BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Định nghĩa
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng $ax + b = 0$ với $a,b$ là số thực và $a \ne 0$.
Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $a,b,c$ là số thực và $a \ne 0$.
2. Giải và biện luận phương trình $ax + b = 0$ (1)
Nếu $a \ne 0$ : $\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = - \dfrac{b}{a}$ do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x = - \dfrac{b}{a}$ .
Nếu $a = 0$: phương trình (1) trở thành $0x + b = 0$.
TH1: Với $b = 0$ phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.
TH2: Với $b \ne 0$ phương trình vô nghiệm.
3. Giải và biện luận phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$
Nếu $a = 0$ : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1).
Nếu $a \ne 0$ : Tính $\Delta = {b^2} - 4ac$.
TH1: $\Delta > 0$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$.
TH2: $\Delta = 0$ phương trình có nghiệm kép $x = - \dfrac{b}{{2a}}$.
TH3: $\Delta < 0$ phương trình vô nghiệm.
4. Định lí Vi-ét và ứng dụng
a) Định lí Vi-ét
Hai số ${x_1}$ và ${x_2}$ là các nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}$ và ${x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}$ .
b) Ứng dụng
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó có thể phân tích thành nhân tử $f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.
Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ thì chúng là nghiệm của phương trình ${x^2} - Sx + P = 0$.
5. Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ (*), kí hiệu $S = - \dfrac{b}{a},P = \dfrac{c}{a}$, khi đó
+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $P < 0$.
+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \geqslant 0} \\ \begin{gathered} P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right.$.
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \geqslant 0} \\ \begin{gathered} P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered}\end{array}} \right.$.
+ Phương trình (*) có 2 nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi $\left[ \begin{gathered} {x_1} \leqslant {x_2} < 0 \hfill \\ 0 < {x_1} \leqslant {x_2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta \geqslant 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \cdot $
Lưu ý: Khi cần 2 nghiệm phân biệt nhau thì điều kiện $\Delta $ ở trên không có dấu bằng “=”.
Giải và biện luận phương trình dạng $ax + b = 0$
Để giải và biện luận phương trình dạng $ax + b = 0$ ta dựa vào kết quả đã nêu ở trên.
Lưu ý:
Phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a \ne 0} \\ {a = b = 0} \end{array}} \right.$.
Phương trình $ax + b = 0$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0} \\ {b \ne 0} \end{array}} \right.$.
Phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow a \ne 0$.
Giải và biện luận phương trình dạng $a{x^2} + bx + c = 0$
Để giải và biện luận phương trình dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ ta làm theo như các bước đã nêu ở trên.
Lưu ý:
$ \bullet $ Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 0 \hfill \\ b \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ \Delta \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \cdot $
$ \bullet $ Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 0 \hfill \\ b \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ \Delta = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \cdot $
Một số hệ thức cơ bản sử dụng định lý Vi-ét:
$\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{S}{P}$
$x_1^2 + x_2^2 = {S^2} - 2P$
${({x_1} - {x_2})^2} = {S^2} - 4P$
$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = a > 0 \Leftrightarrow {({x_1} - {x_2})^2} = {a^2}$ $\Leftrightarrow {S^2} - 4P = {a^2}$
$x_1^3 + x_2^3 = {S^3} - 3SP$
Lưu ý:
Nếu biểu thức không đối xứng thường ta giải hệ bằng phương pháp cộng ở (1) và (2) được ${x_1},{\text{ }}{x_2}$ theo $m$ và thế ${x_1},{\text{ }}{x_2}$ vào (3) để tìm $m$.
6. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường:
- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)
- Đặt ẩn phụ
7. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
$\left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} A = B \hfill \\ A = - B \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow {A^2} = {B^2}$
$\left| A \right| = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} B \geqslant 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} A = B \hfill \\ A = - B \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left| A \right| = B \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = B} \\ {A \geqslant 0} \end{array}} \right.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - A = B} \\ {A < 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$
9. Phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:
- Bình phương hai vế để đưa về phương trình hệ quả không chứa căn. Tìm nghiệm phương trình hệ quả rồi thử nghiệm lại.
