BÀI 3. HÀM SỐ BẬC HAI
1. Định nghĩa
Hàm số bậc hai được cho bởi công thức $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right).$
Tập xác định của hàm số này là $D = \mathbb{R}.$
Hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ đã học là một trường hợp riêng của hàm số này.
2. Đồ thị của hàm số bậc hai
Đồ thị của hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường parabol có đỉnh là điểm $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{2a}}} \right),$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = - \dfrac{b}{{2a}}.$ Parabol này quay bề lõm lên trên nếu $a > 0,$ xuống dưới nếu $a < 0.$
$a > 0$
$a < 0$
Cách vẽ:
Để vẽ parabol $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right),$ ta thực hiện các bước:
1) Xác định tọa độ của đỉnh $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right).$
2) Vẽ trục đối xứng $x = - \dfrac{b}{{2a}}.$
3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm $\left( {0;c} \right)$) và trục hoành (nếu có).
Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm $\left( {0;c} \right)$ qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.
4) Vẽ parabol.
Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số $a$ ($a > 0$ bề lõm quay lên trên, $a < 0$ bề lõm quay xuống dưới).
3. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai
Dựa vào đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right),$ ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp $a > 0$ và $a < 0$ như sau:
$\boxed{a > 0}$
$\boxed{a < 0}$
Định lý:
- Nếu $a > 0$ thì hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right);$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right).$
- Nếu $a < 0$ thì hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right);$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right).$
Ví dụ 1. Hàm số $y = 2{x^2} + 4x – 1$
A. đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2; + \infty } \right).$
B. nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - 2; + \infty } \right).$
C. đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right).$
D. nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right).$
Lời giải
Chọn D.
Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ với $a > 0$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)$.
Áp dụng: Ta có $ - \dfrac{b}{{2a}} = - 1$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right).$
Ví dụ 2. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)?$
A. $y = \sqrt 2 {x^2} + 1.$
B. $y = - \sqrt 2 {x^2} + 1.$
C. $y = \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2}.$
D. $y = - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2}.$
Lời giải
Chọn D.
Xét đáp án D, ta có $y = - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2} = - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2 $ nên $ - \dfrac{b}{{2a}} = - 1$ và có $a < 0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.
Ví dụ 3. Trục đối xứng của parabol $\left( P \right):y = 2{x^2} + 6x + 3$ là
A. $x = - \dfrac{3}{2}.$
B. $y = - \dfrac{3}{2}.$
C. $x = - 3.$
D. $y = - 3.$
Lời giải
Chọn A.
Trục đối xứng $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{3}{2}$.
Ví dụ 4. Đỉnh của parabol $\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1$ là
A. $I\left( { - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$.
B. $I\left( { - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$.
C. $I\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$.
D. $I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất ${y_{\min }}$ của hàm số $y = {x^2} - 4x + 5.$
A. ${y_{\min }} = 0$.
B. ${y_{\min }} = - 2$.
C. ${y_{\min }} = 2$.
D. ${y_{\min }} = 1$.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1. Ta có $y = {x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 \geqslant 1\xrightarrow{{}}{y_{\min }} = 1.$
Cách 2. Hoành độ đỉnh $x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{\left( { - 4} \right)}}{2} = 2.$
Do hệ số $a > 0$ nên hàm số có giá trị nhỏ nhất ${y_{\min }} = y\left( 2 \right) = {2^2} - 4.2 + 5 = 1.$
Ví dụ 6. Hàm số nào sau đây đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \dfrac{3}{4}?$
A. $y = 4{x^2}--3x + 1.$
B. $y = - {x^2} + \dfrac{3}{2}x + 1.$
C. $y = - 2{x^2} + 3x + 1.$
D. $y = {x^2} - \dfrac{3}{2}x + 1.$
Lời giải
Chọn D.
Theo đề bài ta phải có hệ số $a > 0$ và $ - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{3}{4}$.
Ví dụ 7. Tìm giá trị thực của tham số $m \ne 0$ để hàm số $y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2$ có giá trị nhỏ nhất bằng $ - 10$ trên $\mathbb{R}.$
A. $m = 1.$
B. $m = 2.$
C. $m = - 2.$
D. $m = - 1.$
Lời giải
Chọn B.
Ta có $x = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{2m}}{{2m}} = 1$, suy ra $y = - 4m - 2$.
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $ - 10$ khi và chỉ khi $\dfrac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > 0 \hfill \\ - 4m - 2 = - 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 2$.
