BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương
Vectơ $\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 $ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $\Delta $ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta $.
Nhận xét
Nếu $\overrightarrow u $ là VTCP của $\Delta $ thì $k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là VTCP của $\Delta $.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và $\overrightarrow u = (a;b)$ là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:
$\left\{ \begin{gathered} x = {x_0} + at \hfill \\ y = {y_0} + bt \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.
Nhận xét
Điểm $A \in \Delta \Leftrightarrow A({x_0} + at;{y_0} + bt)$.
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và $\overrightarrow u = (a;b)$ (với $a \ne 0,b \ne 0$) là VTCP. Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:
$\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b}$.
4. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 $ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của $\Delta $ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta $.
Nhận xét
- Nếu $\overrightarrow n $ là VTPT của $\Delta $ thì $k\overrightarrow n \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là VTPT của $\Delta $.
- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do đó nếu $\Delta $ có VTCP $\overrightarrow u = (a;b)$ thì $\overrightarrow n = ( - b;a)$ là một VTPT của $\Delta $.
- Hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT của đường này là VTPT của đường kia; VTCP của đường này cũng là VTCP của đường kia.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTPT của đường này là VTCP của đường kia và ngược lại.
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua ${M_0}({x_0};{y_0})$ và có VTPT $\overrightarrow n = (a;b)$. Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$.
Chú ý
Nếu đường thẳng $\Delta $ :$ax + by + c = 0$ thì $\overrightarrow n = (a;b)$ là VTPT của $\Delta $.
6. Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
$\Delta $ song song hoặc trùng với trục $Ox \Leftrightarrow \Delta :by + c = 0$
$\Delta $ song song hoặc trùng với trục $Oy \Leftrightarrow \Delta :ax + c = 0$
$\Delta $ đi qua gốc tọa độ $ \Leftrightarrow \Delta :ax + by = 0$
$\Delta $ đi qua hai điểm $A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right) \Leftrightarrow \Delta :\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ với $\left( {ab \ne 0} \right)$
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là $y = kx + m$ với $k = \tan \alpha $, $\alpha $ là góc hợp bởi tia $Mt$ của $\Delta $ ở phía trên trục $Ox$ và tia $Mx$( $M$là giao điểm của $\Delta $ và ${\text{O}}x$).
7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0,{\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$.
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ ta xét số nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 \hfill \\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad $ (I)
Chú ý
Nếu ${a_2}{b_2}{c_2} \ne 0$ thì:
${\Delta _1} \cap {\Delta _2} \Leftrightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}$
${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$
${\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}$
8. Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có VTPT $\mathop {{n_1}}\limits^ \to = \left( {{a_1};{b_1}} \right)$và $\mathop {{n_2}}\limits^ \to = \left( {{a_2};{b_2}} \right)$ được tính theo công thức:
$\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \cos (\mathop {{n_1}}\limits^ \to ,\mathop {{n_2}}\limits^ \to ) $$= \dfrac{{|\mathop {{n_1}}\limits^ \to.\mathop {{n_2}}\limits^ \to |}}{{|\mathop {{n_1}}\limits^ \to ||\mathop {{n_2}}\limits^ \to |}} $$= \dfrac{{|{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2}.\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$.
9. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ cho bởi công thức:
$d(M_0, \Delta $) = $\dfrac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.
10. Phương trình đường thẳng với hệ số góc
Đường thẳng qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có hệ số góc $k$ có phương trình là
$y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$.
11. Phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác
Cho 2 đường thẳng cắt nhau: $\left( {{d_1}} \right){\text{:}}{A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0$; $\left( {{d_2}} \right){\text{:}}{A_2}x + {B_2}y + {C_2} = 0$.
Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:
$\dfrac{{{A_1}x + {B_1}y + {C_1}}}{{\sqrt {{A_1}^2 + {B_1}^2} }} = \pm \dfrac{{{A_2}x + {B_2}y + {C_2}}}{{\sqrt {{A_2}^2 + {B_2}^2} }}$.
Chú ý
Cho $\Delta $: $f(x,y) = Ax + By + C = 0$ và $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$, $B\left( {{x_2},{y_2}} \right)$.
$A$ và $B$ nằm về cùng một phía đối với $\Delta $$ \Leftrightarrow f\left( {{x_1},{y_1}} \right).f\left( {{x_2},{y_2}} \right) > 0$.
$A$ và $B$ nằm khác phía đối với $\Delta $ $ \Leftrightarrow f\left( {{x_1},{y_1}} \right).f\left( {{x_2},{y_2}} \right) < 0$.
12. Phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc
Giả sử $\left( {{d_1}} \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {{A_1},{B_1}} \right)$; $\left( {{d_2}} \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}} \left( {{A_2},{B_2}} \right)$ thì $c{\text{os(}}\widehat {{d_1},{d_2}}{\text{) = }}\left| {c{\text{os}}(\widehat {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} })} \right| = \dfrac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}} \right|}}{{\sqrt {{A_1}^2 + {B_1}^2}.\sqrt {{A_2}^2 + {B_2}^2} }}$.
Chú ý
Giả sử $\left( {{d_1}} \right)$; $\left( {{d_2}} \right)$ có hệ số góc lần lượt là ${k_1};{k_2}$ thì: $\tan (\widehat {{d_1},{d_2}}) = \left| {\dfrac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}.{k_2}}}} \right|$.
