BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa
Cho hai điểm cố định ${F_1}$ và ${F_2}$ với ${F_1}{F_2} = 2c\left( {c > 0} \right)$.
Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $M{F_1} + M{F_2} = 2a$ ($a$ không đổi và $a > c > 0$) là một đường Elip.
• ${F_1},{F_2}$ là hai tiêu điểm.
• ${F_1}{F_2} = 2c$ là tiêu cự của Elip.
2. Phương trình chính tắc Elip
$\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với ${b^2} = {a^2} - {c^2}$.
Do đó điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in $ $\left( E \right)$ $ \Leftrightarrow $ $\dfrac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1$ và $\left| {{x_0}} \right| \leqslant a,{\text{ }}\left| {{y_0}} \right| \leqslant b$.
3. Tính chất và hình dạng của Elip
• Trục đối xứng ${\text{Ox}}$ (chứa trục lớn), $Oy$ (chứa trục bé).
• Tâm đối xứng $O$.
• Tọa độ các đỉnh ${A_1}\left( { - a;0} \right)$, ${A_2}\left( {a;0} \right)$, ${B_1}\left( {0; - b} \right)$, ${B_1}\left( {0;b} \right)$.
• Độ dài trục lớn $2a$. Độ dài trục bé $2b$.
• Tiêu điểm ${F_1}\left( { - c;0} \right)$, ${F_2}\left( {c;0} \right)$.
• Nội tiếp hình chữ nhật cơ sở có kích thước là $2a$ và $2b$.
• Tâm sai $e = \dfrac{c}{a} < 1$.
• Hai đường chuẩn $x = \dfrac{a}{e}$ và $x = - \dfrac{a}{e}$.
• $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$. Khi đó $M{F_1} = a + ex}$ là bán kính qua tiêu điểm trái. $M{F_1} = a - ex}$ là bán kính qua tiêu điểm bên phải.
Ví dụ 1: Xác định các đỉnh, độ dài các trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình sau:
a) $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$.
b) $4{x^2} + 25{y^2} = 100$.
Lời giải
a) Từ phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$ $\left( E \right)$, ta có $a = 2;$ $b = 1$. Suy ra $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 3 $.
• Suy ra tọa độ các đỉnh là ${A_1}\left( { - 2;0} \right)$, ${A_2}\left( {2;0} \right)$, ${B_1}\left( {0; - 1} \right)$, ${B_1}\left( {0;1} \right)$.
• Độ dài trục lớn ${A_1}{A_2} = 4$. độ dài trục bé ${B_1}{B_2} = 2$.
• Tiêu cự ${F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt 3 $, tiêu điểm là ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$; ${F_2}\left( {\sqrt 3 ;0} \right)$.
• Tâm sai của $c$ là $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
b) Ta có ${\text{ }}4{x^2} + 25{y^2} = 100$$ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$. suy ra $a = 5;$ $b = 2$ nên $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {21} $
• Do đó tọa độ các đỉnh là ${A_1}\left( { - 5;0} \right)$, ${A_2}\left( {5;0} \right)$, ${B_1}\left( {0; - 2} \right)$, ${B_1}\left( {0;2} \right)$.
• Độ dài trục lớn ${A_1}{A_2} = 10$, độ dài trục bé ${B_1}{B_2} = 4$.
• Tiêu cự ${F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {21} $, tiêu điểm là ${F_1}\left( { - \sqrt {21} ;0} \right)$; ${F_2}\left( {\sqrt {21} ;0} \right)$.
• Tâm sai của $c$ là $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{5}$
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết
a) Elip đi qua điểm $M\left( {2;\dfrac{5}{3}} \right)$ và có một tiêu điểm $F\left( { - 2;0} \right)$.
b) Elip nhận ${F_2}\left( {5;0} \right)$ là một tiêu điểm và có độ dài trục nhỏ bằng $4\sqrt 6 $.
c) Elip có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt 5 $ và tiêu cự bằng $2$.
d) Elip đi qua hai điểm $M\left( {2; - \sqrt 2 } \right)$ và $N\left( { - \sqrt 6 ;1} \right)$.
Lời giải
a) Do $\left( E \right)$ có một tiêu điểm ${F_1}\left( { - 2;0} \right)$ nên $c = 2$. Suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 4$.
Mặt khác, $\left( E \right)$ đi qua điểm M$\left( {2;\dfrac{5}{3}} \right)$ nên:
$\dfrac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{{\left( {5/3} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{b^2} + 4}} + \dfrac{{25}}{{9{b^2}}} = 1$ $ \Leftrightarrow 9{b^4} - 25{b^2} - 100 = 0$ $ \Leftrightarrow {b^2} = 5$ hoặc ${b^2} = - \dfrac{{20}}{9}\left( l \right)$.
Vậy Elip cần tìm có phương trình $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$.
b) Do $\left( E \right)$ có một tiêu điểm ${F_2}\left( {5;0} \right)$ nên $c = 5$.
Theo giả thiết độ dài trục nhỏ bằng $4\sqrt 6 $ nên $2b = 4\sqrt 6 \Leftrightarrow b = 2\sqrt 6 $.
Suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2} = {5^2} + {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = 49$.
Vậy Elip cần tìm có phương trình $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{49}} + \dfrac{{{y^2}}}{{24}} = 1$.
c) Độ dài trục lớn bằng $2\sqrt 5 $ nên $2a = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow a = \sqrt 5 $.
Tiêu cự bằng 2 nên $2c = 2 \Leftrightarrow c = 1$.
Từ hệ thức ${a^2} = {b^2} + {c^2}$, suy ra ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 5 - 1 = 4$.
Vậy Elip cần tìm có phương trình $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
d) Do $\left( E \right)$ đi qua $M\left( {2; - \sqrt 2 } \right)$ và $N\left( { - \sqrt 6 ;1} \right)$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{2}{{{b^2}}} = 1 \hfill \\ \dfrac{6}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{8} \hfill \\ \dfrac{1}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} = 8 \hfill \\ {b^2} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy Elip cần tìm có phương trình $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
Ví dụ 3: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết
a) Elip có tổng độ dài hai trục bằng $8$ và tâm sai $e = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$.
b) Elip có tâm sai $e = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}$ có hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng $20$.
c) Elip có tiêu điểm ${F_1}\left( { - 2;0} \right)$ và có hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng $12\sqrt 5 $.
Lời giải
a) Tổng độ dài hai trục bằng $8$ nên $2a + 2b = 8$. (1)
Tâm sai $e = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow a = \sqrt 2 c$. (2)
Từ (1) và (2), ta có: $\left\{ \begin{gathered} 2a + 2b = 8 \hfill \\ e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + b = 4 \hfill \\ a = \sqrt 2 c \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 4 - \sqrt 2 c \hfill \\ a = \sqrt 2 c \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Thay vào hệ thức ${a^2} = {b^2} + {c^{}}$, ta được:
$2{c^2} = {\left( {4 - \sqrt 2 c} \right)^2} + {c^2} \Leftrightarrow {c^2} - 8\sqrt 2 c + 16 = 0 \Leftrightarrow c = 4\sqrt 2 \pm 4$.
• Với $c = 4\sqrt 2 + 4$, suy ra $\left\{ \begin{gathered} a = 8 + 4\sqrt 2 \hfill \\ b = - 8 - 4\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (không thỏa mãn).