- Đặt điều kiện (*) để hai vế không âm sau đó bình phương để mất căn. Giải phương trình hệ quả rồi thử lại điều kiện (*).
$\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} B \geqslant 0 \hfill \\ A = {B^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A \geqslant 0({\text{hay}}B \geqslant 0) \hfill \\ A = B \hfill \\ \end{gathered} \right.$
- Đặt ẩn phụ thích hợp.
$\sqrt A + \sqrt B + \sqrt {A.B} = C$. Đặt $t = \sqrt A + \sqrt B ,t \geqslant 0$.
- Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp. Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp;
$ \sqrt A - \sqrt B$ $= \dfrac{{A - B}}{{\sqrt A + \sqrt B }}.$
$ \sqrt[3]{A} - \sqrt[3]{B}$ $= \dfrac{{A - B}}{{{{\left( {\sqrt[3]{A}} \right)}^2} + \sqrt[3]{A}\sqrt[3]{B} + {{\left( {\sqrt[3]{B}} \right)}^2}}}.$
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( {{m^2} - 4} \right)x = 3m + 6$ vô nghiệm.
A. $m = 1.$
B. $m = 2.$
C. $m = \pm 2.$
D. $m = - 2.$
Lời giải
Chọn B.
Phương trình đó cho vô nghiệm khi $\left\{ \begin{gathered} {m^2} - 4 = 0 \hfill \\ 3m + 6 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = \pm 2 \hfill \\ m \ne - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 2$.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( {2m - 4} \right)x = m - 2$ có nghiệm duy nhất.
A. $m = - 1.$
B. $m = 2.$
C. $m \ne - 1.$
D. $m \ne 2.$
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đó cho có nghiệm duy nhất khi $2m - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$.
Ví dụ 3. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 5;10} \right]$ để phương trình $\left( {m + 1} \right)x = \left( {3{m^2} - 1} \right)x + m - 1$ có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong $S$ bằng:
A. $15.$
B. $16.$
C. $39.$
D. $40.$
Lời giải
Chọn C.
Phương trình viết lại $\left( {3{m^2} - m - 2} \right)x = 1 - m$.
Phương trình đó cho có nghiệm duy nhất khi $3{m^2} - m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 1 \hfill \\ m \ne - \dfrac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Do $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 5;10} \right]$ nên $m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}.$
Do đó, tổng các phần tử trong $S$ bằng $39$.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( {{m^2} - 1} \right)x = m - 1$ có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}.$
A. $m = 1.$
B. $m = \pm 1.$
C. $m = - 1.$
D. $m = 0.$
Lời giải
Chọn A.
Phương trình đó cho nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ hay phương trình có vô số nghiệm khi $\left\{ \begin{gathered} {m^2} - 1 = 0 \hfill \\ m - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 1$.
Ví dụ 5. Cho phương trình $\left( {{m^2}--3m + 2} \right)x + {m^2} + 4m + 5 = 0.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình đó cho có nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}.$
A. $m = - 2.$
B. $m = - 5.$
C. $m = 1.$
D. Không tồn tại.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đó cho nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ hay phương trình có vô số nghiệm khi $\left\{ \begin{gathered} {m^2} - 3m + 2 = 0 \hfill \\ - \left( {{m^2} + 4m + 5} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ m \in \emptyset \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow m \in \emptyset $.
Ví dụ 6. Cho phương trình $\left( {{m^2} - 2m} \right)x = {m^2} - 3m + 2.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình đó cho có nghiệm.
A. $m = 0.$
B. $m = 2.$
C. $m \ne 0;{\text{ }}m \ne 2.$
D. $m \ne 0.$
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đó cho vô nghiệm khi $\left\{ \begin{gathered} {m^2} - 2m = 0 \hfill \\ {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {m \ne 2} \\ {m \ne 1} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow m = 0$.
