BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R$ là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$.
Dạng khai triển của $\left( C \right)$ là ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $c = {a^2} + {b^2} - {R^2}$.
Phương trình ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với điều kiện ${a^2} + {b^2} - c > 0$, là phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} $.
2. Phương trình tiếp tuyến
Cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$.
Tiếp tuyến $\Delta $ của $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $IM$ nên có phương trình là:
$\Delta :\left( {{x_o} - a} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {{y_o} - a} \right)\left( {y - a} \right) = {R^2}$.
Nhận xét
$\Delta :ax + by + c = 0$ là tiếp tuyến của $\left( C \right) \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R$.
Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ có hai tiếp tuyến cùng phương với $Oy$ là $x = a \pm R$. Ngoài hai tiếp tuyến này, các tiếp tuyến khác đều có dạng $y = kx + m$.
3. Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng và đường tròn
a) Vị trí tương đối của điểm $M$ và đường tròn $(C)$
Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$ và tính $IM$.
Nếu $IM<R$ thì $M$ nằm trong đường tròn.
Nếu $IM=R$ thì $M$ thuộc đường tròn.
Nếu $IM>R$ thì $M$ nằm ngoài đường tròn.
b) Vị trí tương đối của đường thẳng $\Delta $ và đường tròn $(C)$
Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $(C)$, tính $d(I;\Delta )$.
Nếu $d(I;\Delta ) < R$ thì $\Delta $ cắt $(C)$ tại $2$ điểm phân biệt.
Nếu $d(I;\Delta ) = R$ thì $\Delta $ tiếp xúc $(C)$.
Nếu $d(I;\Delta ) > R$ thì $\Delta $ không cắt $(C)$.
c) Vị trí tương đối của 2 đường tròn $(C)$ và $(C’ )$
Xác định tâm $I$, bán kính $R$ của $(C)$ và tâm $I’$, bán kính $R’$ của đường tròn $(C’)$. Từ đó tính $II',\left| {R - R'} \right|,R + R'$.
Nếu $II' > R + R'$ thì $2$ đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau.
Nếu $II' = R + R'$ thì $2$ đường tròn tiếp xúc ngoài.
Nếu $II' < \left| {R - R'} \right|$ thì $2$ đường tròn không cắt nhau và lồng nhau.
Nếu $II' = \left| {R - R'} \right|$ thì $2$ đường tròn tiếp xúc trong với nhau.
Nếu $\left| {R - R'} \right| < II' < R + R'$ thì $2$ đường tròn cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt.
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.
a) ${x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 9 = 0\left( 1 \right)$.
b) ${x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 13 = 0\left( 2 \right)$.
c) $2{x^2} + 2{y^2} - 6x - 4y - 1 = 0\left( 3 \right)$.
d) $2{x^2} + {y^2} + 2x - 3y + 9 = 0\left( 4 \right)$.
Lời giải
a) Phương trình $\left( 1 \right)$ có dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = - 1;b = 2;c = 9$.
Ta có ${a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 - 9 < 0$.
Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có ${a^2} + {b^2} - c = 9 + 4 - 13 = 0$.
Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có $\left( 3 \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 3x - 2y - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \dfrac{5}{2}$.
Vậy phương trình $\left( 3 \right)$ là phương trình đường tròn tâm $I\left( {\dfrac{3}{2};1} \right)$, bán kính $R = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}$.
d) Phương trình $\left( 4 \right)$ không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ khác nhau.
Ví dụ 2: Cho phương trình ${x^2} + {y^2} - 2mx - 4\left( {m - 2} \right)y + 6 - m = 0\left( 1 \right)$.
a) Tìm điều kiện của $m$ để $\left( 1 \right)$ là phương trình đường tròn.
b) Nếu $\left( 1 \right)$ là phương trình đường tròn, hãy tìm tâm và bán kính theo $m$.
Lời giải
a) Phương trình $\left( 1 \right)$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} - c > 0$.
Ta có $a = m;b = 2\left( {m - 2} \right);c = 6 - m$.
Khi đó ${m^2} + 4{\left( {m - 2} \right)^2} - 6 + m > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ m < 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm $I\left( {m;2\left( {m - 2} \right)} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {5{m^2} - 15m + 10} $.
Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm $I\left( {1; - 5} \right)$ và đi qua $O\left( {0;0} \right)$.
b) Nhận $AB$ làm đường kính với $A\left( {1;1} \right),B\left( {7;5} \right)$.
Lời giải
a) Đường tròn cần tìm có bán kính là $OI = \sqrt {{1^2} + {5^2}} = \sqrt {26} $ nên có phương trình là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 26$.
b) Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ suy ra $I\left( {4;3} \right)$,$AI = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {13} $.
Đường tròn cần tìm có đường kính là $AB$ suy ra nó nhận $I\left( {4;3} \right)$ làm tâm và bán kính $R = AI = \sqrt {13} $ nên có phương trình là ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13$.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ đi qua ba điểm $A\left( { - 3; - 1} \right),B\left( { - 1;3} \right),C\left( { - 2;2} \right)$.
Lời giải
Cách 1
Phương trình đường tròn có dạng $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$, với ${a^2} + {b^2} - c > 0$.
Vì $A,B,C$ thuộc $\left( C \right)$ nên ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered} 6a + 2b - c = 10 \hfill \\ 2a - 6b - c = 10 \hfill \\ 4a - 4b - c = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - 2 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ c = - 20 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy phương trình đường tròn cần tìm ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 20 = 0$.
Cách 2
Gọi $I\left( {a;b} \right)$ là tâm của $\left( C \right)$.
