BÀI 1. HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho $D \subset \mathbb{R}, D \ne \emptyset.$ Hàm số $f$ xác định trên $D$ là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số $x \in D$ với một và chỉ một số $y \in \mathbb{R}.$ Trong đó:
$x$ được gọi là biến số (đối số), $y$ được gọi là giá trị của hàm số $f$ tại $x$. Kí hiệu: $y = f(x).$
Ta gọi $D$ là tập xác định của hàm số và $T = \left\{ {y = f(x){\text{ }}\left| {{\text{ }}x \in D} \right.} \right\}$ được gọi là tập giá trị của hàm số.
2. Cách cho hàm số
Hàm số có thể cho bằng bảng, biểu đồ, công thức $y = f(x).$
Tập xác định của hàm $y = f(x)$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.
3. Chiều biến thiên của hàm số
Giả sử hàm số $y = f(x)$ có tập xác định là $D.$ Khi đó:
Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến trên $D$ nếu:
$ \forall {x_1},{\text{ }}{x_2} \in D$ và ${x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2}).$
Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến trên $D$ nếu:
$ \forall {x_1},{\text{ }}{x_2} \in D$ và ${x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2}).$
Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
Phương pháp xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng cho trước:
Cách 1: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$. Lấy ${x_1},{x_2} \in K;{\text{ }}{x_1} < {x_2}$, đặt $T = f({x_2}) - f({x_1})$. Khi đó:
Hàm số đồng biến trên $K \Leftrightarrow T > 0$.
Hàm số nghịch biến trên $K \Leftrightarrow T < 0$.
Cách 2: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$. Lấy ${x_1},{x_2} \in K;{\text{ }}{x_1} \ne {x_2}$, đặt $T = \dfrac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}$. Khi đó:
Hàm số đồng biến trên $K \Leftrightarrow T > 0$.
Hàm số nghịch biến trên $K \Leftrightarrow T < 0$.
4. Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có tập xác định $D$.
Hàm số $f$ được gọi là hàm số chẵn trên $D$ nếu $\forall x \in D$ thì $ - x \in D$ và $f( - x) = f(x).$
Hàm số $f$ được gọi là hàm số lẻ trên $D$ nếu $\forall x \in D$ thì $ - x \in D$ và $f( - x) = - f(x).$
Tính chất của đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ:
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng.
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ $O$ làm tâm đối xứng.
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
Các bước xét hàm số chẵn, lẻ:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Kiểm tra:
Nếu $\exists {x_0} \in D \Rightarrow - {x_0} \notin D$ thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
Nếu tồn tại một giá trị ${x_0} \in D$ mà $f\left( { - {x_0}} \right) \ne f\left( {{x_0}} \right),\,\,f\left( { - {x_0}} \right) \ne - f\left( {{x_0}} \right)$ thì kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Nếu $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D$ thì:
Xác định $f\left( { - x} \right)$ và so sánh với $f\left( x \right)$, nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn, nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ.
Lưu ý: Cho hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ cùng xác định trên $D$. Khi đó:
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn một lẻ thì hàm số $y = f\left( x \right).g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
5. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left( {x;f(x)} \right)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với mọi $x \in D.$
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số $y = f(x)$ là một đường. Khi đó ta nói $y = f(x)$ là phương trình của đường đó.
6. Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ
Định lý: Cho $\left( G \right)$ là đồ thị của $y = f\left( x \right)$ và $p > 0,q > 0$; ta có
Tịnh tiến $\left( G \right)$ lên trên $q$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( x \right) + q$.
Tịnh tiến $\left( G \right)$ xuống dưới $q$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( x \right)-q$.
Tịnh tiến $\left( G \right)$ sang trái $p$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( {x + p} \right)$.
Tịnh tiến $\left( G \right)$ sang phải p đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( {x-p} \right)$.
Ví dụ 1. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{{x - 1}}$?
A. ${M_1}\left( {2;1} \right)$.
B. ${M_2}\left( {1;1} \right).$
C. ${M_3}\left( {2;0} \right).$
D. ${M_4}\left( {0; - 2} \right).$
Lời giải
Chọn A.