Do đó, phương trình đó cho có nghiệm khi $m \ne 0$.
Ví dụ 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 10;10} \right]$ để phương trình ${x^2} - x + m = 0$ vô nghiệm?
A. $9.$
B. $10.$
C. $20.$
D. $21.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\Delta = 1 - 4m$.
Phương trình vô nghiệm khi $\Delta < 0 \Leftrightarrow 1 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{4}$
Do $\left\{ \begin{gathered} m \in \mathbb{Z} \hfill \\ m \in \left[ { - 10;10} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow{{}}m \in \left\{ {1;2;3;...;10} \right\}$ $\Rightarrow{{}}$ Có $10$ giá trị thỏa mãn.
Ví dụ 8. Phương trình $\left( {m + 1} \right){x^2} - 2mx + m - 2 = 0$ vô nghiệm khi:
A. $m \leqslant - 2.$
B. $m < - 2.$
C. $m > 2.$
D. $m \geqslant 2.$
Lời giải
Chọn B.
Với $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$.
Khi đó phương trình trở thành $2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$.
Với $m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1$. Ta có $\Delta ' = {m^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = m + 2$.
Phương trình vô nghiệm khi $\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < - 2.$
Ví dụ 9. Phương trình $\left( {m--2} \right){x^2} + 2x--1 = 0$ có nghiệm kép khi:
A. $m = 1;{\text{ }}m = 2.$
B. $m = 1.$
C. $m = 2.$
D. $m = - 1.$
Lời giải
Chọn B.
Phương trình đó cho có nghiệm kép khi $\left\{ \begin{gathered} m - 2 \ne 0 \hfill \\ \Delta ' = m - 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 2 \hfill \\ m = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow m = 1$.
Ví dụ 10. Phương trình $m{x^2} + 6 = 4x + 3m$ có nghiệm duy nhất khi:
A. $m \in \emptyset .$
B. $m = 0.$
C. $m \in \mathbb{R}.$
D. $m \ne 0.$
Lời giải
Chọn B.
Phương trình viết lại $m{x^2} - 4x + \left( {6 - 3m} \right) = 0$.
Với $m = 0$. Khi đó, phương trình trở thành $4x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$. Do đó, $m = 0$ là một giá trị cần Tìm.
Với $m \ne 0$. Ta có $\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - m\left( {6 - 3m} \right)$ $= 3{m^2} - 6m + 4 = 3{\left( {m - 1} \right)^2} + 1 > 0$
Khi đó, phương trình đó cho luôn có hai nghiệm phân biệt nếu $m \ne 0$ (không thỏa).
Ví dụ 11. Phương trình $\left( {m + 1} \right){x^2}--6\left( {m + 1} \right)x + 2m + 3 = 0$ có nghiệm kép khi:
A. $m = - 1.$
B. $m = - 1;{\text{ }}m = - \dfrac{6}{7}$
C. $m = - \dfrac{6}{7}.$
D. $m = \dfrac{6}{7}.$
Lời giải
Chọn C.
Phương trình đó cho có nghiệm kép khi $\left\{ \begin{gathered} m + 1 \ne 0 \hfill \\ \Delta ' = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m + 1 \ne 0 \hfill \\ 7{m^2} + 13m + 6 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m = - 1 \hfill \\ m = - \dfrac{6}{7} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow m = - \dfrac{6}{7}$.
Ví dụ 12. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - 2x + 1 - 2m = 0$ có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong $S$ bằng:
A. $\dfrac{5}{2}.$
B. $3.$
C. $\dfrac{7}{2}.$
D. $\dfrac{9}{2}.$
Lời giải
Chọn D.
Với $m = 2$, phương trình trở thành $ - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{2}$. Do đó $m = 2$ là một giá trị cần Tìm.