Vì $A,B,C$ thuộc $\left( C \right)$ nên $\left\{ \begin{gathered} IA = IB \hfill \\ IA = IC \hfill \\ \end{gathered} \right. $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( { - 3 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = {\left( { - 1 - a} \right)^2} + {\left( {3 - b} \right)^2} \hfill \\ {\left( { - 3 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4a + 8b = 0 \hfill \\ 2a + 6b = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Suy ra $I\left( {2; - 1} \right)$, bán kính $IA = 5$.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 25$.
Ví dụ 5: Cho hai điểm $A\left( {8;0} \right),B\left( {0;6} \right)$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$.
Lời giải
Ta có tam giác $OAB$ vuông ở $O$ nên tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của
cạnh huyền $AB$ suy ra $I\left( {4;3} \right)$ và bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( {8 - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = 5$.
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ là: ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25$.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x - y - 5 = 0$ và hai điểm $A\left( {1;2} \right),B\left( {4;1} \right)$. Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm thuộc $d$ và đi qua hai điểm $A,B$.
Lời giải
Cách 1
Gọi $I$ là tâm của $\left( C \right)$. Do $I \in d$ nên $I\left( {t;2t - 5} \right)$.
Hai điểm $A,B$ cùng thuộc $\left( C \right)$ nên
$IA = IB \Leftrightarrow {\left( {1 - t} \right)^2} + {\left( {7 - 2t} \right)^2} = {\left( {4 - t} \right)^2} + {\left( {6 - 2t} \right)^2} \Leftrightarrow t = 1$
Suy ra $I\left( {1; - 3} \right)$ và bán kính $R = IA = 5$.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$.
Cách 2
Gọi $M\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$ là trung điểm $AB$. Đường trung trực của đoạn $AB$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $\Delta :3x - y - 6 = 0$.
Tọa độ tâm $I$ của $\left( C \right)$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{gathered} 2x - y - 5 = 0 \hfill \\ 3x - y - 6 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( {1; - 3} \right)$.
Bán kính của đường tròn bằng $R = IA = 5$.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
$\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$.
Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng ${d_1}:x + 3y + 8 = 0,{d_2}:3x - 4y + 10 = 0$ và điểm $A\left( { - 2;1} \right)$. Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm thuộc ${d_1}$, đi qua điểm $A$ và tiếp xúc với ${d_2}$
Lời giải
Gọi $I$ là tâm của $(C)$. Do $I \in {d_1}$ nên $I(-3t-8; t)$. Theo giả thiết ta có
$d(I,{d_2}) = IA \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3( - 3t - 8) - 4t + 10} \right|}}{{25}} $$= \sqrt {{{( - 3t - 8 + 2)}^2} + {{(t - 1)}^2}} \Leftrightarrow t = - 3$.
Suy ra $I(1; -3)$ và $R=5$.
Vậy phương trình $(C)$ là ${(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} = 25$.
Ví dụ 8: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $2$ điểm $A (-1; 1), B(3; 3)$ và đường thẳng $d:3x - 4y + 8 = 0$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ qua $A, B$ và tiếp xúc $d.$
Lời giải
Đường trung trực $\Delta $ của $AB$ đi qua $M(1; 2)$ là trung điểm $AB$ có phương trình là
$\Delta :2x + y - 4 = 0$.
Gọi tâm $I$ của $(C)$ thuộc $\Delta $ là I (t; 4-2t).
Ta có $d(I,d) = IA \Leftrightarrow \sqrt {{{( - 1 - t)}^2} + {{(2t - 3)}^2}} $$= \dfrac{{\left| {3t - 4(4 - 2t) + 8} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }}$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 3} \\ {t = \dfrac{{31}}{2}} \end{array}} \right.$
Với $t = 3$, suy ra tâm $I(3; -2)$. Bán kính $R=IA=5$.
Phương trình $(C): {(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} = 25$.
Với $t = \dfrac{{31}}{2}$, suy ra tâm $I(\dfrac{{31}}{2}; - 27)$ và $R = \dfrac{{65}}{2}$.
Phương trình $(C):{(x - \dfrac{{31}}{2})^2} + {(y + 27)^2} = \dfrac{{4225}}{4}$.
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $d:2x - y - 4 = 0$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm thuộc $d$.
Lời giải
Gọi $I(m; 2m-4)$ thuộc $d$ là tâm của đường tròn $(C)$.
Ta có $d(I;Ox) = d(I;Oy) $$\Leftrightarrow \left| {2m - 4} \right| = \left| m \right| \Leftrightarrow m = 4$ hoặc $m = \dfrac{4}{3}$.
Với $m = \dfrac{4}{3}$ thì $I(\dfrac{4}{3};\dfrac{{ - 4}}{3}),R = \dfrac{4}{3}$ ta có
$(C): {(x - \dfrac{4}{3})^2} + {(y + \dfrac{4}{3})^2} = \dfrac{{16}}{9}$
Với $m = 4$ thì $I(4;4),R = 4$ ta có
$(C):{(x - 4)^2} + {(y + 4)^2} = 16.$
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $d:2x - y - 4 = 0$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm thuộc $d$ đồng thời tiếp xúc với ${\Delta _1}:3x + 4y + 5 = 0$ và ${\Delta _2}:4x - 3y - 5 = 0$.
Lời giải
Gọi $I(6t + 10;t) \in d$ ta có
$d(I,{\Delta _1}) = d(I,{\Delta _2}) $$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {22t + 35} \right|}}{5} = \dfrac{{\left| {21t + 35} \right|}}{5} \Leftrightarrow t = 0$ hoặc $t = \dfrac{{ - 70}}{{43}}$.
Với $t = 0$ suy ra $I(10;0),R = 7$.