13. Tìm tọa độ các điểm hình chiếu, đối xứng. Viết phương trình hình chiếu, đối xứng
a) Xác định hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên đường thẳng $\left( d \right)$
Phương pháp:
Cách 1:
+ ) Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$ và vuông góc với $\left( d \right)$.
+) Tọa độ điểm $H$ là giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$và đường thẳng $\Delta $.
Cách 2:
Cho $d:ax + by + c = 0$
+) Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ điểm lên đường thẳng $d$. Khi đó ta có: $H\left( {t;\dfrac{{ - at - c}}{b}} \right)$.
+) Ta có : $\overrightarrow {AH}.\overrightarrow {{u_d}} $
Từ đó suy ra tọa độ điểm $H$.
Chú ý
Nếu điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$, khi đó tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên:
+) $Ox$ có tọa độ $H\left( {{x_0};0} \right)$.
+) $Oy$ có tọa độ $H\left( {0;{y_0}} \right)$.
b) Xác định điểm ${M_1}$đối xứng với điểm $M$ qua $\left( d \right)$
+) Xác định hình chiếu $H$của điểm$M$trên đường thẳng $\left( d \right)$.
+) Gọi ${M_1}$ là điểm đối xứng với $M$ qua $d$ thì $H$ là trung điểm của $M{M_1}$ , ta được: $\left\{ \begin{gathered} {x_{{M_1}}} = 2{x_H} - {x_M} \hfill \\ {y_{{M_1}}} = 2{y_H} - {y_M} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
c) Viết phương trình đường thẳng đối xứng của đường thẳng
Bài toán: Cho đường thẳng ${d_1}$và ${d_2}$. Viết phương trình đường thẳng $d$đối xứng với ${d_1}$ qua ${d_2}.$
+) Xác định giao điểm $I$ của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$
+) Lấy điểm$M \in {d_1}$. Tìm tọa độ điểm $N$ đối xứng với $M$ qua ${d_2}.$
+) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $IM$.
Chú ý
Nếu ${d_1}//{d_2}$ ta làm như sau:
+) Lấy điểm $M,N \in {d_1}$ sau đó xác định hình chiếu của điểm $M,N$ qua ${d_2}$ là $M',N'$.
+) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M',N'$.
Ví dụ 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{gathered} x = 2 + 3t \hfill \\ y = - 3 - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$ là:
A. $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;--3} \right).$
B. $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;--1} \right).$
C. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3;{\text{ }}1} \right).$
D. $\overrightarrow {{u_4}} = \left( {3;--3} \right).$
Lời giải
Chọn B.
Ví dụ 2: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $2x - 3y + 6 = 0$ là:
A. $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2; - 3} \right).$
B. $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3} \right).$
C. $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;2} \right).$
D. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;2} \right).$
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1$ là:
A. ${\overrightarrow u _4} = \left( { - 2;3} \right).$
B. ${\overrightarrow u _2} = \left( {3; - 2} \right).$
C. ${\overrightarrow u _3} = \left( {3;2} \right).$
D. ${\overrightarrow u _1} = \left( {2;3} \right).$
Lời giải
Chọn B.
$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0$ nên đường thẳng có VTPT là $\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)$. Suy ra VTCP là $\overrightarrow u = \left( {3; - 2} \right)$.
Ví dụ 4: Đường thẳng đi qua $A\left( { - 1;2} \right)$, nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
A. $x - 2y - 5 = 0.$
B. $2x + y = 0.$
C. $x - 2y - 1 = 0.$
D. $x - 2y + 5 = 0.$
Lời giải
Chọn D.
Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua và nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)$ làm VTPT
$ \Rightarrow \left( d \right):x + 1 - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0$ .
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M\left( {1; - 3} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
A. $\Delta :x + 2y + 5 = 0.$
B. $\Delta :\left\{ \begin{gathered} x = 1 + t \hfill \\ y = - 3 + 2t \hfill \\ \end{gathered} \right.$
C. $\Delta :\left\{ \begin{gathered} x = 1 - 2t \hfill \\ y = - 3 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
D. $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 3}}{1}.$
Lời giải
Chọn C.
Vì $\Delta $ nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của $\Delta $ là $\overrightarrow u \left( { - 2;1} \right)$.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ là $\left\{ \begin{gathered} x = 1 - 2t \hfill \\ y = - 3 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $M\left( {--2;3} \right)$ và có VTCP $\vec u = \left( {1; - 4} \right)$.
A. $\left\{ \begin{gathered} x = - 2 + 3t \hfill \\ y = 1 - 4t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
B. $\left\{ \begin{gathered} x = - 2 + t \hfill \\ y = 3 - 4t \hfill \\ \end{gathered} \right.$
C. $\left\{ \begin{gathered} x = 1 - 2t \hfill \\ y = - 4 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
D. $\left\{ \begin{gathered} x = 3 - 2t \hfill \\ y = - 4 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $M\left( {--2;3} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u = \left( {1; - 4} \right)$ nên có phương trình:
$\left\{ \begin{gathered} x = - 2 + t \hfill \\ y = 3 - 4t \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ví dụ 7: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $M\left( {1; - 3} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow u \left( {1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.