• Với $c = 4\sqrt 2 - 4$, suy ra $\left\{ \begin{gathered} a = 8 - 4\sqrt 2 \hfill \\ b = - 4 + 4\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Do đó Elip cần tìm có phương trình $\left( E \right)$: $\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {8 - 4\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{{\left( {4\sqrt 2 - 4} \right)}^2}}} = 1$.
b) Elip có tâm sai $e = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow a = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }}c$.
Mặt khác, Elip có hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng $20$ nên:
$2\left( {2a + 2b} \right) = 20 \Leftrightarrow a + b = 5 \Leftrightarrow b = 5 - a$.
Thay $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ vào hệ thức ${a^2} = {b^2} + {c^2}$, ta được:
${\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}c} \right)^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {c^2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}c} \right)^2} = {\left( {5 - \dfrac{3}{{\sqrt 5 }}a} \right)^2} + {c^2}$ $ \Leftrightarrow {c^2} - \dfrac{{30}}{{\sqrt 5 }}c + 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} c = 5\sqrt 5 \hfill \\ c = \sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
• Với $c = 5\sqrt 5 $, suy ra $\left\{ \begin{gathered} a = 15 \hfill \\ b = - 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (không thỏa mãn).
• Với $c = \sqrt 5 $, suy ra $\left\{ \begin{gathered} a = 3 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Do đó Elip cần tìm có phương trình $\left( E \right)$: $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$
c) Elip có một tiêu điểm ${F_1}\left( { - 2;0} \right)$ nên $c = 2$.
Diện tích hình chữ nhật cơ sở $s = 2a.2b = 12\sqrt 5 \Leftrightarrow ab = 3\sqrt 5 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 45{\text{ }}\left( 1 \right)$
Mặt khác, ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 4$ (2)
Kết hợp $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta được:
${a^2}{b^2} = 45 \Leftrightarrow \left( {{b^2} + 4} \right){b^2} = 45 \Leftrightarrow {b^4} + 4{b^2} - 45 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 5$ hoặc ${b^2} = - 9\left( l \right)$
• Với ${b^2} = 5 \Rightarrow {a^2} = 9$
Vậy phương trình Elip cần tìm là: $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$.
Ví dụ 4: Lập phương trình chính tắc Elip, biết:
a) Elip đi qua điểm $M\left( { - \sqrt 5 ;2} \right)$ và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $10$.
b) Elip có tâm sai $e = \dfrac{3}{5}$ và khoảng cách từ tâm đối xứng của nó đến một đường chuẩn bằng $\dfrac{{25}}{3}$.
c) Elip có độ dài trục lớn bằng $10$ và phương trình một đường chuẩn là $x = \dfrac{{25}}{4}$.
d) Khoảng cách giữa các đường chuẩn bằng $36$ và bán kinh qua tiêu điểm của $M$ thuộc Elip là $9$ và $15$.
Lời giải
a) Elip đi qua điểm $M\left( { - \sqrt 5 ;2} \right)$ nên $\dfrac{5}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1$. (1)
Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của Elip bằng $10$ nên:
$2.\dfrac{a}{e} = 10 \Leftrightarrow \dfrac{a}{e} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{c^{}}}} = 5 \Leftrightarrow {a^2} = 5c{\text{ }}\left( 2 \right)$.
Từ (2), kết hợp với hệ thức ${a^2} = {b^2} + {c^2}$, ta được ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 5c - {c^2}{\text{ }}\left( 3 \right)$.
Thay (2), (3) vào (1), ta được:
$\dfrac{5}{{5c}} + \dfrac{4}{{5c - {c^2}}} = 1 \Leftrightarrow {c^2} - 6c + 9 = 0 \Leftrightarrow c = 3$.
Với $c = 3$, suy ra $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = 15 \hfill \\ {b^2} = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy phương trình Elip cần tìm là: $\dfrac{{{x^2}}}{{15}} + \dfrac{{{y^2}}}{6} = 1$.
b) Ta có $e = \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow c = \dfrac{3}{5}a$.
Elip có khoảng cách từ tâm đối xứng $O$ đến một đường chuẩn là $\dfrac{{25}}{3}$ nên:
$\dfrac{a}{e} = \dfrac{{25}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{c} = \dfrac{{25}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{3}{5}a}} = \dfrac{{25}}{3} \Leftrightarrow a = 5$.
Với $a = 5 \Rightarrow c = 3$ và ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 16$.
Vậy Elip cần tìm có phương trình là: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.
c) Elip có độ dài trục lớn bằng $10$ nên $2a = 10 \Leftrightarrow a = 5$.
Mặt khác, Elip có phương trình đường chuẩn $x = \dfrac{{25}}{4}$ $\Leftrightarrow \dfrac{a}{e} = \dfrac{{25}}{4}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{e} = \dfrac{{25}}{4}$$ \Leftrightarrow \dfrac{{{5^2}}}{c} = \dfrac{{25}}{4}$$ \Leftrightarrow c = 4$.
Suy ra ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 9$.
Vậy phương trình Elip cần tìm có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.
d) Elip có khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng $36$ nên:
$2.\dfrac{a}{e} = 36 \Leftrightarrow 2.\dfrac{{{a^2}}}{c} = 36 \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{c} = 18$.
Mặt khác, ta có: $\left\{ \begin{gathered} a + {\text{ex}} = 9 \hfill \\ a - {\text{ex}} = 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow a = 12$.
Với $a = 12 \Rightarrow c = 8$ và ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 144 - 64 = 80$.
Vậy phương trình Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{144}} + \dfrac{{{y^2}}}{{80}} = 1$.
Ví dụ 5: Lập phương trình chính tắc Elip, biết:
a) Elip có hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn $\left( C \right): {x^2} + {y^2} = 41$ và đi qua điểm $A\left( {0;5} \right)$.
b) Elip co hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn $\left( C \right): {x^2} + {y^2} = 21$ và đi qua điểm $M\left( {1;2} \right)$ nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc ${60^0}$.
c) Một cạnh hình chữ nhật cơ sở của Elip nằm trên $d: x - \sqrt 5 = 0$ và độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng $6$.
d) Tứ giác $ABCD$ là hình thoi có bốn đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Bán kính của đường tròn nội tiếp hình thoi bằng $\sqrt 2 $ và tâm sai của Elip bằng $\dfrac{1}{2}$.
Lời giải
a) Elip đi qua điểm $A\left( {0;5} \right) \in Oy$, suy ra $b = 5$.
Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: $x = \pm a;y = \pm 5$.
Suy ra một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $\left( {a;5} \right)$.
Theo giả thiết $\left( {a;5} \right)$ thuộc đường tròn $(C)$ nên ta có:
${a^2} + 25 = 41 \Leftrightarrow {a^2} = 16$.
Vậy phương trình Elip cần tìm là: $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1$.
b) Theo giả thiết bài toán ta có: $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^0}$, suy ra:
${F_1}{F_2}^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}M{F_2}.\cos {60^0}$
$ \Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {1 + c} \right)^2} + 4 + {\left( {1 - c} \right)^2} - 2.\dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {1 + c} \right)}^2} + 4} .\sqrt {{{\left( {1 - c} \right)}^2} + 4} $
$ \Leftrightarrow 4{c^2} = 2{c^2} + 10 - \sqrt {{{\left( {1 + c} \right)}^2} + 4} .\sqrt {{{\left( {1 - c} \right)}^2} + 4} $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 10 - 2{c^2} \geqslant 0 \hfill \\ \left[ {{{\left( {1 + c} \right)}^2} + 4} \right]\left[ {{{\left( {1 - c} \right)}^2} + 4} \right] = {\left( {10 - 2{c^2}} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 < c \leqslant \sqrt 5 \hfill \\ 3{c^4} - 46{c^2} + 75 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow {c^2} = \dfrac{{23 \pm 4\sqrt {19} }}{3}$.
Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: $x = \pm a;y = \pm b$ nên tọa độ một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $\left( {a;b} \right)$.
Theo giả thiết các đỉnh của hình chữ nhật thuộc đường tròn $\left( C \right)$ nên ta có: ${a^2} + {b^2} = 21$.
• Với ${c^2} = \dfrac{{23 + 4\sqrt {19} }}{3}$, ta có: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} = 21 \hfill \\ {a^2} - {b^2} = \dfrac{{23 + 4\sqrt {19} }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} = \dfrac{{43 + 2\sqrt {19} }}{3} \hfill \\ {b^2} = \dfrac{{20 - 2\sqrt {19} }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Suy ra Elip có phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{{43 + 2\sqrt {19} }}{3}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{{20 - 2\sqrt {19} }}{3}}} = 1$.
• Với ${c^2} = \dfrac{{23 - 4\sqrt {19} }}{3}$, ta có: $\left\{ \begin{gathered} {a^2} + {b^2} = 21 \hfill \\ {a^2} - {b^2} = \dfrac{{23 - 4\sqrt {19} }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} = \dfrac{{43 - 2\sqrt {19} }}{3} \hfill \\ {b^2} = \dfrac{{20 + 2\sqrt {19} }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Suy ra Elip có phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{{43 - 2\sqrt {19} }}{3}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{{20 + 2\sqrt {19} }}{3}}} = 1$.
c) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: $x = \pm a;y = \pm b$.
Theo giả thiết một cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: $x - \sqrt 5 = 0$ nên $a = \sqrt 5 $.
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật cơ sở bằng $6$ nên: $\sqrt {4{a^2} + 4{b^2}} = 6 \Leftrightarrow 4{a^2} + 4{b^2} = 36 \Leftrightarrow 20 + 4{b^2} = 36 \Leftrightarrow {b^2} = 4$.
Vậy phương trình Elip cần tìm là: $\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
d) Elip có tâm sai $e = \dfrac{1}{2}$ $\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = 2c$.
Elip có các đỉnh ${A_1}\left( { - a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right),{B_1}\left( {0; - b} \right),{B_2}\left( {0;b} \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên ${A_2}{B_2}$.
Theo giả thiết ta có bán kính của dường tròn đã cho bằng $OH$. Ta có:
$\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}}$$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{4{c^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2} - {c^2}}}$$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{4{c^2}}} + \dfrac{1}{{3{c^2}}}$$ \Leftrightarrow {c^2} = \dfrac{7}{6}$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {a^2} = 4{c^2} = \dfrac{{14}}{3} \hfill \\ {b^2} = {a^2} - {c^2} = 3{c^2} = \dfrac{7}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy phương trình Elip cần tìm là: $\dfrac{{{x^2}}}{{14/3}} + \dfrac{{{y^2}}}{{7/2}} = 1$.
Ví dụ 6: Lập phương trình chính tắc Elip, biết:
a) Tứ giác $ABCD$ là hình thoi có $4$ đỉnh trùng với các đỉnh của Elip. Đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình $\left( C \right): {x^2} + {y^2} = 4$ và $AC = 2BD$, $A$ thuộc $Ox$.
b) Elip có độ dài trục lón bằng $8$ và giao điểm của Elip với đường tròn $\left( C \right): {x^2} + {y^2} = 8$ tạo thành $4$ đỉnh của một hình vuông.
c) Elip có tâm sai $e = \dfrac{1}{3}$ và giao điểm của Elip với đường tròn $\left( C \right): {x^2} + {y^2} = 9$ tại $4$ điểm $A, B, C, D$ sao cho $AB$ song song với $Ox$ và $AB = 3BC$.
d) Elip có độ dài trục lớn bằng $4\sqrt 2 $, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của Elip cùng nằm trên một đường tròn.
Lời giải
a) Giả sử một đỉnh của hình thoi là $A\left( {a;0} \right)$. Suy ra $AC = 2a$ và $BD = 2b$.
Theo giả thiết: $AC = 2BD \Leftrightarrow 2a = 2.2b \Leftrightarrow a = 2b$.
Đường tròn $\left( C \right)$ có $R = 2$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $AB$ với $B\left( {0;b} \right)$. Khi đó ta có:
$\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{4{b^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow {b^2} = 5$
$ \Rightarrow {a^2} = 20$.
Vậy phương trình Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$.
b) Elip có độ dài trục lớn bằng $8$ nên $2a = 8 \Leftrightarrow a = 4$.
Do $\left( E \right);\left( C \right)$ đều có tâm đối xứng là $O$ và trục đối xứng là $Ox; Oy$ nên hình vuông tạo bởi giữa chúng cũng có tính chất tương tự. Do đó, ta giả sử gọi một đỉnh của hình vuông là $M\left( {x;x} \right)$ với x > 0. Vì $M \in \left( C \right)$ nên: ${x^2} + {x^2} = 8 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow M\left( {2;2} \right)$.
Ta có $M \in \left( E \right) \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{16}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{{16}}{3}$
Vậy phương trình của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16/3}} = 1$.
c) Elip có tâm sai $e = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow a = 3c$.
Đặt $BC = x$ với $x > 0$ $ \Rightarrow AB = 3x$. Giả sử một đỉnh $A\left( {\dfrac{3}{2}x;\dfrac{1}{2}x} \right)$. Ta có:
$\begin{gathered} A \in \left( C \right) \Leftrightarrow \dfrac{9}{4}{x^2} + \dfrac{1}{4}{x^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{18}}{5} \Rightarrow x = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{{9\sqrt {10} }}{{10}};\dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} $
Mặt khác, do $A \in \left( E \right)$ nên:
$\dfrac{{81}}{{10{a^2}}} + \dfrac{9}{{10{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{81}}{{10{{\left( {3c} \right)}^2}}} + \dfrac{9}{{10\left( {{a^2} - {c^2}} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {c^2} = \dfrac{{81}}{{80}}$
$ \Rightarrow {a^2} = 9{c^2} = \dfrac{{729}}{{80}};{b^2} = {a^2} - {c^2} = \dfrac{{81}}{{10}}$
Vậy phương trình Elip cần tìm là: $\dfrac{{{x^2}}}{{729/80}} + \dfrac{{{y^2}}}{{81/10}} = 1$
d) Do độ dài trục lớn bằng $4\sqrt 2 $ nên $2a = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow a = 2\sqrt 2 $.
Các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm cùng thuộc đường tròn nên $b= c$.
Từ hệ thức ${a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow 8 = 2{b^2} \Leftrightarrow {b^2} = 4$
Vậy Elip cần tìm có phương trình là: $\dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
Ví dụ 7: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết:
a) Elip có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông có diệc tích bằng $32$.
b) Elip có một đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của Elip bằng $12\left( {2 + \sqrt 3 } \right)$.
c) Elip đi qua điểm $M\left( {2\sqrt 3 ;2} \right)$ và $M$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
d) Elip đi qua điểm $M\left( {1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ và tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc ${60^0}$.
Lời giải
a) Hai đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên $b = c$.
Mặt khác diện tích hình vuông bằng 32 nên: $2c.2b = 32 \Leftrightarrow {b^2} = 8$
${a^2} = {b^2} + {c^2} = 2{b^2} = 16$.