Phương trình $(C):{(x - 10)^2} + {y^2} = 49$.
Với $t = \dfrac{{ - 70}}{{43}}$ suy ra $I(\dfrac{{10}}{{43}};\dfrac{{ - 70}}{{43}}),R = \dfrac{7}{{43}}.$
Phương trình $(C):{(x - \dfrac{{10}}{{43}})^2} + {(y + \dfrac{{70}}{{43}})^2} = \dfrac{{49}}{{1849}}.$
Ví dụ 11: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $d:x + 2y - 3 = 0$ và $\Delta :x + 3y - 5 = 0$ viết phương trình $(C)$ có bán kính $R = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5}$, có tâm thuộc $d$ và tiếp xúc với $\Delta $.
Lời giải
Gọi $I( - 2a + 3;a) \in d$ là tâm của $(C)$. Ta có
$d(I,\Delta ) = R $$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {a - 2} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{5} $$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 6} \\ {a = - 2.} \end{array}} \right.$
Với $a = 6$ suy ra $I( -9; 6)$. Phương trình $(C):{(x + 9)^2} + {(y - 6)^2} = \dfrac{8}{5}.$
Với $a = - 2$ suy ra $I( 7; -2)$. Phương trình $(C):{(x - 7)^2} + {(y + 2)^2} = \dfrac{8}{5}.$
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $(C): {x^2} + {y^2} + 4\sqrt 3 x - 4 = 0$, tia $Oy$ cắt $(C)$ tại $A$. Viết phương trình $(C’)$ có bán kính $R’=2$ và tiếp xúc ngoài với $(C)$ tại $A$.
Lời giải
Đường tròn $(C)$ có tâm $I( - 2\sqrt 3 ;0)$ bán kính $R=4$.
Tọa độ $A$ là nghiệm hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} + 4\sqrt 3 x - 4 = 0} \\ {x = 0} \end{array}} \right.\quad (y > 0)$.
Ta được $A(0; 2)$.
Đường thẳng $IA$ đi qua $2$ điểm $I$ và $A$ nên có phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2\sqrt 3 t} \\ {y = 2t + 2.} \end{array}} \right.$
Đường tròn $(C’)$ tiếp xúc ngoài với $(C)$ nên tâm $I’$ thuộc $IA$, nên $I'(2\sqrt 3 t;2t + 2)$.
Hơn nữa, $R = 2R'$ nên $\overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {I'A} $$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\sqrt 3 - 0 = 2(0 - 2\sqrt 3 t)} \\ {0 - 2 = 2(2 - 2t - 2)} \end{array}} \right. $$\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}.$
Với $t = \dfrac{1}{2}$, suy ra $I'(\sqrt 3 ;3)$. Phương trình đường tròn $(C’):{(x - \sqrt 3 )^2} + {(y - 3)^2} = 4$.
Ví dụ 13: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $(C): {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 2 = 0$. Viết phương trình đường tròn $(C’)$ có tâm $M(5;1)$ biết $(C’)$ cắt $(C)$ tại $2$ điểm $A, B$ sao cho $AB = \sqrt 3 $.
Lời giải
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R = \sqrt 3 $.
Phương trình đường thẳng nối $2$ tâm $IM: 3x - 4y - 11 = 0$.
Gọi $H(x;y)$ là trung điểm $AB$.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {H \in IM} \\ {IH = \sqrt {{R^2} - A{H^2}} = \dfrac{3}{2}} \end{array}} \right. $$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x - 4y - 11 = 0} \\ {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 2)}^2} = \dfrac{9}{4}} \end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{ - 1}}{5}} \\ {y = \dfrac{{ - 29}}{{10}}} \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{11}}{5}} \\ {y = \dfrac{{ - 11}}{{10}}} \end{array}} \right.$
Suy ra $H(\dfrac{{ - 1}}{5};\dfrac{{ - 29}}{{10}})$ hoặc $H(\dfrac{{11}}{5};\dfrac{{ - 11}}{{10}})$.
Với $H(\dfrac{{ - 1}}{5};\dfrac{{ - 29}}{{10}})$ ta có $R{'^2} = 43$.
Phương trình $(C’):{(x - 5)^2} + {(y - 1)^2} = 43$.
Với $H(\dfrac{{11}}{5};\dfrac{{ - 11}}{{10}})$ ta có $R{'^2} = 13$.
Phương trình $(C’):{(x - 5)^2} + {(y - 1)^2} = 13$
Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d:x - y - 1 = 0$ và hai đường tròn $({C_1}):{(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} = 8;$ $({C_2}):{(x + 5)^2} + {(y - 4)^2} = 32$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I$ thuộc $d$ và tiếp xúc ngoài với hai đường tròn trên.
Lời giải
Gọi $I,{I_1},{I_2},R,{R_1},{R_2}$ lần lượt là tâm và bán kính của $3$ đường tròn $(C), ({C_1})$ và $({C_2})$.
Giả sử $I(t;t - 1) \in d$. Theo giả thiết bài toán: $(C)$ tiếp xúc ngoài $({C_1})$và $({C_2})$ nên
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I{I_1} = R + {R_1}} \\ {I{I_2} = R + {R_2}} \end{array}} \right.$
Suy ra
$ I{I_1} - {R_1} = I{I_2} - {R_2}$
$\Leftrightarrow \sqrt {{{(t - 3)}^2} + {{(t + 3)}^2}} - 2\sqrt 2 = \sqrt {{{(t - 5)}^2} + {{(t + 5)}^2}} - 4\sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow t = 0 $.
Với $t = 0$ suy ra $I(0; - 1)$ và $R = \sqrt 2 $.