A. $\Delta :2x - y - 5 = 0.$
B. $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2}.$
C. $\Delta :\left\{ \begin{gathered} x = 1 + t \hfill \\ y = - 3 + 2t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
D. $\Delta :\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{2}.$
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left( {1; - 3} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow u \left( {1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2}$.
Ví dụ 8: Cho đường thẳng $\left( d \right):x - 2y + 1 = 0$. Đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua $M\left( {1; - 1} \right)$ và song song với $\left( d \right)$ có phương trình:
A. $x - 2y - 3 = 0.$
B. $2x + y - 1 = 0.$
C. $x - 2y + 3 = 0.$
D. $x + 2y + 1 = 0.$
Lời giải
Chọn A.
Do $\left( \Delta \right)$ song song với $\left( d \right)$ nên có phương trình dạng: $x - 2y + c = 0\left( {c \ne 1} \right)$
Mà $M\left( {1; - 1} \right) \in \left( \Delta \right) \Rightarrow 1 - 2\left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - 3$
Vậy $\left( \Delta \right):x - 2y - 3 = 0$
Ví dụ 9: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { - 2;0} \right){\text{, }}B\left( {0;3} \right){\text{, }}C\left( {3;1} \right).$ Đường thẳng đi qua $B$ và song song với $AC$ có phương trình:
A. $5x - y + 3 = 0.$
B. $5x + y - 3 = 0.$
C. $x + 5y - 15 = 0.$
D. $x - 5y + 15 = 0.$
Lời giải
Chọn D.
Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng cần tìm. Do $\left( d \right)$ song song với $AC$ nên nhận $\overrightarrow {AC} \left( {5;1} \right)$ làm VTCP.
Suy ra $\overrightarrow n \left( {1; - 5} \right)$ là VTPT của $\left( d \right)$.
$ \Rightarrow $$\left( d \right)$ có phương trình: $1\left( {x - 0} \right) - 5\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5y + 15 = 0$
Ví dụ 10: Phương trình tham số của đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\left( {d'} \right):3x - 4y + 1 = 0$ là:
A. $\left\{ \begin{gathered} x = 3 - 2t \hfill \\ y = - 4 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.$
B. $\left\{ \begin{gathered} x = - 2 + 3t \hfill \\ y = 3 - 4t \hfill \\ \end{gathered} \right.$
C. $\dfrac{{x + 2}}{3} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 4}}.$
D. $4x + 3y - 1 = 0.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\left( d \right) \bot \left( {d'} \right):3x - 4y + 1 = 0$ $ \Rightarrow VTCP\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 4} \right)$ và qua $M\left( { - 2;3} \right)$.
Suy ra $\left( d \right):\left\{ \begin{gathered} x = - 2 + 3t \hfill \\ y = 3 - 4t \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.
Ví dụ 11: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( {2; - 1} \right);B\left( {4;5} \right);C\left( { - 3;2} \right)$. Phương trình tổng quát của đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ là:
A. $3x - 7y + 11 = 0.$
B. $7x + 3y - 11 = 0.$
C. $3x - 7y - 13 = 0.$
D. $7x + 3y + 13 = 0.$
Lời giải
Chọn B.
Gọi $AH$ là đường cao của tam giác.
$AH$ đi qua $A\left( {2; - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {BC} = \left( { - 7; - 3} \right) = - \left( {7;3} \right)$ làm VTPT
$ \Rightarrow AH:7\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x + 3y - 11 = 0$ .
Ví dụ 12: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta $ biết $\Delta $ đi qua điểm $M\left( { - 1;2} \right)$ và có hệ số góc $k = 3$.
A. $3x - y - 1 = 0.$
B. $3x - y - 5 = 0.$
C. $x - 3y + 5 = 0.$
D. $3x - y + 5 = 0.$
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $y = 3\left( {x + 1} \right) + 2 \Leftrightarrow 3x - y + 5 = 0$.
Ví dụ 13: Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ biết$\Delta $ đi qua điểm $M\left( {2; - 5} \right)$ và có hệ số góc $k = - 2$.
A. $y = - 2x - 1$
B. $y = - 2x - 9$.
C. $y = 2x - 1$.
D. $y = 2x - 9$.
Lời giải
Chọn A.
Phương trình đường thẳng $\Delta $ là $y = - 2\left( {x - 2} \right) - 5 \Leftrightarrow y = - 2x - 1$.
Ví dụ 14: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( { - 2;4} \right);B\left( { - 6;1} \right)$ là:
A. $3x + 4y - 10 = 0.$
B. $3x - 4y + 22 = 0.$
C. $3x - 4y + 8 = 0.$
D. $3x - 4y - 22 = 0.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\left( {AB} \right):\dfrac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \dfrac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 3}} \Leftrightarrow 3x - 4y + 22 = 0$
Ví dụ 15: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { - 1; - 2} \right);B\left( {0;2} \right);C\left( { - 2;1} \right)$. Đường trung tuyến $BM$ có phương trình là:
A. $5x - 3y + 6 = 0.$
B. $3x - 5y + 10 = 0.$
C. $x - 3y + 6 = 0.$
D. $3x - y - 2 = 0.$
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M$ là trung điểm $AC$ $ \Rightarrow M\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$ ; $\overrightarrow {BM} = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right) = - \dfrac{1}{2}\left( {3;5} \right)$
$BM$ qua $B\left( {0;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {5; - 3} \right)$ làm VTPT $ \Rightarrow BM:5x - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y + 6 = 0$.