Thay $x = 2$ vào hàm số ta được $y = 1$: thỏa mãn.
Ví dụ 2. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{x}$?
A. $A\left( {2;0} \right).$
B. $B\left( {3;\dfrac{1}{3}} \right).$
C. $C\left( {1; - 1} \right).$
D. $D\left( { - 1; - 3} \right).$
Lời giải
Chọn C.
Thay $x = 1$ và $y = - 1$ vào hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{x}$ ta được $ - 1 = \dfrac{{\sqrt {{1^2} - 4.1 + 4} }}{1} \Leftrightarrow - 1 = 1$: không thỏa mãn.
Ví dụ 3. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{{3x - 1}}{{2x - 2}}$.
A. $D = \mathbb{R}.$
B. $D = \left( {1; + \infty } \right).$
C. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
D. $D = \left[ {1; + \infty } \right).$
Lời giải
Chọn C.
Hàm số xác định khi và chỉ khi $2x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Ví dụ 4. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}.$
A. $D = \left( {3; + \infty } \right).$
B. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{2};3} \right\}.$
C. $D = \left( { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right)$
D. $D = \mathbb{R}.$
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered} 2x + 1 \ne 0 \hfill \\ x - 3 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne - \dfrac{1}{2} \hfill \\ x \ne 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{1}{2};3} \right\}$.
Ví dụ 5. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y= \sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 3}.$
A. $D= \left[ { - 3; + \infty } \right).$
B. $D= \left[ { - 2; + \infty } \right).$
C. $D= \mathbb{R}.$
D. $D= \left[ {2; + \infty } \right).$
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered} x + 2 \geqslant 0 \hfill \\ x + 3 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 2 \hfill \\ x \geqslant - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \geqslant - 2$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ { - 2; + \infty } \right)$.
Ví dụ 6. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {3x - 2} + 6x}}{{\sqrt {4 - 3x} }}.$
A. $D= \left[ {\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right).$
B. $D = \left[ {\dfrac{3}{2};\dfrac{4}{3}} \right).$
C. $D = \left[ {\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4}} \right).$
D. $D = \left( { - \infty ;\dfrac{4}{3}} \right).$
Lời giải
Chọn B.
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered} 3x - 2 \geqslant 0 \hfill \\ 4 - 3x > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \dfrac{2}{3} \hfill \\ x < \dfrac{4}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} \leqslant x < \dfrac{4}{3}.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ {\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right)$.
Ví dụ 7. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{x\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}.$
A. $D = \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}.$
B. $D = \mathbb{R}.$
C. $D = \left[ { - 2; + \infty } \right).$
D. $D = \left( { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}.$
Lời giải
Chọn A.
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered} x + 2 \geqslant 0 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ {x^2} - 4x + 4 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 2 \geqslant 0 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ {\left( {x - 2} \right)^2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 2 \hfill \\ x \ne 0 \hfill \\ x \ne 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D= \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}$.
Ví dụ 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \sqrt {x - m + 1} + \dfrac{{2x}}{{\sqrt { - x + 2m} }}$ xác định trên khoảng $\left( { - 1;3} \right).$
A. Không có giá trị $m$ thỏa mãn.
B. $m \geqslant 2.$
C. $m \geqslant 3.$
D. $m \geqslant 1.$
Lời giải
Chọn A.
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered} x - m + 1 \geqslant 0 \hfill \\ - x + 2m > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant m - 1 \hfill \\ x < 2m \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Tập xác định của hàm số là $D = \left[ {m - 1;2m} \right)$ với điều kiện $m - 1 < 2m \Leftrightarrow m > - 1.$
Hàm số đã cho xác định trên $\left( { - 1;3} \right)$ khi và chỉ khi $\left( { - 1;3} \right) \subset \left[ {m - 1;2m} \right)$
$ \Leftrightarrow m - 1 \leqslant - 1 < 3 \leqslant 2m \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \leqslant 0 \hfill \\ m \geqslant \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow m \in \emptyset $.