Phương trình đường tròn $(C): {x^2} + {(y + 1)^2} = 2$.
Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :x - y + 1 = 0$ và đường tròn $(C): {x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0$.
a) Chứng minh $M(2;1)$ nằm trong đường tròn.
b) Xét vị trí tương đối của $\Delta $ và $(C)$.
Lời giải
a) Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;-1)$ và bán kính $R=3$. Ta có $IM = 2 < 3 = R$.
Do đó $M$ nằm trong $(C)$.
b) $d(I;\Delta ) = 2\sqrt 2 < 3 = R$ nên $\Delta $ cắt $(C)$ tại $2$ điểm phân biệt.
Ví dụ 16: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $2$ đường tròn $(C):{x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 15 = 0$ và $(C’):{x^2} + {y^2} - 6x - 2y - 3 = 0$. Chứng minh $2$ đường tròn cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt $A,B$.
Lời giải
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; 3)$ và bán kính $R=5$.
Đường tròn $(C’)$ có tâm $I’(3; 1)$ và bán kính $R = \sqrt {13} $.
Mà $II' = 2\sqrt 2 $, do đó $\left| {R - R'} \right| < II' < \left| {R + R'} \right|$ nên $2$ đường tròn cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt $A, B$.
Ví dụ 17: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0$ và đường thẳng $\Delta :\sqrt 2 x + my + 1 - \sqrt 2 = 0$. Tìm $m$ để $(C)$ cắt $\Delta $ tại $2$ điểm phân biệt.
Lời giải
Đường tròn $(C)$ có tâm I(1; -2) và bán kính $R=3$.
Để $(C)$ cắt $\Delta $ tại $2$ điểm phân biệt
$ \Leftrightarrow d(I;\Delta ) < R$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\sqrt 2 - 2m + 1 - \sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {2 + {m^2}} }} < 3 $$\Leftrightarrow 5{m^2} + 5{m^2} + 17 > 0$. Đúng với mọi $m$.
Ví dụ 18: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0$ và đường thẳng $\Delta :mx - y - 3m - 2 = 0$. Biện luận theo $m$ số giao điểm của $\Delta $ và $(C)$.
Lời giải
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2; 1)$ và bán kính $R = \sqrt 5 $.
Ta có $h = d(I;\Delta ) = \dfrac{{\left| {m + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}.$
Nếu $h < \sqrt 5 \Leftrightarrow m > 2$ hoặc $m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow $$\Delta $ cắt $(C)$ tại $2$ điểm phân biệt.
Nếu $h = \sqrt 5 \Leftrightarrow m = 2$ hoặc $m = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow $$\Delta $ tiếp xúc $(C)$.
Nếu $h > \sqrt 5 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < m < 2$ $ \Rightarrow $$\Delta $ không cắt $(C)$.
Ví dụ 19: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1$ và $\left( {{C_m}} \right):{x^2} + {y^2} - 2(m + 1)x + 4my - 5 = 0$. Tìm $m$ để hai đường tròn tiếp xúc trong.
Lời giải
Đường tròn $(C)$ có tâm $O(0; 0)$ và bán kính $R = 1$.
Đường tròn $(C_m )$ có tâm $I(m+1; -2m)$ và bán kính $R = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + 4{m^2} + 5} $.
Mà $OI = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + 4{m^2}} $.
Để $2$ đường tròn tiếp xúc trong thì $R' - R = OI$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{(m + 1)}^2} + 4{m^2} + 5} - 1 = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + 4{m^2}} $
Giải phương trình ta được $m = - 1$ hoặc $m = \dfrac{3}{5}$.
Ví dụ 20: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 8$.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $A(3; -4)$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ qua điểm $B(5; -2)$.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ biết tiếp tuyến vuông góc với d:$x + y + 2014 = 0$.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ biết tiếp tuyến tạo với trục tung một góc $45^0$.
Lời giải
a) Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1; -2)$ và bán kính $R = 2\sqrt 2 $.
Do $A$ thuộc $(C)$ nên tiếp tuyến $\Delta $ qua $A$ và nhận $\overrightarrow {IA} = (2; - 2)$ làm vector pháp tuyến.
Vậy phương trình $\Delta :x - y - 7 = 0$.
b) Gọi $\overrightarrow n = (a;b)$ là vector pháp tuyến của $\Delta $. Do đó
$\begin{gathered} \Delta :a(x - 5) + b(y + 2) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow ax + by - 5a + 2b = 0 \hfill \\ \end{gathered} $.
Do $\Delta $ tiếp xúc với $(C)$ nên
$\begin{gathered} d(I;\Delta ) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\sqrt 2 \hfill \\ \quad \quad \quad \quad \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} \Leftrightarrow a = \pm b \hfill \\ \end{gathered} $.
Với $a = b$ chọn $a = 1 \Rightarrow b = 1$. Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ là $x + y - 3 = 0$.
Với $a = - b$ chọn $a = 1 \Rightarrow b = - 1$. Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ là $x - y - 7 = 0$.
c) Tiếp tuyến $\Delta $ vuông góc $d$ nên $\Delta $ có dạng $x - y + c = 0$.
Mà $d(I;\Delta ) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3 + c} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 1} \\ {c = - 7} \end{array}} \right.$
Vậy có $2$ tiếp tuyến thỏa mãn: $x - y + 1 = 0$ hoặc $x - y - 7 = 0$.
d) Gọi $\Delta $ có dạng $ax + by + c = 0\quad ({a^2} + {b^2} \ne 0)$.