Ví dụ 16: Cho hai điểm $A\left( { - 2;3} \right);B\left( {4; - 1} \right).$ Viết phương trình đường trung trực của đoạn $AB$.
A. $x - y - 1 = 0.$
B. $2x - 3y + 1 = 0.$
C. $2x + 3y - 5 = 0.$
D. $3x - 2y - 1 = 0.$
Lời giải
Chọn D.
Gọi $M$ trung điểm $AB$ $ \Rightarrow M\left( {1;1} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {6; - 4} \right) = 2\left( {3; - 2} \right)$.
Gọi $d$ là đường thẳng trung trực của $AB$ thì $d$ qua $M\left( {1;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)$ làm VTPT.
Phương trình $d$: $3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 1 = 0$.
Ví dụ 17: Cho điểm $A\left( {1; - 1} \right);B\left( {3; - 5} \right)$. Viết phương trình tham số đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.
A. $\left\{ \begin{gathered} x = 2 + 2t \hfill \\ y = - 3 + t \hfill \\ \end{gathered} \right..$
B. $\left\{ \begin{gathered} x = 2 + 2t \hfill \\ y = 1 - 3t \hfill \\ \end{gathered} \right..$
C. $\left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = - 3 - 2t \hfill \\ \end{gathered} \right..$
D. $\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2t \hfill \\ y = - 2 - 3t \hfill \\\end{gathered} \right..$
Lời giải
Chọn A.
$M\left( {2; - 3} \right)$ là trung điểm của $AB$.
$\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4} \right) = 2\left( {1; - 2} \right)$
Gọi $d$ là đường thẳng trung trực của $AB$ thì $d$ qua $M\left( {2; - 3} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)$ làm VTCP nên có phương trình:
$\left\{ \begin{gathered} x = 2 + 2t \hfill \\ y = - 3 + t \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Ví dụ 18: Cho tam giác $ABC$ có phương trình các cạnh $AB:x + y - 1 = 0$; $AC:7x - y + 2 = 0$; $BC:10x + y - 19 = 0$. Viết phương trình đường phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$.
A. $12x + 4y - 3 = 0.$
B. $2x - 6y + 7 = 0.$
C. $12x + 6y - 7 = 0.$
D. $2x + 6y - 7 = 0.$
Lời giải
Chọn B.
$B = AB \cap BC \Rightarrow B\left( {2; - 1} \right)$
$C = AC \cap BC \Rightarrow C\left( {1;9} \right)$
PT các đường phân giác góc $A$ là:
$\dfrac{{x + y - 1}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \pm \dfrac{{7x - y + 2}}{{\sqrt {{7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - 6y + 7 = 0\left( {{d_1}} \right) \hfill \\ 12x + 4y - 3 = 0\left( {{d_2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Đặt ${f_1}\left( {x,y} \right) = 2x - 6y + 7;{f_2}\left( {x,y} \right) = 12x + 4y - 3$ ta có: ${f_1}\left( B \right).{f_1}\left( C \right) < 0;{f_2}\left( B \right).{f_2}\left( C \right) > 0$.
Suy ra $B,C$ nằm khác phía so với ${d_1}$ và cùng phía so với ${d_2}$.
Vậy phương trình đường phân giác trong góc $A$ là: $2x - 6y + 7 = 0$.
Ví dụ 19: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { - 2; - 1} \right);B\left( { - 1;3} \right);C\left( {6;1} \right)$. Viết phương trình đường phân giác ngoài góc $A$ của tam giác $ABC$.
A. $x - y + 1 = 0.$
B. $5x + 3y + 9 = 0.$
C. $3x + 3y - 5 = 0.$
D. $x + y + 3 = 0.$
Lời giải
Chọn D.
$\begin{gathered} \left( {AB} \right):\dfrac{{x + 2}}{{ - 1 + 2}} = \dfrac{{y + 1}}{{3 + 1}} \Leftrightarrow 4x - y + 7 = 0 \hfill \\ \left( {AC} \right):\dfrac{{x + 2}}{{6 + 2}} = \dfrac{{y + 1}}{{1 + 1}} \Leftrightarrow x - 4y - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} $
Phương trình các đường phân giác góc $A$ là:
$\dfrac{{4x - y + 7}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \pm \dfrac{{x - 4y - 2}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + y + 3 = 0\left( {{d_1}} \right) \hfill \\ x - y + 1 = 0\left( {{d_2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Đặt ${f_1}\left( {x,y} \right) = x + y + 3;{f_2}\left( {x,y} \right) = x - y + 1$ ta có: ${f_1}\left( B \right).{f_1}\left( C \right) > 0;{f_2}\left( B \right).{f_2}\left( C \right) < 0$.
Suy ra $B,C$ nằm cùng phía so với ${d_1}$ và khác phía so với ${d_2}$.
Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc $A$ là: $x + y + 3 = 0$.
Ví dụ 20: Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ qua $M\left( { - 1;2} \right)$và tạo với trục $Ox$ một góc ${60^0}$.
A. $\sqrt 3 x - y + \sqrt 3 + 2 = 0.$
B. $\sqrt 3 x - y - \sqrt 3 + 2 = 0.$
C. $\sqrt 3 x - y + 2 = 0.$
D. $\sqrt 3 x + y - \sqrt 3 + 2 = 0.$
Lời giải
Chọn A.
Do $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${60^0}$ nên có hệ số góc:$k = \tan {60^0} = \sqrt 3 $.
Phương trình $\left( d \right)$ là: $y = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right) + 2 \Leftrightarrow \sqrt 3 x - y + \sqrt 3 + 2 = 0$.
Ví dụ 21: Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ qua $N\left( {3; - 2} \right)$ và tạo với trục $Ox$ một góc ${45^0}$.
A. $x - y - 1 = 0.$
B. $x - y + 1 = 0.$
C. $x - y - 5 = 0.$
D. $x + y + 2 = 0.$
Lời giải
Chọn C.
Do $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${45^0}$ nên có hệ số góc:$k = \tan {45^0} = 1$.
Phương trình $\left( d \right)$ là: $y = x - 3 - 2 \Leftrightarrow x - y - 5 = 0$.
Ví dụ 22: Cho đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình: $x - 2y + 5 = 0$. Có mấy phương trình đường thẳng qua $M\left( {2;1} \right)$ và tạo với $\left( d \right)$ một góc ${45^0}$.
A. $1.$
B. $2.$
C. $3.$
D. Không có.
Lời giải
Chọn B.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm; $\overrightarrow n \left( {A,B} \right)$ là VTPT của $\Delta $ $\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)$
Để $\Delta $ lập với $\left( d \right)$ một góc ${45^0}$ thì:
$\cos {45^0} = \dfrac{{\left| {A - 2B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}}.\sqrt 5 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow 2{\left( {A - 2B} \right)^2} = 5\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} A = - 3B \hfill \\ B = 3A \hfill \\ \end{gathered} \right.$
+ Với $A = - 3B$, chọn $B = - 1 \Rightarrow A = 3$ ta được phương trình $\Delta :3x - y - 5 = 0$.
+ Với $B = 3A$, chọn $A = 1 \Rightarrow B = 3$ ta được phương trình $\Delta :x + 3y - 5 = 0$.
Ví dụ 23: Cho đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình: $x + 3y - 3 = 0$. Viết phương trình đường thẳng qua $A\left( { - 2;0} \right)$ và tạo với $\left( d \right)$ một góc ${45^0}$.
A. $\Delta :2x + y + 4 = 0$ hoặc $\Delta :x + 2y + 2 = 0.$
B. $\Delta :2x + y + 4 = 0$ hoặc $\Delta :x + 2y + 2 = 0.$
C. $\Delta :2x + y + 4 = 0$ hoặc $\Delta :x - 2y + 2 = 0.$
D. $\Delta :2x - y + 4 = 0$ hoặc $\Delta :x - 2y + 2 = 0.$
Lời giải
Chọn C.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng cần tìm; $\overrightarrow n \left( {A,B} \right)$ là VTPT của $\Delta $ $\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)$
Để $\Delta $ lập với $\left( d \right)$ một góc ${45^0}$ thì:
$\cos {45^0} = \dfrac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}}.\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow 2{\left( {A + 3B} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} A = 2B \hfill \\ B = - 2A \hfill \\ \end{gathered} \right.$
+ Với $A = 2B$, chọn $B = 1 \Rightarrow A = 2$ ta được phương trình $\Delta :2x + y + 4 = 0$.
+ Với $B = - 2A$, chọn $A = 1 \Rightarrow B = - 2$ ta được phương trình $\Delta :x - 2y + 2 = 0$.
Ví dụ 24: Xác định vị trí tương đối của $2$ đường thẳng sau đây:
${\Delta _1}$:$x - 2y + 1 = 0$ và ${\Delta _2}$: $ - 3x + 6y - 1 = 0$.
A. Song song.
B. Trùng nhau.
C. Vuông góc nhau.
D. Cắt nhau.
Lời giải
Chọn A.
Đường thẳng ${\Delta _1}$có vtpt $\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 2)$và ${\Delta _2}$có vtpt $\overrightarrow {{n_2}} = ( - 3;6)$.
Hai đường thẳng ${\Delta _2}$, ${\Delta _1}$có $\overrightarrow {{n_2}} = - 3\overrightarrow {{n_1}} $và $1 \ne - 1$ nên hai đường thẳng này song song
Ví dụ 25: Đường thẳng $\Delta :3x - 2y - 7 = 0$ cắt đường thẳng nào sau đây?
A. ${d_1}:3x + 2y = 0.$
B. ${d_2}:3x - 2y = 0.$
C. ${d_3}: - 3x + 2y - 7 = 0.$
D. ${d_4}:6x - 4y - 14 = 0.$
Lời giải
Chọn A.
$\Delta :3x - 2y - 7 = 0$ và ${d_1}:3x + 2y = 0$ có $\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}$ nên $\Delta $ cắt ${d_1}$.
