BÀI 5. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ
1. Số gần đúng
Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết số gần đúng của nó.
Ví dụ: Giá trị gần đúng của $\pi$ là $3,14$ hay $3,14159$; còn đối với $\sqrt 2$ là $1,41$ hay $1,414$. Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó. Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối.
2. Sai số tuyệt đối
a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng
Nếu $a$ là số gần đúng của $\overline a $ thì ${\Delta _a}$ = $\left| {\overline a - a} \right|$ được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$.
Độ chính xác của một số gần đúng:
Trong thực tế, nhiều khi ta không biết $\overline a $ nên ta không tính được ${\Delta _a}$. Tuy nhiên ta có thể đánh giá ${\Delta _a}$ không vượt quá một số dương $d$ nào đó.
Nếu ${\Delta _a} \leqslant d$ thì $a{\text{ }} - {\text{ }}d{\text{ }} \leqslant \overline a \leqslant {\text{ }}a{\text{ }} + {\text{ }}d$, khi đó ta viết $\overline a = {\text{ }}a{\text{ }} \pm {\text{ }}d$.
$d$ được gọi là độ chính xác của số gần đúng.
b) Sai số tương đối
Sai số tương đối của số gần đúng $a$, kí hiệu là $δa$ là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và $\left| a \right|$, tức là $δa =$$\dfrac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}$.
Nhận xét: Nếu $\overline a = {\text{ }}a{\text{ }} \pm {\text{ }}d$ thì ${\Delta _a} \leqslant d$ suy ra ${\delta _a} \leqslant \dfrac{d}{{\left| a \right|}}$. Do đó $\dfrac{d}{{\left| a \right|}}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đặc hay tính toán càng cao.
3. Quy tròn số gần đúng
Nguyên tắc quy tròn các số như sau:
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn $5$ thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi $0$.
Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng $5$ thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi $0$ và cộng thêm một đơn vị vào số hàng làm tròn.
Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng số nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn.
Như vậy, độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.
Chú ý: Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước.
Cho số gần đúng $a$ với độ chính xác $d$. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn $a$ đến hàng cao nhất mà $d$ nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.
4. Chữ số chắc (đáng tin)
Cho số gần đúng $a$ của số $\overline a $ với độ chính xác $d$. Trong số $a$ một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu $d$ không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó.
Nhận xét: Tất cả cá chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc.
5. Dạng chuẩn của số gần đúng
Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ chắc chắn.
Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là: $A.10^k$ trong đó $A$ là số nguyên, $k$ là hàng thấp nhất có chữ số chắc $\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$. (suy ra mọi chữ số của $A$ đều là chữ số chắc chắn).
Khi đó độ chính xác $d = 0,{5.10^k}$.
6. Kí hiệu khoa học của một số
Mọi số thập phân khác $0$ đều viết được dưới dạng $\alpha {.10^n}$, $1 \leqslant \left| \alpha \right| < 10$, $n \in \mathbb{N}$ (Quy ước ${10^{ - n}} = \dfrac{1}{{{{10}^n}}}$) dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó.
Ví dụ 1: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là $152m \pm 0,2m$, điều đó có nghĩa là gì?
A. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nằm trong khoảng từ $151,8m$ đến $152,2m$.
B. Chiều dài đúng của cây cầu là một số lớn hơn $152m$.
C. Chiều dài đúng của cây cầu là một số nhỏ hơn $152m$.
D. Chiều dài đúng của cây cầu là $151,8m$ hoặc là $152,2m$.
Lời giải
Chọn A.
Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là $152m \pm 0,2m$ có nghĩa là chiều dài đúng của cây cầu là một số nằm trong khoảng từ $151,8m$ đến $152,2m$.
Ví dụ 2: Khi tính diện tích hình tròn bán kính $R = 3cm$, nếu lấy $\pi = 3,14$ thì độ chính xác là bao nhiêu?
A. $d = 0,009$.
B. $d = 0,09$.
C. $d = 0,1$.
D. $d = 0,01$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có diện tích hình tròn $S = 3,14. 32$ và $\bar S = \pi $. 32 = $9\pi$.