Theo câu a) ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {d(I;\Delta ) = R} \\ {\cos (\overrightarrow n ;\overrightarrow i ) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\left| {a - 2b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\sqrt 2 } \\ {\dfrac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} \Leftrightarrow a = \pm b$
Với $a = b \Rightarrow \left| {c - b} \right| = 4\left| b \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 5b} \\ {c = - 3b} \end{array}} \right.$
TH1: Chọn $b = 1 \Rightarrow c = 5;a = 1$ ta được $\Delta :x + y + 5 = 0$.
TH2: Chọn $b = 1 \Rightarrow c = - 3;a = 1$ ta được $\Delta :x + y - 3 = 0$.
Với $a = - b \Rightarrow \left| {c - 3b} \right| = 4\left| b \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 7b} \\ {c = - b} \end{array}} \right.$
TH1: Chọn $b = - 1 \Rightarrow c = - 7;a = 1$ ta được $\Delta :x - y - 7 = 0$.
TH2: Chọn $b = - 1 \Rightarrow c = 3;a = 1$ ta được $\Delta :x - y + 1 = 0$.
Vậy có $4$ tiếp tuyến cần tìm là $\Delta :x + y + 5 = 0$; $\Delta :x + y - 3 = 0$; $\Delta :x - y - 7 = 0$; $\Delta :x - y + 1 = 0$.
Ví dụ 21: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $({C_1}):{x^2} + {y^2} - 2y - 3 = 0$ và $({C_2}):{x^2} + {y^2} - 8x - 8y + 28 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến chung của $2$ đường tròn.
Lời giải
$({C_1})$ có tâm ${I_1}(0;1)$ và bán kính ${R_1} = 2$.
$({C_2})$ có tâm ${I_2}(4;4)$ và bán kính ${R_2} = 2$.
Có ${I_1}{I_2} = 5 > {R_1} + {R_2}$ nên $2$ đường tròn ở ngoài nhau, như vậy có $4$ tiếp tuyến chung.
TH1: Nếu tiếp tuyến song song $Oy$ thì $\Delta $ có dạng $x + c = 0$.
Ta có $d({I_1};\Delta ) = d({I_2};\Delta ) \Leftrightarrow \left| c \right| = \left| {4 + c} \right| \Leftrightarrow c = - 2$
Vậy tiếp tuyến $\Delta :x - 2 = 0$.
TH2: Nếu $\Delta $ không song song với $Oy$ thì phương trình của $\Delta :y = ax + b$.
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {d({I_1};\Delta ) = 2} \\ {d({I_1};\Delta ) = d(I{}_2;\Delta )} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\left| { - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2} \\ {\dfrac{{\left| { - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \dfrac{{\left| { - 4a - 4 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }}} \end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{4}} \\ {b = \dfrac{7}{2}} \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{ - 7}}{{24}}} \\ {b = \dfrac{{37}}{{12}}} \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{4}} \\ {b = \dfrac{{ - 3}}{2}} \end{array}} \right.$
Suy ra $\Delta :3x - 4y + 14 = 0$; $\Delta :3x - 4y - 6 = 0$; $\Delta :7x + 24y - 74 = 0$.
Vậy có $4$ tiếp tuyến $\Delta :x - 2 = 0$$\Delta :3x - 4y + 14 = 0$; $\Delta :3x - 4y - 6 = 0$; và $\Delta :7x + 24y - 74 = 0$.
Ví dụ 22: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $({C_1}):{(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} = 2$ và $({C_2}):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 8$. Viết phương trình tiếp tuyến chung của $2$ đường tròn.
Lời giải
$({C_1})$ có tâm ${I_1}(2;3)$ và bán kính ${R_1} = \sqrt 2 $.
$({C_2})$ có tâm ${I_2}(1;2)$ và bán kính ${R_2} = 2\sqrt 2 $.
Ta có ${I_1}{I_2} = \sqrt 2 = {R_2} - {R_1}$ do đó $2$ đường tròn tiếp xúc trong. Như vậy có $1$ tiếp tuyến chung.
Tọa độ tiếp điểm của $2$ đường tròn là nghiệm hệ
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 3)}^2} = 2} \\ {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} = 8}\end{array}} \right. \Rightarrow M(3;4).$
Tiếp tuyến chung $\Delta $ là đường thẳng qua $M\left( {3;4} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{I_1}{I_2}} = \left( { - 1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $\Delta :x + y - 7 = 0$.
Ví dụ 23: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$ và điểm $M\left( {2;4} \right)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M$ và cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho:
a) $M$ là trung điểm $AB.$
b) $MA = 3MB.$
c) $AB = 2\sqrt 2 .$
d) $AB$ có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải
a) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;3} \right)$, bán kính $R = 2$. Suy ra $\overrightarrow {IM} = \left( {1;1} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {IM} = \left( {1;1} \right)$ và $IM = \sqrt 2 < R$ nên $M$ nằm bên trong đường tròn $\left( C \right)$.
Do đó mọi đường thẳng đi qua điểm $M$ đều cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt.
Theo tính chất “Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung” nên đường thẳng $\Delta $ cần tìm đi qua $M$ và vuông góc với $IM$.
Do đó $\Delta $ đi qua điểm $M\left( {2;4} \right)$ và nhận $\overrightarrow {IM} = \left( {1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $\Delta :x + y - 6 = 0$.
b) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;3} \right)$, bán kính $R = 2$. Suy ra $\overrightarrow {IM} = \left( {1;1} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {IM} = \left( {1;1} \right)$ và $IM = \sqrt 2 < R$ nên $M$ nằm bên trong đường tròn $\left( C \right)$.