Ví dụ 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{{x + 2m + 2}}{{x - m}}$ xác định trên $\left( { - 1;0} \right).$
A. $\left[ \begin{gathered} m > 0 \hfill \\ m < - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
B. $m \leqslant - 1.$
C. $\left[ \begin{gathered} m \geqslant 0 \hfill \\ m \leqslant - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
D. $m \geqslant 0.$
Lời giải
Chọn C.
Hàm số xác định khi và chỉ khi $x - m \ne 0 \Leftrightarrow x \ne m.$
Tập xác định của hàm số là $D= \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$.
Hàm số xác định trên $\left( { - 1;0} \right)$ khi và chỉ khi $m \notin \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \geqslant 0 \hfill \\ m \leqslant - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ví dụ 10. Cho hàm số $f\left( x \right) = 4 - 3x$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;\dfrac{4}{3}} \right).$
B. Hàm số nghịch biến trên $\left( {\dfrac{4}{3}; + \infty } \right).$
C. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
D. Hàm số đồng biến trên $\left( {\dfrac{3}{4}; + \infty } \right).$
Lời giải
Chọn B.
TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Với mọi ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ và ${x_1} < {x_2}$, ta có
$f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \left( {4 - 3{x_1}} \right) - \left( {4 - 3{x_2}} \right)$ $= - 3\left( {{x_1} - {x_2}} \right) > 0.$
Suy ra $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$. Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Mà $\left( {\dfrac{4}{3}; + \infty } \right) \subset \mathbb{R}$ nên hàm số cũng nghịch biến trên $\left( {\dfrac{4}{3}; + \infty } \right)$.
Ví dụ 11. Xét sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{3}{x}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right).$
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right).$
C. Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right).$
D. Hàm số không đồng biến, cũng không nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right).$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{3}{{{x_1}}} - \dfrac{3}{{{x_2}}} = \dfrac{{3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}$ $= - \dfrac{{3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}.$
Với mọi ${x_1},{\text{ }}{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)$ và ${x_1} < {x_2}$. Ta có $\left\{ \begin{gathered} {x_1} > 0 \hfill \\ {x_2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} > 0$.
Suy ra $\dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = - \dfrac{3}{{{x_1}{x_2}}} < 0$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Ví dụ 12. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2} - \left| x \right|.$ Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
B. $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.
C. Đồ thị của hàm số $f\left( x \right)$ đối xứng qua gốc tọa độ.
D. Đồ thị của hàm số $f\left( x \right)$ đối xứng qua trục hoành.
Lời giải
Chọn B.
TXĐ: $D = \mathbb{R}$ nên $\forall x \in {\text{D}} \Rightarrow - x \in D$.
Ta có $f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} - \left| { - x} \right| = {x^2} - \left| x \right|$ $= f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)$ nên nó là hàm số chẵn.
Ví dụ 13. Trong các hàm số nào sau đây, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. $y = {x^{20}} - 2.$
B. $y = \sqrt {2x + 3} .$
C. $y = \sqrt {3 + x} - \sqrt {3 - x} .$
D. $y = \left| {x + 3} \right| + \left| {x - 3} \right|.$
Lời giải
Chọn C.
Xét $f\left( x \right) = \sqrt {3 + x} - \sqrt {3 - x} $ có TXĐ: $D = \left[ { - 3;3} \right]$ nên $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$
Ta có $f\left( { - x} \right) = \sqrt {3 - x} - \sqrt {3 + x}$ $= - \left( {\sqrt {3 + x} - \sqrt {3 - x} } \right) = - f\left( x \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Ví dụ 14. Trong các hàm số nào sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. $y = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right|.$
B. $y = \left| {x + 3} \right| + \left| {x - 2} \right|.$
C. $y = 2{x^3} - 3x.$
D. $y = 2{x^4} - 3{x^2} + x.$
Lời giải
Chọn A.
Xét $f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 1} \right|$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}$ nên $\forall x \in D \Rightarrow - x \in D.$
Ta có $f\left( { - x} \right) = \left| { - x + 1} \right| + \left| { - x - 1} \right|$ $= \left| {x - 1} \right| + \left| {x + 1} \right| = f\left( x \right)$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.