Ta có: $3,14 < \pi < 3,15 \Rightarrow 3,14.9 < 9\pi < 3,15.9 \Rightarrow 28,26 < \overline S < 28,35$
Do đó: $\overline S - S = \overline S - 28,26 < 28,35 - 28,26 = 0,09 \Rightarrow \Delta \left( S \right) = \left| {\overline S - S} \right| < 0,09$.
Vậy nếu ta lấy $\pi = 3,14$ thì diện tích hình tròn là $S = 28,26cm^2$ với độ chính xác $d = 0,09$.
Ví dụ 3: Cho giá trị gần đúng của $\dfrac{8}{{17}}$ là $0,47$. Sai số tuyệt đối của $0,47$ là:
A. $0,004$.
B. $0,002$.
C. $0,003$.
D. $0,001$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\left| {0,47 - \dfrac{8}{{17}}} \right| < 0,00059$ suy ra sai số tuyệt đối của $0,47$ là $0,001$.
Ví dụ 4: Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là $152m \pm 0,2m$. Tìm sai số tương đối của phép đo chiều dài cây cầu.
A. ${\delta _a} < 0,1316\% $.
B. ${\delta _a} < 1,316\% $.
C. ${\delta _a} = 0,1316\% $.
D. ${\delta _a} > 0,1316\% $.
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 5: Bạn $A$ đo chiều dài của một sân bóng ghi được $250 \pm 0,2m$. Bạn $B$ đo chiều cao của một cột cờ được $15 \pm 0,1m$. Trong $2$ bạn $A$ và $B$, bạn nào có phép đo chính xác hơn và sai số tương đối trong phép đo của bạn đó là bao nhiêu?
A. Bạn $A$ đo chính xác hơn bạn $B$ với sai số tương đối là $0,08%$.
B. Bạn $B$ đo chính xác hơn bạn $A$ với sai số tương đối là $0,08%$.
C. Hai bạn đo chính xác như nhau với sai số tương đối bằng nhai là $0,08%$.
D. Bạn $A$ đo chính xác hơn bạn $B$ với sai số tương đối là $0,06%$.
Lời giải
Chọn A.
Phép đo của bạn $A$ có sai số tương đối ${\delta _1} \leqslant \dfrac{{0,2}}{{250}} = 0,0008 = 0,08\% $.
Phép đo của bạn $B$ có sai số tương đối ${\delta _2} \leqslant \dfrac{{0,1}}{{15}} = 0,0066 = 0,66\% $.
Như vậy phép đo của bạn $A$ có độ chính xác cao hơn.
Ví dụ 6: Hãy xác định sai số tuyệt đối của số $a = 123456$ biết sai số tương đối ${\delta _a} = 0,2\% $.
A. $617280$.
B. $146,912$.
C. $24691,2$.
D. $61728000$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có ${\delta _a} = \dfrac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}} \Rightarrow {\Delta _a} = {\delta _a}\left| a \right| = 146,912$.
Ví dụ 7: Tìm số gần đúng của $a = 2851275$ với độ chính xác $d = 300$.
A. $2851575$.
B. $2851000$.
C. $2850025$.
D. $2851200$.
Lời giải
Chọn B.
Vì độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn $a$ đến hàng nghìn, vậy số quy tròn của $a$ là $2851000$.
Ví dụ 8: Tìm số gần đúng của $a = 5,2463$ với độ chính xác $d = 0,001$.
A. $5,24$.
B. $5,25$.
C. $5,246$.
D. $5,2$.
Lời giải
Chọn B.
Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn nên ta quy tròn $a$ đến hàng phần trăm, vậy số quy tròn của $a$ là $5,25$.
Ví dụ 9: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của $\sqrt 3 $ chính xác đến hàng phần trăm.
A. $1,7$.
B. $1,732$.
C. $1,73$.
D. $1,7320$.
Lời giải
Chọn C.