Gọi $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ (với ${a^2} + {b^2} \ne 0$) là vectơ pháp tuyến của $\Delta $. Do đó
$\Delta :a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $ax + by - 2a - 4b = 0$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$, suy ra $IH \bot AB$ nên $d\left( {I,\Delta } \right) = IH$.
Từ $MA = 3MB$, suy ra $M$ là trung điểm $BH$.
Xét hai tam giác $IBH$ và $IMH$, ta có
$HB = \sqrt {I{B^2} - I{H^2}} = \sqrt {4 - I{H^2}} $ và $HM = \sqrt {I{M^2} - I{H^2}} = \sqrt {2 - I{H^2}} $.
Do $M$ là trung điểm $BH$ nên $HB = 2HM \Leftrightarrow \sqrt {4 - I{H^2}} = 2\sqrt {2 - I{H^2}} $, suy ra $IH = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$$ \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {a^2} - 6ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)b \hfill \\ a = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)b \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Với $a = \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)b$, chọn $b = 1$ suy ra $a = 3 - 2\sqrt 2 $. Ta được $\Delta :\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)x + y + 4\sqrt 2 - 10 = 0$
Với $a = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)b$, chọn $b = 1$ suy ra $a = 3 + 2\sqrt 2 $. Ta được $\Delta :\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)x + y - 4\sqrt 2 - 10 = 0$
c) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;3} \right)$, bán kính $R = 2$. Suy ra $\overrightarrow {IM} = \left( {1;1} \right)$. Ta có $\overrightarrow {IM} = \left( {1;1} \right)$ và $IM = \sqrt 2 < R$ nên $M$ nằm bên trong đường tròn $\left( C \right)$.
Gọi $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ (với ${a^2} + {b^2} \ne 0$) là vectơ pháp tuyến của $\Delta $. Do đó
$\Delta :a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $ax + by - 2a - 2b = 0$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$, suy ra $IH \bot AB$ nên
$d\left( {I,\Delta } \right) = IH = \sqrt {I{A^2} - H{A^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = b$
Chọn $a = 1$ suy ra $b = 1$. Ta được $\Delta :x + y - 6 = 0$
d) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;3} \right)$, bán kính $R = 2$. Suy ra $\overrightarrow {IM} = \left( {1;1} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {IM} = \left( {1;1} \right)$ và $IM = \sqrt 2 < R$ nên $M$ nằm bên trong đường tròn $\left( C \right)$.
Do đó mọi đường thẳng đi qua $M$ đều cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt.
Theo tính chất: “dây cung nào gần tâm hơn thì dây cung đó lơn hơn”.
Do đó để dây cung $AB$ nhỏ nhất khi xa tâm nhất hay $d\left( {I,AB} \right)$ lớn nhất. Ta có
$d\left( {I,AB} \right) = d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \leqslant \dfrac{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 2 $.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.
Chọn $a = 1$ suy ra $b = 1$. Ta được $\Delta :x + y - 6 = 0$
Ví dụ 24: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tòn $\left( C \right)$: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$ và điểm $M\left( {2;4} \right)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M$ và cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho
a) $AB$ có độ dài lớn nhất.
b) Tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ vuông góc với nhau.
c) Tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau.
d) Tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ hợp với nhau một góc ${60^0}$.
Lời giải
a) Theo tính chất: Đường kính là dây cung lớn nhất nên dây cung $AB$ thỏa yêu cầu bài toán đi qua tâm $I$.
Do đó đường thẳng $\Delta $ cần tìm đi qua $M$ và tâm $I$ nên có phương trình $\Delta :x - y + 2 = 0$.
b) Gọi $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ (với ${a^2} + {b^2} \ne 0$) là vectơ pháp tuyến của $\Delta $. Do đó
$\Delta :a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $ax + by - 2a - 4b = 0$.
Gọi $P$ là giao điểm của hai tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$.
Xét tứ giác $APBI$, ta có $\left\{ \begin{gathered} \widehat {PAI} = \widehat {PBI} = \widehat {APB} = {90^0} \hfill \\ IA = IB = R \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Suy ra tứ giác $APBI$ là hình vuông cạnh $R = 2$.
$d\left( {I,\Delta } \right) = IH = \dfrac{{IP}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow a = b$.
Chọn $a = 1$ suy ra $b = 1$. Ta được $\Delta :x + y - 6 = 0$.
c) Để tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau khi và chỉ khi $AB$ là đường kính của $\left( C \right)$. Do đó đường thẳng $\Delta $ cần tìm đi qua $M$ và tâm $I$ nên có phương trình $\Delta :x - y + 2 = 0$.
d) Gọi $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ (với ${a^2} + {b^2} \ne 0$) là vectơ pháp tuyến của $\Delta $. Do đó $\Delta :a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $ax + by - 2a - 4b = 0$.
Gọi $P$ là giao điểm của của hai tiếp tuyến cới $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$.
Gọi $H = AB \cap IP$, suy ra $H$ là trung điểm của $AB$ và $IH \bot AB$.
Trường hợp 1: $\widehat {APB} = {60^0}$, suy ra $\widehat {API} = {30^0}$, do đó $\widehat {API} = {60^0}$.
Xét tam giác $AHI$ vuông tại $H$, ta có $IH = IA.\cos \widehat {AIH} = IA.\cos \widehat {AIP} = 1$
$ \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 1 \Leftrightarrow 2ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = 0 \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Với $a = 0,$ chọn $b = 1$. Ta được $\Delta :y - 4 = 0$.
Với $b = 0,$ chọn $a = 1$. Ta được $\Delta :x - 2 = 0$.
Trường hợp 2: $\widehat {APB} = {120^0}$, suy ra $\widehat {API} = {60^0}$, do đó $\widehat {API} = {30^0}$.