Với $m \ne 2$, phương trình đó cho là phương trình bậc hai có $\Delta ' = 2{m^2} - 5m + 3$. Để phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$ hoặc $m = 1$.
Vậy $S = \left\{ {1;{\text{ }}\dfrac{3}{2};{\text{ }}2} \right\}$. Do đó tổng các phần tử trong $S$ bằng $1 + \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{9}{2}.$
Ví dụ 13. Phương trình $\left( {{m^2} + 2} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi:
A. $0 < m < 2.$
B. $m > 2.$
C. $m \in \mathbb{R}.$
D. $m \leqslant 2.$
Lời giải
Chọn C.
Phương trình đó cho có hai nghiệm phân biệt khi $\left\{ \begin{gathered} {m^2} + 2 \ne 0 \hfill \\ \Delta > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow 13{m^2} - 4m + 28 > 0$ $\Leftrightarrow m \in \mathbb{R}$.
Ví dụ 14. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ { - 20;20} \right]$ để phương trình ${x^2} - 2mx + 144 = 0$ có nghiệm. Tổng của các phần tử trong $S$ bằng:
A. $21.$
B. $18.$
C. $1.$
D. $0.$
Lời giải
Chọn D.
Phương trình có nghiệm khi ${\Delta ^/} = {m^2} - 144 \geqslant 0 \Leftrightarrow {m^2} \geqslant {12^2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \geqslant 12 \hfill \\ m \leqslant - 12 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Do $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 20;20} \right]$ nên $S = \left\{ { - 20; - 19; - 18;...; - 12;12;13;14;...;20} \right\}$.
Do đó tổng các phần tử trong tập $S$ bằng $0.$
Ví dụ 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $3{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0$ có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.
A. $m \in \left\{ {\dfrac{5}{2};7} \right\}.$
B. $m \in \left\{ { - 2; - \dfrac{1}{2}} \right\}.$
C. $m \in \left\{ {0;\dfrac{2}{5}} \right\}.$
D. $m \in \left\{ { - \dfrac{3}{4};1} \right\}.$
Lời giải
Chọn A.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta > 0$
$ \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 16 > 0$ $\Leftrightarrow {\left( {m - 4} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m\not = 4.$ $\left( * \right)$
Theo đinh lí Viet, ta có $\left\{ \begin{gathered} {x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{3};{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 2}}{3} \hfill \\ {x_1} = 2{x_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = \dfrac{2}{9}\left( {m + 2} \right),{x_2} = \dfrac{1}{9}\left( {m + 2} \right) \hfill \\ {x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\Rightarrow{{}}\dfrac{2}{{81}}{\left( {m + 2} \right)^2} = \dfrac{{m - 1}}{3}$ $\Leftrightarrow 2{m^2} - 19m + 35 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \dfrac{5}{2} \hfill \\ m = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (thỏa $\left( * \right)$).
Ví dụ 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $\left[ { - 5;5} \right]$ để phương trình ${x^2} + 4mx + {m^2} = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt?
A. $5.$
B. $6.$
C. $10.$
D. $11.$
Lời giải
Chọn A.
Phương trình đó cho có hai nghiệm âm phân biệt khi $\left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3{m^2} > 0 \hfill \\ - 4m < 0 \hfill \\ {m^2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 0 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m > 0$. Do $\left\{ \begin{gathered} m \in \mathbb{Z} \hfill \\ m \in \left[ { - 5;5} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.\xrightarrow{{}}m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}.$ Vậy có 5 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 17. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt là:
A. $m \in \left( { - 1;1} \right).$
B. $m \in \left( {1; + \infty } \right).$
C. $m \in \left( { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right).$
D. $m \in \left( { - \infty ; - 1} \right).$
Lời giải
Chọn B.
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' = 2m + 2 > 0 \hfill \\ S = 2\left( {m + 1} \right) > 0 \hfill \\ P = {m^2} - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - 1 \hfill \\ m > - 1 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ m < - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m > 1$.