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có $\sqrt 3 = 1,732050808$. Do đó: Giá trị gần đúng của $\sqrt 3 $ chính xác đến hàng phần trăm là $1,73$.
Ví dụ 10: Sử dụng mãy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của ${\pi ^2}$ chính xác đến hàng phần nghìn.
A. $9,8696$.
B. $9,869$.
C. $9,871$.
D. $9,870$.
Lời giải
Chọn D.
Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị của ${\pi ^2}$ là $9,8696044$. Do đó giá trị gần đúng của ${\pi ^2}$ chính xác đến hàng phần nghìn là $9,870$.
Ví dụ 11: Hãy viết số quy tròn của số $a$ với độ chính xác $d$ được cho sau đây: $\overline a = 17658 ± 16$.
A. $17700$.
B. $17660$.
C. $18000$.
D. $17674$.
Lời giải
Chọn A.
Vì độ chính xác đến hàng chục nên ta phải quy tròn số $17638$ đến hàng trăm. Vậy số quy tròn là $17700$ (hay viết $\overline a ≈ 17700$).
Ví dụ 12: Tìm số chắc của số gần đúng $a$ biết số người dân tỉnh Nghệ An là $a = 3214056$ người với độ chính xác $d = 100$ người.
A. $1,2,3,4$.
B. $1,2,3,4,0$.
C. $1,2,3$.
D. $1,2,3,4,0,5$.
Lời giải
Chọn A.
Vì $\dfrac{{100}}{2} = 50 < 100 < \dfrac{{1000}}{2} = 500$ nên chữ số hàng trăm (số $0$) không là số chắc, còn chữ số hàng nghìn (số $4$) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là $1,2,3,4$.
Ví dụ 13: Viết dạng chuẩn của số gần đúng $a$ biết số người dân tỉnh $A$ là $a = 3214056$ người với độ chính xác $d = 100$ người.
A. ${321405.10^1}$.
B. ${321.10^4}$.
C. ${3214.10^3}$.
D. ${32140.10^2}$.
Lời giải
Chọn C.
Vì $\dfrac{{100}}{2} = 50 < 100 < \dfrac{{1000}}{2}= 500$ nên chữ số hàng trăm (số $0$) không là số chắc, còn chữ số hàng nghìn (số $4$) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là $1,2,3,4$.
Cách viết dưới dạng chuẩn là $3214.103$.
Ví dụ 14: Viết dạng chuẩn của số gần đúng $a$ biết $a = 1,3462$ sai số tương đối của $a$ bằng $1%$.
A. $1,34$.
B. $1,3$.
C. $1,35$.
D. $1,346$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có ${\delta _a} = \dfrac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}} \Rightarrow {\Delta _a} = {\delta _a}.\left| a \right| = 1\% .1,3462{\text{ }} = {\text{ }}0,013462$.
Suy ra độ chính xác của số gần đúng $a$ không vượt quá $0,013462$ nên ta có thể xem độ chính xác là $d = 0,013462$.
Ta có $\dfrac{{0,01}}{2} = 0,005 < 0,013462 <\dfrac{{0,1}}{2} = 0,05$ nên chữ số hàng phần trăm (số $4$) không là số chắc, còn chữ số hàng phần chục (số $3$) là chữ số chắc.
Vậy chữ số chắc là $1$ và $3$.
Cách viết dưới dạng chuẩn là $1,3$.
Ví dụ 15: Một hình chữ nhật có diện tích là $S = 180,57cm^2 \pm 0,6cm^2$. Kết quả gần đúng của $S$ viết dưới dạng chuẩn là:
A. $180,58c{m^2}$.
B. $180,59c{m^2}$.
C. $0,181c{m^2}$.
D. $181c{m^2}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\dfrac{1}{2} = 0,5 < 0,6 < \dfrac{{10}}{2} = 5$ nên chữ số hàng đơn vị không là số chắc, còn chữ số hàng chục là số chắc. Vậy cách viết dưới dạng chuẩn là $181c{m^2}$.