Ví dụ 8. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?
A. $y = - {x^2} + 4x - 9.$
B. $y = {x^2} - 4x - 1.$
C. $y = - {x^2} + 4x.$
D. $y = {x^2} - 4x - 5.$
Lời giải
Chọn B.
Bảng biến thiên có bề lõm hướng lên. Loại đáp án A và C.
Đỉnh của parabol có tọa độ là $\left( {2; - 5} \right)$. Xét các đáp án còn lại, đáp án B thỏa mãn.
Ví dụ 9. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = {x^2} - 4x - 1.$
B. $y = 2{x^2} - 4x - 1.$
C. $y = - 2{x^2} - 4x - 1.$
D. $y = 2{x^2} - 4x + 1.$
Lời giải
Chọn B.
Parabol có bề lõm hướng lên. Loại đáp án C.
Đỉnh của parabol là điểm $\left( {1; - 3} \right)$. Xét các đáp án A, B và D, đáp án B thỏa mãn.
Ví dụ 10. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y = {x^2} - 2x + \dfrac{3}{2}.$
B. $y = - \dfrac{1}{2}{x^2} + x + \dfrac{5}{2}.$
C. $y = {x^2} - 2x.$
D. $y = - \dfrac{1}{2}{x^2} + x + \dfrac{3}{2}.$
Lời giải
Chọn D.
Parabol có bề lõm hướng xuống. Loại đáp án A, C.
Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm $\left( {3;0} \right)$ và $\left( { - 1;0} \right)$. Xét các đáp án B và D, đáp án D thỏa mãn.
Ví dụ 11. Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $a > 0,{\text{ }}b < 0,{\text{ }}c < 0.$
B. $a > 0,{\text{ }}b < 0,{\text{ }}c > 0.$
C. $a > 0,{\text{ }}b > 0,{\text{ }}c > 0.$
D. $a < 0,{\text{ }}b < 0,{\text{ }}c > 0.$
Lời giải
Chọn A.
Bề lõm hướng lên nên $a > 0.$
Hoành độ đỉnh parabol $x = - \dfrac{b}{{2a}} > 0$ nên $b < 0.$
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c < 0.$
Ví dụ 12. Cho hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. $a > 0,{\text{ }}b < 0,{\text{ }}c > 0.$
B. $a < 0,{\text{ }}b < 0,{\text{ }}c < 0.$
C. $a < 0,{\text{ }}b > 0,{\text{ }}c > 0.$
D. $a < 0,{\text{ }}b < 0,{\text{ }}c > 0.$
Lời giải
Chọn D.
Bề lõm hướng xuống nên $a < 0.$
Hoành độ đỉnh parabol $x = - \dfrac{b}{{2a}} < 0$ nên $b < 0.$
Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c > 0.$
Ví dụ 13. Cho parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$ $\left( {a \ne 0} \right)$. Xét dấu hệ số $a$ và biệt thức $\Delta $ khi $\left( P \right)$ hoàn toàn nằm phía trên trục hoành.
A. $a > 0,{\text{ }}\Delta > 0.$
B. $a > 0,{\text{ }}\Delta < 0.$
C. $a < 0,{\text{ }}\Delta < 0.$
D. $a < 0,{\text{ }}\Delta > 0.$
Lời giải
Chọn B.
$\left( P \right)$ hoàn toàn nằm phía trên trục hoành khi bề lõm hướng lên và đỉnh có tung độ dương (hình vẽ) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Ví dụ 14. Tìm parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + 3x - 2,$ biết rằng parabol cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2.$
A. $y = {x^2} + 3x - 2.$
B. $y = - {x^2} + x - 2.$
C. $y = - {x^2} + 3x - 3.$
D. $y = - {x^2} + 3x - 2.$
Lời giải
Chọn D.
Do $\left( P \right)$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2$ nên điểm $A\left( {2;0} \right)$ thuộc $\left( P \right)$. Thay $\left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ vào $\left( P \right)$, ta được $0 = 4a + 6 - 2 \Leftrightarrow a = - 1$.
Vậy $\left( P \right):y = - {x^2} + 3x - 2$.
Ví dụ 15. Tìm parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + 3x - 2,$ biết rằng parabol có trục đối xứng $x = - 3.$
A. $y = {x^2} + 3x - 2.$
B. $y = \dfrac{1}{2}{x^2} + x - 2.$
C. $y = \dfrac{1}{2}{x^2} + 3x - 3.$
D. $y = \dfrac{1}{2}{x^2} + 3x - 2.$
Lời giải
Chọn D.