Vậy phương trình Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1$.
b) Chu vi hình chữ nhật cơ sở: $C = 12\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \Leftrightarrow 2\left( {2a + 2b} \right) = 12\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \Leftrightarrow a + b = 3\left( {2 + \sqrt 3 } \right){\text{ }}\left( 1 \right)$.
Giải sử tam giác ${F_1}{F_2}{B_2}$ đều cạnh ${F_1}{F_2} = 2c$ mà ${B_2}O \bot {F_1}{F_2}$.
Suy ra $O{B_2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{F_1}{F_2} \Leftrightarrow b = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.2c = \sqrt 3 c{\text{ }}\left( 2 \right)$.
Từ (1) (2) suy ra: $3\left( {2 + \sqrt 3 } \right) - b = 3\left( {2 + \sqrt 3 } \right) - \sqrt 3 c$.
Thay vào hệ thức ${a^2} = {b^2} + {c^2}$, ta được:
$\begin{gathered} {\left[ {\left( {6 + 3\sqrt 3 } \right) - \sqrt 3 c} \right]^2} = 4{c^2} \Leftrightarrow {c^2} + 6\sqrt 3 \left( {2 + \sqrt 3 } \right)c - {\left( {6 + 3\sqrt 3 } \right)^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} c = 3 \hfill \\ c = - 12\sqrt 3 - 21\left( l \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $.
Vậy Elip cần tìm có phương trình là: $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{27}} = 1$.
c) Từ giả thiết, ta suy ra $\overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}} = 0 \Leftrightarrow \left( { - c - 2\sqrt 3 } \right)\left( {c - 2\sqrt 3 } \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow {c^2} = 16$
Hơn nữa $\left( E \right)$ qua điểm $M$ nên:
$\dfrac{{12}}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{{b^2} + 16}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^4} = 64 \Leftrightarrow {b^2} = 8$.
Suy ra: ${a^2} = {b^2} + {c^2} = 24$.
Vậy phương trình $\left( E \right)$ cần tìm là: $\dfrac{{{x^2}}}{{24}} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1$.
d) Từ giả thiết, ta suy ra $\widehat {{B_1}{F_1}{B_2}} = {60^0}$ mà ${F_1}{B_1} = {F_1}{B_2}$ $ \Rightarrow $ Tam giác ${F_1}{B_1}{B_2}$ đều cạnh bằng $2b$ nên:
${F_1}O = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{B_1}{B_2} \Leftrightarrow c = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.2b \Leftrightarrow c = \sqrt 3 b{\text{ }}\left( 1 \right)$
Hơn nữa $\left( E \right)$ qua $M\left( {1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ nên: $\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{b^2} + 3{b^2}}} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1$. (2)
Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$, kết hợp với ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ ta được ${a^2} = 4$.
Vậy Elip cần tìm có phương trình là: $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$.
Ví dụ 8: Lập phương trình chính tắc của Elip, biết:
a) Elip có một tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$ và đi qua điểm $M$, biết tam giác ${F_1}M{F_2}$ có diện tích bằng $1$ và vuông tại $M$.
b) Elip đi qua $3$ đỉnh của tam giác đều $ABC$. Biết tam giác $ABC$ có trục đối xứng là $Oy$, $A\left( {0;2} \right)$ và có diện tích bằng $\dfrac{{49\sqrt 3 }}{{12}}$.
c) Khi $M$ thay đổi trên Elip thì độ dài nhỏ nhất của $OM$ bằng $4$ và độ dài lớn nhất của $M{F_1}$ bằng $8$ với ${F_1}$ là tiêu điểm có hoành độ âm của Elip.
Lời giải
a) Elip có tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right) \Rightarrow c = \sqrt 3 $.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$. Theo giả thiết, ta có:
${S_{\Delta {F_1}M{F_2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}M{F_1}.M{F_2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {a + {\text{ex}}} \right)\left( {a - {\text{ex}}} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow {a^2} - {e^2}{x^2} = 2 \Leftrightarrow {a^2} - \dfrac{3}{{{a^2}}}.{x^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{\left( {{a^2} - 2} \right){a^2}}}{3}{\text{ }}\left( 1 \right)$
Cũng từ $M{F_1} \bot M{F_2}$, ta có:
$\overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}} = 0 \to \Leftrightarrow \left( { - c - x} \right)\left( {c - x} \right) + \left( { - y} \right)\left( { - y} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {c^2} = 3$ (2).
Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta có, ${y^2} = 3 - {x^2} = 3 - \dfrac{{\left( {{a^2} - 2} \right){a^2}}}{3} = \dfrac{{9 - {a^4} + 2{a^2}}}{3}$
Do đó,
$M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} - 2}}{3} + \dfrac{{9 - {a^4} + 2{a^2}}}{{3\left( {{a^2} - 3} \right)}} = 1{\text{ }}$$ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2} \right)\left( {{a^2} - 3} \right) + 9 - {a^4} + 2{a^2} = 3{a^2} - 9 \Leftrightarrow {a^2} = 4$
Suy ra ${b^2} = 1$. Vậy Elip cần tìm có phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$
b) Tam giác $ABC$ đều, có điểm $A\left( {0;2} \right) \in Oy$ và có trục đối xứng là $Oy$ nên hai điểm $B, C$ đối xứng với nhau qua $Oy$.
Giả sử $B\left( {x;y} \right)$ với $x > 0;y < 2$, suy ra $C\left( { - x;y} \right)$. Độ dài cạnh của tam giác là $2x$.
Theo giả thiết, ta có:
${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{49\sqrt 3 }}{{12}} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2x} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{49\sqrt 3 }}{{12}} \Rightarrow x = \dfrac{7}{{2\sqrt 3 }}$.
Đường cao của tam giác đều $h = \dfrac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 = \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow 2 - y = \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{2}$.
Suy ra $B\left( {\dfrac{7}{{2\sqrt 3 }};\dfrac{3}{2}} \right)$.
Đến đây bài toán trở thành viết phương trình Elip đi qua $2$ điểm $A\left( {0;2} \right)$ và $B\left( {\dfrac{7}{{2\sqrt 3 }};\dfrac{3}{2}} \right)$.
Vậy phương trình Elip cần tìm có phương trình $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{28/5}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
c) Độ dài nhỏ nhất của $OM$ bằng $4$ nên $b = 4$.
Mặt khác, ta lại có độ dài lớn nhất $M{F_1}$ bằng $8$ nên $a + c = 8$.
Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} a + c = 8 \hfill \\ {a^2} = {b^2} + {c^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a + c = 8 \hfill \\ {a^2} = 16 + {c^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 5 \hfill \\ c = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vậy phương trình Elip cần tìm có phương trình $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho
a) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Gọi ${F_1};{F_2}$ là hai tiêu điểm của Elip; $A, B$ là hai điểm thuộc $\left( E \right)$ sao cho ${\text{A}}{{\text{F}}_1} + B{F_2} = 8$. Tính ${\text{A}}{{\text{F}}_2} + B{F_1}$.
b) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$. Gọi ${F_1};{F_2}$ là hai tiêu điểm của Elip; trong đó ${F_1}$ có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( E \right)$ sao cho$M{F_1} = 2M{F_2}$.
c) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$. Gọi ${F_1};{F_2}$ là hai tiêu điểm của Elip; trong đó ${F_1}$ có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( E \right)$ sao cho$M{F_1} - M{F_2} = 2$.