Vậy $m > 1$.
Ví dụ 18. Phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x - 1 = 0$ có hai nghiệm trái dấu khi:
A. $m > 1.$
B. $m < 1.$
C. $m \geqslant 1.$
D. $m \leqslant 1.$
Lời giải
Chọn A.
Phương trình đó cho có hai nghiệm trái dấu khi $\left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ P < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 1 \ne 0 \hfill \\ \dfrac{{ - 1}}{{m - 1}} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$.
Ví dụ 19. Giả sử phương trình ${x^2} - 3x - m = 0$ ($m$ là tham số) có hai nghiệm là ${x_1},{\text{ }}{x_2}$. Tính giá trị biểu thức $P = x_1^2\left( {1 - {x_2}} \right) + x_2^2\left( {1 - {x_1}} \right)$ theo $m.$
A. $P = - m + 9.$
B. $P = 5m + 9.$
C. $P = m + 9.$
D. $P = - 5m + 9.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $P = x_1^2\left( {1 - {x_2}} \right) + x_2^2\left( {1 - {x_1}} \right)$ $= x_1^2 - x_1^2.{x_2} + x_2^2 - x_2^2.{x_1}$
$ = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}.{x_2}({x_1} + {x_2})$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - {x_1}.{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right).$
Theo định lý Viet, ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = 3} \\ {{x_1}.{x_2} = - m} \end{array}} \right..$
Thay vào $P$, ta được $P = {3^2} - 2( - m) - \left( { - m} \right).3 = 5m + 9.$
Ví dụ 20. Gọi ${x_1},{\text{ }}{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để biểu thức $P = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. $m = \dfrac{1}{2}.$
B. $m = 1.$
C. $m = 2.$
D. $m = - 12.$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) = 2m - 1$.
Để phương trình có hai nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta ' \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant \dfrac{1}{2}.$ $\left( * \right)$
Theo định lý Viet, ta có $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = 2m + 2 \hfill \\ {x_1}.{x_2} = {m^2} + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Khi đó $1.$
Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $m = 2$: thỏa $\left( * \right)$.
Ví dụ 21. Gọi ${x_1}{\text{, }}{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $2{x^2} + 2mx + {m^2} - 2 = 0$ ($m$ là tham số). Tìm giá trị lớn nhất ${P_{\max }}$ của biểu thức $P = \left| {2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} - 4} \right|.$
A. ${x^2} + ax + b = 0$
B. ${P_{\max }} = 2.$
C. ${P_{\max }} = \dfrac{{25}}{4}.$
D. ${P_{\max }} = \dfrac{9}{4}.$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\Delta ' = {m^2} - 2\left( {{m^2} - 2} \right) = - {m^2} + 4$.
Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi $\Delta ' = 4 - {m^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 2 \leqslant m \leqslant 2.$ $\left( * \right)$
Theo định lý Viet, ta có $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = - m \hfill \\ {x_1}{x_2} = \dfrac{{{m^2} - 2}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Khi đó $A = \left| {2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} - 4} \right|$ $= \left| {{m^2} - m - 6} \right|$ $= \left| {\left( {m + 2} \right)\left( {m - 3} \right)} \right|$ $= - \left( {m + 2} \right)\left( {m - 3} \right)$
$ = - {m^2} + m + 6 = - {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{25}}{4} \leqslant \dfrac{{25}}{4}$ (do $ - 2 \leqslant m \leqslant 2$).
Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $m = \dfrac{1}{2}$: thỏa $\left( * \right)$.
Ví dụ 22. Gọi ${x_1},{\text{ }}{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - mx + m - 1 = 0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để biểu thức $P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}}$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $m = \dfrac{1}{2}.$
B. $m = 1.$
C. $m = 2.$
D. $m = \dfrac{5}{2}.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {m - 2} \right)^2} \geqslant 0$, với mọi $m$.
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của $m$.