Do $\left( P \right)$ có trục đối xứng $x = - 3$ nên $ - \dfrac{b}{{2a}} = - 3 \Leftrightarrow - \dfrac{3}{{2a}} = - 3 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}$.
Vậy $\left( P \right):y = \dfrac{1}{2}{x^2} + 3x - 2$.
Ví dụ 16. Tìm parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + 3x - 2,$ biết rằng parabol có đỉnh $I\left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{11}}{4}} \right).$
A. $y = {x^2} + 3x - 2.$
B. $y = {x^2} + x - 4.$
C. $y = 3{x^2} + x - 1.$
D. $y = 3{x^2} + 3x - 2.$
Lời giải
Chọn D.
Do $\left( P \right)$ có đỉnh $I\left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{11}}{4}} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{gathered} - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - \dfrac{{11}}{4} \hfill \\\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = a \hfill \\ \Delta = 11a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 = a \hfill \\ 9 + 8a = 11a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow a = 3$. Vậy $\left( P \right):y = 3{x^2} + 3x - 2$.
Ví dụ 17. Xác định parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 2$, biết rằng $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M\left( {1;5} \right)$ và $N\left( { - 2;8} \right)$.
A. $y = 2{x^2} + x + 2.$
B. $y = {x^2} + x + 2.$
C. $y = - 2{x^2} + x + 2.$
D. $y = - 2{x^2} - x + 2.$
Lời giải
Chọn A.
Do $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M\left( {1;5} \right)$ và $N\left( { - 2;8} \right)$ nên ta có hệ
$\left\{ \begin{gathered} a + b + 2 = 5 \hfill \\ 4a - 2b + 2 = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ b = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Vậy $\left( P \right):y = 2{x^2} + x + 2$.
Ví dụ 18. Xác định parabol $\left( P \right):y = 2{x^2} + bx + c,$ biết rằng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {0;4} \right)$ và có trục đối xứng $x = 1.$
A. $y = 2{x^2} - 4x + 4.$
B. $y = 2{x^2} + 4x - 3.$
C. $y = 2{x^2} - 3x + 4.$
D. $y = 2{x^2} + x + 4.$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $M \in \left( P \right)\xrightarrow{{}}c = 4.$
Trục đối xứng $ - \dfrac{b}{{2a}} = 1\xrightarrow{{}}b = - 4.$
Vậy $\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 4.$
Ví dụ 19. Biết rằng $\left( P \right):y = a{x^2} - 4x + c$ có hoành độ đỉnh bằng $ - 3$ và đi qua điểm $M\left( { - 2;1} \right)$. Tính tổng $S = a + c.$
A. $S = 5.$
B. $S = - 5.$
C. $S = 4.$
D. $S = 1.$
Lời giải
Chọn B.
Do $\left( P \right)$ có hoành độ đỉnh bằng $ - 3$ và đi qua $M\left( { - 2;1} \right)$ nên ta có hệ
$\left\{ \begin{gathered} - \dfrac{b}{{2a}} = - 3 \hfill \\ 4a + 8 + c = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} b = 6a \hfill \\ 4a + c = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \dfrac{2}{3} \hfill \\ c = - \dfrac{{13}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.\xrightarrow{{}}S = a + c = - 5.$
Ví dụ 20. Xác định parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,$ biết rằng $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A\left( {1;1} \right),$ $B\left( { - 1; - 3} \right)$ và $O\left( {0;0} \right)$.
A. $y = {x^2} + 2x.$
B. $y = - {x^2} - 2x.$
C. $y = - {x^2} + 2x.$
D. $y = {x^2} - 2x.$
Lời giải
Chọn C.
Do $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A\left( {1;1} \right),{\text{ }}B\left( { - 1; - 3} \right),{\text{ }}O\left( {0;0} \right)$ nên có hệ
$\left\{ \begin{gathered} a + b + c = 1 \hfill \\ a - b + c = - 3 \hfill \\ c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - 1 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ c = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$. Vậy $\left( P \right):y = - {x^2} + 2x$.
Ví dụ 21. Xác định parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,$ biết rằng $\left( P \right)$ có đỉnh thuộc trục hoành và đi qua hai điểm $M\left( {0;1} \right)$, $N\left( {2;1} \right)$.