Lời giải
a) Ta có ${a^2} = 25 \Rightarrow a = 5$. Do $A, B$ thuộc $\left( E \right)$ nên: ${\text{A}}{{\text{F}}_1} + A{F_2} = 2a = 10$ và $B{F_1} + B{F_2} = 2a = 10$.
Suy ra ${\text{A}}{{\text{F}}_1} + A{F_2} + B{F_1} + B{F_2} = 20 \Leftrightarrow 8 + A{F_2} + B{F_1} = 20 \Leftrightarrow A{F_2} + B{F_1} = 12$.
b) Ta có ${a^2} = 9 \Rightarrow a = 3$ và ${b^2} = 5 \Rightarrow b = \sqrt 5 $.
Suy ra ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 4 \Rightarrow c = 2$.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$. Ta có $M{F_1} = 2M{F_2}$$ \Leftrightarrow a + {\text{ex}} = 2\left( {a - ex} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{{3e}} = \dfrac{{{a^2}}}{{3c}} = \dfrac{3}{2}$.
Thay vào $\left( E \right)$ ta được: $\dfrac{9}{{4.9}} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \dfrac{{15}}{4} \Leftrightarrow y = \pm \dfrac{{\sqrt {15} }}{2}$.
Vậy $M\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{{\sqrt {15} }}{2}} \right)$ hoặc $M\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{{\sqrt {15} }}{2}} \right)$.
c) Ta có ${a^2} = 8 \Rightarrow a = 2\sqrt 2 ;b = 2;c = 2$.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$. Ta có $M{F_1} - M{F_2} = 2$$ \Leftrightarrow a + {\text{ex - }}\left( {a - ex} \right) = 2$$ \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{e} = \dfrac{a}{c} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2}$.
Thay vào $\left( E \right)$ ta được: $\dfrac{2}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$$ \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 3 $.
Vậy $M\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 3 } \right)$ hoặc $M\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)$.
Ví dụ 10: Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$, cho
a) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$. Tìm những điểm $M$ thuộc $( E )$ sao cho nó nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông.
b) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$. Gọi ${F_1};{F_2}$ là hai tiêu điểm của Elip. Tìm tọa độ điểm M thuộc $\left( E \right)$ sao cho$\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^0}$.
c) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1$. Gọi ${F_1};{F_2}$ là hai tiêu điểm của Elip, Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( E \right)$ sao cho$\widehat {{F_1}M{F_2}} = {120^0}$.
d) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$. Gọi ${F_1};{F_2}$ là hai tiêu điểm của Elip; trong đó ${F_1}$ có hoành độ âm. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( E \right)$ sao cho$\widehat {M{F_1}{F_2}} = {120^0}$.
Lời giải
a) Ta có $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = 9 \hfill \\ {b^2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 3 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Suy ra ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 2 \Rightarrow c = 2\sqrt 2 $.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$. Ta có $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}$ nên:
$\begin{gathered} {F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 \Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {a + ex} \right)^2} + {\left( {a - ex} \right)^2} \hfill \\ {\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} $.
$ \Leftrightarrow 32 = 2{a^2} + 2{e^2}{x^2}$$ \Leftrightarrow {\text{32 = 18 + 2}}{\text{.}}\dfrac{8}{9}.{x^2}{\text{ }} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}$
Thay vào$\left( E \right)$, ta được ${y^2} = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow y = \pm \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}$.
Vậy $M\left( {\dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right);M\left( {\dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}; - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right);M\left( { - \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }};\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right);M\left( { - \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}; - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)$.
b) Ta có $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = 4 \hfill \\ {b^2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Suy ra ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 3 \Rightarrow c = \sqrt 3 $.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$. Ta có $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^0}$ nên:
${F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_2}M{F_1}.\cos {60^0}$$ \Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {a + ex} \right)^2} + {\left( {a - ex} \right)^2} - 2\left( {a + ex} \right)\left( {a - ex} \right).\dfrac{1}{2}$$ \Leftrightarrow 12 = 2{a^2} + 2{e^2}{x^2} - {a^2} + {e^2}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{12 - {a^2}}}{{3{e^2}}} = \dfrac{{32}}{9} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}$.
Thay vào$\left( E \right)$, ta được ${y^2} = \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow y = \pm \dfrac{1}{3}$.
Vậy $M\left( {\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3};\dfrac{1}{3}} \right);M\left( {\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right);M - \left( {\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3};\dfrac{1}{3}} \right);M\left( { - \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)$.
c) Ta có $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = 100 \hfill \\ {b^2} = 25 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 10 \hfill \\ b = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Suy ra ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 75 \Rightarrow c = 5\sqrt 3 $.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$. Ta có $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^0}$ nên:
${F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_2}M{F_1}.\cos {120^0}$$ \Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {a + ex} \right)^2} + {\left( {a - ex} \right)^2} + 2\left( {a + ex} \right)\left( {a - ex} \right).\dfrac{1}{2}$$ \Leftrightarrow 300 = 2{a^2} + 2{e^2}{x^2} + {a^2} - {e^2}{x^2} $$\Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{300 - 3{a^2}}}{{{e^2}}} = 0$$ \Leftrightarrow x = 0$.
Thay vào$\left( E \right)$, ta được ${y^2} = 25$$ \Leftrightarrow y = \pm 5$.
Vậy $M\left( {0;5} \right);M\left( {0; - 5} \right)$.
d) Ta có $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = 25 \hfill \\ {b^2} = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 5 \hfill \\ b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Suy ra ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 \Rightarrow c = 4$.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$. Ta có $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^0}$ nên:
$MF_2^2 = MF_1^2 + {F_1}F_2^2 - 2{F_1}{F_2}M{F_1}.\cos {120^0}$$ \Leftrightarrow {\left( {a - ex} \right)^2} = {\left( {a + ex} \right)^2} + 4{c^2} + 2\left( {a + ex} \right)2c.\dfrac{1}{2}$$ \Leftrightarrow 4aex + 4{c^2} + 2ac + 2ecx = 0$$ \Leftrightarrow x = - \dfrac{{65}}{{14}}$
Thay vào $\left( E \right)$, ta được ${y^2} = \dfrac{{243}}{{196}}$$ \Leftrightarrow y = \pm \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{14}}$.
Vậy $M\left( { - \dfrac{{65}}{{14}};\dfrac{{9\sqrt 3 }}{{14}}} \right);M\left( { - \dfrac{{65}}{{14}}; - \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{14}}} \right)$.
Ví dụ 11: Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$, cho
a) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$ và điểm $C\left( {2;0} \right)$. Tìm tọa độ các điểm $A, B$ thuộc $( E )$ biết rằng $A, B$ đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác $ABC$ đều.
b) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$ Tìm tọa độ các điểm $A, B$ thuộc $( E )$ có hoành độ dương sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O$ và có diện tích lớn nhất.
c) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$ và điểm $A\left( {3;0} \right)$. Tìm tọa độ các điểm $B, C$ thuộc $( E )$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, biết $B$ có tung độ dương.
Lời giải
a) Ta có $\left\{ \begin{gathered} {a^2} = 4 \hfill \\ {b^2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Suy ra ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 3 \Rightarrow c = \sqrt 3 $.
Giả sử $A\left( {x;y} \right) \Rightarrow B\left( {x; - y} \right)$. Theo giả thiết, tam giác $ABC$ đều nên:
$A{C^2} = A{B^2} \Leftrightarrow {\left( {2 - x} \right)^2} + {y^2} = 4{y^2} \Leftrightarrow {\left( {2 - x} \right)^2} = 3{y^2}{\text{ }}\left( 1 \right)$.