Theo hệ thức Viet, ta có $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = m \hfill \\ {x_1}{x_2} = m - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Suy ra $x_1^2 + x_2^2$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$ $= {m^2} - 2\left( {m - 1} \right)$ $= {m^2} - 2m + 2$.
Khi đó $P = \dfrac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2({x_1}{x_2} + 1)}}$ $= \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}.$
Suy ra $P - 1 = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} - 1$ $= \dfrac{{2m + 1 - {m^2} - 2}}{{{m^2} + 2}}$ $= - \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \leqslant 0,{\text{ }}\forall m \in \mathbb{R}.$
Suy ra $P \leqslant 1,{\text{ }}\forall m \in \mathbb{R}.$ Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $m = 1.$
Ví dụ 23. Tập nghiệm $S$ của phương trình $2x + \dfrac{3}{{x - 1}} = \dfrac{{3x}}{{x - 1}}$ là:
A. $S = \left\{ {1;\dfrac{3}{2}} \right\}.$
B. $S = \left\{ 1 \right\}.$
C. $S = \left\{ {\dfrac{3}{2}} \right\}.$
D. $S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện $x\not = 1.$
Khi đó phương trình $ \Leftrightarrow 2x + \dfrac{3}{{x - 1}}= \dfrac{{3x}}{{x - 1}}$ $\Leftrightarrow 2x = \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$ thỏa điều kiện
Vậy $S = \left\{ {\dfrac{3}{2}} \right\}.$
Ví dụ 24. Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{{{x^2} - 5x}}{{\sqrt {x - 2} }} = - \dfrac{4}{{\sqrt {x - 2} }}$ là:
A. $S = \left\{ {1;4} \right\}.$
B. $S = \left\{ 1 \right\}.$
C. $S = \emptyset .$
D. $S = \left\{ 4 \right\}.$
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện $x > 2.$
Khi đó phương trình $ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 5x}}{{\sqrt {x - 2} }} = - \dfrac{4}{{\sqrt {x - 2} }}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1\left( {l} \right) \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy $S = \left\{ 4 \right\}$.
Ví dụ 25. Gọi ${x_0}$ là nghiệm của phương trình $1 - \dfrac{2}{{x - 2}} = \dfrac{{10}}{{x + 3}} - \dfrac{{50}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${x_0} \in \left( { - 5; - 3} \right).$
B. ${x_0} \in \left[ { - 3; - 1} \right].$
C. ${x_0} \in \left( { - 1;4} \right).$
D. ${x_0} \in \left[ {4; + \infty } \right).$
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện: $\left\{ \begin{gathered} x \ne 2 \hfill \\ x \ne - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Phương trình tương đương $1 - \dfrac{2}{{2 - x}} = \dfrac{{10}}{{x + 3}} - \dfrac{{50}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}$
$ \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = 10\left( {2 - x} \right) - 50$ $\Leftrightarrow {x^2} - 7x - 30 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 10\left( {n} \right) \hfill \\ x = - 3\left( {l} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Ví dụ 26. Tập nghiệm $S$ của phương trình $\left| {2x - 1} \right| = x - 3$ là:
A. $S = \left\{ {\dfrac{4}{3}} \right\}.$
B. $S = \emptyset .$
C. $S = \left\{ { - 2;\dfrac{4}{3}} \right\}.$
D. $S = \left\{ { - 2} \right\}.$
Lời giải
Chọn B.
Phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 3 \geqslant 0 \hfill \\ {\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 3 \hfill \\ 3{x^2} + 2x - 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 3 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = \dfrac{4}{3} \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow x \in \emptyset $
Vậy $S = \emptyset $.
Ví dụ 27. Gọi ${x_1},{\text{ }}{x_2}{\text{ }}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ là hai nghiệm của phương trình $\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17$. Tính giá trị biểu thức $P = x_1^2 + {x_2}.$
A. $P = 16.$
B. $P = 58.$
C. $P = 28.$
D. $P = 22.$
Lời giải
Chọn C.
Phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4x - 17 \geqslant 0 \hfill \\ {\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \dfrac{{17}}{4} \hfill \\ {\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \dfrac{{17}}{4} \hfill \\ \left( {{x^2} - 8x + 12} \right)\left( {{x^2} - 22} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \dfrac{{17}}{4} \hfill \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 8x + 12 = 0} \\ {{x^2} - 22 = 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant \dfrac{{17}}{4} \hfill \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2 \vee x = 6} \\ {x = \pm \sqrt {22} } \end{array}} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 6 \hfill \\ x = \sqrt {22} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy $P = {\left( {\sqrt {22} } \right)^2} + 6 = 28.$
Ví dụ 28. Tập nghiệm $S$ của phương trình $\left| {x - 2} \right| = \left| {3x - 5} \right|$ là:
A. $S = \left\{ {\dfrac{3}{2}{\text{;}}\dfrac{7}{4}} \right\}.$
B. $S = \left\{ { - \dfrac{3}{2}{\text{;}}\dfrac{7}{4}} \right\}.$
C. $S = \left\{ { - \dfrac{7}{4}{\text{;}} - \dfrac{3}{2}} \right\}.$
D. $S = \left\{ { - \dfrac{7}{4}{\text{;}}\dfrac{3}{2}} \right\}.$
Lời giải
Chọn A.
Phương trình $ \Leftrightarrow {\left| {x - 2} \right|^2} = {\left| {3x - 5} \right|^2}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 9{x^2} - 30x + 25$$ \Leftrightarrow 8{x^2} - 26x + 21 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \dfrac{3}{2} \hfill \\ x = \dfrac{7}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Vậy $S = \left\{ {\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{4}} \right\}$.
Ví dụ 29. Phương trình $\left| {2x + 1} \right| = \left| {{x^2} - 3x - 4} \right|$ có bao nhiêu nghiệm?
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $4$.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + 1 = {x^2} - 3x - 4} \\ {2x + 1 = - \left( {{x^2} - 3x - 4} \right)} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 5x - 5 = 0} \\ {{x^2} - x - 3 = 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}} \\ {x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}} \end{array}} \right.$.
Ví dụ 30. Tập nghiệm $S$ của phương trình $\sqrt {2x - 3} = x - 3$ là:
A. $S = \left\{ {6;2} \right\}.$
B. $S = \left\{ 2 \right\}.$
C. $S = \left\{ 6 \right\}.$
D. $S = \emptyset .$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\sqrt {2x - 3} = x - 3$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 3 \hfill \\ 2x - 3 = {x^2} - 6x + 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 3 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ x = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow x = 6.$
Ví dụ 31. Tập nghiệm $S$ của phương trình $\sqrt {{x^2} - 4} = x - 2$ là:
A. $S = \left\{ {0;2} \right\}.$
B. $S = \left\{ 2 \right\}.$
C. $S = \left\{ 0 \right\}.$
D. $S = \emptyset .$
Lời giải
Chọn B.
$\sqrt {{x^2} - 4} = x - 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ {x^2} - 4 = {x^2} - 4x + 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow x = 2.$
Ví dụ 32. Tổng các nghiệm của phương trình $\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4$ bằng:
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện xác định của phương trình $2x + 7 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant - \dfrac{7}{2}.$
Ta có $\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4$ $\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 2 = 0 \hfill \\ \sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ \sqrt {2x + 7} = x + 2 & \left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Giải phương trình $\left( 1 \right) :\sqrt {2x + 7} = x + 2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 2 \hfill \\ 2x + 7 = {\left( {x + 2} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 2 \hfill \\ {x^2} + 2x - 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant - 2 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ x = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow x = 1.$
Vậy phương trình đó cho có hai nghiệm $x = 1,x = 2$ nếu tổng hai nghiệm của phương trình là $1 + 2 = 3.$