A. $y = {x^2} - 2x + 1.$
B. $y = {x^2} - 3x + 1.$
C. $y = {x^2} + 2x + 1.$
D. $y = {x^2} + 3x + 1.$
Lời giải
Chọn A.
Do $\left( P \right)$ có đỉnh nằm trên trục hoành nên $ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 0 \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4a = 0$.
Hơn nữa, $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $M\left( {0;1} \right)$, $N\left( {2;1} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{gathered} c = 1 \hfill \\ 4a + 2b + c = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Từ đó ta có hệ $\left\{ \begin{gathered} {b^2} - 4a = 0 \hfill \\ c = 1 \hfill \\ 4a + 2b + c = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} - 4a = 0 \hfill \\ c = 1 \hfill \\ 4a + 2b = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 0\left( {l} \right) \hfill \\ b = 0 \hfill \\ c = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = - 2 \hfill \\ c = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vậy $\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 1$.
Ví dụ 22. Biết rằng hàm số $y = a{x^2} + bx + c{\text{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $3$ tại $x = 2$ và có đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {0; - 1} \right)$. Tính tổng $S = a + b + c.$
A. $S = - 1.$
B. $S = 4.$
C. $S = 4.$
D. $S = 2.$
Lời giải
Chọn D.
Từ giả thiết ta có hệ $\left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ - \dfrac{b}{{2a}} = 2 \hfill \\ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 3 \hfill \\ c = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ b = - 4a \hfill \\ {b^2} - 4ac = - 12a \hfill \\ c = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ b = - 4a \hfill \\ 16{a^2} + 16a = 0 \hfill \\ c = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 0\left( {l} \right) \hfill \\ b = 0 \hfill \\ c = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} a = - 1 \hfill \\ b = 4 \hfill \\ c = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\xrightarrow{{}}S = a + b + c = 2.$
Ví dụ 23. Tọa độ giao điểm của $\left( P \right):y = {x^2} - 4x$ với đường thẳng $d:y = - x - 2$ là
A. $M\left( { - 1; - 1} \right),\;N\left( { - 2;0} \right).$
B. $M\left( {1; - 3} \right),\;N\left( {2; - 4} \right).$
C. $M\left( {0; - 2} \right),\;N\left( {2; - 4} \right).$
D. $M\left( { - 3;1} \right),\;N\left( {3; - 5} \right).$
Lời giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là ${x^2} - 4x = - x - 2$
$\overset {} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\overset {} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 & \xrightarrow{{}}y = - 3 \hfill \\ x = 2 & \xrightarrow{{}}y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Vậy tọa độ giao điểm là $M\left( {1; - 3} \right),N\left( {2; - 4} \right).$
Ví dụ 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $b$ để đồ thị hàm số $y = - 3{x^2} + bx - 3$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
A. $\left[ \begin{gathered} b < - 6 \hfill \\ b > 6 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
B. $ - 6 < b < 6.$
C. $\left[ \begin{gathered} b < - 3 \hfill \\ b > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
D. $ - 3 < b < 3.$
Lời giải
Chọn A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:$ - 3{x^2} + bx - 3 = 0.$ $\left( 1 \right)$
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta = {b^2} - 36 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} b < - 6 \hfill \\ b > 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ví dụ 25. Cho parabol $\left( P \right):y = {x^2} - 2x + m - 1$. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để parabol cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
A. $1 < m < 2.$
B. $m < 2.$
C. $m > 2.$
D. $m < 1.$
Lời giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và trục $Ox$ là
${x^2} - 2x + m - 1 = 0.$ $\left( 1 \right)$
Để parabol cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm dương $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' = 2 - m > 0 \hfill \\ S = 2 > 0 \hfill \\ P = m - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 2 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2$.
Ví dụ 26. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx$ cắt đồ thị hàm số $\left( P \right):y = {x^3} - 6{x^2} + 9x$ tại ba điểm phân biệt.
A. $m > 0$ và $m \ne 9.$
B. $m > 0.$
C. $m < 18$ và $m \ne 9.$
D. $m > 18.$
Lời giải
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ với $d$ là ${x^3} - 6{x^2} + 9x = mx$
$\overset {} \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 6x + 9 - m} \right) = 0\overset {} \leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ {x^2} - 6x + 9 - m = 0.{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Để $\left( P \right)$ cắt $d$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ {0^2} - 6.0 + 9 - m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > 0 \hfill \\ 9 - m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > 0 \hfill \\ m \ne 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
