BÀI 2. HÀM SỐ y=ax+b
1. Hàm số bậc nhất $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}.$
Chiều biến thiên:
Với $a > 0$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Với $a < 0$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
Bảng biến thiên:
$a > 0$ $a < 0$
Đồ thị:
Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng song song với đường thẳng $y = ax$ (nếu $b \ne 0$) và đi qua hai điểm $A\left( {0;b} \right),B\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right).$
2. Hàm số hằng $y = b$
Đồ thị hàm số $y = b$ là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm $\left( {0;b} \right).$ Đường thẳng này gọi là đường thẳng $y = b.$
Ví dụ 1. Tìm $m$ để hàm số $y = \left( {2m + 1} \right)x + m - 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
A. $m > \dfrac{1}{2}.$
B. $m < \dfrac{1}{2}.$
C. $m < - \dfrac{1}{2}.$
D. $m > - \dfrac{1}{2}.$
Lời giải
Chọn C.
Hàm số bậc nhất $y = ax + b$ đồng biến $ \to a > 0 \to 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{2}.$
Ví dụ 2. Tìm $m$ để hàm số $y = - \left( {{m^2} + 1} \right)x + m - 4$ nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
A. $m > 1.$
B. Với mọi $m.$
C. $m < - 1.$
D. $m > - 1.$
Lời giải
Chọn B.
Hàm số bậc nhất $y = ax + b$ nghịch biến $ \to a < 0 \to - \left( {{m^2} + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}.$
Ví dụ 3. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng $y = \sqrt 2 x$?
A. $y = 1 - \sqrt 2 x.$
B. $y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}x - 3.$
C. $y + \sqrt 2 x = 2.$
D. $y - \dfrac{2}{{\sqrt 2 }}x = 5.$
Lời giải
Chọn D.
Hai đường thẳng song song khi có hệ số góc bằng nhau.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = 3x + 1$ song song với đường thẳng $y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + \left( {m - 1} \right)$.
A. $m = \pm 2.$
B. $m = 2.$
C. $m = - 2.$
D. $m = 0.$
Lời giải
Chọn C.
Đường thẳng $y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + \left( {m - 1} \right)$ song song với đường thẳng $y = 3x + 1$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered}{m^2} - 1 = 3 \hfill \\ m - 1 \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = \pm 2 \hfill \\ m \ne 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = - 2$.
Ví dụ 5. Biết đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $M\left( {1;4} \right)$ và song song với đường thẳng $y = 2x + 1$. Tính tổng $S = a + b.$
A. $S = 4.$
B. $S = 2.$
C. $S = 0.$
D. $S = - 4.$
Lời giải
Chọn A.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $M\left( {1;4} \right)$ nếu $4 = a.1 + b$ $\left( 1 \right).$
Mặt khác, đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = 2x + 1$ nếu $\left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ $\left\{ \begin{gathered} 4 = a.1 + b \hfill \\ a = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow{{}}a + b = 4$.
Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = \left( {3m + 2} \right)x - 7m - 1$ vuông góc với đường $\Delta :y = 2x - 1.$
A. $m = 0.$
B. $m = - \dfrac{5}{6}.$
C. $m < \dfrac{5}{6}.$
D. $m > - \dfrac{1}{2}.$
Lời giải
Chọn B.
Để đường thẳng $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$ khi và chỉ khi $2\left( {3m + 2} \right) = - 1 \Leftrightarrow m = - \dfrac{5}{6}$.
Ví dụ 7. Biết rằng đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $N\left( {4; - 1} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $4x - y + 1 = 0$. Tính tích $P = ab$.
A. $P = 0.$
B. $P = - \dfrac{1}{4}.$
C. $P = \dfrac{1}{4}.$
D. $P = - \dfrac{1}{2}.$
Lời giải
Chọn A.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $N\left( {4; - 1} \right)$ nếu $ - 1 = a.4 + b$ $\left( 1 \right).$
Mặt khác, đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng $y = 4x + 1$ nếu $4.a = - 1$ $\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ $\left\{ \begin{gathered} - 1 = a.4 + b \hfill \\ 4a = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \dfrac{1}{4} \hfill \\ b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow{{}}P = ab = 0$.
Ví dụ 8. Tìm $a$ và $b$ để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua các điểm $A\left( { - 2;1} \right),B\left( {1; - 2} \right)$.
A. $a = - 2$ và $b = - 1.$
B. $a = 2$ và $b = 1.$
C. $a = 1$ và $b = 1.$
D. $a = - 1$ và $b = - 1.$
Lời giải
Chọn D.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm $A\left( { - 2;1} \right),B\left( {1; - 2} \right)$ nếu $\left\{ \begin{gathered} 1 = a.\left( { - 2} \right) + b \hfill \\ - 2 = a.1 + b \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - 1 \hfill \\ b = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ví dụ 9. Biết rằng đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $A\left( { - 3;1} \right)$ và có hệ số góc bằng $ - 2$. Tính tích $P = ab$.
A. $P = - 10.$
B. $P = 10.$
C. $P = - 7.$
D. $P = - 5.$
Lời giải
Chọn B.