Ví dụ 26: Hai đường thẳng ${d_1}:4x + 3y - 18 = 0;{d_2}:3x + 5y - 19 = 0$ cắt nhau tại điểm có toạ độ:
A. $\left( {3;2} \right).$
B. $\left( { - 3;2} \right).$
C. $\left( {3; - 2} \right).$
D. $\left( { - 3; - 2} \right).$
Lời giải
Chọn A.
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} 4x + 3y - 18 = 0 \hfill \\ 3x + 5y - 19 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ta được $\left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Ví dụ 27: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng $d:y = 2x - 1?$
A. $2x - y + 5 = 0.$
B. $2x - y - 5 = 0.$
C. $ - 2x + y = 0.$
D. $2x + y - 5 = 0.$
Lời giải
Chọn D.
$\left( d \right):y = 2x - 1 \Leftrightarrow 2x - y - 1 = 0$ và đường thẳng $2x + y - 5 = 0$ không song song vì $\dfrac{2}{2} \ne \dfrac{{ - 1}}{1}$.
Ví dụ 28: Hai đường thẳng ${d_1}:mx + y = m + 1;{d_2}:x + my = 2$ song song khi và chỉ khi:
A. $m = 2.$
B. $m = \pm 1.$
C. $m = - 1.$
D. $m = 1.$
Lời giải
Chọn C.
${D_1}{\text{//}}{D_2} \Leftrightarrow \dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}.$
Khi $m = 1$ ta có: $\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{2} \Rightarrow {D_1} \equiv {D_2}.$
Khi $m = - 1$ ta có: $\dfrac{{ - 1}}{1} = \dfrac{1}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{2} \Rightarrow {D_1}//{D_2}.$
Ví dụ 29: Cho 3 đường thẳng ${d_1}:2x + y--1 = 0,{d_2}:x + 2y + 1 = 0,{d_3}:mx--y--7 = 0.$ Để ba đường thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của $m$ là:
A. $m = -6.$
B. $m = 6.$
C. $m = -5.$
D. $m = 5.$
Lời giải
Chọn B.
Giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{gathered} 2x + y - 1 = 0 \hfill \\ x + 2y + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại $A\left( {1; - 1} \right)$
Để 3 đường thẳng ${d_1},{d_2},{d_3}$ đồng quy thì ${d_3}$ phải đi qua điểm $A$$ \Rightarrow A$ thỏa phương trình ${d_3}$
$ \Rightarrow m + 1 - 7 = 0 \Rightarrow m = 6.$
Ví dụ 30: Cho $4$ điểm$A(0{\text{ }}; - 2),{\text{ }}B( - 1{\text{ }};{\text{ }}0),{\text{ }}C(0{\text{ }}; - 4),{\text{ }}D( - 2{\text{ }};{\text{ }}0)$. Tìm tọa độ giao điểm của $2$ đường thẳng $AB$ và $CD$
A. $(1{\text{ }}; - 4).$
B. $\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}} \right).$
C. $( - 2{\text{ }};{\text{ }}2)$.
D. Không có giao điểm.
Lời giải
Chọn D.
$AB$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2} \right)$ và $CD$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;4} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2} \right)$và $\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;4} \right)$ cùng phương nên $AB$và $CD$ không có giao điểm.
Ví dụ 31: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng:
${\Delta _1}:$ $\left\{ \begin{gathered} x = 3 + \sqrt 2 t \hfill \\ y = 1 - \sqrt 3 t \hfill \\ \end{gathered} \right.$ và ${\Delta _2}:$ $\left\{ \begin{gathered} x = 2 + \sqrt 3 t \hfill \\ y = 1 - \sqrt 2 t \hfill \\ \end{gathered} \right.$
A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
C. Vuông góc nhau.
D. Trùng nhau.
Lời giải
Chọn B.
${\Delta _1}:$ có vtcp $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 3 } \right)$ ; ${\Delta _2}:$ có vtcp $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {\sqrt 3 ; - \sqrt 2 } \right)$.
Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} $, $\overrightarrow {{u_2}} $ không cùng phương và $\overrightarrow {{u_1}}.\overrightarrow {{u_2}} = 2\sqrt 6 $ nên ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau nhưng không vuông góc.
Ví dụ 32: Khoảng cách từ điểm $M(1; - 1)$ đến đường thẳng $\Delta :3x - 4y - 17 = {\text{ }}0$ là:
A. $\dfrac{2}{5}.$
B. $2.$
C. $\dfrac{{18}}{5}.$
D. $\dfrac{{10}}{{\sqrt 5 }}.$
Lời giải
Chọn B.
+ $d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3.1 - 4.( - 1) - 17} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2$.
Ví dụ 33: Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d:\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{8} = 1$ là:
A. $4,8.$
B. $\dfrac{1}{{10}}.$
C. $\dfrac{1}{{14}}.$
D. $6.$
Lời giải
Chọn A.
$d:8x + 6y - 48 = 0 \Rightarrow d\left( {O,d} \right) = \dfrac{{\left| { - 48} \right|}}{{100}} = 4,8$.
