BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I. Khái niệm về phương trình
1. Phương trình một ẩn
Phương trình ẩn $x$ là mệnh đề chứa biến có dạng
$f\left( x \right) = g\left( x \right)$$\left( 1 \right)$
trong đó $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là những biểu thức của $x.$ Ta gọi $f\left( x \right)$ là vế trái, $g\left( x \right)$ là vế phải của phương trình $\left( 1 \right).$
Nếu có số thực ${x_0}$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right)$ là mệnh đề đúng thì ${x_0}$ được gọi là một nghiệm của phương trình $\left( 1 \right).$
Giải phương trình $\left( 1 \right)$ là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình
Khi giải phương trình $\left( 1 \right)$, ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số $x$ để $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).
3. Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn
$\begin{gathered} 3x + 2y = {x^2} - 2xy + 8,\left( 2 \right) \hfill \\ 4{x^2} - xy + 2z = 3{z^2} + 2xz + {y^2}.\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered}$
Phương trình $\left( 2 \right)$ là phương trình hai ẩn ($x$ và $y$), còn $\left( 3 \right)$ là phương trình ba ẩn ($x,y$ và $z$).
Khi $x = 2,y = 1$ thì hai vế của phương trình $\left( 2 \right)$ có giá trị bằng nhau, ta nói cặp $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)$ là một nghiệm của phương trình $\left( 2 \right).$
Tương tự, bộ ba số $\left( {x;y;z} \right) = \left( { - 1;1;2} \right)$ là một nghiệm của phương trình $\left( 3 \right).$
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
II. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương
Định lý
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác $0$ hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác $0.$
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
3. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ đều là nghiệm của phương trình ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ thì phương trình ${f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)$ được gọi là phương trình hệ quả của phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right).$
Ta viết
$f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right).$
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 1. Điều kiện xác định của phương trình $\sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 2} = \sqrt {x - 3} $ là
A. $x > 3.$
B. $x \geqslant 2.$
C. $x \geqslant 1.$
D. $x \geqslant 3.$
Lời giải
Chọn D.
Phương trình xác định khi $\left\{ \begin{gathered} x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ x - 2 \geqslant 0 \hfill \\ x - 3 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 1 \hfill \\ x \geqslant 2 \hfill \\ x \geqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \geqslant 3.$
Ví dụ 2. Điều kiện xác định của phương trình $\sqrt {x - 2} + \dfrac{{{x^2} + 5}}{{\sqrt {7 - x} }} = 0$ là
A. $x \geqslant 2.$
B. $x < 7.$
C. $2 \leqslant x \leqslant 7.$
D. $2 \leqslant x < 7.$
Lời giải
Chọn D.
Phương trình xác định khi $\left\{ \begin{gathered} x - 2 \geqslant 0 \hfill \\ 7 - x > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ x < 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 2 \leqslant x < 7.$
Ví dụ 3. Điều kiện xác định của phương trình $\sqrt {{x^2} - 4} = \dfrac{1}{{x - 2}}$ là
A. $x \geqslant 2$ hoặc $x \leqslant - 2.$
B. $x \geqslant 2$ hoặc $x < - 2.$
C. $x > 2$ hoặc $x < - 2.$
D. $x > 2$ hoặc $x \leqslant - 2.$
Lời giải
Chọn D.
Phương trình xác định khi $\left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 \geqslant 0 \hfill \\ x - 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ x \leqslant - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ x \ne 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > 2 \hfill \\ x \leqslant - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ví dụ 4. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình ${x^2} - 3x = 0$?
A. ${x^2} + \sqrt {x - 2} = 3x + \sqrt {x - 2} .$
B. ${x^2} + \dfrac{1}{{x - 3}} = 3x + \dfrac{1}{{x - 3}}.$
C. ${x^2}\sqrt {x - 3} = 3x\sqrt {x - 3} .$
D. ${x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} = 3x + \sqrt {{x^2} + 1} .$
Lời giải
Chọn D.
Ta có ${x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Do đó, tập nghiệm của phương trình đó cho là ${S_0} = \left\{ {0;3} \right\}$.
Xét đáp án D. Ta có ${x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} = 3x + \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {x^2} = 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_4} = \left\{ {0;3} \right\} = {S_0}$.
Ví dụ 5. Cho phương trình $\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x--1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đó cho ?
A. $x - 1 = 0.$
B. $x + 1 = 0.$
C. ${x^2} + 1 = 0.$
D. $\left( {x--1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0.$
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x--1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$ (Vì ${x^2} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.
Ví dụ 6. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. $x + \sqrt {x - 1} = 1 + \sqrt {x - 1} $ và $x = 1.$
B. $x + \sqrt {x - 2{\text{ }}} = 1 + \sqrt {x - 2} $ và $x = 1.$
C. $\sqrt x \left( {x + 2} \right) = \sqrt x $ và $x + 2 = 1.$
D. $x\left( {x + 2} \right) = x$ và $x + 2 = 1.$
Lời giải
Chọn A.
Xét đáp án A. Ta có
$x + \sqrt {x - 1} = 1 + \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 1 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1\xrightarrow{{}}x + \sqrt {x - 1} = 1 + \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow x = 1$.