Hệ số góc bằng $ - 2\Rightarrow{{}}a = - 2.$
Đồ thị đi qua điểm $A\left( { - 3;1} \right)\Rightarrow{{}} - 3a + b = 1\Rightarrow{{a = - 2}}b = - 5.$
Vậy $P = ab = \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) = 10.$
Ví dụ 10. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $y = \dfrac{{1 - 3x}}{4}$ và $y = - \left( {\dfrac{x}{3} + 1} \right)$ là:
A. $\left( {0; - 1} \right)$.
B. $\left( {2; - 3} \right)$.
C. $\left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)$.
D. $\left( {3; - 2} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ của hai đường thẳng là $\dfrac{{1 - 3x}}{4} = - \left( {\dfrac{x}{3} + 1} \right)$
$\overset {} \Rightarrow - \dfrac{5}{{12}}x + \dfrac{5}{4} = 0\overset {} \Rightarrow x = 3\Rightarrow{{}}y = - 2$.
Ví dụ 11. Cho hàm số $y = 2x + m + 1$. Tìm giá trị thực của $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
A. $m = 7.$
B. $m = 3.$
C. $m = - 7.$
D. $m = \pm 7.$
Lời giải
Chọn C.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$ $\Rightarrow{{}}A\left( {3;0} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $\Rightarrow{{}}0 = 2.3 + m + 1 \Leftrightarrow m = - 7$.
Ví dụ 12. Tìm giá trị thực của $m$ để hai đường thẳng $d:y = mx - 3$ và $\Delta :y + x = m$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
A. $m = - 3.$
B. $m = 3.$
C. $m = \pm 3.$
D. $m = 0.$
Lời giải
Chọn A.
Gọi $A\left( {0;a} \right)$ là giao điểm hai đường thẳng nằm trên trục tung.
$\Rightarrow{{}}\left\{ \begin{gathered} A \in d \hfill \\ A \in \Delta \hfill \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow{{}}\left\{ \begin{gathered} a = 0.m - 3 \hfill \\ a + 0 = m \hfill \\ \end{gathered} \right.\overset {} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - 3 \hfill \\ m = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ví dụ 13. Cho hàm số bậc nhất $y = ax + b$. Tìm $a$ và $O$, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm $M\left( { - 1;1} \right)$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 5.
A. $a = \dfrac{1}{6};b = \dfrac{5}{6}.$
B. $a = - \dfrac{1}{6};b = - \dfrac{5}{6}.$
C. $a = \dfrac{1}{6};b = - \dfrac{5}{6}.$
D. $a = - \dfrac{1}{6};{\text{ }}b = \dfrac{5}{6}.$
Lời giải
Chọn D.
Đồ thị hàm số đi qua điểm $M\left( { - 1;1} \right)\Rightarrow{{}}1 = a.\left( { - 1} \right) + b.$ $\left( 1 \right).$
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là $5\Rightarrow{{}}0 = a.5 + b$. $\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ $\left\{ \begin{gathered} 1 = a.\left( { - 1} \right) + b \hfill \\ 0 = a.5 + b \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - a + b = 1 \hfill \\ 5a + b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \dfrac{1}{6} \hfill \\ b = \dfrac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ví dụ 14. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để ba đường thẳng $y = 2x$, $y = - x - 3$ và $y = mx + 5$ phân biệt và đồng quy.
A. $m = - 7.$
B. $m = 5.$
C. $m = - 5.$
D. $m = 7.$
Lời giải
Chọn D.
Tọa độ giao điểm $A$ của hai đường thẳng $y = 2x$ và $y = - x - 3$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{gathered} y = 2x \hfill \\ y = - x - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow{{}}A\left( { - 1; - 2} \right)$.
Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng $y = mx + 5$ đi qua $A$
$\Rightarrow{{}} - 2 = - 1.m + 5\Rightarrow{{}}m = 7$.
Thử lại, với $m = 7$ thì ba đường thẳng $y = 2x$; $y = - x - 3$ ; $y = 7x + 5$ phân biệt và đồng quy.
Ví dụ 15. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = x + 1.$
B. $y = - x + 2.$
C. $y = 2x + 1.$
D. $y = - x + 1.$
Lời giải
Đồ thị đi xuống từ trái sang phải $\Rightarrow{{}}$ hệ số góc $a < 0.$ Loại A, C.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;1} \right).$ Chọn D.
Ví dụ 16. Cho hàm số $y = ax + b$ có đồ thị là hình bên. Tìm $a$ và $b.$
A. $a = - 2$ và $b = 3$.
B. $a = - \dfrac{3}{2}$ và $b = 2$.
C. $a = - 3$ và $b = 3$.
D. $a = \dfrac{3}{2}$ và $b = 3$.
Lời giải
Chọn D.
Đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $A\left( { - 2;0} \right)$ suy ra $ - 2a + b = 0.$ $\left( 1 \right)$
Đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $B\left( {0;3} \right)$ suy ra $b = 3.$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $\left\{ \begin{gathered} - 2a + b = 0 \hfill \\ b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2a = 3 \hfill \\ b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \dfrac{3}{2} \hfill \\ b = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