Hơn nữa $A \in \left( E \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 4{y^2} = 4{\text{ }}\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{gathered} {\left( {2 - x} \right)^2} = 3{y^2} \hfill \\ {x^2} + 4{y^2} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{2}{7} \hfill \\ y = \pm \frac{{4\sqrt 3 }}{7} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vì $A$, $B$ khác $C$ nên $A\left( {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$, $B\left( {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$ hoặc $A\left( {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$ và $B\left( {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$.
b) Do tam giác $OAB$ cân tại $O$ và $A$, $B$ đều có hoành độ dương nên $A$, $B$ đối xứng nhau qua $Ox$.
Giả sử $A\left( {x;y} \right)$ với $x > 0$, suy ra $B\left( {x; - y} \right)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $AB$. Khi đó ta có ${S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}AB.OH = \dfrac{1}{2}\left| {2y} \right|x = x\left| y \right|$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có $1 = \dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} \geqslant 2.\dfrac{x}{2}.\left| y \right| = x\left| y \right|$.
Do đó ${S_{\Delta OAB}} \leqslant 1$. Dấu xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{{{x^2}}}{4} = {y^2}$.
Thay vào $\left( E \right)$, ta được $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow y = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Suy ra ${x^2} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 $.
Vậy $A\left( {\sqrt 2 ;\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$ và $B\left( {\sqrt 2 ; - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$ hoặc $A\left( {\sqrt 2 ; - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$ và $B\left( {\sqrt 2 ;\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$.
c) Gọi $B\left( {x;y} \right)$ với $x > 0$.
Do tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, suy ra $B$ và $C$ đối xứng nhau qua $Ox$ nên $C\left( {x; - y} \right)$.
Ta có $AB \bot AC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - {y^2} = 0$. $\left( 1 \right)$.
Hơn nữa, $B \in \left( E \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$. $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có
$\left\{ \begin{gathered} {\left( {x - 3} \right)^2} - {y^2} = 0 \hfill \\ \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {y^2} = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{9} \hfill \\ {\left( {x - 3} \right)^2} - 1 + \dfrac{{{x^2}}}{9} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {y^2} = 1 - \dfrac{{{x^2}}}{9} \hfill \\ \dfrac{{10}}{9}{x^2} - 6x + 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{12}}{5} \hfill \\ y = \pm \dfrac{3}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vì $A$, $B$ khác $C$ nên $B\left( {\dfrac{{12}}{5};\dfrac{3}{5}} \right)$, $C\left( {\dfrac{{12}}{5}; - \dfrac{3}{5}} \right)$.
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho
a) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$ và hai điểm $A\left( { - 5; - 1} \right)$, $B\left( { - 1;1} \right)$. Xác định tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( E \right)$ sao cho diện tích tam giác $MAB$ lớn nhất.
b) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1$ và hai điểm $A\left( {3;4} \right)$, $B\left( {5;3} \right)$. Tìm trên $\left( E \right)$ điểm $C$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $4,5$.
c) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$. Tìm trên $\left( E \right)$ những điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng $d: 2x - 3y + 1 = 0$ là lớn nhất.
Lời giải
a) Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$ nên $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$. Phương trình đường thẳng $AB: x - 2y + 3 = 0$. Ta có
${S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\dfrac{{\left| {x - 2y + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \left| {x - 2y + 3} \right|$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được
$\begin{gathered} {\left( {x - 2y} \right)^2} = {\left( {4.\dfrac{1}{4}x - 2\sqrt 5 .\dfrac{y}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} \leqslant \left[ {{{\left( {\dfrac{1}{4}x} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{y}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}} \right]\left[ {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}} \right] \hfill \\ = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{5}} \right).36 \hfill \\ = 1.36 = 36 \hfill \\ \end{gathered} $.
Suy ra $\left| {x - 2y} \right| \leqslant 6$ nên $\left| {x - 2y + 3} \right| \leqslant 9$.
Dấu xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{\dfrac{1}{4}x}}{4} = \dfrac{{\dfrac{y}{{\sqrt 5 }}}}{{ - 2\sqrt 5 }} \hfill \\ x - 2y + 3 = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{8}{3} \hfill \\ y = - \dfrac{5}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vậy $M\left( {\dfrac{8}{3}; - \dfrac{5}{3}} \right)$ thỏa yêu cầu bài toán.
b) Gọi $C\left( {x;y} \right) \in \left( E \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1$. $\left( 1 \right)$
Phương trình đường thẳng $AB: x + 2y - 11 = 0$.
Ta có
$\begin{gathered} {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = 4,5 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt 5 \dfrac{{\left| {x + 2y - 11} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 4,5 \hfill \\ \Leftrightarrow \left| {x + 2y - 11} \right| = 9 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + 2y - 11 = 9\left( 2 \right) \hfill \\ x + 2y - 11 = - 9.\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có
$\left\{ \begin{gathered} x + 2y - 11 = 9 \hfill \\ \dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 20 - 2y \hfill \\ \dfrac{{{{\left( {20 - 2y} \right)}^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 20 - 2y \hfill \\ 2{y^2} - 20y + 98 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.: $ vô nghiệm.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$, ta có
$\left\{ \begin{gathered} x + 2y - 11 = - 9 \hfill \\ \dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 - 2y \hfill \\ \dfrac{{{{\left( {2 - 2y} \right)}^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ y = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} x = 1 + \sqrt 3 \hfill \\ y = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vậy $C\left( {1 - \sqrt 3 ;\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)$ hoặc $C\left( {1 + \sqrt 3 ;\dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right)$.
c) Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right) \Leftrightarrow $ $\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} = 2$.
Ta có $d\left( {M,d} \right) = \dfrac{{\left| {2x - 3y + 1} \right|}}{{\sqrt {13} }}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
${\left( {2x - 3y} \right)^2} = {\left( {2.x - \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 y} \right)^2} \leqslant \left[ {{x^2} + {{\left( {\sqrt 2 y} \right)}^2}} \right]\left( {4 + \dfrac{9}{2}} \right) = 2.\dfrac{{17}}{2} = 17$.
Suy ra $\left| {2x - 3y} \right| \leqslant \sqrt {17} $ nên $\left| {2x - 3y + 1} \right| \leqslant \sqrt {17} + 1$.
Dấu xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 y}}{{\dfrac{{ - 3}}{{\sqrt 2 }}}} \hfill \\ 2x - 3y = \sqrt {17} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }} \hfill \\ y = - \dfrac{3}{{\sqrt {17} }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vậy $d\left( {M,d} \right)$ lớn nhất bằng $\dfrac{{\sqrt {17} + 1}}{{\sqrt {13} }}$ khi $M\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {17} }}; - \dfrac{3}{{\sqrt {17} }}} \right)$.
Ví dụ 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho
a) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$ và các điểm $A\left( { - 3;0} \right)$, $I\left( { - 1;0} \right)$. Tìm tọa độ các điểm $B$, $C$ thuộc $\left( E \right)$ sao cho $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
b) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ có hai tiêu điểm ${F_1}$, ${F_2}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( E \right)$ sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $M{F_1}{F_2}$ bằng $\dfrac{4}{3}$.
c) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ có hai tiêu điểm ${F_1}$, ${F_2}$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\left( E \right)$ sao cho đường phân giác trong góc $\widehat {{F_1}M{F_2}}$ đi qua điểm $N\left( { - \dfrac{{48}}{{25}};0} \right)$.
