac{{2\pi }}{3}$ được biểu diễn bởi ${M_4}$.
Do các góc lượng giác ${x_1},{x_2},{x_3}$ được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều $A{M_1}{M_4}A'{M_2}{M_3}$ nên các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là $x = \dfrac{{k\pi }}{3}$.
Ví dụ 8: Trên đường tròn lượng giác gốc $A$. Biểu diễn các góc lượng giác có số đo là $x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}$ ($k$ là số nguyên tùy ý).
Lời giải
Ta có $x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{{2\pi }}{4}$ do đó có bốn điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng $x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}$ :
Với $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{4}$ được biểu diễn bởi điểm ${M_1}$ :
$k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{4}$ được biểu diễn bởi ${M_2}$ ;
$k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{{5\pi }}{4}$ được biểu diễn bởi ${M_3}$ ;
$k = 3 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{4}$ được biểu diễn bởi ${M_4}$.
Vậy góc lượng giác có số đo là $x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}$ được biểu diễn bởi đỉnh của hình vuông ${M_1}{M_2}{M_3}{M_4}$.
Ví dụ 9: Trên đường tròn lượng giác gốc $A$. Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với $k$ là số nguyên tùy ý).
${x_1} = k\pi $;
${x_2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải
Các góc lượng giác ${x_1} = k\pi $ được biểu diễn bởi hai điểm là $A$ và $A'$ trên đường tròn lượng giác. Các góc lượng giác ${x_2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $ được biểu diễn bởi hai điểm là $B$ và $B'$ trên đường tròn lượng giác.
Từ đó suy ra các góc ${x_1},{x_2}$ có thể viết dưới dạng một công thức là $\dfrac{{k\pi }}{2}$.