Xét tam giác $AHI$ vuông tại $H$, ta có $IH = IA.\cos \widehat {AIH} = IA.\cos \widehat {AIP} = \sqrt 3 $.
$ \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 1 \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} = 0$ (vô lý).
Ví dụ 25: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hai đường tròn $\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} = 13$ và $\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25$ cùng đi qua điểm $M\left( {2;3} \right)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M$ và cắt hai đường tròn $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $MA = MB$.
Lời giải
Đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm $O\left( {0;0} \right)$, bán kính ${R_1} = \sqrt {13} $.
Đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {6;0} \right)$, bán kính ${R_2} = 5$.
Gọi $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$(với ${a^2} + {b^2} \ne 0$) là vectơ pháp tuyến của $\Delta $.
Do đó $\Delta :a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0$hay $ax + by - 2a - 3b = 0$.
Theo giả thiết bài toán, ta có
$ MA = MB$$ \Leftrightarrow R_1^2 - {d^2}\left( {O,\Delta } \right) = R_2^2 - {d^2}\left( {{I_2},\Delta } \right) $
$ \Leftrightarrow {d^2}\left( {{I_2},\Delta } \right) - {d^2}\left( {O,\Delta } \right) = 12$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {6a - 2a - 3b} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} - \dfrac{{{{\left( { - 2a - 3b} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 12$
$ \Leftrightarrow {b^2} + 3ab = 0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} b = 0 \hfill \\ b = - 3a \hfill \\ \end{gathered} \right. $.
• Với $b = 0$, chọn $a = 1$. Phương trình đường thẳng $\Delta :x - 2 = 0$.
• Với $b = - 3a$, chọn $a = 1$ suy ra $b = - 3$. Phương trình đường thẳng $\Delta :x - 3y + 7 = 0$.
Ví dụ 26: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hai đường tròn $\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$ và $\left( {{C_1}} \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 9$ cùng đi qua điểm $M\left( {1;0} \right)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm $M$ và cắt hai đường tròn $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $MA = 2MB$.
Lời giải
Đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {1;1} \right)$, bán kính ${R_1} = 1$.
Đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\left( { - 2;0} \right)$, bán kính ${R_2} = 3$.
Gọi $\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)$ (với ${a^2} + {b^2} \ne 0$) là vectơ pháp tuyến của $\Delta $.
Do đó $\Delta :a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 0} \right) = 0$ hay $ax + by - a = 0$.
Theo giả thiết bài toán, ta có
$MA = 2MB \Leftrightarrow R_1^2 - {d^2}\left( {{I_1},\Delta } \right) = 4\left[ {R_2^2 - {d^2}\left( {{I_2},\Delta } \right)} \right] $
$ \Leftrightarrow 4{d^2}\left( {{I_2},\Delta } \right) - {d^2}\left( {{I_1},\Delta } \right) = 35$
$\Leftrightarrow 4\dfrac{{9{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 35 $
$ \Leftrightarrow {a^2} = 36{b^2} $
$ \Leftrightarrow a = \pm 6b $
• Với $a = 6b$, chọn $b = 1$ suy ra $a = 6$. Phương trình đường thẳng $\Delta :6x + y - 6 = 0$.
• Với $b = - 6a$, chọn $b = - 1$ suy ra $a = 6$. Phương trình đường thẳng $\Delta :6x - y - 6 = 0$.
Ví dụ 27: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5$ và đường thẳng $d:x - 5y - 4 = 0$. Tìm trên $\left( C \right)$ và trên $d$ điểm $N$ sao cho:
a) Hai điểm $M,N$ đối xứng nhau qua điểm $A\left( { - 7; - 1} \right)$.
b) Hai điểm $M,N$ đối xứng nhau qua $Ox$.
Lời giải
a) Do $N \in d$ nên $N\left( {5t + 4;t} \right)$. Điểm $M$ đối xứng với $N$ qua $A$, suy ra $M\left( { - 18 - 5t; - 2 - t} \right)$. Mặt khác $M \in \left( C \right)$, nên
$\begin{gathered} {\left( { - 18 - 5t + 2} \right)^2} + {\left( { - 2 - t - 3} \right)^2} = 5 \hfill \\ \Leftrightarrow 26{t^2} + 170t + 276 = 0 \hfill \\ \end{gathered} $.
$ \Leftrightarrow t = - 3$ hoặc $t = - \dfrac{{46}}{{13}}$.
Vậy có hai cặp điểm cần tìm là $M\left( { - 3;1} \right),N\left( { - 11; - 3} \right)$ hoặc $M\left( { - \dfrac{4}{{13}};\dfrac{{20}}{{13}}} \right),N\left( { - \dfrac{{178}}{{13}}; - \dfrac{{46}}{{13}}} \right)$.
b) Do $N \in d$ nên $N\left( {5t + 4;t} \right)$. Điểm $M$ đối xứng với $N$ qua $Ox$ nên $M\left( {5t + 4; - t} \right)$.
Mặt khác, $M \in \left( C \right)$ nên
$\begin{gathered} {\left( {5t + 4 + 2} \right)^2} + {\left( { - t - 3} \right)^2} = 5 \hfill \\ \Leftrightarrow 26{t^2} + 66t + 40 = 0 \hfill \\ \end{gathered} $.
$ \Leftrightarrow t = - 1$ hoặc $t = - \dfrac{{20}}{{13}}$.
Vậy có hai cặp điểm cần tìm là: $M\left( { - 1;1} \right),N\left( { - 1; - 1} \right)$ hoặc $M\left( { - \dfrac{{48}}{{13}};\dfrac{{20}}{{13}}} \right),N\left( { - \dfrac{{48}}{{13}}; - \dfrac{{20}}{{13}}} \right)$.