Lời giải
a) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $I\left( { - 1;0} \right)$, bán kính $R = IA = 2$ là: $\left( C \right): {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 4.$
Theo giả thiết, ta có $B,C \in \left( E \right) \cap \left( C \right)$ nên tọa độ điểm $B$, $C$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 \hfill \\ {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{x^2} + 9{y^2} = 36 \hfill \\ 9{\left( {x + 1} \right)^2} + 9{y^2} = 36 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{x^2} + 9{y^2} = 36 \hfill \\ 9{\left( {x + 1} \right)^2} - 4{x^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{x^2} + 9{y^2} = 36 \hfill \\ 5{x^2} + 18x + 9 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (loại) hoặc $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \dfrac{3}{5} \hfill \\ y = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \dfrac{3}{5} \hfill \\ y = - \dfrac{{4\sqrt 6 }}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vậy $B\left( { - \dfrac{3}{5}; - \dfrac{{4\sqrt 6 }}{5}} \right)$, $C\left( { - \dfrac{3}{5};\dfrac{{4\sqrt 6 }}{5}} \right)$ hoặc $B\left( { - \dfrac{3}{5};\dfrac{{4\sqrt 6 }}{5}} \right)$, $C\left( { - \dfrac{3}{5}; - \dfrac{{4\sqrt 6 }}{5}} \right)$.
b) Ta có ${a^2} = 25 \Rightarrow a = 5$ và ${b^2} = 9 \Rightarrow b = 3$. Suy ra ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 \Rightarrow c = 4$.
Hai tiêu điểm của Elip là: ${F_1}\left( { - 4;0} \right)$ và ${F_2}\left( {4;0} \right)$.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$. Ta có ${S_{\Delta M{F_1}{F_2}}} = p.r$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M,{F_1}{F_2}} \right) = \dfrac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2}.r$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.2c.\left| y \right| = \left( {a + c} \right).\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow 4\left| y \right| = 9.\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \left| y \right| = 3 \Leftrightarrow y = \pm 3$.
Thay vào phương trình $\left( E \right)$, ta được $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{9}{9} = 1 \Leftrightarrow x = 0$.
Vậy $M\left( {0;3} \right)$ hoặc $M\left( {0; - 3} \right)$.
c) Ta có ${a^2} = 25 \Rightarrow a = 5$ và ${b^2} = 9 \Rightarrow b = 3$. Suy ra ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 \Rightarrow c = 4$.
Hai tiêu điểm của Elip là: ${F_1}\left( { - 4;0} \right)$ và ${F_2}\left( {4;0} \right)$.
Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$.
Theo giả thiết $MN$ là phân giác trong của $\widehat {{F_1}M{F_2}}$, suy ra
$\dfrac{{{F_1}N}}{{{F_2}N}} = \dfrac{{{F_1}M}}{{{F_2}M}} \Leftrightarrow \dfrac{{52}}{{148}} = \dfrac{{a + ex}}{{a - ex}} \Leftrightarrow 12a + 25ex = 0 \Leftrightarrow 12.5 + 25.\dfrac{4}{5}x = 0 \Leftrightarrow x = - 3$.
Thay vào phương trình $\left( E \right)$, ta được $\dfrac{9}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \dfrac{{12}}{5}$.
Vậy $M\left( { - 3;\dfrac{{12}}{5}} \right)$ hoặc $M\left( { - 3; - \dfrac{{12}}{5}} \right)$.
Ví dụ 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho
a) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ và điểm $M\left( {1;1} \right)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$ và cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $M$ là trung điểm $AB$.
b) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$ và điểm $M\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $M$ và cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho $MA = 2MB$.
c) Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$ và đường thẳng $d: 2x + y + 3 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ vuông góc $d$ và cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm $A$, $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $1$.
d) Elip $\left( E \right): {x^2} + 3{y^2} = 6$ có hai tiêu điểm ${F_1}$, ${F_2}$ trong đó ${F_1}$ có hoành độ âm. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua ${F_2}$ và song song với $\Delta : y = - x + 1$ đồng thời cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm $A$, $B$ phân biệt. Tính diện tích tam giác $AB{F_1}$.
Lời giải
a) Thay tọa độ điểm $M$ vào vế trái của $\left( E \right)$ ta được $\dfrac{1}{{25}} + \dfrac{1}{9} < 1$. Suy ra $M$ nằm ở miền trong của $\left( E \right)$.
Do đó mọi đường thẳng đi qua $M$ đều cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm phân biệt.
Gọi $A\left( {x;y} \right) \in \left( E \right)$ nên $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$. $\left( 1 \right)$.
Do $M\left( {1;1} \right)$ là trung điểm của $AB$ nên $B\left( {2 - x;2 - y} \right)$.
Vì $B \in \left( E \right)$ nên $\dfrac{{{{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{25}} + \dfrac{{{{\left( {2 - y} \right)}^2}}}{9} = 1$. $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta được
$\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{25}} + \dfrac{{{y^2} - 4y + 4}}{9} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} + \left( {\dfrac{{ - 4x + 4}}{{25}} + \dfrac{{ - 4y + 4}}{9}} \right) = 1$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4x + 4}}{{25}} + \dfrac{{ - 4y + 4}}{9} = 0 \Leftrightarrow 9x + 25y - 34 = 0$. $\left( * \right)$.
Do tọa độ hai điểm $A$, $B$ đều thỏa mãn $\left( * \right)$ nên phương trình $\left( * \right)$ chính là phương trình đường thẳng $d$ cần tìm.
Cách 2
Ta có $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9{x^2} + 25{y^2} = 225$. Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$, $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai điểm thỏa yêu cầu bài toán.
Ta có $A,B \in \left( E \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 9x_1^2 + 25y_1^2 = 225 \hfill \\ 9x_2^2 + 25y_2^2 = 225 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Trừ vế theo vế ta được $9\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 25\left( {{y_1} - {y_2}} \right)\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = 0$.
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = 2{x_M} = 2 \hfill \\ {y_1} + {y_2} = 2{y_M} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Thay vào trên, ta được
$18\left( {{x_1} - {x_2}} \right) + 50\left( {{y_1} - {y_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {y_1} - {y_2} = - \dfrac{9}{{25}}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right) = \left( {{x_2} - {x_1}; - \dfrac{9}{{25}}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right) = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {1; - \dfrac{9}{{25}}} \right)$.
Suy ra $\overrightarrow u = \left( {25; - 9} \right)$ là một vec-tơ chỉ phương của $\Delta $ nên $\Delta : 9x + 25y - 34 = 0$.
Bằng cách giải thứ nhất ta có thể giải được bài toán tổng quát khi thay giả thiết $MA = MB$ bằng giả thiết $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k$ nào đó.
b) Gọi $A\left( {x;y} \right)$, $B\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Vì $B \in \left( E \right)$ nên $\dfrac{{x_0^2}}{4} + \dfrac{{y_0^2}}{1} = 1$. $\left( 1 \right)$
Thay tọa độ điểm $M$ vào vế trái của $\left( E \right)$ ta được
$\dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}}}{1} = \dfrac{{20}}{{36}} < 1$. Suy ra $M$ nằm ở miền trong của $\left( E \right)$.
Mà $MA = 2MB$ suy ra $\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} $ nên $A\left( { - 2{x_0} + 2; - 2{y_0} + 2} \right)$.