Ví dụ 34: Khoảng cách từ điểm $M\left( {2;0} \right)$ đến đường thẳng $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1 + 3t} \\ {y = 2 + 4t} \end{array}} \right.$ là:
A. $2.$
B. $\dfrac{2}{5}.$
C. $\dfrac{{10}}{{\sqrt 5 }}.$
D. $\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}.$
Lời giải
Chọn A.
Đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát$d:4x - 3y + 2 = 0 \Rightarrow d\left( {M,d} \right) = \dfrac{{\left| {4.2 - 3.0 + 2} \right|}}{5} = 2$.
Ví dụ 35: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $\Delta :6x--8y - 101 = 0$ và $d:3x--4y = 0$ là:
A. $10,1.$
B. $1,01.$
C. $101.$
D. $\sqrt {101}.$
Lời giải
Chọn A.
Lấy điểm $O\left( {0;0} \right) \in d:3x - 4y = 0$
$d\left( {d;\Delta } \right) = d\left( {O;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 101} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \dfrac{{101}}{{10}} = 10,1$
Ví dụ 36: Khoảng cách từ $A\left( {3;1} \right)$đến đường thẳng $d:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + t \hfill \\ y = 3 - 2t \hfill \\ \end{gathered} \right.$ gần với số nào sau đây?
A. $0,85.$
B. $0,9.$
C. $0,95.$
D. $1.$
Lời giải
Chọn B.
$d:\left\{ \begin{gathered} x = 1 + t \hfill \\ y = 3 - 2t \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow d:2x + y - 5 = 0$$ \Rightarrow d\left( {A,d} \right) = \dfrac{{\left| {2.3 + 1.1 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} \approx 0,894$.
Ví dụ 37: Tìm điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho nó cách đều hai đường thẳng: ${d_1}:3x + 2y - 6 = 0$ và${d_3}:3x + 2y + 6 = 0$ ?
A. $\left( {1;0} \right).$
B. $\left( {0;0} \right).$
C. $\left( {0;\sqrt 2 } \right).$
D. $\left( {\sqrt 2 ;0} \right).$
Lời giải
Chọn B.
Gọi $M\left( {a;0} \right) \Rightarrow \left| {3a - 6} \right| = \left| {3a + 6} \right| \Leftrightarrow 2 = 0 \Rightarrow M\left( {0;0} \right)$.
Ví dụ 38: Cho hai điểm $A(2; - 1)$ và $B\left( {0;100} \right)$ ,$C(2; - 4)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
A. $3.$
B. $\dfrac{3}{2}.$
C. $\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.$
D. $147.$
Lời giải
Chọn A.
Phương trình $AC:x - 2 = 0,AC = 3,d\left( {B,AC} \right) = 2 \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.d\left( {B,AC} \right) = 3$.
Ví dụ 39: Cho hai điểm $A\left( {1;2} \right)$ và $B\left( {4;6} \right).$ Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho diện tích tam giác $MAB$ bằng $1$?
A. $\left( {0;\dfrac{{13}}{4}} \right)$ và $\left( {0;\dfrac{9}{4}} \right).$
B. $\left( {1;0} \right).$
C. $\left( {4;0} \right).$
D. $\left( {0;2} \right).$
Lời giải
Chọn A.
$AB = 5$ , Gọi $M\left( {0;m} \right)$
Vì diện tích tam giác $MAB$ bằng $1 \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{2}{5},$
$AB:3x + 4y - 11 = 0 \Rightarrow \dfrac{{\left| {4m - 11} \right|}}{5} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow \left[ \begin{gathered} m = \dfrac{{13}}{4} \hfill \\ m = \dfrac{9}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ví dụ 40: Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục $Ox$ và cách đều hai đường thẳng: ${d_1}:3x - 2y - 6 = {\text{ }}0$ và ${d_2}:3x - 2y + 3 = {\text{ }}0$.
A. $\left( {\dfrac{1}{2};0} \right).$
B. $(0;\sqrt 2 ).$
C. $\left( {\sqrt 2 ;0} \right).$
D. $\left( {1;0} \right).$
Lời giải
Chọn A.
Gọi $M(m;0)$. Theo bài ra ta có
$d\left( {M,{d_1}} \right) = d\left( {M,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \left| {3m - 6} \right| = \left| {3m + 3} \right| \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2} \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)$.
Ví dụ 41: Phương trình của đường thẳng qua $P\left( {2;5} \right)$ và cách $Q\left( {5;1} \right)$ một khoảng bằng $3$ là:
A. $7x + 24y-134 = 0.$
B. $x = 2.$
C. $x = 2, 7x + 24y--134 = 0.$
D. $3x + 4y - 5 = 0.$
Lời giải
Chọn C.
$\Delta $qua $P\left( {2;5} \right) \Rightarrow \Delta :a(x - 2) + b(y - 5) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 2a - 5b = 0$.
$d\left( {Q,\Delta } \right) = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {5a + b - 2a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {3a - 4b} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} $
$ \Leftrightarrow - 24ab + 7{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} b = 0 \hfill \\ b = \dfrac{{24}}{7}a \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Với $b = 0$, chọn $a = 1 \Rightarrow \Delta :x = 2$
Với $b = \dfrac{{24}}{7}a$, chọn $a = 7 \Rightarrow b = 24\xrightarrow{{}}\Delta :7x + 24y - 134 = 0$
Ví dụ 42: Tính góc giữa hai đường thẳng: $3x + y - 1 = 0$ và $4x - 2y - 4 = 0$.