Ví dụ 7. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương:
$2{x^2} + mx - 2 = 0$ $\left( 1 \right)$ và $2{x^3} + \left( {m + 4} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 4 = 0$ $\left( 2 \right)$ .
A. $m = 2.$
B. $m = 3.$
C. $m = \dfrac{1}{2}.$
D. $m = - 2.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} + mx - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ 2{x^2} + mx - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Do hai phương trình tương đương nên $x = - 2$ cũng là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$.
Thay $x = - 2$ vào $\left( 1 \right)$, ta được $2{\left( { - 2} \right)^2} + m\left( { - 2} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 3$.
Với $m = 3$, ta có
$ \bullet $ $\left( 1 \right)$ trở thành $2{x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2$ hoặc $x = \dfrac{1}{2}.$
$ \bullet $ $\left( 2 \right)$ trở thành $2{x^3} + 7{x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {2x + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = - 2$ hoặc $x = \dfrac{1}{2}$.
Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy $m = 3$ thỏa mãn.
Ví dụ 8. Cho phương trình $2{x^2} - x = 0$. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đó cho?
A. $2x - \dfrac{x}{{1 - x}} = 0.$
B. $4{x^3} - x = 0.$
C. ${\left( {2{x^2} - x} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 0.$
D. $2{x^3} + {x^2} - x = 0.$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $2{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Do đó, tập nghiệm của phương trình đó cho là ${S_0} = \left\{ {0;\dfrac{1}{2}} \right\}$.
Xét đáp án C. Ta có ${\left( {2{x^2} - x} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2{x^2} - x = 0 \hfill \\ x - 5 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2{x^2} - x = 0 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (vô nghiệm).
Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_3} = \emptyset$.
Do ${S_0} \not\subset {S_3}$ nên phương trình này không phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
Ví dụ 9. Cho hai phương trình: $x\left( {x - 2} \right) = 3\left( {x - 2} \right)\left( 1 \right)$ và $\dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = 3\left( 2 \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình $\left( 1 \right)$ là hệ quả của phương trình $\left( 2 \right)$.
B. Phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ là hai phương trình tương đương.
C. Phương trình $\left( 2 \right)$ là hệ quả của phương trình $\left( 1 \right)$.
D. Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 2 = 0 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là ${S_1} = \left\{ {2;3} \right\}$.
Phương trình $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 2 \ne 0 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3$. Do đó, tập nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ là ${S_2} = 3$.
Vì ${S_2} \subset {S_1}$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ là hệ quả của phương trình $\left( 2 \right)$.
Ví dụ 10. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x} = \sqrt {2x - {x^2}} $ là:
A. $S = \left\{ 0 \right\}.$
B. $S = \emptyset .$
C. $S = \left\{ {0;2} \right\}.$
D. $S = \left\{ 2 \right\}.$
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} - 2x \geqslant 0 \hfill \\ 2x - {x^2} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 2x \geqslant 0 \hfill \\ {x^2} - 2x \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Thử lại ta thấy cả $x = 0$ và $x = 2$ đều thỏa mãn phương trình.
Ví dụ 11. Phương trình $x\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {x - 1} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0.$
B. $1.$
C. $2.$
D. $3.$
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $x - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 1.$
Phương trình tương đương với $\left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ {x^2} - 1 = 0 \hfill \\ \sqrt {x - 1} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = \pm 1 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đó cho là $x = 1.$
Vậy phương trình đó cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 12. Phương trình $\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {5 - 3x} \right)} + 2x = \sqrt {3x - 5} + 4$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0.$
B. $1.$
C. $2.$
D. $3.$
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered} {\left( {x - 3} \right)^2}\left( {5 - 3x} \right) \geqslant 0 \hfill \\ 3x - 5 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. $\left( * \right)$
Ta thấy $x = 3$ thỏa mãn điều kiện $\left( * \right)$.
Nếu $x \ne 3$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5 - 3x \geqslant 0} \\ {3x - 5 \geqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant \dfrac{5}{3}} \\ {x \geqslant \dfrac{5}{3}} \end{array} \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}} \right.$.
Do đó điều kiện xác định của phương trình là $x = 3$ hoặc $x = \dfrac{5}{3}$.
Thay $x = 3$ và $x = \dfrac{5}{3}$ vào phương trình thấy chỉ có $x = 3$ thỏa mãn.
Vậy phương trình đó cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 13. Phương trình $\sqrt {2x} + \sqrt {x - 2} = \sqrt {2 - x} + 2$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0.$
B. $1.$
C. $2.$
D. $3.$
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ \begin{gathered} x - 2 \geqslant 0 \hfill \\ 2 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2$.
Thử lại phương trình thấy $x = 2$ thỏa mãn.
Vậy phương trình đó cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 14. Phương trình $\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sqrt {x - 3} = 0$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0.$
B. $1.$
C. $2.$
D. $3.$
Lời giải
Chọn B.
Điều kiện: $x \geqslant 3$.
Ta có $x = 3$ là một nghiệm.
Nếu $x > 3$ thì $\sqrt {x - 3} > 0$. Do đó phương trình tương đương
$\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sqrt {x - 3} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$.
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3.$