Ví dụ 15: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $f(x) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}$.
A. Hàm số lẻ.
B. Hàm số chẵn.
C. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
D. Hàm số không chẵn, không lẻ.
Lời giải
Chọn A.
Ta có TXĐ: $D= \mathbb{R}.$
Với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $ - x \in \mathbb{R}$ và $f( - x) = 3{\left( { - x} \right)^3} + 2\sqrt[3]{{ - x}}$ $= - \left( {3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}} \right) = - f(x).$
Do đó $f(x) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}$ là hàm số lẻ.
Ví dụ 16: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $f(x) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1}$.
A. Hàm số lẻ.
B. Hàm số chẵn.
C. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
D. Hàm số không chẵn, không lẻ.
Lời giải
Chọn B.
Ta có TXĐ: $D = \mathbb{R}$ .
Với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $ - x \in \mathbb{R}$ và $f( - x) = {\left( { - x} \right)^4} + \sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}$ $= {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} = f(x).$
Do đó $f(x) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} $ là hàm số chẵn.
Ví dụ 17: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $f(x) = {x^4} - 4x + 2$.
A. Hàm số lẻ.
B. Hàm số chẵn.
C. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
D. Hàm số không chẵn, không lẻ.
Lời giải
Chọn D.
Ta có TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
Ta có $f\left( { - 1} \right) = 7, f\left( 1 \right) = - 1$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} \right) \ne f\left( 1 \right)} \\ {f\left( { - 1} \right) \ne - f\left( 1 \right)} \end{array}} \right.$
Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.
Ví dụ 18: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $f(x) = \sqrt {2 + x} + \dfrac{1}{{\sqrt {2 - x} }}$.
A. Hàm số lẻ.
B. Hàm số chẵn.
C. Hàm số vừa chẵn vừa lẻ.
D. Hàm số không chẵn, không lẻ.
Lời giải
Chọn D.
ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + x \geqslant 0} \\ {2 - x > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant - 2} \\ {x < 2} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow - 2 \leqslant x < 2$.
Suy ra TXĐ: $D= \left[ { - 2;2} \right)$.
Ta có ${x_0} = - 2 \in \left[ { - 2;2} \right)$ nhưng $ - {x_0} = 2 \notin \left[ { - 2;2} \right)$.
Vậy hàm số $f(x) = \sqrt {2 + x} + \dfrac{1}{{\sqrt {2 - x} }}$ không chẵn và không lẻ.
Ví dụ 19: Tịnh tiến đồ thị hàm số $y = {x^2} + 1$ liên tiếp sang phải hai đơn vị và xuống dưới một đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào?
A. $y = 2{x^2} + 2x + 2$.
B. $y = {x^2} + 4x + 6$.
C. $y = {x^2} + 2x + 2$.
D. $y = {x^2} + 4x + 2$.
Lời giải
Chọn B.
Ta tịnh tiến đồ thị hàm số $y = {x^2} + 1$ sang trái hai đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1$ rồi tịnh tiến lên trên một đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2}$ hay $y = {x^2} - 4x + 4$.
Vậy hàm số cần tìm là $y = {x^2} + 4x + 6$.
Ví dụ 20: Bằng phép tịnh tiến, đồ thị hàm số $y = \dfrac{x}{{x - 2}}$ được suy ra từ đồ thị $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$ như thế nào?
A. Tịnh tiến sang phải 1 đơn vị.
B. Tịnh tiến sang trái 1 đơn vị.
C. Tịnh tiến lên trên 1 đơn vị.
D. Tịnh tiến xuống dưới 1 đơn vị.
Lời giải
Chọn A.
Đặt $f(x) = \dfrac{x}{{x - 2}}$, ta có $f(x) = \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right) + 1}}{{\left( {x - 1} \right) - 1}} = f\left( {x - 1} \right)$.
Vậy đồ thị hàm số $y = \dfrac{x}{{x - 2}}$ được suy ra từ đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$ bằng cách tịnh tiến sang phải 1 đơn vị.