A. ${30^0}$.
B. ${60^0}$.
C. ${90^0}$.
D. ${45^0}$.
Lời giải
Chọn D.
Đường thẳng: $3x + y - 1 = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;1} \right)$.
Đường thẳng: $4x - 2y - 4 = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4; - 2} \right)$.
$\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$
Suy ra $\left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0}$.
Ví dụ 43: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ${\Delta _1}:10x + 5y - 1 = 0$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = 1 - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
A. $\dfrac{3}{{10}}.$
B. $\dfrac{{\sqrt {10} }}{{10}}.$
C. $\dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}.$
D. $\dfrac{3}{5}.$
Lời giải
Chọn C.
Vectơ pháp tuyến của ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1} \right)$.
$\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{3}{{\sqrt 10 }}$.
Ví dụ 44: Toạ độ hình chiếu của $M\left( {4;1} \right)$ trên đường thẳng $\Delta :{\text{ }}x--2y + 4 = 0$ là:
A. $(14; - 19{\text{ }}).$
B. $(2;3{\text{ }}).$
C. $\left( {\dfrac{{14}}{5};\dfrac{{17}}{5}} \right).$
D. $\left( { - \dfrac{{14}}{5};\dfrac{{17}}{5}} \right).$
Lời giải
Chọn C.
Đường thẳng $(\Delta )$ có 1 VTPT $\overrightarrow n (1; - 2)$, Gọi $H(2t - 4;t)$ là hình chiếu của $M\left( {4;1} \right)$ trên đường thẳng $(\Delta )$ thì $\overrightarrow {MH} (2t - 8;t - 1)$.
$H(2t - 4;t)$ là hình chiếu của $M\left( {4;1} \right)$ trên đường thẳng $(\Delta )$ nên $\overrightarrow {MH} (2t - 8;t - 1)$ và $\overrightarrow n (2; - 3)$ cùng phương khi và chỉ khi $\dfrac{{2t - 8}}{1} = \dfrac{{t - 1}}{{ - 2}} \Leftrightarrow t = \dfrac{{17}}{5}$$ \Rightarrow H\left( {\dfrac{{14}}{5};\dfrac{{17}}{5}} \right)$.
Ví dụ 45: Cho đường thẳng $d:2x--3y + 3 = 0$ và $M\left( {8;{\text{ }}2} \right)$. Tọa độ của điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $d$ là:
A. $( - 4;8)$.
B. $( - 4; - 8)$.
C. $(4;8)$.
D. $(4; - 8)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta thấy hoành độ và tung độ của điểm $M'$ chỉ nhận một trong 2 giá trị nên ta có thể làm như sau:
Đường thẳng $d$ có 1 VTPT $\overrightarrow n (2; - 3)$, Gọi $M'(x;y)$ thì $\overrightarrow {MM'} (x - 2;y + 3)$.
$M'$ đối xứng với $M$qua $d$ nên $\overrightarrow {MM'} (x - 2;y + 3)$ và $\overrightarrow n (2; - 3)$ cùng phương khi và chỉ khi
$\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 3}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{28 - 2y}}{3}$.
Thay $y = 8$ vào ta được $x = 4$.
Thay $y = - 8$ vào thấy không ra đúng $x = \pm 4$.
Cách 2:
+Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$ và vuông góc với $d$ là: $3(x - 8) + 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 28 = 0$.
+ Gọi $H = d \cap \Delta \Rightarrow H(6;5)$.
+ Khi đó $H$ là trung điểm của đoạn $MM'$. Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra
$\left\{ \begin{gathered} {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 12 - 8 = 4 \hfill \\ {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 10 - 2 = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Vậy $M'(4;8)$.
Ví dụ 46: Cho hai đường thẳng ${d_1}:x + 2y - 1 = 0$, ${d_2}:x - 3y + 3 = 0$. Phương trình đường thẳng $d$ đối xứng với ${d_1}$ qua ${d_2}$ là:
A. $x - 2y + 2 = 0.$
B. $2x - y + 2 = 0.$
C. $x + 2y + 2 = 0.$
D. $x + 7y + 1 = 0.$
Lời giải
Chọn B.
Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$. Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{gathered} x + 2y - 1 = 0 \hfill \\ x - 3y + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( { - \dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}} \right)$.
Lấy điểm $M\left( {1;0} \right) \in {d_1}$. Đường thẳng $\Delta $ qua $M$ và vuông góc với ${d_2}$ có phương trình: $3x + y - 3 = 0.$
Gọi $H = \Delta \cap {d_2}$, suy ra tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{gathered} x - 3y + 3 = 0 \hfill \\ 3x + y - 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{6}{5}} \right)$
$ \Rightarrow N\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{{12}}{5}} \right)$ là điểm đối xứng của $M$ qua ${d_2}$.
Phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{gathered} {\text{qua }}I\left( { - \dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}} \right) \hfill \\ \overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_{IN}}} = \left( {2; - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có dạng: $2x - y + 2 = 0.$