Ví dụ 28: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x - 5y - 2 = 0$ và đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 8 = 0$. Xác định tọa độ các giao điểm $A,B$ của đường tròn $\left( C \right)$ và đường thẳng $d$, biết $A$ có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm $C$ thuộc $\left( C \right)$ sao cho tam giác $ABC$ vuông ở $B$.
Lời giải
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2} \right)$, bán kính $R = \sqrt {13} $.
Tọa độ giao điểm của $A$ và $B$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 8 = 0 \hfill \\ x - 5y - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Do $A$ có hoành độ dương nên ta chọn $A\left( {2;0} \right),B\left( { - 3; - 1} \right)$.
Theo giả thiết, ta có $\widehat {ABC} = {90^0}$ nên $AC$ là đường kính của đường tròn, tức điểm $C$ đối xứng với điểm $A$ qua tâm $I$, suy ra $C\left( { - 4;4} \right)$.
Ví dụ 29: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:3x - y - 7 = 0$ và đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10$. Chứng minh $\left( d \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Tìm tọa độ điểm $C$ thuộc $\left( C \right)$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $C$.
Lời giải
Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;2} \right)$, bán kính $R = \sqrt {10} $. Ta có
$d\left( {I,d} \right) = \dfrac{{\left| {3 - 2 - 7} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} < R$.
Điều đó chứng tỏ $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$.
Vì $AB$ là dây cung của $\left( C \right)$ nên đường trung trực $\Delta $ của đoạn thẳng $AB$ qua tâm $I$ và vuông góc với $d$ nên $\Delta :x + 3y - 7 = 0$.
Tam giác$ABC$ cân tại $C$ nên $C$ thuộc $\Delta $. Hơn nữa $C$ thuộc $\left( C \right)$ nên tọa độ điểm $C$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{gathered} x + 3y - 7 = 0 \hfill \\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy $C\left( { - 2;3} \right)$ hoặc $C\left( {4;1} \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 30: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 4y + 6 = 0$ và đường thẳng $d:x + my - 2m + 3 = 0$. Gọi $I$ làm tâm của $\left( C \right)$. Tìm $m$ để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ thỏa mãn:
a) $AB$ lớn nhất.
b) $AB = 2$.
c) Diện tích $\Delta IAB$ lớn nhất.
d) Diện tích $\Delta IAB$ bằng $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ và $AB$ lớn nhất.
Lời giải
a) Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 2; - 2} \right)$, bán kính $R = \sqrt 2 $.
Dây cung $AB$ lớn nhất khi và chỉ khi $AB$ là đường kính của $\left( C \right)$ nghĩa là đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$ nên $ - 2 - 2m - 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{4}$.
Vậy $m = \dfrac{1}{4}$ là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.
b) Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Khi đó $IH \bot AB$ nên $d\left( {I,d} \right) = d\left( {I,AB} \right) = IH = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = 1 $$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 2 - 2m - 2m + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} = 1 $$\Leftrightarrow \left| {1 - 4m} \right| = \sqrt {1 + {m^2}} $$\Leftrightarrow 15{m^2} - 8m = 0$
$ \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = \dfrac{8}{{15}}$.
Vậy $m = 0$ hoặc $m = \dfrac{8}{{15}}$ là các giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt khi $d\left( {I,d} \right) < R$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2 - 2m - 2m + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} < \sqrt 2 $
$\Leftrightarrow \left| {1 - 4m} \right| < \sqrt {2 + 2{m^2}} $
$ \Leftrightarrow 14{m^2} - 8m - 1 < 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{4 - \sqrt {30} }}{{14}} < m < \dfrac{{4 + \sqrt {30} }}{{14}}. $
Gọi $H$ là trung điểm $AB$, suy ra $IH \bot AB$.
Ta có ${S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat {AIB} = \dfrac{1}{2}.{R^2}.\sin \widehat {AIB} = \sin \widehat {AIB}$.
Do đó ${S_{\Delta IAB}}$ lớn nhất khi $\sin \widehat {AIB}$ lớn nhất $ \Leftrightarrow \sin \widehat {AIB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {AIB} = {90^0}$.
Khi đó tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$ nên $IH = \dfrac{{IA}}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ m = \dfrac{8}{{15}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
d) Để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt khi $d\left( {I,d} \right) < R \Leftrightarrow \dfrac{{4 - \sqrt {30} }}{{14}} < m < \dfrac{{4 + \sqrt {30} }}{{14}}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$, suy ra $IH \bot AB$. Theo giả thiết bài toán, ta có
$\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = $${S_{\Delta IAB}} = \dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat {AIB} = \dfrac{1}{2}.{R^2}.\sin \widehat {AIB} = \sin \widehat {AIB} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \widehat {AIB} = {60^0} \hfill \\ \widehat {AIB} = {120^0} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Mặt khác, theo giả thiết $AB$ lớn nhất nên $\widehat {AIB} = {120^0}$. Suy ra $\widehat {IAH} = {30^0}$.
Trong tam giác vuông $IAH$, ta có $IH = IA.\sin \widehat {IAH} = \sqrt 2 .\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ nên
$\begin{gathered} d\left( {I,d} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 2 - 2m - 2m + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {1 - 4m} \right| = \sqrt {1 + {m^2}} \Leftrightarrow 31{m^2} - 16m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{8 \pm \sqrt {33} }}{{31}} \hfill \\ \end{gathered} $
Đối chiếu điều kiện để $d$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt ta được $m = \dfrac{{8 \pm \sqrt {33} }}{{31}}$.