Mặt khác, $A \in \left( E \right)$ nên $\dfrac{{{{\left( { - 2{x_0} + 2} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( { - 2{y_0} + 2} \right)}^2}}}{1} = 1$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có
$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{x_0^2}}{4} + \dfrac{{y_0^2}}{1} = 1 \hfill \\ \dfrac{{{{\left( { - 2{x_0} + 2} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( { - 2{y_0} + 2} \right)}^2}}}{1} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5y_0^2 - 8{y_0} + 3 = 0 \hfill \\ \dfrac{{x_0^2}}{4} + \dfrac{{y_0^2}}{1} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_0} = 0 \hfill \\ {y_0} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} {x_0} = \dfrac{8}{5} \hfill \\ {y_0} = \dfrac{3}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Với $B\left( {0;1} \right)$. Đường thẳng cần tìm đi qua $M$ và $B$ nên có phương trình: $x + 2y - 2 = 0$.
Với $B\left( {\dfrac{8}{5};\dfrac{3}{5}} \right)$. Đường thẳng cần tìm đi qua $M$ và $B$ nên có phương trình: $5x + 70y - 50 = 0$.
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là: $x + 2y - 2 = 0$ hoặc $5x + 70y - 50 = 0$.
c) Do $\Delta $ vuông góc với $d: 2x + y + 3 = 0$ nên $\Delta : x - 2y + m = 0$.
Đường thẳng $\Delta $ cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm $A$, $B$ nên tọa độ $A$, $B$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1 \hfill \\ x - 2y + m = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2y - m \hfill \\ {x^2} + 4{y^2} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2y - m \hfill \\ 8{y^2} - 4my + {m^2} - 4 = 0\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Để $\Delta $ cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm $A$, $B$ phân biệt khi phương trình $\left( * \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 32 - 4{m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2\sqrt 2 < m < 2\sqrt 2 $.
Gọi ${y_1}$, ${y_2}$ là hai nghiệm của phương trình $\left( * \right)$, suy ra $\left\{ \begin{gathered} {y_1} + {y_2} = \dfrac{m}{2} \hfill \\ {y_1}.{y_2} = \dfrac{{{m^2} - 4}}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ta được tọa độ $A\left( {2{y_1} - m;{y_1}} \right)$, $B\left( {2{y_2} - m;{y_2}} \right)$. Ta có
$AB = \sqrt {5{{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} = \sqrt {5\left[ {{{\left( {{y_1} + {y_2}} \right)}^2} - 4{y_1}{y_2}} \right]} = \dfrac{{\sqrt {5\left( {8 - {m^2}} \right)} }}{2}$.
Mặt khác, $d\left( {O,AB} \right) = d\left( {O,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }}$. Do đó
${S_{\Delta OAB}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AB.d\left( {O,AB} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{m^2}\left( {8 - {m^2}} \right)} }}{4} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 2$.
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là $\Delta : x - 2y + 2 = 0$ hoặc $\Delta : x - 2y - 2 = 0$.
d) Phương trình Elip $\left( E \right)$ ở dạng chính tắc $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{6} + \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1$.
Ta có ${a^2} = 6$, ${b^2} = 2$. Suy ra $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2$.
Hai tiêu điểm có tọa độ là: ${F_1}\left( { - 2;0} \right)$ và ${F_2}\left( {2;0} \right)$.
Đường thẳng $d$ đi qua ${F_2}\left( {2;0} \right)$ và song song với $\Delta : y = - x + 1$ nên có phương trình $d: x + y - 2 = 0$.
Tọa độ điểm $A$, $B$ là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered} x + y - 2 = 0 \hfill \\ {x^2} + 3{y^2} = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 2 - x \hfill \\ {x^2} + 3{\left( {2 - x} \right)^2} = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 2 - x \hfill \\ 2{x^2} - 6x + 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{2} \hfill \\ y = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{2} \hfill \\ y = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Do đó $A\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right)$, $B\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)$ hoặc $A\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)$, $B\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right)$.
Khi đó $AB = \sqrt 6 $ và $d\left( {{F_1},AB} \right) = d\left( {{F_1},d} \right) = 2\sqrt 2 $.
Suy ra diện tích tam giác $AB{F_1}$ là ${S_{\Delta AB{F_1}}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {{F_1},d} \right) = 2\sqrt 3 $.
Ví dụ 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$ và đường thẳng $d: x - \sqrt 2 y + 2 = 0.$ Đường thẳng $d$ cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm $A$, $B$. Tìm tọa độ điểm $C$ trên $\left( E \right)$ sao cho tam giác $ABC$ cân tại $C$.
Lời giải
Đường thẳng $d$ cắt $\left( E \right)$ tại $A$, $B$ nên tọa độ $A$, $B$ là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered} x - \sqrt 2 y + 2 = 0 \hfill \\ 4{x^2} + 8{y^2} = 32 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \sqrt 2 y - 2 \hfill \\ {x^2} + 2{y^2} = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \sqrt 2 y - 2 \hfill \\ {y^2} - \sqrt 2 y - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra ${y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Thay vào $d$, ta được ${x_I} = - 1$. Do đó $I\left( { - 1;\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$.
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với $d$ nên $\Delta : \sqrt 2 x + y + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 0$.
Theo giả thiết tam giác $ABC$ cân tại $C$ nên $C \in \Delta $, đồng thời $C \in \left( E \right)$.
Suy ra tọa độ điểm $C$ thỏa mãn hệ
$\left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 x + y + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 0 \hfill \\ \dfrac{{{x^2}}}{8} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt 2 x + y + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 0 \hfill \\ {x^2} + 2{y^2} = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = - \sqrt 2 x - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ 5{x^2} + 4x - 7 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
$ \Rightarrow C\left( {\dfrac{{ - 2 + \sqrt {39} }}{5}; - \dfrac{{2\sqrt {78} + \sqrt 2 }}{{10}}} \right)$ hoặc $C\left( {\dfrac{{ - 2 - \sqrt {39} }}{5};\dfrac{{2\sqrt {78} - \sqrt 2 }}{{10}}} \right)$.
Vậy tọa độ điểm $C$ cần tìm là
$C\left( {\dfrac{{ - 2 + \sqrt {39} }}{5}; - \dfrac{{2\sqrt {78} + \sqrt 2 }}{{10}}} \right)$ hoặc $C\left( {\dfrac{{ - 2 - \sqrt {39} }}{5};\dfrac{{2\sqrt {78} - \sqrt 2 }}{{10}}} \right)$.
Ví dụ 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho Elip $\left( E \right): \dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ và đường thẳng $d: 3x + 4y - 12 = 0.$ Đường thẳng $d$ cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm $A$, $B$. Tìm tọa độ điểm $C$ trên $\left( E \right)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bằng $6$.
Lời giải
Do $A,B = d \cap \left( E \right)$ nên tọa độ điểm $A$, $B$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{gathered} 3x + 4y - 12 = 0 \hfill \\ \dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x + 4y - 12 = 0 \hfill \\ 9{x^2} + 16{y^2} = 144 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Suy ra $A\left( {4;0} \right)$, $B\left( {0;3} \right)$ hoặc $A\left( {0;3} \right)$, $B\left( {4;0} \right)$.
Khi đó $AB = 5$.
Gọi $C\left( {a;b} \right) \in \left( E \right)$ nên $\dfrac{{{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{{b^2}}}{9} = 1$. $\left( 1 \right)$
Mặt khác, ta lại có theo giả thiết
${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {C,AB} \right) = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {C,d} \right) = \dfrac{{\left| {3a + 4b - 12} \right|}}{2} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3a + 4b = 24 \hfill \\ 3a + 4b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta tìm được $C\left( {2\sqrt 2 ; - \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)$ hoặc $C\left( { - 2\sqrt 2 ;\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)$.
